共同影响：机构交易活动中的拥挤效应

相反，冲击定律的任何截距都可以解释为与市场其他部分的非零相关性。鉴于这一主题的重要性，我们的结果提出了几个有趣的应用。我们的综合价格影响模型应该对试图监控和降低交易成本的从业者以及寻求改善市场稳定性的监管机构都感兴趣。致谢作者感谢Michael Benzaquen（参与了该项目的早期阶段）、Stanislao Gualdi、P'eter Horvai、Felix Patzelt、Bence T'oth和Elia Zarinellif对该主题的批判性讨论。元序统计我们现在描述一些元序的统计信息。参与率π定义为执行间隔期间，元指令交易的股票数量| Q |与整个市场之间的比率【ts，te】π=| Q | V（te）- V（ts）。（17） 以体积时间表示的持续时间D等于toD=V（te）- V（ts）V（tc），（18）无符号日分数被定义为元顺序无符号交易量| Q |与市场全天交易量V（tc）之间的比率：|φ|=| Q |/V（tc）=π·D。（19）我们发现，参与率π和持续时间D都很好地近似于几个数量级上的截断幂律分布。第10条-610-510-410-310-210-1100π10-210-1100101102103104p（π）C=0.251，a=-0.832f（x）=C·xa10-310-210-1100D10-210-1100101102p（D）C=0.210，a=-0.954f（x）=C·xa10-710-610-510-410-310-210-1100|φ|10-210-1100101102103104105p（|φ|）10-310-210-1100D10-610-510-410-310-210-1100πlog10p（D，π）-1.2-0.60.00.61.21.82.43.0图11：参与率π（左上）、持续时间D（右上）和无符号日分数φ（左下）的概率密度函数估计。所有这些面板均为对数-对数比例。

前两个图还显示了在垂直虚线包围的区域内幂律函数的最佳拟合。右下角的面板显示了估计的联合概率密度函数p（D，π）的对数，以持续时间D和参与率π的双对数标度表示。这些统计数据与参考文献[4]中得到的数据一致。参与率π的估计概率密度函数如图11左上面板中的对数对数刻度所示。区域内的幂律函数10-4.≤ π ≤ 10-1，即超过三个数量级，给出了最佳fit指数a=-0.832 ± 0.001.图11的右上面板显示了元序持续时间D的估计概率密度函数。垂直虚线（0.01≤ D≤ 0.5）给出幂律指数a=-0.954 ± 0.002.这些幂律是非常重尾的，这意味着参与率和持续时间都有很大的变化。注意，在这两种情况下，可变性本质上是有界的，因此幂律是自动运行的：通过定义π≤ 1和D≤ 此外，对于p（D），对应于全天元序的分布右端有一个小凸起。与小D幂律的偏差是我们的过滤器3只保留至少持续2分钟的元序的结果，其体积时间平均对应于2/390’0.005。左下面板显示无符号日分数φ的概率密度函数。在这种情况下，分布不太复杂，显然不是幂律。这可能是一个重要的结果，因为一些理论对市场影响的预测依赖于此，并且通常被认为是幂律行为。总之，图的右下面板。

11显示了估计的联合概率密度函数p（D，π）在双对数尺度下的对数。我们测量了两个变量之间非常低的线性相关性（-0.08），主要贡献来自极端区域，即非常大的π意味着非常小的D，反之亦然。换句话说，正如预期的那样，非常激进的元指令通常是短元指令，而长元指令的参与率通常很低。B从裸市场影响函数到市场影响函数，签署数量φ的元订单的预期单个市场影响由I（φ）=XNp（N）IN（φ）（20）估计，其中p（N）是元订单日数量N的概率分布perasset and IN（φ）=E[I（φN）|φk=φ]=Zdφ··dφNP（φN |φk=φ）φk+NXi6=kφio1/2（21）是根据裸冲击函数I（νN）计算得出的市场影响：=（PNi=1φI）o1/2，固定N。假设p（N）是kwown，则（φ）中的市场影响来自公式（21）中对成交量元指令的条件概率分布p（φN |φk=φ）的预期。然而，为了进行分析计算，有必要对联合分布函数P（ДN）：=P（φ，···，φN）进行合理假设。因此，我们开始考虑i.i.d.元订单的情况，然后分析如何在i.i.d.高斯框架下从平方根过渡到线性市场影响。其次，我们将这些结果推广到任何对称体积分布的大N极限，这符合中心极限定理的假设。第三，在高斯框架下引入符号体积之间的相关性，我们证明了同样的结果仍然有效。最后，我们描述了在元指令符号相关和i.i.d.无符号交易量的情况下，如何在公式（21）中计算市场影响的数值。B、 1在i.i.d.的情况下，IID元订单对市场的影响。

有符号元序，条件联合分布因子zesasp（φN |φk=φ）=NYi6=kp（φi）；（22）这意味着N中的单个亚阶φk=φ的（φ）价格影响由IN（φ）=Zdφm2πZdλe给出-iλφm^p（λ）N-1 |{z}p（φm）（φ+φm）o1/2=Zdφmp（φm）（φ+φm）o1/2（23），其中φm=PNi6=kφiis同时执行到亚阶φkand^p（λ）=E[eiλφi]的净阶流是有符号体积分布p（φi）的特征函数。尽管如附录B.1.2所述，在式（23）中引入特征函数^p（λ）将是利用净订单流量分布p（φm）的收敛性的一种便捷方法，但只有在高斯情况下，才能以解析闭合形式计算（φ）中的市场影响，如下一个附录B.1.1所示。B、 1.1高斯情况下的独立高斯亚序，即p（φi）~ N（0，∑N）∑N=V[φi | N]，我们可以在公式（23）中进一步分析，因为^p（λ）=e-∑Nλ/2。事实上，价格影响的积分表示In（φ）=∑Np2π（N- 1） Z∞-∞dφme-φm/（2∑N（N-1） ）（φ+φm）o1/2==∑Np2π（N- 1） Z∞dx公司√xhe公司-（十）-φ） /（2∑N（N-1))- e-（x+φ）/（2∑N（N-1） i（24）可以用以下分析方式表示，in（φ）=Γ（1/4）√πφ（2（N- 1） ∑N）1/4e-φ2（N-1） ∑NF,,φ2（N）- 1） ∑N（25）式中Γ（z）=R∞xz公司-1e级-xdx是Gamma函数和f,, z=Γ()Γ()∞Xj=0Γ（+j）Γ（+j）zjj！（26）是Kummer对流超几何函数，z=φ（2（N-1） ∑N）[20]。公式（25）中（φ）的价格影响如图6左面板所示，不同N和参数∑N固定。如果亚阶体积φ小于其他N的和- 1元序，即φ φm，则价格影响为线性。相反，当我们的元序占主导地位时，即φ φm，价格影响遵循平方根函数。

从线性到平方根的过渡regimetakes位于φ附近*N∑N√N- 1，其中∑N√N- 1自然被解释为市场噪音的度量，与重新缩放的市场影响函数的函数形状变化一致，y（|φ）=in（φ）/（N- 1） ∑N）1/4在图12中表示为尺寸参数|φ的函数：=φ/(√N- 1∑N）。进一步注意，线性状态是由式（25）中φ=0附近的in（φ）展开立即得出的，如下所示in（φ）=∑Np2π（N- 1） Z∞dx公司√xe公司-x/（2∑N（N-1） ）他-(φ-2xφ）/（2∑N（N-1))-e-（φ+2xφ）/（2∑N（N-1） ）i\'\'rπφ（∑N（N- 1） ）3/2Z∞dxx3/2e-x/（2∑N（N-1） ）=23/4Γ（5/4）（π∑N（N- 1))1/4φ.（27）备注1。因此，对于i.i.d.高斯亚阶，线性价格影响区的斜率随N减小（如公式（27）中明确所示），与平方根区的交叉发生在φ中*通过求解ξφ得到*N（∑N（N- 1))1/4\' (φ*N） 1/2，（28）即φ*N’ξ-1∑N√N- 1，ξ=23/4Γ（5/4）/√π.B、 1.2一般分布独立元序的大N限i.i.d.高斯框架中讨论的先前结论也适用于本附录中讨论的其他i.i.d.体积分布：事实上，对于任何对称体积分布p（φi），我们可以将其一般化为大N限值，这符合中心极限定理的假设。在大N的极限下，如果p（φi）上的某些条件（下文讨论）成立，则应用中心极限定理，在式（23）中引入的对称体积分布p（φm）收敛到由特征函数^p（λ）=E[eiλφm]=E描述的稳定定律Gα-c |λ|α（29），其中c∈ (0, ∞) 是比例参数，α∈ （0，2）是稳定指数。换句话说，如果存在常数am，则体积分布p（φi）属于稳定分布Gα的吸引域∈ R、 bm>0等-1m（φm- am）→ Gα，（30）即。

重整化和重新集中的和φm=PNi6=kφi在分布上收敛于α。中心极限定理给出了这样的条件，即保证该收敛不服从稳定定律Gα：10-310-210-1100101102103~φ = φ/(√N- 1∑N）10-410-310-210-1100101102y（￠φ）=Γ（1/4）/（25/4√π） §φe-~φ2/21F1（5/4，3/2，~φ2/2）图12：重新缩放的市场影响函数y（~φ）=IN（φ）/（N- 1） ∑N）无量纲参数的1/4in函数φ：=φ/(√N- 1∑N），IN（φ）由公式（25）给出：垂直的红色虚线表示从线性碰撞（左侧）到方根碰撞（右侧）的过渡当且仅当ifZ |φi时，p（φm）收敛到高斯分布（等式（29）中的α=2|≤xφip（φi）dφi（31）是一个缓慢变化的函数L（x），即limx→∞L（tx）/L（x）=1表示所有t>0；那么，如果∑N=V[φi | N]<∞（（N- 1） 1/2∑N）-1φm-→ N（0，1），（32），当V[φi | N]=∞（（N- 1） 1/2升）-1φm-→ N（0，1）（33）具有La缓变函数，N（0，1）具有均值为零且方差为1的高斯分布当且仅当ifZ时，p（φm）收敛到L'evy分布（对于等式（29）中的某些α<2-x个-∞p（φi）dφi=c+o（1）xαL（x），1-Zx公司-∞p（φi）dφi=c+o（1）xαL（x），x→ ∞（34）式中，L（x）是缓慢变化的函数，c，注意非负常数，使c+c>0；然后得出（（N- 1） 1/αL）-1φm-→ L（c，α）（35）具有La缓变函数和L（c，α）a L'evy分布具有标度参数c∈ (0, ∞) 和稳定性指数α∈ (0, 2).备注2。紧接着，对于属于正态律吸引域的任何体积分布p（φi），即满足式（31）中的条件，在大N的极限下，（φ）中的价格影响由式（25）描述，并且在Remark1中讨论的从线性到平方根价格影响的转换仍然有效：注意，在V的情况下[φi | N]=∞ 它可以替代∑Nin等式。

（28）使用适当的慢变函数L。此外，我们可以证明，对于属于L'evy分布的吸引子域的体积分布p（φi），仍然存在从线性到平方根区域的过渡，即，用α<2和p（φm）证明等式（34）中的条件→ L（c（N- 1)1/α, α). 事实上，扩展到一阶裸冲击函数I（φ，φm）=（φ+φm）o1/2轮φ=0，公式（23）In（φ）“φZdφmp（φm）|φm|-1/2=φ4πZdλ^p（λ）Zdφme-iλφm |φm|-1/2，（36）引入由^p（λ）=e驱动的净阶流量φm的特征函数-c（N-1） 1/α|λ|α（37）表示大N，并假设等式（36）中的最后一个积分是已知的FouriertransformZ+∞-∞dφme-iλφm |φm|-1/2=√2π|λ| 1/2（38）我们得到了一个线性价格影响因子（φ）\'φ√2πZ+∞-∞^p（λ）|λ|-1/2dλ。（39）虽然不可能解析计算最后一个积分，但使用鞍点近似法或Perron方法可以了解其对大N的行为：由于参考文献[21]第105页定理的所有条件都得到满足，因此可以近似公式（39）中的积分，如下所示+∞-∞^p（λ）|λ|-1/2dλ~ Γ2ααc1/（2α）（N- 1)1/(2α). （40）备注3。

在大N的限制下，可以通过分析表明，对于属于L'evydistribution吸引域的体积分布p（φi），价格影响由In（φ）'描述的线性制度表征√2πΓ2αφα[c（N- 1） ]1/（2α），（41），然后转换为φ周围的平方根*N’（c（N- 1))1/α.B、 2相关高斯元订单的市场影响为了引入元订单数量之间的相关性，在高斯框架下，有必要确定以下联合概率分布p（νN）=ZNexp-ANNXi=1φi+bnnxi<jφiφj+uNXi=1φi, （42）其中ZN是一个归一化函数，ANand BNA参数取决于Nandu是一个外部字段。B、 2.1数据校准：平均值和相关性公式（42）中校准P（νN）的第一步是用可观测量表示模型参数san、bn和u，即E[φiφj | N]和E[φi | N]。由于存在相互作用项，ZN的计算需要使用Hubbard Stratonovich变换（仅对BN>0有效）：expBN2NNXi，jφiφj=Z∞-∞dyp2π/NBNexp-NBNy+BNNXi=1φiy！。（43）这允许我们重写等式（42）中的概率分布asP（νN）=ZNrNBN2πZdyNYi=1exp-AN+BNNφi+（u+BNy）φi-NBNy公司.（44）然后，配分函数readsZN=“2πAN+BNN#N/2安+BN安+BN（N- 1） 经验值Nu2（ANN+BN（N- 1))（45）仅对BN<AN+BN/N有效。等式（45）可用于推导以下关系： 原木锌u=N E[φi | N]，（46） 原木锌AN=-NE[φi | N]，（47） 原木锌BN公司=N- 1.E[φiφj | N]（i 6=j）（48），假设对称体积（E[φi | N]=0，即u=0）相当于toE[φi | N]=AN+20亿/N- BN（AN+BN/N- BN）（AN+BN/N）（49）andE[φiφj | N]=BN/N（AN+BN/N- BN）（AN+BN/N）。（50）此外，结合等式。（49）和（50）我们可以导出体积相关性cφ（N）=E[φiφj | N]- E[φi | N]E[φi | N]- E[φi | N]=E[φiφj | N]E[φi | N]=十亿/纳米+二十亿/纳米- BN。

（51）反之亦然，根据等式。（49）和（51）我们可以得到模型参数san=1- 2Cφ（N）+NCφ（N）（1- Cφ（N））（1- Cφ（N）+NCφ（N））E[φi | N]（52）和bn=NCφ（N）（1- Cφ（N））（1- Cφ（N）+NCφ（N））E[φi | N]，（53），这有助于将高斯模型与数据拟合。我们将使用公式（52）和Q。（53）估算ANA和BN，用心理自然对应物代替相关性和期望。例如，参考文献[22]讨论了属于GMM（广义矩量法）的此类估计量的性质。B、 3市场影响的分析计算在高斯相关框架下，根据等式（21）分析计算（φ）中的市场影响函数，我们采用以下策略1。首先，我们将等式（42）中的联合概率分布P（νN）分解为非空外部场u6=0；2、其次，我们使用上一点的技巧，计算存在净订单流量φm=PNi6=kφi与已知尺寸φ亚阶的相关性所诱导的有效场|u时的市场影响因子（φ）。第1步。式（42）中的联合概率分布可以写成以下矩阵形式p（νN）=ZNexp-^1TNMДN+uTДN, （54）其中oM是NxN实对称矩阵，主对角线上的元素等于An，其他地方的元素等于-BN/N，ou是一个N维向量，所有元素等于标量u6=0。通过对矩阵M进行对角化的正交变换N=OИN，即OTMO=diag（λ，··，λN），联合概率分布P（ДN）将asP（N）=ZNNYm=2exp分解-λИφm经验值-λ~φ+ u√N▄φ（55）其中矩阵Mλ的N个特征值=AN- （N）- 1） BNN=E[φi | N]（1- Cφ（N）+NCφ（N））（56）和λ=λ=····=λN=AN+BNN=E[φi | N]（1- Cφ（N））（57）允许我们重写配分函数asZN=r2πλr2πλN-1expNu2λ.

（58）特别是，可以看出N=OДNis的第一个分量等于φ=√NNXi=1φi，（59），这表明正交基改变了φN→И是一个有用的技巧，可以在相关高斯元指令的背景下计算市场影响。第2步。为了计算公式（21）中定义的（φ）中的价格影响，在没有外部字段的情况下，有必要说明条件概率分布P（φN |φk=φ）=P（φ，···，φ，··，φN）P（φ）（60），其中P（φ，··，φ，··，φN）由公式（42）给出，设置u=0，而边值等于顶部（φ）=q2πλλ/（λλ）exp-φλλ~λ, （61）λ和λ分别由等式给出。（56）和（57）以及∧=AN-N- 2NBN=E[φi | N][1- Cφ（N）+NCφ（N）][1- Cφ（N）]。（62）因此，条件概率分布等于toP（ДN |φk=φ）=exph-（N）-1） BNφ2N|λi（2π/|λ）1/2（2π/λ）N-2 |{z}920;-1N（φ）×（63）exp-ANNXi6=kφi+bnnxi<ji，j6=kφiφj+φBNN |{z}uNXi6=kφi（64）当体积φk=φ时，对亚阶的调节等同于引入与φ成比例的有效场。这意味着等式（21）中的价格影响是通过求解以下条件得出的：预期in（φ）=E[I（φN）|φk=φ]（65）=Z∞-∞NYi6=kdφiP（φ，···，φ，···，φN）p（φ）φ+NXi6=kφio1/2（66）=ΘN（φ）Z∞-∞NYi6=kdφiexp-ANNXi6=kφi+bnnxi<ji，j6=kφiφj+～uNXi6=kφiφ+NXi6=kφio1/2（67）=ΘN（φ）Z∞-∞NYi6=kdφiexp-φ*TM公司*φ*+ ~uφ*φ+NXi6=kφio1/2. （68）此处oД*= {φi}i6=ki=1，···，Nis一个包含N- 1个未知的元顺序卷与一个已知的φk=φ，oM同时执行*是a（N-1） ×（N-1） 非主对角对称实矩阵-BN/N其他：很容易检查其特征值分别为λ*=方程（62）和λ中的λ*m=λ，如公式（57）中m=2，···，N- 1、如前所述，求解方程。