股利约束下的最优股利与资本注入

在br=0的情况下，问题（3.7）是在[27]中首次研究的关于一般It影响的众所周知的问题反映；另见[27，第5节]，其中研究了带漂移的维纳过程的问题。特别是，在【27，定理4.5】中，在适当的假设下，对于所示的情况br=0，在双屏障策略下（C，Db**) 是最优的，在Barrier b之前**由附加边界条件f′（b）给出**) = 0.（3.13）（如果没有此类b**存在，则不存在最优策略，且最优值函数为imb→∞前任R∞e-αtdDbt- 韩元∞e-αtdCt.) 特别是，b**在定理3.4中，使用了值函数（2.15）的条件（3.13）。备注3.7。引理3.5中（III）中的等价物是在研究问题（2.1）的背景下得出的，没有股息支付障碍，即br=0，在[20]中推导得出。4主要问题的解决方案由于我们的模型是马尔可夫模型，因此有理由推测问题（2.1）的最优策略是，当盈余过程为零时，所有者总是通过注入资本来挽救保险公司免于破产，或者所有者这样做。这就是我们在定理4.1中发现的。本节中的结果如第4.1节中的图表所示，并在第1节第5节中进行了解释。定理4.1（主要结果）。考虑b*（3.2）b中定义**定义见（3.8）和^b定义见（3.12）。对于问题（2.1）成立：（I）假设（2.4）成立。（I.a）如果股息支付障碍满足br≤^b然后是b=br的双屏障策略（C，Db）∨ b**是最佳的。相应的破产时间，参见（2.2），满足度τ=∞ a、 s.（I.b）如果br≥^b然后是b=br的上屏障策略'db∨ b*是最佳的。相应破产时间的时机是有限的，即Ex（τn）<∞ 福拉尔x≥ 0和n.（II）假设（2.4）通过反向不等式成立。

然后，上屏障策略“Dbwithb=br”∨ b*是任何给定br的最佳选择。相应的破产时间符合（I.b）中的相同条件。备注4.2。定理4.1（I.b）和（II）中破产时间矩的递推公式见【29】。从定理4.1、（3.3）和（3.9）直接得出：推论4.3。问题（2.1）的最优值函数有如下表示：V（x；br）=（H（x；br），如果（2.4）成立，br≤^b，G（x；br），如果（2.4）保持反向相等或br≥^b，=H（x；br）∨ G（x；br）。注意推论4.3、（3.3）和（3.9）给出了问题（2.1）的最优值函数的显式表达式。附录中证明了问题（2.1）解的以下性质：推论4.4。假设（2.4）通过严格不等式成立。如果br<^b，则V（0；br）=H（0；br）>G（0；br）=0。如果br>^b，则H（0；br）<V（0；br）=G（0；br）=0。备注4.5。推论4.4的解释是，在资本注入成本较低的情况下（在（2.4）保持严格不平等的意义上），假设：如果股息支付壁垒满足br<^b，则不会选择允许破产，如果股息支付壁垒满足br>^b，则不是拯救保险公司免于破产的最佳选择。推论4.6。对于任何固定的x>0保持：（I）V（x；br）在br中减少。特别是，（I.a）如果（2.4）成立，则V（x；br）独立于br for br≤ b**对于br>b，严格降低br**.（I.b）如果（2.4）用逆不等式成立，那么V（x；br）独立于brforbr≤ b*对于br>b，严格降低br*.（二） limbr公司→∞V（x；br）=0。备注4.7。很容易证明推论4.6中的结果在x=0的情况下也成立，修改后的V（0；br）仅在V（0；br）>0的情况下严格递减，即wh en（2.4）通过严格不等式和br<^b.证明成立。

（定理4.1。）我们认为这个证明既不依赖于定理3.1，也不依赖于定理3.4。让我们首先处理破产时间τ的结果。（I.a）的结果是微不足道的，因为在这种情况下，X反映在b和b之外，0。（I.b）和（II）的结果包含在【29】中。现在考虑一个函数g∈ C（[0，∞))∩ C（[0，b）∪ （b），∞)) 对于某些b>0的情况，一种套利策略（C，D）∈ A（x，br）和A轨道时间t>0。类似地，例如[27，p.60]和[20，p.959]，我们注意到，对于右连续过程（X（τ∧t） +）t≥0（参见备注2.2）根据It^o-Tanaka公式，认为-ατ ∧tg（X（τ∧t） +）=g（x）+Zτ∧te公司-αsug′（Xs）+σg′（Xs）- αg（Xs）I{Xs6=b}ds+Zτ∧te公司-αsσg′（Xs）dWs+Zτ∧te公司-αsg′（Xs）dCcs-Zτ∧te公司-αsg′（Xs）dDcs+X0≤s≤τ ∧te公司-αs（g（Xs+Cs）- g（Xs））+X0≤s≤τ ∧te公司-αs（g（Xs- Ds）- g（Xs））。计算的基本定理givesg（Xs+Cs）- g（Xs）=ZCsg′（Xs+z）dz，g（Xs- Ds）- g（Xs）=-ZDsg′（Xs- z） dz。现在假设g是上屏障策略“dbb”的值函数，其中b=br∨ b*, 由（3.3）中的G或双载波策略（C，Db）的值函数（b=br）给出∨ b**, （3.9）中给出了b y H-上述差异条件在两种情况下都得到了直接验证。

然后g满足度（2.9）和（2.10）表示g′（x）=1 forx≥ 当x>b时，b和g′′（x）=0。这些观察结果表明g（x）=e-ατ ∧tg（X（τ∧t） +）-Zτ∧te公司-αs（u- αg（Xs））I{Xs>b}ds-Zτ∧te公司-αsσg′（Xs）dWs-Zτ∧te公司-αsg′（Xs）dCcs+Zτ∧te公司-αsg′（Xs）dDcs-X0≤s≤τ ∧te公司-αsZCsg′（Xs+z）dz+X0≤s≤τ ∧te公司-αsZDsg′（Xs- z） dz。引理6.2给出（u- αg（Xs））I{Xs>b}≤ 0及其后（x）≥ e-ατ ∧tg（X（τ∧t） +）-Zτ∧te公司-αsσg′（Xs）dWs+Zτ∧te公司-αsg′（Xs）dDcs+X0≤s≤τ ∧te公司-αsZDsg′（Xs- z） dz公司-Zτ∧te公司-αsg′（Xs）dCcs-X0≤s≤τ ∧te公司-αsZCsg′（Xs+z）dz。因此，g（x）≥Zτ∧te公司-αSDD- kZτ∧te公司-αSDC（4.1）+e-ατ ∧tg（X（τ∧t） +）-Zτ∧te公司-αsσg′（Xs）dWs（4.2）+Zτ∧te公司-αs（g′（Xs）- 1） dDcs+X0≤s≤τ ∧te公司-αsZDs（g′（Xs- z）- 1） dz（4.3）+Zτ∧te公司-αs（k- g′（Xs））dCcs+X0≤s≤τ ∧te公司-αsZCs（k- g′（Xs+z））dz。（4.4）我们通过考虑不同的案例来总结证据。我们依赖于（3.3）中的G，在b=br的情况下，在[0，b）、（2.10）和（2.11）上求解（2.9）∨ b*（3.9）中的H在[0，b）、（2.10）和（2.14）上求解（2.9），其中H b=br∨ b**, 参见第2.1节。案例A：考虑（I.A）的条件。假设等式（4.1）–（4.4）中的g是（3.9）中定义的灰分。假设br≤ b**（即b=b**). 观察：oH′（x）=1表示x≥ b**H′（0）=k。因为x的H′（x）>0≥ 0（引理3.5）和H′（b**) = 0（易于验证）引理6.1得出H′（x）<0 forx<b**. 因此，H′在[0，b]上不增加**]. 因此，1≤ H′（x）≤ k forx公司≥ 我们得出结论，表达式（4.3）和（4.4）是非负的使用引理3.5和br≤^b到结束H（0）≥ 对于x，0和H′（x）>0≥ 因此，H（x）≥ x为0≥ 0.我们得出结论，（4.2）中的第一项为非负如果我们将t t发送到单位，则（4.2）c中的第二项接近a.s。

具有零期望的随机变量（使用H′（x）是有界函数）。因此，在（4.1）–（4.4）中向单位（lim sup）发送t，并接受预期givesH（x）≥ 前任lim支持→∞Zτ∧te公司-αSDD- kZτ∧te公司-αSDC.自（C，D）∈ A（x，br）任意选择，如下（I.A）在b=b的情况下成立**（回顾H（x）是（I.a）中策略所实现的价值函数）。现在假设br>b**（即b=br）。观察：oH′（x）=1表示x≥ br。因此，股息支付条件（2.3）（另见Remark2.3）意味着（4.3）中的表达式消失（要么导数等于1，要么没有股息）。oH′（0）=k，H′（x）>0，x的limxbrH′（x）>0（引理6.2）≥ 使用alsoLemma 6.1（和H的正则性），我们得到：H′（0）=k和H′（br）=1，H′在区间[0，c]上递减，在区间（c，br）上递增（c，c由H′（c）=0确定）。因此，H′（x）≤ k代表x≥ 0和（4.4）中的术语为非负。（4.2）中的术语s按上述方式处理。使用上述相同的限制性论证，我们发现（I.a）在b=br的情况下也成立。案例B：考虑（II）的条件。假设（4.1）–（4.4）中的g定义为（3.3）中的g。假设br≤ b*. 观察：oG′（0）≤ k、 G′（x）>0（引理3.2），x的G′（x）=1≥ b*. 从G′（b）开始*) = 0（易于验证），引理6.1遵循G′（x）<0表示x<b*. 因此，G′在[0，b]上是非递增的*]. 我们得出结论1≤ G′（x）≤ k代表x≥ 0.oG（0）=0（直接验证）和G（x）≥ 0（按项目ab ove）。使用与上述类似的参数，我们发现（II）在b=b的情况下成立*. 现在假设br>b*. 观察：oG′（x）=1表示x≥ 品牌条件（2.3）意味着（4.3）中的表达消失（如上所述）。oG′（0）≤ k、 x的G′（x）>0和limxbrG′（x）>0（引理6.2）≥ 0

使用类似于案例A第二部分的论证，我们发现G′（x）≤ k、 o如上所述，我们发现G（x）≥ 通常的论点现在暗示（II）在b=br的情况下也成立。案例C：我们需要证明（I.b）。如果G′（0）≤ 在这种情况下，k也成立，然后结果由与情况B完全相同的参数跟随。因此，足以表明G′（0）≤k代表b≥^b当（2.4）保持时。在（3.5）中，我们将函数h定义为，h（b）=r- rrerb公司- rerb=G′（0）。因此，当b=^b时，通过（3.12）中^b的定义，G′（0）=k。因此，为了证明G′（0）≤ k代表a ny b≥^b足以表明，对于b，h（b）在b中不增加≥^b.但当b≥ b*, 正如我们在引理3.2的证明中所看到的。因此，足以证明^b≥ b*. （2.4）的右侧等于h（b*), 参见（3.4）。利用（3.12）中^b的定义和引理3.5来找到k≤ h（b*), k=h（^b），k≤ h（b**).但是因为h在b处是最大的*, 参见Lemm a 3.2的证明，followsk=h（^b）≤ h（b**) ≤ h（b*). （4.5）但自^b∈ [b]**, ∞) 根据定义，唯一的可能性是^b≥ b*; 要查看此内容，请使用b**≤ b*（引理3.5），（4.5），当b≤ b*b时不增加≥ b*.

（画一幅画）。4.1图解在本节中，我们考虑u=0.04、σ=0.15、α=0.05和k=1.01，其中条件（2.4）适用于严格不等式，b**≈ 0.17，b*≈ 0.75和^b≈ 1.58.回想一下，H（x；br）是不存在破产可能性的o pt imal value函数，G（x；br）是不存在资本注入可能性的最优值函数，并且当同时允许破产和资本注入时，o pt imal value函数，即V（x；br），适用于H（x；br）或G（x；br）给出的任何固定br，根据该函数，H（x；br）或G（x；br）是以另一个为主导的，参见花冠y 4.3。图1说明了定理4.1和推论4.3，显示了增加dividendpayout屏障br如何改变H（x；br）和G（x；br）中的哪一个占主导地位。图1 alsoillustrates推论4.4。图2通过显示V（x；br）=H（x；br）的方式说明了推论4.6∨G（x；br）（参见推论4.3）br减少。两个图都表明，当br=^b时，H（x；br）和G（x；br）重合，参见定理4.1.0 0.5 1.5 2 2.5 br=00 0.5 1 1.5 2 2.5 br=1.40 0.5 1 1.5 2 2 2.5 br=^b=1.5810 0.5 1.5 2 2 2 2.5 br=2.4图1 x 7→ H（x；br）（实心）和x 7→ G（x；br）（破折号d）表示股息支付障碍br的不同值。（回想一下，最优值函数由V（x；br）=H（x；br）给出）∨ G（x；br）。）0 2 4 6 8 10-1.-0.50.5对于x=0.10 2 6 100.51.5对于x=1图2 br7→ H（x；br）（实心）和br7→ G（x；br）（虚线）表示初始盈余x的不同值。每张图片中的垂直虚线表示b**, b*和^b，按顺序。（重新调用最优值函数由V（x；br）=H（x；br）给出）∨ G（x；br）。）5结论和未来研究本文结果的主要解释，尤其是定理4.1中的项目（I.a）和（I.b），见图1和图2，是如果注入资本k的比例成本较低，即。

如果（2.4）成立，则最好使用双屏障融资策略，只要隔离屏障bris低于^b级，就决不允许保险公司破产，即最优值函数由V（x；br）=H（x；br）给出。然而，如果股息支付门槛高于^b，则最优行为会切换到上限策略，使保险公司在盈余首次达到零时破产，即。e、 最优值函数由V（x；br）=G（x；br）给出。此外，推论4.6（参见lso图2）的解释是，股息支付障碍的增加会降低最优价值函数（即保险公司的价值），相应的限制为零。本论文的主要经济结论是，监管可能会有，也许是不可预见的，影响是，如果一家专业保险公司（对应于u>0）能够获得运作良好的金融市场（对应于满足（2.4）要求的资本注入比例成本），则其所有者将在需要时注入资本，以防市场不受监管或至少监管不太严（br≤^b）。然而，如果监管力度足够大（br>^b），那么同一家保险公司的所有者将改变其行为；具体而言，他们绝不会注资，而是让保险公司在财务困难的情况下破产，即在零盈余的情况下。pic未来研究的一个潜力是调查其他RMODEL的这些结论，例如：其他剩余过程；其他类型的监管；额外的市场摩擦，例如资本注入的固定成本；其他决策变量的存在，例如再保险水平和投资政策。6附录引文6.1。

假设一个函数g∈ C区间[a，b]上的解（2.9），对于x，g′（x）>0∈ 【a、b】。（一） 对于某些x，如果g′（x）=0∈ （a，b）然后g′（x）<0表示x∈ [a，x）和g′（x）>0 forx∈ （x，b），（II）如果g′′（b）=0，则x的g′（x）<0∈ 证明。如果g解（2.9），那么g′也是如此。因此，如果g′（x）=0，对于某些x∈ [a，b]，然后（x- x） 对于x，g′（x）g′（x）>0∈ [a，b]，x 6=x，由[27，引理4.2（b）]。断言如下。引理6.2。对于（3.3）中定义的G，b=br∨ b*, 保持，（u- αG（x））I{x>b}≤ 0，对于x≥ 0。（6.1）此外，如果br>b*然后limxbG′（x）>0。（6.2）当b*替换为b**.证据我们直接确定xbG′（x）=rerb- rerbrerb- rerb。（6.3）（6.3）中的分子（如我们所见）在b>b时严格为正*, 根据B的定义*, 见（3.2）。这证明了（6.2）。我们还发现xbH′（x）=erb- 雇员再培训局r（1- 路缘石）erb- r（1- 路缘石）erb.因此，ifr（1- 路缘石）erb- r（1- 路缘石）erb>0，（6.4）对于b>b**, 然后（6.2）在更换b时也保持H*带b**. 不等式（6.4）等价于tor（1- 路缘石）erb- r（1- 路缘石）erb>0<=> rerb公司- rerb>k（r- r） e（r+r）b<=> 重新-rb型- 重新-rb>k（r- r） 。现在，b的定义**当b=b时，最后一个不等式是一个n等式**. 因此，如果我们能在re处显示th-rb型- 重新-当b>b时，RBI（严格地）在b中增加**, 然后（6.4）满足b>b**; 但这很容易用导数和（2.6）进行验证。因此，我们证明了（6.2）也适用于H和b**.让我们证明（6.1），同样的论点也适用于H和b**. 由于G满意度（2.10）如下所示，（u- αG（x））I{x>b}=（u- α（x- b+G（b）））I{x>b}≤ (u - αG（b））I{x>b}。（6.5）G也满足（2.9）和G′（b）=1。因此，通过连续性σlimxbG′（x）=αG（b）-u.如果b=b*然后limxbG′（x）=0（要查看此情况，请使用定义b*和（6.3）），因此u- αG（b）=0。此外，如果b>b*根据（6.2）得出u- αG（b）≤ 0

在（6.5）中使用这一点意味着（6.1）成立。引理3.5的证明：我们反复使用（2.6）。（一） 对（II）进行了直接验证。在x=0时评估（3.9），并要求非负性- 雇员再培训局1.- kerbr公司-1.- kerbr公司≥ 0。现在简化。另一种是类似的。（III）证明。我们只证明第一种状态（第二种状态的证明是类似的）。b的定义**在（3.8）中等于，rr=1- 路缘**1.- 路缘**电子商务**（r）-r）<=>1.- 路缘**1.- 路缘**= 电子商务**（r）-r） rr。现在，（3.11）等于torr≥1.- 路缘**1.- 路缘**.因此，（3.11）相当于asrr≥ 电子商务**（r）-r） rr等于，rr≤ 电子商务**（r）-r） 。求解b**给出b**≤ 对数（r/r）/（r- r） =b*（参见（3.2）），从而证明了第二个等价性。看到（2.4）等同于b**≤ b*首先注意，当b*= b**; 要查看此注释，k=r-rrerb公司*-rerb公司*（即（2.4）等于）当且仅当-rb型*- 重新-rb型*= k（r- r） （即b*= b**, 参见（3.8），可以通过求解k和使用（3.2）中的定义来验证具有某种效果的ich。第二，如果kdecreases，那么b**减少；注意，（3.8）左侧对b的导数**是积极的。因此，（2.4）相当于b**≤ b*.（IV）的证明。同样，我们只证明第一个陈述。在br的情况下≤ b**（即b=b**) 保持H（0）≥ 0相当于（3.11），b y第（II）项。因此，结果遵循（III）。（V）证明：由（III）持有，rerb**- rerb公司**≥r- rk。因此，在b=b的情况下**（即br≤ b**) 从（II）中得出H（0）≤ 现在如果我们能证明- rerbis非递减i n b，对于b≥ b**, 然后，从（II）得出H（0）≤ 在br>b的情况下也为0**我们完成了。因此，足以证明其导数rerb- rerb，对于b是非负的≥ b**.