基于机器学习算法的风险管理

请注意，第二种算法的成本远远高于第一种算法，因为在每个时间步，必须从当前时间到资产到期日对一些指令值进行评估，以进行对冲。5.3局部算法的参数我们给出了优化过程中使用的参数：o在每个时间步，使用四层（即一个输入层、两个隐藏层和一个输出层）的经典前馈网络，每个层有12个神经元。前三层使用ELU激活功能，而输出层使用身份激活功能批量大小，即我们在每次迭代中用于进行Adam gradientupdate的模拟数量是2000在每个时间步骤中，使用的迭代次数限制为随着问题维数的增加而增加的次数，从4维问题的5000次到严格超过4维的问题的25000次初始学习率为1e- 3.6数值结果在无交易成本和均方误差的情况下，在本节中，我们使用薄离散化来评估最优方差，将三种基于机器学习的算法与基于随机控制的工具（Gevret et al.（2016））进行比较。6.1价差期权支付描述我们使用一些价差期权问题来比较这三种算法。本节中的支付是针对d≥ 2乘：g（ST）=VTFT-d- 1dXi=2位- K！+。（21）对于所有情况，我们采用以下参数：o到期日等于T=90天，oK=10，o套期保值日数N等于14（但对最后一个套期保值日的控制微不足道）。oli每个日期的流动性（即我们可以购买或出售的最大数量）等于所有基础的0.2，oF=40，σ1，e=0.004136，a1，e=0.0002（天）。o与选项相关的初始荷载满足V=1。这三种情况采用以下参数：1。

案例1：d=2，σV=0该案例是一个四维案例（2项资产和2项对冲头寸），其中：oF=30，σ2，E=0.003137，a2，E=0.0001（天）。oρ1,2=0.7是两项资产之间的相关性。2、情况2：d=2这是一个5维的情况，参数与第一种情况相同，但载荷不同，参数σV=0.02，aV=0.02（天）。每个可交易资产与非可交易资产V之间的相关性等于0.2。注意，这是σv>0.3的唯一情况。情况3：d=3，σV=0这是尺寸6中的情况，F=35，σ2，E=0.003137，a2，E=0.0001（天）。oF=25，σ3，E=0.005136，a3，E=0.0001（天）。o资产i和j之间的相关性见ρi，jand满意度：ρ1,2=0.7，ρ1,3=0.3，ρ2,3=0.5.6.1.1数值结果在表3中，给出了3种算法在10万次常见模拟中获得的方差，并与StOpt库获得的方差进行了比较。请注意，由于问题的大小，案例3并没有与StOpt库完全收敛。对于局部算法1和2，我们运行优化10次，并取得到的最佳方差。全局算法在计算时间方面远比局部算法有效，因为在core I3笔记本电脑的图形卡上，10000次迭代在220秒内运行，而算法2和3在案例3中可能需要一些小时。均方误差案例1案例2案例3未对冲投资组合8.3058 8.5250 10.5960用StOpt 0.3931 0.5160 0.4983用全局算法对冲0.3920 0.5205 0.4852用算法1对冲0.3971 0.5168 0.4763用算法2对冲0.3912 0.5183 0.4943表3：基于神经网络的算法和随机控制算法之间的均方比较图5，绘制了市场价差和全局神经网络算法的损失。案例1。案例2。案例3。案例2。

具有两个以上的时间步长图5：全局神经网络算法的损失函数。如图6、7和8所示，对于四种算法，2和3个市场价差的Delta遵循相同的形状。Future 1 Sim Nb 1 Future 1 Sim Nb 2 Future 1 Sim Nb 3 Future 2 Sim Nb 1 Future 2 Sim Nb 2 Future 2 Sim Nb 3图6：案例1的增量。数值结果表明，全局算法和局部算法给出了相似的结果。我们观察到，使用10次运行，局部算法在低维中给出了类似的结果，但随着维的增加，获得的结果可能会有很大的不同，这意味着优化器经常被困在远离结果的局部最小解中。此外，与globalalgorithm相比，每一步使用的迭代次数必须大大增加，这导致了非竞争性的运行时间。Future 1 Sim Nb 1 Future 1 Sim Nb 2 Future 1 Sim Nb 3 Future 2 Sim Nb 1 Future 2 Sim Nb 2 Future 2 Sim Nb 3图7：案例2的增量。Future 2 Sim Nb 1 Future 2 Sim Nb 2 Future 2 Sim Nb 3 Future 3 Sim Nb 1 Future 3 Sim Nb 2 Future 3 Sim Nb 3图8：案例3的增量。全局算法在维度6上仍然非常有效，并且能够非常快速地解决问题，因此可以提供一种解决高维度问题的方法。出现的一个问题是，当决策数量（即套期保值日期的数量）增加时，三种基于神经网络的算法如何执行。为了增加套期保值日的数量，我们可以增加到期日T，同时保持两个套期保值日之间的距离相同。由于所选模型的均值回复性质，更复杂的情况包括保持T=90天，同时增加套期保值日期的数量。

在表4中，我们计算了四种算法在28个（而不是之前的14个）套期保值日和0.15个（而不是0.20个）单位/日的流动性情况下的误差。这三种方法在准确性方面有效。由于优化策略的每个日期都要重新模拟，直到成熟为止，使用局部算法2所花费的时间急剧增加。随机控制全局Algo 1 Algo 20.271 0.265 0.259 0.262表4：情况1的均方误差，24个对冲日期，流动性为0.15.6.2测试不同的风险标准全局神经网络方法的优势之一是其灵活性。模型上没有特殊的模仿（马尔可夫或非马尔可夫，高斯或非高斯…）我们可以选择不同的损失函数。在本节中，我们从不同的损失函数中得出最优控制。在图9、10和11中，我们用方程式（4）、（5）和（6）中定义的损失函数绘制了对冲投资组合的分布图。一般来说，非对称损失函数给出了不同的分布形状。在左侧，不对称损失曲线和力矩2/力矩4损失曲线均低于均方损失曲线。在图11所示的最左侧尾部，均方损失函数是唯一一个被表示的函数：力矩2/力矩4和不对称损失函数避免了极端损失。这是按平均值支付的（分布的中间）：两个非对称损失函数的损失较小。一些分布质量被转移到右侧（增益侧）。

这是一个有吸引力的副作用：与均方误差相比，L2/L4和不对称损失函数更倾向于收益。放大左侧尾翼放大右侧尾翼图9：案例1和不同风险标准的对冲投资组合分布-放大尾翼用核密度估计方法构建放大左侧尾翼放大右侧尾翼图10：案例2和不同风险标准的对冲投资组合分布-放大尾翼左尾放大右侧尾翼最左侧尾部缩放最右侧尾部缩放图11：案例3和不同风险标准的对冲组合分布-尾部缩放7具有交易成本的期权对冲问题的数值结果在本节中，我们研究了在全局算法中实施时交易成本的影响。我们认为出售或购买一卷FIK的成本等于k.ci，ci≥ 0、当我们出售衍生产品时，策略X的终端财富和相关交易成本Y等于：XT=p+dXj=1N-1Xi=1jti（Sjti+1- Sjti），YT=dXj=1N-1Xi=1|jti公司- jti公司-1 | cj。我们使用以下定义的标准：dα（X, g（ST））=（1- α） E[YT]+αpE[（XT- g（ST））]，α∈ [0, 1]. （22）该标准描述了风险限制和对冲成本之间的权衡。

如果α=1，则该标准等效于第6.1.1节中研究的方差最小化；如果α=0，我们只需最小化交易成本而不考虑风险（这相当于什么都不做）。α ∈ [0，1]是风险和交易成本最小化权衡的帕累托边界的参数化。这个问题是一个投资组合管理问题，其中p是一个输入（未优化），我们在数值测试中取E[g（ST）]。7.1训练帕累托前沿代替训练神经网络的N个版本的N个α值，我们建议将α添加到神经网络的输入变量中（见图4），并在每次训练迭代中随机选取一个α值，然后随机均匀分布U（0，1）。通过这样做，我们为问题增加了一个维度，但我们得到了所有α的最优策略∈ 立即执行[0，1]。这与传统算法不同，传统算法更倾向于计算在RK上定义的N个函数，而不是在RK+1上定义的一个函数。获取整个帕累托边界有很多原因，例如它允许检索与预期交易成本目标预算相对应的α。为了获得帕累托前沿估计，我们增加了神经网络的宽度（3个50个隐藏层，而不是之前LSTM投影部分的10个神经元），并进行了10万次小批量梯度下降迭代，而到目前为止，只有2万次迭代是有效的。α由Sobol拟随机发生器生成。7.2数值结果我们考虑案例2的市场利差选项。和案例3。如6.1所述。所有可交易风险因素的交易成本相同，每单位交易量的交易成本设定为0.02。在图12中，我们绘制了不同α的平均交易成本和对冲投资组合价值的方差。

如预期，当α~ 1，该策略给出了与第6.1.1节的纯方差最小化相似的结果；当α~ 0，我们将获得与未对冲投资组合相对应的结果。在图13和图14中，绘制了案例2和案例3的增量，用于一些具有多个α的模拟。对于较低的α，算法倾向于降低控制幅度，以降低交易成本。案例2。案例3。图12：不同α和0.02交易成本的利差期权均方与交易成本平均值。虚线对应于样条插值线。Sim Nb 1 Sim Nb 2图13：未来1和情况2的增量。以及各种αSim Nb 1 Sim Nb 2图14：未来1和案例3的Delta。提出了三种基于神经网络的未定权益套期保值算法（两种局部算法和一种全局算法）。与基于随机控制的技术相比，这三种算法显示了良好的效果。特别是，全局算法在执行速度和灵活性方面都很有趣。全局算法使用不同的已知损失函数进行测试，在全局算法中使用LSTM架构将允许使用一些非马尔可夫基础模型。此外，我们还提出了一种绘制帕累托边界的方法。我们将此方法应用于交易成本情况下最大化平均值和最小化方差之间的权衡（通过目标函数中均值和方差的α组合参数化）。

获得整个帕累托边界的好处有三个：o它提高了推理速度，因为我们不需要用不同的参数化重新训练算法；o进行逆向工程变得很容易（例如，获得哪个α对应于目标交易成本预算）；o更容易进行敏感性分析；与基于随机控制的算法相比，全局算法的缺点是缺乏收敛性证明。然而，全局算法允许处理任何其他技术都无法实现的情况。参考资料M。Abadi、A.Agarwal、P.Barham、E.Brevdo、Z.Chen、C.Citro、G.S.Corrado、A.Davis、J.Dean、M.Devin、S.Ghemawat、I.Goodfello、A.Harp、G.Irving、M.Isard、Y.Jia、R.Jozefowicz、L.Kaiser、M.Kudlur、J.Levenberg、D.Mane、R.Monga、S.Moore、D.Murray、C.Olah、M.Schuster、J.Shlens、B.Steiner、I.Sutskek Ver、K.Talwar、P.Tucker、V.Vanhoucke、V.Vasudevan、F.Vi~Algas、O.Vinyals、，P、 典狱长M.Wattenberg、M.Wicke、Y.Yu和X.Zheng。TensorFlow：《异构系统上的大规模机器学习》，2015年。tensor Flow提供的软件。组织。A、 巴楚赫、C.胡雷、N.朗格蕾内和H.范。有限水平随机控制问题的深层神经网络算法，第2部分：数值应用。arXiv预印本arXiv:1812.059162018。C、 贝克、W·E和A·詹森。高维全非线性偏微分方程和二阶倒向随机微分方程的机器学习近似算法。arXiv预印本arXiv:1709.059632017。B、 Bouchard、X.Tan和X.Warin。具有分支过程的一般lipschitz BSDE的数值逼近。arXiv预印本arXiv:1710.109332017。R、 卡莫纳。差异定价：理论与应用。普林斯顿大学出版社，2008年。Q、 Chan Wai Nam、J.Mikael和X.Warin。半线性偏微分方程的机器学习。

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