基于机器学习算法的风险管理

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英文标题：
《Risk management with machine-learning-based algorithms》
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作者：
Simon F\\\'ecamp, Joseph Mikael, Xavier Warin
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We propose some machine-learning-based algorithms to solve hedging problems in incomplete markets. Sources of incompleteness cover illiquidity, untradable risk factors, discrete hedging dates and transaction costs. The proposed algorithms resulting strategies are compared to classical stochastic control techniques on several payoffs using a variance criterion. One of the proposed algorithm is flexible enough to be used with several existing risk criteria. We furthermore propose a new moment-based risk criteria.
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中文摘要：
我们提出了一些基于机器学习的算法来解决不完全市场中的套期保值问题。不完全性的来源包括流动性不足、不可处理的风险因素、离散对冲日期和交易成本。利用方差准则，将所提出的算法生成的策略与经典的随机控制技术在多个收益上进行了比较。其中一种算法足够灵活，可以与多个现有的风险标准一起使用。我们进一步提出了一种新的基于矩的风险准则。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Risk_management_with_machine-learning-based_algorithms.pdf (2.95 MB)

2022-6-14 04:10:20 上传

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关键词：机器学习算法 学习算法 机器学习 风险管理 Quantitative

不完全市场离散时间套期保值的深度学习*+Joseph MIKAEL§Xavier WARINPkFebruary，2019摘要提出了几种基于机器学习的算法来解决不完全市场中的套期保值问题。不完全性的来源是非流动性、非交易风险因素、离散对冲日期和比例交易成本。利用均方误差准则，将本文介绍的算法诱导的套期保值策略与经典的随机控制技术进行了比较。一些推荐的算法足够灵活，可以处理创新损失标准，并将使用这些新标准获得的套期保值策略的损益分布与使用经典MSE标准获得的损益分布进行比较。最有效的算法在非零交易成本的情况下进行了测试，并展示了如何在单个训练阶段通过随机组合学习阶段的平均成本和方差标准来获得整个帕累托前沿。关键词。不完全市场、交易成本、深度学习、LSTM1简介尽管其具有可取的特性，但一旦我们考虑到交易成本、离散时间套期保值日期、流动性不足、非交易风险因素（如交易量风险）等，完整市场假设就会被破坏。。。这些特性使得完整性假设在大多数金融市场中不现实，尤其是在商品市场上交易时。在不完全市场中，无法实现的或有权益（即无法通过自我融资策略复制的或有权益）并不是空的，因此，需要一个标准来决定如何在卖方和买方之间分担风险。文献涉及三类标准：分位数对冲、效用函数和基于矩的标准。分位数对冲（见F"ollmer和Leucert（1999），Bouchard等人。

（2017）的目标是构建一个hedgingstrategy，在所需成本受限的情况下，最大限度地提高成功对冲的可能性。分位数套期保值提供的另一种可能性是设定短缺概率ε，并将套期保值策略类别中的成本最小化，以使索赔覆盖的概率至少为1-ε.基于效用的标准和更准确的效用差异（见Carmona（2008））受到学术界的青睐，因为它有时可以获得分析价格和对冲策略。然而，由于相关的风险规避系数很难确定，从业人员没有使用这种方法。我们在本文中使用的最后一个族是基于对冲投资组合分布的矩。最简单的基于矩的标准是方差标准，该标准最小化对冲投资组合的方差和投资组合的局部方差（参见Schweizer（1999）的连续时间调查）。然而，二次标准以同样的方式惩罚损失和收益。这可能被视为一个缺点，但这有助于为买方和卖方提供相同的价格。Gobet et al.（2018）通过在损失函数中引入一种不对称性来扩展局部均方标准，这种不对称性惩罚的损失大于收益。在方差准则或局部方差准则的情况下，Tankov（2003）给出了使用一些Levy过程对资产建模时的连续时间套期保值策略。一旦选择了标准，就必须计算交易策略，使其最小化。必须制定具体方法来处理不完整性的来源（无论是流动性不足、交易成本、非交易风险因素等）套期保值产品的有限可用性可以通过两种方式处理。

首先，Potters和Bouchaud（2003）、Gathereal（2010）或Lehalle和Laruelle（2013）研究了在市场上出售或购买基础产品的价格影响。随着交易量的增加，影响越大，卖家倾向于限制交易量*EDF研发+西蒙。fecamp@edf.frEDF研发§joseph。mikael@edf.frPEDF研发和FiME，l\'Energiekxavier三月财务实验室。warin@edf.frvolume一次性出售。第二种方法是假设在实践中，风险经理意识到市场的流动性约束，并尝试实施考虑到这些约束的战略。在对冲投资组合的全球方差最小化的情况下，Warin（2019）开发了一些基于回归的算法，以计算对冲策略，同时考虑所有这些流动性约束。在文献中，交易成本处理与离散对冲一起出现。Eland（1985）的开创性工作建议使用Black-Scholes公式和修正的波动率。Kabanov和Safarian（2009）对Leland（1985）模型给出了复制界错误。Toft（1996）使用均值-方差标准分析了在交易成本存在的情况下，离散再平衡期权对冲的成本和风险之间的权衡。一般来说，当没有最优套期保值策略的封闭式公式可用时，我们使用一些随机动态规划算法，以避免维数灾难。据我们所知，不存在任何算法来确定具有任意标准、流动性约束和交易成本以及高维稳健性的最优策略。在本文中，我们提出了一些机器学习算法来推导最优套期保值策略第一组算法试图通过解决全球风险最小化问题来计算对冲头寸。

对冲策略使用不同类型的架构进行计算。最高效的体系结构易于实施，可用于流动性约束、一般风险标准和交易成本。该算法速度快，可用于高维空间。该方法与E等人（2017）提出的算法直接相关，该算法通过控制BSDE方法中的z项，使用全局优化问题来解决半线性偏微分方程第二和第三种算法是Warin（2019）所述两种算法的机器学习版本，只能用于方差标准：使用动态规划方法，在每个时间步解决一些最小化问题，以计算最优套期保值策略。这种方法基于一系列的局部优化，在解决非线性问题方面，这种想法已被证明比全局优化方法更有效，如Huréet al.（2019）、Beck et al.（2017）、Germain et al.（2020）。我们首先描述了套期保值问题，定义了价格模型，并给出了几个用于实验的损失函数。在详细介绍了所使用的不同算法之后，我们将重点放在方差标准上，并比较不同算法在涉及可变数量风险因素（无论是否可交易）的期权上获得的结果。我们将StOpt library Gevret等人（2016）使用Warin（2019）中描述的算法2在高性能计算机上进行的计算作为参考。然后，我们使用前面提到的不同风险标准训练第一个算法，并讨论这些标准对对冲投资组合分布的影响。

最后，我们介绍了交易成本，并展示了如何通过使用均值和方差目标的随机组合来训练算法来估计帕累托前沿。本文的主要结果如下：o我们表明，使用深度神经网络算法解决合理现实的期权对冲问题（离散时间、不可对冲因素、有限的流动性、交易成本、一般风险标准）是可行的。o对于方差准则，对全局和局部神经网络结构进行了比较。与PDE解决方案相反，全局方法似乎比局部最小化方法更有效，因为它成本低得多，而且往往更准确。通过多次运行该算法，得到了陷入局部极小和近似最优解的局部极小方法。与半线性PDE分辨率相比，这种行为差异肯定与PDE分辨率中用作状态的直接过程不受控制的事实有关。在我们的例子中，部分状态是受控的，我们需要使用先验法则对状态进行随机采样。这似乎是解释全球方法优越性的关键点。通过动态编程和回归获得的参考文献只能在小维度上进行计算，但我们期望在更高维度上的结果仍然很好利用全局算法，我们能够有效地解决一些由于所用风险函数的结构而无法用经典动态规划方法解决的套期保值问题。例如，现在可以计算帕累托有效前沿。2问题描述在数值试验中，我们保留了Warin（2019）中使用的价格模型。

第2.1节进行了简短描述，我们参考原始文件了解更多详细信息。2.1风险因素建模我们得到了一个连续时间运行的金融市场：我们从概率空间开始(Ohm, F、 P），时间范围0<T<∞ 过滤F=（Ft），0≤ t型≤ T代表T时可用的信息。我们认为d+1资产^F，^FD可用于贸易。为了简单起见，我们假设azero利率，并假设存在一个无风险资产，其价格严格为正。我们使用^Fas数字，并立即传递到以^F打折的数量。我们表示Fi=^Fi/^F，i=1。。。d由此折现的量和F（Fi）i=1的向量。。das坐标。我们考虑了另一个表示为V的非交易风险因素（交易量风险）（Fi）i=1的演变。。V的dand分别由一个具有indAnd inR值的扩散过程来描述。更准确地说，交易量风险VT是随机的，并遵循t≥ u≥ 0动态：Vt=^Vt+Vu公司-^Vue-aV（t-u） +ZtuσVe-aV（t-s） dWVs（1），其中aVis为均值回复系数，σV≥ 0的波动率，wvt是布朗运动(Ohm, F、 P）。^Vu是在给定日期u前几年的平均负荷≥ 此均值回复模型通常用于表示某些电力合同的负荷动态。我们假设，对于i=1，d、 价格是鞅，遵循动态：Fit=Fie-（σi，E）E-2ai，E（T-t）-e-2ai、ET4ai、E+E-ai，E（T-t） ^Wi，Et，^Wi，Et=σi，EZte-ai，E（t-s） dWis（2），其中Fit表示在t时看到的在t日交割的远期价格，该价格为所有人给出一次，并将对应于所考虑的合同的到期日、ai、风险因子i的均值回复参数、σi、风险因子i的波动性参数和Wisa布朗运动(Ohm, F、 P）使它们相互关联，也与WVt相关。

我们将表示向量（Ft，…，Fdt，Vt）。2.2套期保值问题我们考虑在时间T支付g（ST）的未定权益的套期保值问题，其中ST表示包含的索赔基础向量。在不失概括性的情况下，在下文中，我们将自己视为衍生品卖方。我们考虑一组有限的套期保值日期t<t<…<田纳西州-1< . . . < tN=T。离散套期保值日期带来了不完整性的第一个来源。在每个日期，每个折扣资产只能以有限的数量买卖，这是不完整的第二个来源。交易量风险VT无法交易，是不完整性的第三个来源。自我融资投资组合是一个ad维（Ft）自适应过程t、 其在时间t的终值表示为X标准满意度：XT=p+dXi=1N-1Xj=0itj（Fitj+1- Fitj），其中p将被称为保费。在两个时间步之间i、 对应于买入或卖出命令Cij+1：=itj+1- 其绝对值不应超过流动性liso：|it |≤ li，| Cij |≤ li，j=1，N- 1，i=1，d、 给定损失函数L，表示YT=XT- g（ST）），我们搜索一个策略验证：（pOpt，Opt）=Argminp，L（XT- g（ST））=Argminp，L（YT）。（3） 我们将重点关注以下损失函数：o由l（Y）=E定义的均方误差Y. （4） 例如，Schweizer（1999）对其进行了深入研究。它的缺点是以同样的方式惩罚损失和收益。这也可以被视为一种优势，因为它为买方和卖方提供了相同的价值和策略不对称损耗定义为：Lα（Y）=E（1+α）YY≤0+年≥0. （5） 当α>0（分别为0<α）时，损失（分别为收益）将受到惩罚。这将被称为对称损耗。例如，Gobet等人（2018年）对其进行了研究损失力矩2/力矩4函数定义为：Lα（Y）=EYY年≥0+ αEYY年≤0, α ≥ 1.

（6） 该标准旨在惩罚损失方的重尾。3一些经典神经网络和随机梯度算法DEP神经网络是逼近函数的最先进工具（见Liang（2017））。本节介绍了两种用于机器学习的经典网络。第一种方法在随机优化界是众所周知的，因为它在E et al.（2017）、Huréet al.（2019）、Beck et al.（2017）、Germain et al.（2020）中被用于解决一些非线性PDE问题。第二种方法给出了在给定日期t处理一些非马尔可夫问题的可能性，因为轨迹的整个过去都保存在内存中。由于函数的神经近似是高度非线性的，它总是导致非凸优化问题，需要一些我们详细介绍的特定分辨率算法。3.1作为函数逼近器的前馈神经网络在本节中，我们假设输入为维度d（状态变量x），输出为维度d（要估计的值函数的数量）。该网络的特点是有许多层L+1∈ N \\{1，2}，m`，`=0，五十、 每层神经元（单元或节点）的数量：第一层是m=d的输入层，最后一层是mL=d的输出层，L- 1之间的层称为隐藏层，为了简单起见，我们选择相同的维度m`=m，`=1，L- 1、前馈神经网络是从Rdto到RDX的函数，定义为compositionx∈ Rd7-→ AL公司o % o AL公司-1.o . . . o % o A（x）∈ R（7） 此处A`，`=1，L是一种有效的转换：从RDA到Rm的AMAP，a，AL公司-对于称为权重的矩阵W和称为偏差项的向量β，%：R→ R是一个非线性函数，称为激活函数，并在a′的输出上按分量应用，即%（x。

，xm）=（%（x），…，%（xm））。激活函数的标准示例有sigmoid、ReLu、Elu、tanh。所有这些矩阵W`和向量β\'，`=1，五十、 是神经网络的参数，可通过元素θ识别∈ RNm，其中Nm=PL-1`=0m`（1+m`+1）=d（1+m）+m（1+m）（L- 2） +m（1+d）是参数的数量。Hornick et al.Hornik et al.（1990）的通用近似定理指出，对于Rd上的任何有限测度ν，只要%是连续的和非常数的，d>0，则使m变化的所有前馈近似器集在L（ν）中是稠密的。假设方程（3）的最优控制是充分光滑的，从普遍逼近定理我们知道，可以使用具有有效深度和宽度的前馈神经网络来逼近控制。后一个定理没有告诉我们什么是最小深度和宽度，因此必须进行经验研究才能知道什么是最好的架构。通用逼近定理也没有告诉我们如何优化神经网络的权重，但似乎随机梯度下降在许多情况下都显示出良好的结果。3.2递归和经典LSTM神经网络作为时间相关函数逼近器或递归神经网络（RNN）是一种动态系统，能够有效地利用输入序列中的时间信息。对于RNN，输入是一个时间序列，在本文中，输出由两个向量组成：内存状态mt和输出状态Ct。在每个时间步t，Mt-1和Ct-1将时间序列交给一个递归单元，即神经网络，其权重在所有时间步长上共享（见图3）。长-短期记忆细胞（Hochreiter和Schmidhuber（1997））是捕获数据长期依赖性的有力工具。它们的设计旨在避免基本RNN所产生的一些消失梯度效应。