宏观经济模型的最大熵网络重构

由于数据的可用性，并非所有子图都可以建模为FiCM最大熵网络。在这种情况下，使用了BiRG网络。让我们首先指出，在少数情况下，可用的经验数据将社区结构强加给图表。例如，公共数据集中的企业人口统计是在总部门层面上给出的。企业的中间消费和资本品投资也是如此（见第2.2节）。因此，在最简单的模型中，任何两个企业i和j之间发生的企业投资的概率矩阵{pij}将是一个块矩阵，其中的项取{psi，sj}，即部门sia和sj之间发生转移的概率矩阵，如图1（a）所示。家庭消费也是如此，因为家庭最终消费的来源在工业部门层面是已知的。表1总结了与该简化区块模型交易相对应的不同功能形式。z是一个自由参数，它的值是使用最大似然为每个事务独立设置的，如下所示。二元因素为DSISJAN，节点特定因素为xi。在FiCM中使用特定节点而非二元因素也是一个数据可用性问题，见第。2.2.选项卡中的前两行。4与FiCM网络相关，其定义在sec中被召回。就消费而言，所有家庭都被认为是同质的。这就解释了前两行之间在PIJ形式上的差异。平均链接数hLi=PiPj6=ipijin无向情况受到约束，应等于观察到的链接数L=PiPj6=iaij，这是通过经验观察得出的。

在所选模型下，交易类型模型类型pijIndices约束FiCMz dsisj1+z dsisj（i，j）公司的投资∈ [1，nf]dsisj：部门向住户消费出售资本货物的倾向ICMZ xsi1+z xsi（i，j）∈ [1，nf]×[1，nh]xsi：部门sito向住户出售消费品的倾向Swages BiRGLnf nh（i，j）∈ [1，nf]×[1，nh]hLi=L*, 或hki=k*贷款利息BiRGLnb nf（i，j）∈ [1，nb]×[1，nf]hLi=L*, 或hki=k*存款利息BiRGLnb nh（i，j）∈ [1，nb]×[1，nh]hLi=L*, 或hki=k*表4：每个事务类型的块模型。所有子图都是二进制的。z是一个自由参数，它的值是使用最大似然为每个事务独立设置的。交易类型模型类型pijIndices约束FiCMzaiajdsisj1+zaiajdsisj（i，j）公司投资∈ 【1，nf】ai：无论是作为买方还是卖方，企业的倾向都在投资中发挥着作用。工资FiCMzaixsi1+zaixsi（i，j）∈ [1，nf]×[1，nh]ai：见投资。xsi：行业现状趋势跟踪劳动力表5：与表中的区块模型不同的交易的随机能力模型。4.给定经验系数和L，使用最大似然法设置每个网络的剩余自由参数z的值，以便完全指定概率Pijt。在FiCM投资模型的情况下，这将导致求解z中的一维非线性方程：L=Xi<jz xixj1+z xixj（7），这可以使用标准数值方法近似完成。然后可以独立地对边进行采样，并为每个事务获取随机网络样本。图2（d）给出了一个示例。（a） （b）图1：（a）属于不同部门SIA和sj的i和j公司之间的简化投资网络；（b） 工资。在选项卡中。4最后三行是指BiRG网络（定义见第。

2） 这样，仅限制平均链接数。如果本地信息可用，则这种类型的模型不合适，但对于所检查的事务，情况并非如此。边概率是一致的，并且具有简单的表达式pij=LNNwhere和Nare二部作品每层中的顶点数。平均链接数hLi=L*约束可以等效地表示为一个节点子集上的平均度约束，也可以表示为另一个子集上的平均度约束，因为这些网络是具有若干顶点的二部网络。此外，对于BiRG网络：o工资：该网络（一方面是企业，另一方面是家庭）可细分为不同的独立二部网络，对应于图1（b）所示的工业部门。根据企业人口统计数据（即每个部门的企业数量和员工数量），将企业和家庭随机分配到一个部门。然后设置连接概率，以使家庭方面的平均程度等于经验平均值：我∈ [1，nh]，hkii=\'kwageo贷款利息：该网络（银行和企业）在企业方面的程度是一致的，并与其经验平均值相等：我∈ [1，nf]，hkii=\'kloanso存款利息：该网络（银行和家庭）在住户方面的程度是一致的，等于其经验平均值：我∈ [1，nh]，hkii=\'kdeposition在区块模型中，对于某些子网络，给定经济部门中的所有企业与另一部门中的企业具有相同的连接概率。这种方法很有用，但不现实。引入行业多样性的一个简单方法是使用从特定分布中抽样的随机性。

与其将投资网络写成z dsisj1+z dsisj的形式，还可以这样写：pij=zaiajdsij1+zaiajdsij（8），其中aiare specific terms从一些可能与经验值相符的分布中采样。本文选择了连续均匀分布X=U[0,1]，但幂律分布将在进一步的工作中考虑。工资网络进行了相应的修改，可以被视为由公式（8）中的企业特定性Ai确定的FiCM网络，以及反映经验数据中劳动力部门分配的部门特定性X，从而保持家庭部门的同质性：pij=zaixsi1+zaixsi（9）。该随机特定性模型的特定性总结在表中。5.超出此形式化限制的其他提议将在第节讨论。52.2. 经验数据和fitnessmost数据集摘自欧盟统计局数据库【33】，如表1所示。B、 10。本表中提到的数据涉及企业的人口统计，并不是直接用于初始化模拟，而是缩小规模，以便在合理的时间内进行计算。农业部门与商业人口统计数据分离，不包括在本研究中，但将在进一步的工作中添加。附录B解释了供应、使用和投入产出表的结构，以及欧盟统计局部门总量的符号。每一个都对应一个特定的国家和一个特定的年份，但为了简单起见，这些提及都被删掉了。这些数据集用于计算Fitnesses di，jand xiin选项卡。DSISJQuantifies部门向sj出售资本货物的倾向。由于这些信息在公共数据集中无法直接获得，我们的建议是使用use表中按行业划分的中间消费量作为SISJ的代理。这是一个二元因素，具体取决于这对夫妇（si，sj）。“能力值xsiin”选项卡。

4应该量化部门sito向家庭销售消费品的倾向。虽然家庭消费实际上可以分为不同的子组（见[19]），但为了简单起见，我们将其汇总在这里。提议的代理以点积的形式出现：xsi∝Xp系统∈[1，P]sup[P，si]×usefin[P]（10），其中sup[P，s]是产品P的值∈ [1，P]由s部门生产∈ S、 usefin[p]是产品p的值∈ [1，P]家庭最终消费。该因素衡量了SIA部门的供应比例与家庭部门的最终使用比例之间的接近程度。它被规范化为1个跨扇区。网络的平均等级通常不包含在公共数据集中，而是包含在私有数据集中。然而，可以在文献中找到它们的大小，以便在sec中对FiCM和BIRGMODEL进行参数化。2.1：o1979-2002年期间，美国研究了企业间网络每个顶点的平均边数，根据[23]，平均值为1.06。就日本而言，估计值接近5【21】。我们认为，这些估计汇总了企业的中间消费和企业对资本货物的收购。然而，我们认为它们是投资网络中meanlink数字hLi的有价值的代理家庭供应商的平均数量可根据最近在个人层面上的研究进行估算【18】。我们在下面的实验中将其设置为20每个家庭的平均工作岗位数“kwageis”设定为1。这些选择将在第节中进一步讨论。5.2.3. 网络特性在本节中，我们分析了第节中讨论的一些网络模型的特性。2.1. 概率模型的可用性允许我们分析计算一些高阶拓扑性质的矩[7]，以便将其与经验研究中发现的程式化事实进行比较。

用于生成图形的程序是公开的。本节涉及的数据涉及2010年的捷克共和国。以秒为单位。2.1给出了所有交易网络的连接概率表达式。图2（a）说明了psi、Sj在投资区块网络的情况下的行为，由本文中的内部消费网络代理。几乎所有部门都主要与其自身相关。就概率大小而言，有四个聚合行业脱颖而出：B-E、F、G-I和M-N（见表B.11中的定义）。这可能与每个部门中的公司数量有关，用概率表示。2（c）。在第一个近似值中，后者可以被视为对称的，但这在图2（b）所示的内标度上没有严格验证，其中{| psi，sj- psj，si |}表示，以及差异的符号。例如，工业（B-E）向建筑业（F）销售的产品多于相反的产品。与图2（d）所示的PIJI相对应的随机生成网络，并说明了这些事实。正如sec所定义的，家庭消费网络更简单。2.1，因为连接概率pijdoesn不依赖于j。由于家庭部门是同质的，矩阵pijc可以通过其沿企业轴的横截面来概括，如图3所示。请注意K部门（“金融和保险活动”）的重要性。度是网络拓扑的另一个经典指标。kin（j）和Kout（i）的理论预期可直接从pij，computingPipijandPjpij获得。方差可以使用独立伯努利变量沿行和列采样的事实来计算。通过中心limitargument，pdf可以通过正规定律高度近似。图4（a-b）显示了样本度作为理论度的函数，近似标准偏差绘制为误差条。

可以注意到，与区块假设一致，给定行业中的所有企业都具有相同的程度。此外，四个突出的扇区与图2中的相同。然后我们考虑另一个经典的高阶拓扑指标，平均最近邻度。对于每个代理，它测量其邻居的平均程度。https://gitlab.com/hazaa/sfc_probamore特别是德莫夫拉普拉斯定理。B-EB-EFFG-IG-IJKKLLM\\U NM\\U NO-QO-QR-UR-U0.0150.0300.0450.0600.0750.0900.1050.120（a）-+++++++++++++++++-+++---++---++B-EB-EFFG-IG-IJKKLLM\\U NM\\U NO-QO-QR-UR-U0.00000.00080.00160.00240.00320.00400.00480.00560.00640.0072（B B-EB-EFFG-IG-IJKKLLM\\U NM\\U NO-QO-QR-UR-U0.0000.0150.0300.0450.0600.0750.0900.1050.120（c）B-EFG-IJKLM\\U NO-QR-U（d）图2：投资区块的性质网络、单方和定向。（a） 扇区级连接概率矩阵psi，sj（b）矩阵的下三角部分{| psi，sj- psj，si |}，在边界框中有相应的符号（c）概率矩阵pijnf=300（d）随机网络样本。0 50 100 150 200 250 300firms0.00.10.20.30.40.50.6pijB-EFG-IJKLM\\U NO-QR-U（a）图3：家庭消费区块网络的属性，双向和无向。图4：投资区块网络的程度。点是随机抽样的图形，线代表预期的理论近似值。Errobar表示±1标准偏差（a）in degree（b）out degree。nf=300knin（i）=Pj=1aijkin（j）kout（i）（11）knnout（j）=Pi=1aijkout（i）kin（j）（12）知道pij，这些指标的期望值可以近似为[34，等式（34-35）]。利用这些结果，在图5中，我们比较了随机采样值及其理论分量。

双方就买方和供应商双方的合作性质或网络达成一致：在图5（a）中，输出度小（分别为高）的供应商往往与输出度小（分别为高）的供应商-买方联系在一起。就程度而言，买家也是如此。这是前四个部门（占该模型中所有链接的85%）内部密集连接的结果，无论是部门间链接还是部门内链接。它与最近的实证研究中发现的买方-供应商网络的不可分割性形成对比，例如爱沙尼亚的企业间支付网络【22】、意大利的企业间支付网络【35，§2】和日本的企业间支付网络【36，3.1】。图5：投资区块网络的最近网络度。点是随机抽样的图形，线代表理论近似值。第2节描述的随机性模型。2.1，并总结在选项卡中。5是为了避免这种一致性。在图6（a）中，投资网络的度内分布表明，与块模型inFig的情况不同，在属于不同部门的企业之间成功引入了一些混合。4某一特定行业的所有公司拥有相同的学位。类似地，在图6（b）所示的随机性网络的情况下，投资网络不再是排序的。可以注意到，在这种情况下，可以按照【37，公式（1-2）】计算适应度模型的概率分布。0 5 10 15E【kin】0510152025kinB-EFG-IJKLM\\U NO-QR-U（a）5 10 15kin，E【kin】246810KNOUT，E【KNOUT】（b）图6：随机能力投资网络。（a） 在程度上；（b） 最近邻度。nf=300虽然本节仅研究了拓扑特征，但下文也将讨论平均货币流量的主题。3.

对特定网络货币流动边际概率的估计，以秒为单位。2仅受sec启发的模型拓扑特性。检查1例。本节讨论与给定特定拓扑的顶点相关的流ξ值。此外，我们对解与网络拓扑性质之间的关系感兴趣。n-偶邻接矩阵ASF C=（Acons，…，Ainvest）可暂时视为一个淬灭变量：根据经验约束从统计集合{ASF C}中取样一次，然后考虑固定。式（1）中的线性时不变欠定问题具有以下性质：A具有满秩，且m<n，m为行数，n为列数。在这种情况下，AatisInversible，Moore-Penrose伪逆写A+=AT（AAT）-与式（1）的最小二乘解一致：ξ=AT（AAT）-1b（13）该结果可能与概率方法有关：贝叶斯和最大熵方法在[13]中应用于流量网络，使用无界高斯先验N（u，∑）。作者得到后验平均值的以下表达式：hξi=u+∑AT（A∑AT）-1（b）- Au）（14）为此，使用可能性强制等式（1）p（b |ξ）=δ（b）中的约束- Aξ），然后使用delta函数的高斯表达式得出-2 ln p（b |ξ）∝ lim∑A→0（b- Aξ）T∑-1A（b- Aξ）通过简化齐次统计量假设∑=σIn，可以将该解与等式（13）中摩尔-彭罗斯伪逆得到的解进行比较。然而，出现了几个问题：首先，等式（1）有一个平凡的解x=0，因为系统是齐次的。因此，有必要求助于非齐次系统方程（5），以获得非平凡解。

其次，该系统可能存在负解，这限制了该方法的兴趣。将不等式添加到等式（1）中，可将其视为约束满足问题（CSP）：S={ξS.t.aξ=b，ξ≤ ξ ≤ ξ} （15）可以用数值方法研究溶液向量ξ集的各种性质：如代谢网络研究领域所示，样本可以以统一的方式生成【38，39】或非统一的方式生成【40】。这种方法已经应用于[41]中的SFC宏观模型。在[42]中，在部分聚集的情况下观察到了分布性质。不幸的是，由于问题的规模，抽样方法不能直接应用于目前的情况。正性约束也可以通过期望传播算法[43]来处理，该算法使用截断高斯先验得到边缘概率分布P（ξi）的解析近似值。但根据初步实验，我们的问题对于现有的实现来说太大了。然后需要其他算法来处理受约束的高维情况。对于代谢网络分析[44，§12.5]，可以使用线性规划或基追踪。如果最小化的目标函数具有1Tξ的形式，则可以在数值上找到稀疏解。例如，这一属性很有意思，可以迫使失业率居高不下，但在其他方面限制太多。非负最小二乘法（NNLS）数值求解问题：argminξk Aξ- bk，s.t.ξ≥ 0（16），相当于二次规划问题，对于大型问题，该解可以有效近似[45，§23]。3.1. 流动的性质在本节中，我们给出了非齐次问题的数值NNLS解：argminξk Aξ- bk，s.t.ξ≥ 0（17），式（5）中定义了A。