改进模型不确定性下的风险价值预测

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这里，φ对应于ξ和cl的一些特征。Lip（Rn）是在Rn上定义的所有函数φ满足|φ（x）的空间-φ（y）|≤ C（1+| x | m+| y | m）| x- y |，x，y∈ Rn，对于某些C>0和m∈ N取决于φ。类似地，利用概率空间，我们在H上引入了一个次线性期望E，这是inPeng（2006）首次提出的。定义A.1。A函数E:H→ R称为上的次线性期望(Ohm, H） 如果满足1）。单调性：如果X（ω）≥ 每个ω的Y（ω）∈ Ohm, 然后E[X]≥ E[Y]；2). E[X+c]=对于任何c，E[X]+c∈ R3). E[X+Y]≤ E[X]+E[Y]；和4）。E[λX]=任意λ的λE[X]≥ 一个密切相关的概念是Artzneret al.（1999）引入的一致风险度量。从数学的角度来看，这个概念本质上与次线性期望的概念一致。造成差异的原因可能是这两个概念被引入和使用的各自背景。在金融数学（或金融数学）中引入一致性风险度量，专门研究这一领域的问题和主题，例如市场风险和非市场风险。另一方面，次线性期望更为抽象，被引入到一般概率论中。例如，布朗运动、条件期望和鞅等对象和概念都是在次线性期望下发展起来的。Denis et al.（2011）对此进行了相关讨论，提出了一致风险度量的表示定理。设x和Xbe在非线性期望空间上定义的两个n维随机向量(Ohm, H、 E）和(Ohm, H、 E），分别。

它们被称为同分布，用X表示：d=X，ifE[φ（X）]=E[φ（X）]，φ ∈ Cl.Lip（Rn）。随机向量Y∈ Hnis被称为独立于X∈ Hmif，对于每个φ∈ Cl.Lip（Rm×Rn），我们有E[φ（X，Y）]=E[E[φ（X，Y）]X=X]。如果上述等式仅适用于特定φ，那么我们就说Y与X关于该函数φ不相关。在次线性期望E下，Y与X的独立性意味着Y分布的不确定性不会随着X（ω）=X，X的每次实现而改变∈ 注册护士。需要注意的是，次线性期望下的这种独立性是不对称的；特别是，“Yis独立于X”并不等同于“X独立于Y”。为了说明，我们考虑了一个推广Peng（2019）中的例子。示例A.1。设ξ，X，Y，Z∈ H为满足E[ξ]=E的同分布[-ξ] =0且σ=E[ξ]>σ=-E类[-ξ]. 我们假设E[|ξ|]=E[ξ++ξ-] > 0，因此[ξ+]=E[|ξ|+ξ]=E[|ξ|]>0，andE[ξ-] =E[|ξ|- ξ] =E[|ξ|]>0。假设Z独立于{X，Y}，Y独立于X，我们可以显示E[XY]=0，E[| XY |]=（E[| X |]）>0，E[（XY）+]=E[（XY）-] =E[| XY |]>0，andE[XYZ]=E[（XY）+σ- （XY）-σ] = (σ- σ） E[（XY）+]>0。相反，如果我们假设X独立于Y，并且{X，Y}独立于Z，那么我们有E[XYZ]=E[E[XYZ]Z=Z]=E[Z]E[XY]=0。因此，通过颠倒独立性的顺序，我们可以得到不同的[XYZ]值。这表明了次线性期望下独立性概念的不对称性，而经典概率论中独立性概念是对称的。最后，严格地建立了G-正态分布的进一步性质，如下所示。提案A.1。

具有Cauchy初始条件（4.5）的完全非线性偏微分方程（3.3）的解具有以下显式表达式；u（t，x）=Zx-∞ρ（t，y）dy，其中ρ（t，y）是由ρ（t，y）定义的R+×R上的函数=√(σ + σ)√πt“e-y2σtI（y≤ 0）+e-y2σtI（y>0）#。证据利用热方程的经典分析，我们可以证明limt→0u（t，x）=（0，∞)（x） 对于每个x。如果x<0，我们有ρ（t，x）=√(σ+σ)√πte-x2σtand可以得到tu（t，x）=xρ（t，x）=-x（σ+σ）√2πte-x2σt，xu（t，x）=ρ（t，x）=√(σ + σ)√πte-x2σt，xxu（t，x）=xρ（t，x）=-√2x（σ+σ）σ√πte-x2σt.（A.1）因此，我们可以验证tu（t，x）-G级(xxu（t，x））=0，x<0，t>0。以类似的方式，我们tu（t，x）-G级(xxu（t，x））=0，x<0，t>0。请注意xxu（t，x）在（0，∞) ×R，和xxu（t，0）=0，tu（t，0）=0，因此，可以得到，tu（t，x）-G级(xxu（t，x））=0，x=0，t>0。因此，u（t，x）在整个（0，∞) x R在经典解的意义上。-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 400.10.20.30.40.50.6正常-pdfa G-典型的-Pdfigure 1：与标准正态密度相比，具有方差参数（σ，σ）=（0.5，1）的G-正态分布的一个分布的密度。0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 700000.0020.0040.0060.0080.010.0120.014在G-V aR0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 800000.0050.010.0150.020.0250.03在W=500，W0=120，α=0的情况下，NA SDAQ的日期%Viol为0 1000，W0=350，α=0.01%Viol。G-V AR010002000300400050006000700800000.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.018在G-V AR010002000000400050006000700800000.0020.0020.0040.010.0120.0140.0160.018的情况下，NAS DAQ的日期%V i ol，W=250，W0=75，α=0.01%V i ol图2：纳斯达克综合指数：W=1000，500，250，α=0.01的违规率的收敛。自适应窗口大小分别为W=350、120、75。05010001500200025003000350000.0050.010.0150.020.0250.03日期%的钠SDAQ，W=1000，W0=250，α=0。

01%Viol根据G-V aR0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 400000.0050.010.015标准普尔500的日期%Viol，W=500，W0=120，α=0。在G-V aR0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 450000.0020.0040.0060.0080.010.0120.014下，0.01%Viol在W=250，W=85，α=0的情况下，S&P500的日期%Viol。G-V AR0.01%Viol图3：S&P500指数：W=1000、500、250和α=0.01时违规率%Viol的收敛性。