共同影响：机构交易活动中的拥挤效应

通过构造，这个公式在元序排列下是不变量的，因为它们是不可区分的。Y和δ分别是冲击函数的标度和指数。自由参数α在影响累积（α=δ）和仅净交易量相关（α=1）的情况下进行插值。图4显示了（α，δ）对网格通过等式（5）的最小二乘回归获得的拟合质量。我们发现，在接近点α=1.0和δ=0.5的情况下，确定系数r（α，δ）最大化，这表明日规模下N个元订单的综合价格影响I（ДN）仅取决于总净订单流量，即I（ДN）≈ Y×Φo1/2，（6），其中Φ=PNi=1φi。换句话说，市场只对净订单流量作出反应，而不是对该订单流量在投资者中的分布方式作出反应。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0δ0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0αr2（α，δ）0.00040.00080.00120.00160.00200.00240.00280.0032图4（α，δ）对网格的等式（5）最小二乘回归的计算确定系数r（α，δ）。在点α=1.0和δ=0.5附近，测定系数最大化（r=0.0035）。现在可以绘制I（Φ）作为各种N的Φ函数，见图5。一个明确的结论是，Φ不是太小，影响与N无关，并且随着Φ的增加，从线性到平方根行为交叉。事实上，N值越小，线性行为越明显。我们现在转向一个理论分析，它将使我们能够更精确地量化共同影响问题，以及平方根定律如何在大范围内存活N.5相关元序和共同影响5.1数学问题，即使资产管理人知道平均影响公式Eq。

（6） ，这可能不足以估计他的实际影响，这在很大程度上取决于其他同期元序的存在。假设管理器k想要执行体积分数φk=φ。如果所有其他N- 1已知元订单，将给出每日价格影响。事实上，我们已经测试了假设α=1也有利于影响函数I（Φ）的一般非参数形状。10-410-310-210-1100Φ10-310-210-1100I（Φ）/YLinearSquare根2≤ N≤ 1010≤ N≤ 2020≤ N≤ 400.100.140.180.22Y图5：全球市场影响I（Φ）=E[I（φN）| PNi=1φI=Φ]由前因子Y归一化，作为N中各种桶的净订单流量Φ的函数，第。3、插图显示了不同曲线的归一化Y。通过上一节中确定的全局影响函数I（Φ），Φ=φk+PNi6=kφI。然而，管理者k显然无法获得该信息。他对给定N的平均影响的最佳估计是条件期望in（φ）=E[I（Φ）|φk=φ]=EhIφk+NXi6=kφiφk=φi（7）在元序的条件分布P（φN |φk=φ）上。由于元订单的数量通常也未知，因此预期的单个市场影响由i（φ）=Y×XNp（N）Zdφ给出。dφNP（φN |φk=φ）φk+NXi6=kφio1/2，（8）其中我们使用了公式（6）。以这种方式计算In（φ）和I（φ），我们需要知道联合概率密度函数P（φN）：=P（φ，…，φN），这通常是一个复杂的高维对象。然后，为了创建一个可根据数据进行校准的易于处理的模型，我们必须对φi的依赖结构做出一些合理的假设。在下一小节中，我们将研究φi完全独立的简单情况，然后转向亚阶之间相关性的经验表征。

最后，我们提供了经验激励模型的结果，并将其与经验市场影响曲线进行比较。10-410-310-210-1100φ10-310-210-1100IN（φ）/Yφ*NLinearSquare RootN=2N=10N=30N=60100101102N10-210-1φ*Nφ*N=∑N*√N-1φ*N=10-0.7*√N-1/N10010102N10-310-2∑N1/N图6：（左面板）不同N的i.i.d.高斯亚序的（φ）/Y市场影响曲线∈ {2、10、30、60}和固定的∑N=根据经验数据计算的∑=0.8%。φ从平方根过渡到线性状态*N∑√N- 1.（右面板）经验估计φ*Nas是每个资产每日元订单数N的函数。这是通过计算经验订单大小的标准偏差∑N=pV[φ| N]条件为N得到的。红色虚线表示∑N的情况~ 每N个1/N：在插图中，我们报告订单规模φ的标准偏差∑Nof，作为每个资产每日元订单数量N的函数。5.2独立元序关于P（νN）的形式，最简单的假设是元序体积为i。i、 d.，表示p（ДN）=NYi=1p（φi）。（9） 为简单起见，假设每个φiis是均值和方差均为零的高斯随机变量∑N，其中较低的指数表示对N的显式依赖-1同时亚阶产生振幅为∑N的高斯噪声贡献√N- φk=φ顶部1。在附录B.1.1中，我们分析表明：o对于小元序，噪声项占主导地位，导致In（φ）∝ φ时φ φ*N： =∑N√N- 1.o对于大型元订单-1其他同时的元序可以忽略，thusIN（φ）∝pφ当φ φ*N、 在附录B.1.2中，我们表明，如果体积分布的方差是有限的，则上述结果在体积分布的形状无关的largeN极限下仍然有效。图6的左面板中显示了不同N值的完整解析解，但固定∑N=∑。

我们可以清楚地看到从线性行为小φ到大φ的平方根的转换。然而，有趣的是，有人预计∑nto会随着N的增加而减少，这仅仅是因为随着元序数量的增加，每个元序所代表的volumefraction必须减少。如右侧面板OFIG所示。6，这是经验上的情况，因为对于N和10，∑nindede随N衰减-1（如下图7所示）。因此，对于大N，交叉值φ*N将N减少为N-1/2. 这就解释了为什么在存在大量元序的情况下，可以观察到平方根定律。如果这些元订单是独立的，则它们对价格平均值的互联网影响会消失，就像理论模型中假设的那样，将所考虑的元订单视为单独的随机流。现在我们来谈谈元序之间的相关性的影响。5.3亚序相关性为了建立一个合理的P（νN）模型，我们分别考虑了粒度分布和粒度互相关。从图1的右面板中，我们观察到边缘p（φi）是一个很好的近似值，与方向、买卖和中等厚尾无关。后一个观察结果表明，总净订单流量Φ=PNi=1φiis不受单个亚订单支配。量化这一点的方法是通过赫芬达尔指数（或“反向参与比”）ζ，定义为：ζ：=PNi=1φiPNi=1 |φi|. （10） 例如，一个flat Dirichlet随机变量的方差（X，…，XN）~ Dir（N）描述分数是V[Xi | N]=（N- 1） /（N（N+1））~ N-2.10-1100101102N10-1100E[ζ| N]1/N1/N0.40I。一、 D.模拟实证图7：赫芬达尔指数（或“反向参与率”）的平均值E【ζ| N】作为根据经验数据（蓝点符号）和模拟I.I.D计算的每项资产每日元订单数N的函数。

|φi |（红星符号），从图1右面板所示的经验分布中提取。如果所有元订单的大小都相当，则该数量为1/N，如果一个元订单占主导地位，则该数量为1/N。在图7中，我们显示了E[ζ| N]作为N函数的依赖关系，它明显随N衰减。它还与根据图1所示经验分布得出的假设绝对体积分数|φi |为独立、相同分布变量的结果进行了很好的比较。因此，我们得出结论：（a）安切诺数据库中的元序通常是可比较的相对大小φ；（b）绝对体积相关性不起主要作用，今后我们将忽略它们。另一方面，符号相关性在确定同时元序的影响方面确实起着重要作用。同一资产上同时执行的金属订单的经验平均符号相关性定义为asC（N） ：=E[我j | N]- E类[我不知道[i | N]- E类[i·············································。图8显示了C的依赖关系在N上，我们清楚地看到，平均而言，在同一资产上执行的每日元订单是正相关的。此外，C（N） 随N的增加而减少。这可能是由于同一管理者提交了多个并发的元订单，随着N的增加，影响变得不那么突出。

平台值C≈ 我们认为，0.025 atlarge N是不同资产管理公司提交的订单相关性的合理代表。该值确实与C的值兼容使用数据库版本0 20 40 60 80 100N0.000.020.040.060.080.10C获取（N） 图8：经验平均符号相关性C（N） 作为每日元序数N的函数：红色虚线表示平台值C≈ largeN的0.025，我们认为这是不同资产管理公司提交的订单相关性的合理代表。5.4相关元序的市场影响自然模型将φi视为零均值、方差∑和互相关系数Cφ（N）的可交换多元高斯变量。附录B.2表明，当Cφ（N）>0时，独立元序的定性行为保持不变。具体而言，我们发现，平均冲击蛋白（φ）可以通过替换φ获得→ φ[1+（N- 1） Cφ（N）]。（12） 在独立高斯的in（φ）表达式中。这是预期的，因为（N-1） Cφ（N）给出了与原始数量相关的额外体积加权元序的有效数量。同样，对于小φ，IN（φ）仍然线性消失，而经验数据表明，当φ→ 作为强调符号相关性的替代模型，让我们假设φi的联合分布可以写成asP（νN）=P(N） NYi=1p（|φi |），（13）意味着亚序大小是独立的，而符号可能是相关的。这种特殊形式的动机是观察到元订单的大小主要与相应金融机构管理的资产有关，而符号与交易信号有关。

可以预期，不同的投资者使用相关的信息源，而交易的规模是不同步的。【4】确定了来自同一投资者的元订单。10-410-310-210-1100φ10-310-210-1100IN（φ）/YLinearSquare根C= 0.01，N=5C= 0.01，N=10C= 0.01，N=30C= 0.01，N=10010-510-410-310-210-1100φ10-310-210-1100IN（φ）/YLinearSquare根C= 0.01，N=5C= 0.05，N=5C= 0.10，N=5C= 0.50，N=510-310-210-1100摄氏度10-410-310-210-1100IN（0）/Y图9：为相关符号模型计算的（φ）/Y中的市场影响曲线，其中根据半正态分布绘制交易量，E[|φi |]=∑p2/π，∑=0.8%设置为等于固定符号相关C的N.（左面板）数值模拟的平均经验值= 0.01但不同数量的元订单N∈{5, 10, 30, 100}. （右图）固定数量的元序SN=5但符号相关性C不同的数值模拟∈ {0.01，0.05，0.1，0.5}：如插图所示，（0）/Y中的截距随C的符号相关性线性减小→ 注意，（φ）值中的个别价格影响在φ→ 对于中间φ，IN（φ）是线性的，并在较大φ处与平方根相交。我们进一步假设，有一个唯一的共同因素决定了元序的符号。换句话说，这些迹象的统计模型如下：P(i=+1 |) =(1 + γ~); P(i=-1|~) =(1 - γ~), （14） 其中▄ 是隐藏符号因子，因此P（~ = ±1）=1/2和γ是每个符号之间的符号相关性i和隐藏符号因子▄. 一个简单的计算导致toC（N） =P(i=j）- P(i=-j） =γ. （15） 我们省略了γ’s对N的显式依赖。

与Gaussiancase相反，我们无法获得分析公式，而是依赖数值模拟获得不同C组合的IN（φ）（N） 和N，如图9所示。图9显示了根据数据校准的半正态分布生成的无符号体积的结果。我们观察到，（φ）中的个体价格影响在（0）>0中收敛到一个正常数，当φ→ 0，对于高斯模型，despiteIN（0）=0。对于中间φ，IN（φ）是线性的，它在较大φ处与平方根相交。对于固定N，截距值随符号相关性C增加, 请参见图9的右侧面板。直觉是，根据我购买的事实，并且与我交易的规模无关，其他参与者的订单流也会偏向购买，我会从他们交易的影响中受益。事实上，减去In（φ）的非零截距会导致冲击曲线看起来几乎与图6中的曲线相同，即小φ的线性区域后接交叉值φ以外的平方根区域*N~ ∑N√N- 1、自大Nφ*N→ 0，只需要平方根定律，由截取（0）移位。5.5模型的经验校准为了将模型预测与经验数据进行比较，我们提出了附录B.4.1中所述的校准方法。这是基于这样的假设，即亚阶符号是从根据经验数据校准的半高斯模型中采样的独立随机变量。可以通过引入已实现的符号相关ρ来估计亚阶符号相关结构:=N（N- 1） X1≤i<j≤N我j、 （16）然后用于估计符号相关性C（N） 式（15）的。校准模型后，我们使用数值模拟计算预期的市场影响I（φ），有关程序的详细信息，请参见附录B.4.1。无花果

10表明，仅在符号之间施加相关性可以很好地预测经验曲线，证明采用符号相关模型是合理的。经验冲击曲线的所有特征都在定性上得到了很好的再现，与图2一致。这包括φ的平方根定律的明显偏差≤ 10-3同时具有线性制度和恒定价格影响Iwhenφ→ 0.10-610-510-410-310-210-1100φ10-410-310-210-1100I（φ）/YLinearSquare根0.05≤ ρ≤ 1.000.00 ≤ |ρ| ≤ 0.05图10：案例N的校准符号相关模型（彩色线）和经验数据（圆圈）之间的比较∈ 【2，10】：样品分为两个子样品，分别用ρ≥ 0.05和0≤ |ρ|≤ 0.05. 如正文所述，通过数值模拟计算理论曲线（程序详情见附录B.4.1）。6结论市场价格在交易执行过程中会发生变化，这是一个公认的事实——买入订单的价格（平均）会上升，卖出订单的价格（平均）会下降。粗略地说，这就是所谓的市场冲击现象。在本文中，我们提出了第一项研究，分解了不同投资者执行的元指令的市场影响，并考虑了相互作用/关联效应。我们研究了如何汇总各个参与者的影响，以便最好地解释每日价格变动。金融机构交易的元指令数量庞大且具有异质性，因此可以精确测量不同条件下的价格影响，减少不确定性。

我们发现，同时进行股票交易的参与者数量及其交易的拥挤度（通过元指令符号的相关性衡量）都是决定给定元指令影响的重要因素。我们的主要结论如下：o市场价格对正在进行的元订单的总净订单流量作出反应，函数形式至少在体积分数φ范围内用平方根很好地近似。正如匿名市场所预期的那样，订单流量在不同投资者之间的分配方式对市场的影响并不敏感执行的元顺序数N及其相互符号相关性c是投资者想要准确估计自己的元订单对市场的影响时的相关参数使用基于数据校准的简单启发式模型，我们能够很好地再现经验市场影响曲线的不同状态，作为φ、N和C的函数.o 当元订单的数量不多，并且当C> 0时，小投资者将观察到非零截距I的线性影响，在较大φ处超过平方根定律。带C的Igrows可以解释为所有其他元序的平均影响当元指令的数量非常大，投资者与其平均符号没有相关性时，他们应该预计在给定的一天，平方根影响会随机向上或向下移动I。在所有的日子里，都是平均的，出现了一个纯平方根定律，这解释了为什么许多实证论文中都报道了这种行为。关于最后一点，我们认为我们的研究揭示了一个明显的悖论：非线性冲击定律如何在大量同时执行的元序存在的情况下存活？正如我们所看到的，原因是对于与市场其余部分不相关的元订单，其他元订单的影响平均会抵消。