改进模型不确定性下的风险价值预测

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英文标题：
《Improving Value-at-Risk prediction under model uncertainty》
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作者：
Shige Peng, Shuzhen Yang and Jianfeng Yao
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Several well-established benchmark predictors exist for Value-at-Risk (VaR), a major instrument for financial risk management. Hybrid methods combining AR-GARCH filtering with skewed-$t$ residuals and the extreme value theory-based approach are particularly recommended. This study introduces yet another VaR predictor, G-VaR, which follows a novel methodology. Inspired by the recent mathematical theory of sublinear expectation, G-VaR is built upon the concept of model uncertainty, which in the present case signifies that the inherent volatility of financial returns cannot be characterized by a single distribution but rather by infinitely many statistical distributions. By considering the worst scenario among these potential distributions, the G-VaR predictor is precisely identified. Extensive experiments on both the NASDAQ Composite Index and S\\&P500 Index demonstrate the excellent performance of the G-VaR predictor, which is superior to most existing benchmark VaR predictors.
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中文摘要：
风险价值（VaR）是金融风险管理的一个主要工具，有几个成熟的基准预测因子。特别推荐将AR-GARCH滤波与倾斜残差和基于极值理论的方法相结合的混合方法。本研究引入了另一个VaR预测因子G-VaR，它采用了一种新的方法。受最新的次线性期望数学理论的启发，G-VaR建立在模型不确定性的概念上，在本案例中，这意味着财务回报的固有波动性不能由单一分布来表征，而是由无限多个统计分布来表征。通过考虑这些潜在分布中最坏的情况，可以精确地识别G-VaR预测值。在纳斯达克综合指数和S&P500指数上进行的大量实验表明，G-VaR预测器的性能优异，优于大多数现有的基准VaR预测器。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Improving_Value-at-Risk_prediction_under_model_uncertainty.pdf (461.93 KB)

2022-6-14 01:09:29 上传

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关键词：风险价值 不确定性 不确定 确定性 distribution

提高模型不确定性下的风险价值预测彭世革山东大学数学研究所湖镇杨中泰证券金融研究所山东大学姚剑锋统计与精算科学系香港大学姚剑锋对应：姚剑锋香港大学统计与精算科学系SARE电子邮件：jeffyao@hku.hkAbstractSeveral风险价值（VaR）是金融风险管理的主要工具，有成熟的基准预测因子。特别推荐将AR-GARCH滤波与歪斜t残差和基于极值理论的方法相结合的混合方法。本研究引入了另一个VaR预测因子G-VaR，它采用了一种新的方法。受最新的次线性预期数学理论的启发，G-VaR建立在模型不确定性的概念上，这意味着金融回报的固有波动性不能由单一分布来表征，而是由许多统计分布来表征。通过考虑这些潜在分布中最糟糕的情况，G-VaR预测值得到了精确的识别。纳斯达克综合指数和标准普尔500指数的大量实验表明，G-VaR预测值的性能优异，优于大多数现有的基准VaR预测值。关键词：经验金融、G-正态分布、模型不确定性、次线性预期、风险价值。JEL分类：C58，G32.1简介自20世纪90年代在摩根大通诞生以来，风险价值（VaR）已成为评估金融市场下行风险最常用（如果不是最常用）的工具之一。当今金融业的每个风险管理部门都定期实施几个风险值指标来监控其业务（Jorion，2007）。

监管机构还将VaR措施纳入其对银行业的建议（巴塞尔协议I-III），这加快了VaR的传播。VaR方法的成功还得到了大量文献的支持，在这些文献中，该方法在不同的模型设置和不同的市场和产品中得到了仔细的评估和讨论。这方面的文献数量众多，包括几本专门书籍。此外，任何涉及金融计量经济学或风险管理的教科书都会有一章专门介绍VaR。读者可以参考Kuester等人（2006）、Jorion（2010）、Abad等人（2014）、Nadarajah和Chan（2016）以及Zhang和Nadarajah（2017）等最近发表的评论文章，了解这些文献的最新情况。特别是，Abad等人（2014）的表4列出了多达十四篇通过实证研究调查和比较不同VaR方法的论文。此外，通过关注单变量观察，Kuester et al.（2006）对主流VaR指标进行了丰富的回顾，并使用每日纳斯达克综合指数对这些指标的预测能力进行了广泛的实证比较。他们得出的一般结论（另见Abad et al.，2014）是，无论使用何种方法进行VaR建模，通过将该方法应用于AR-GARCH模型而非原始序列（rt）过滤的残差，预测总是会得到改善，大部分时间都会得到显著改善。例如，通过使用偏态t创新（AR-GARCH StEVT）将极值理论（EVT）应用于AR-GARCH fit的残差，可以获得表现最好的一个。Kuester等人。

（2006）得出的结论是，至少对于纳斯达克综合指数，“条件异方差模型产生可接受的预测”，并且条件偏态t（AR-GARCH-St）和条件偏态t与EVT（AR-GARCH-St-EVT）的耦合总体表现最好。在本文中，我们提出了一种全新的VaR。我们的方法是由一种称为非线性期望的严格数学理论所启发的。非线性期望理论最初是在Peng（2004、200620082019）中引入的。附录中详细介绍了与VaR预测相关的理论部分。当应用于收益{rt}时间序列的分析时，非线性期望理论的中心概念是收益序列{rt}中固有的有限分布族。传统的计量经济学建模通常假设收益率至少在特定时间段内服从由一个随机过程模型P控制的一个随机过程。计量经济学人的任务是输入这个未知但真实的P。分布可以是参数化的，如ARARCH模型（具有偏态t或正态创新），或由一系列条件混合物分布组成（见第2节）。它也可以是完全非参数的，没有任何特定的模型规范，就像VaR预测的历史模拟（HS）方法一样。然而，对于收益{rt}，假设存在唯一的随机模型。非线性期望理论的观点截然不同：它不是假设存在一个唯一的模型P，而是认为回报源自大量不同的模型，比如{Pθ}θ∈Θ，这个潜在模型家族确实是有限的（这里，Θ表示一些不精确的索引集）。

其基本原理是，正在调查的数据（如收益率序列）具有复杂的性质，因此任何单一的随机模型或分布都不能成为完美的模型：必须考虑模型的不确定性，任何统计推断都必须考虑到这种不确定性。我们将这种复杂数据的愿景和隐含的方法论命名为模型不确定性下的数据分析。模型不确定性的概念，有时也称为模型模糊性，经过很长时间才出现。稳健性统计领域在这方面进行了早期尝试，认为统计程序（如参数估计或假设检验）可以通过假设数据遵循的不是单一分布，而是一系列分布{Fθ}θ来获得稳健性∈Θ（见Huber，1981；Walley，1991）。Avellaneda等人（1995年）通过允许股票波动性的两个极值σminandσmax之间的变量范围，提出了衍生证券和期权组合的定价和对冲模型。当波动率未知且在某个凸区域内具有价值，且该凸区域可能随价格过程和时间而变化时，Lyons（1995）为此类市场中的中介机构引入了最佳且无风险的策略，以履行其义务。Peng（1997）后来提出了一种模型不确定性的形式化数学方法，引入了一种称为g-期望的非线性期望来发展平均不确定性的概念及其相关数学工具。然后，Chen和Epstein（2002）采用g-期望概念来描述多先验效用的连续时间跨时间版本。特别是，他们在传统风险溢价的基础上，建立了一个单独的模糊溢价。

此外，Epstein和Ji（2013）在一个连续的时间框架内制定了一个效用模型，该模型通过次线性期望（SLE）理论捕捉了对波动率和收益平均值模糊性的厌恶。请注意，次线性期望是一种有用的非线性期望形式，通过添加次可加性属性得到了加强。所有上述理论都形式化了一个包含一组概率测度{Pθ}θ的固有分布族∈Θ，而不仅仅是一个概率度量P，它控制着数据集的统计分布。在相关工作中，Artzner等人（1999）提出了一致性风险度量的概念，该概念侧重于市场风险和非市场风险的度量，另见F¨ollmer和Schied（2011）。虽然模型不确定性的观点已经通过SLE的数学理论形式化，但其对实际数据分析的影响尚未得到充分探讨。Huber（Huber，1981）的早期工作研究了稳健统计领域的模型不确定性。Cont（2006）考虑了期权定价模型中定义模型不确定性的量化框架，并通过实例说明了模型不确定性与更常见的“市场风险”概念之间的差异。Kerkhof et al.（2010）通过区分估计风险和误认风险，提出了一种在计算资本准备金时考虑模型风险的程序，该程序可用于解决风险价值和预期缺口。据我们所知，关于VaR预测的本论文是在基于SLE的模型不确定性下对实际数据进行分析的首次尝试。SLE理论的应用导致了一种新型的VaR预测工具G-VaR。

粗略地说，只要涉及VaRprediction，并以概率模型{Pθ}θ的形式给出模型的不确定性∈Θ，G-VaR专注于所有潜在模型{Pθ}中最坏情景下的预测。对两大市场指数，即纳斯达克综合指数和标准普尔500指数进行了广泛的实证分析，确定了新的G-VaR预测优于Kuester等人（2006）报告的表现最好的几个基准VaR预测。G-VaR在这些实证研究中的一致优势确实令人震惊。一种事后解释是，这些回报数据确实具有某种复杂的性质，可以通过导致G-VaR预测的模型不确定性更好地理解。论文的其余部分组织如下。第2节简要回顾了收益序列VaR的几个基准预测值。第三节介绍了分布族的概念，如模型不确定性和G-正态分布。第4节包含了本文的主要技术贡献。在模型不确定性条件下引入了新的VaR预测因子G-VaR，并建立了其理论性质。第5节介绍了G-VaR的实现，其中对G-VaR预测中涉及的参数提出了一致性估计。请注意，这一实现非常重要，第5节包含了本文的主要方法论贡献。第6节报告了纳斯达克综合指数和500指数G-VaR预测的实证结果，并与第2节中审查的基准VaR预测进行了广泛比较，包括AR（1）-GARCH（1,1）-正常、AR（1）GARCH（1,1）-偏态-t和AR（1）-GARCH（1,1）-偏态-t-EVT预测。

最后，第7节得出结论。2 VaR基准预测值的简要回顾在介绍我们的新方法之前，我们首先简要回顾Kuester等人（2006）中描述的几个有充分记录的VaR预测值，它们将作为与本文提出的新VaR预测值进行比较的基准。由于早期审查文件中可以找到这些VaR度量的历史参考文献，因此本简要审查中仅指出了一些关键参考文献。此处，（rt）表示需要进行VaR预测的单变量时间序列。在最常见的情况下，该系列代表市场的每日回报，或股票或产品的价格。（i） 历史模拟法。这种传统方法使用历史数据中的样本分位数来预测VaR。该方法在Dowd（2002）和Christo Offersen（2003）等经典书籍中有很好的记录。HS的一个变体是过滤历史模拟（FHS），通过使用参数模型（如AR-GARCH模型）从过滤残差计算样本分位数。关于FHS的经典参考文献包括Barone Adesi等人（1999、2002）。（ii）使用EVT的峰值超过阈值的方法。EVT提供了一种估计变量X的高上分位数的方法，例如，对于某些小尾概率α<0.1，分位数Xα，例如FX（X）=P（X>Xα）=α。从样本数据中，我们得到一个经验分位数u，即阈值，这样P（X>u）≈ 0.1. 此外，那些高于阈值u的值提供了“生存分布”（X | X>u）的样本。EVT确保对于足够大的u，生存分布可以近似为广义帕累托分布（GPD），该分布取决于一对形状-尺度参数（β，ξ）（Pickands，1975；Embrechtset al.，1997）。

因此，使用样本确定该GPD，从而得出所有xα>u的初始尾部概率FX（xα）的估计值。对于VaR预测，上述程序适用于可用数据{Xs=-rs，s<t}找到相应的上分位数xα。此处使用负运算，因为EVT考虑上分位数，而VaR针对下分位数。然后，VaR的预测值为VaRα（t）=-所有风险水平α<0.1的xα。McNeil和Frey（2000）和Kuester等人（2006）对使用EVT进行VaR预测的实证研究。（iii）AR-GARCH滤波法（AR-GARCH）。这里假设收益遵循类型RT=ut+σtzt的平均方差分解，（2.1），其中平均过程（ut）遵循AR模型（或更一般地，ARMAmodel），残差由GARCH过程（Bollerslev，1986）建模，具有独立且相同分布的（i.i.d.）创新（zt）。创新（zt）分布FZO的常见选择是（i）标准正态，（ii）Student\'s t分布，和（iii）歪斜t分布。一旦模型（2.1）被确定，就会得到分布Fzis的参数估计值，比如^fz，从而得到估计的分位数函数，比如^Qα（z）（对于任何给定的风险水平α）。因此，时间t的α级VaR预测定义为DVARα（t）=-n^ut+^σt^Qα（z）o.（iv）条件混合建模方法。在这种方法中，将条件设置为信息集Ft-1在时间t，返回Rt遵循n个组分的混合物分布，每个组分都有一个恒定的平均参数uj（1≤ j≤ n） 和时变波动率（方差）参数σj，t（1≤ j≤ n） 。此外，维波动过程σt=（σ1，t，…，σn，t）服从多维algarch方程。

这里，混合组分的分布通常是正态分布或广义指数分布（GED）。哈斯等人（2004年）提供了更多关于这种方法的参考资料。（v） 分位数回归法。这里使用回归模型，使用一些可预测的协变量Xt预测时间t的VaR∈ 英尺-1.见Koenkerand Bassett（1978）和Chernozhukov和Umantsev（2001）。后来，Engle和Manganelli（2004）提出了鱼子酱模型，其中分位数（或VAR）遵循自回归模型，没有任何外源协变量。3 G-衡量金融时间序列风险时的正态分布{Xt}0≤t型≤T、 通常假设数据遵循一定的分布F，目的是估计或近似其某些特征（如VaR）的“真实”分布。正如我们在第2节的调查中所看到的，文献中存在许多不同的VaR度量，包括HS、EVT VaR及其AR-GARCH过滤变量。现在我们查看数据{Xt}0≤t型≤TA具有复杂的性质，不受一个分布fB控制，而是由一个有限的分布族{Fθ}θ控制∈Θ，他们每个人都捕获数据的一些属性。如何将VaR概念扩展到一个新的框架中，在这个框架中，一系列（未知）分布支配着数据？本文为这一普遍问题提供了答案。接下来，对{Fθ}θ族的一些有意义的特征∈Θ需要识别。考虑分布的最简单特征，即其平均u和方差σ。一般来说，这些特征是时变的。这里，我们考虑一个简单的情况，其中平均u是常数（独立于时间），方差σ在某个区间内是时变的[σ，σ]。下面，区间[σ，σ]用于表征未知分布族{Fθ}θ∈Θ.