投资组合优化的多尺度渐近分析

通过动态编程，V，δ解出以下HJB方程：t+L+δM+rδM！V，δ-λ（y，z）V，δx+ρa（y）√V，δxy+√Δρg（z）V，δxz2V，δxx=0，（2.9），最优策略π的候选者= -λ（y，z）V，δxσ（y，z）V，δxx-ρa（y）V，δxy√σ（y，z）V，δxx-√Δρg（z）V，δxzσ（y，z）V，δxx，其中错误定义为：M=ρa（y）g（z）yz、 λ（y，z）=u（y，z）/σ（y，z）是夏普函数。在基因ral中，V，δ仅被确定为上述HJB方程的粘度解【20，第4节】。然而，为了应用渐近导数，[9]假设V，δ在每个变量中都是光滑的，严格递增，在Rand t中每个（y，z）的财富参数x中都是严格凹的∈ [0，T），是（2.9）的唯一经典解。我们强调，本文的结果不依赖于V，δ的正则性，因为我们将使用（3.1）中定义的Vπ（0），，δ，这将是线性PDE（3.3）的经典解。多尺度展开包括为V构造δ的幂级数，δ：V，δ=V，0+√δV，1+·································+√v（1，k）+v（2，k）+···，k∈ N、 在每一步中，系数V，kor V（j，k）通过将展开式代入相应的方程并收集不同阶数的项来确定。因为整个分析将在第3节中再次对vπ（0）、、δ进行，所以我们决定跳过这里的推导，跳转到结果。

V的慢尺度和快尺度的组合扩展，δ的形式如下：V，δ=V（0）+√v（1,0）+√δv（0,1）+v（2,0）+δv（0,2）+√δv（1,1）+··，（2.10），其中v的上标对应于√和√δa和，其中v（0,0）重写为v（0）。关于v（0）、v（1,0）和v（0,1）的公式如下所示。（i） 前导项v（0）定义为与“平均”夏普比λ（z）=phλ（·，z）i，v（0）t相关的默顿偏微分方程的解-λ（z）v（0）xv（0）xx=0，v（0）（T，x，z）=U（x）。因为它有唯一的解，所以我们有v（0）（t，x，z）=M（t，x；λ（z））。（2.11）因此，续集中使用的Dk（λ）版本为Dk（λ）=R（t，x；λ（z））kkxunderthe multiscale randomic environment，为了简洁起见，我们将使用dk（省略参数λ）。（ii）快速变量v（1,0）中的一阶校正定义为线性偏微分方程的解：v（1,0）t+λ（z）v（0）xv（0）xx！v（1,0）xx-λ（z）v（0）xv（0）xxv（1,0）x=ρB（z）Dv（0），v（1,0）（T，x，z）=0，（2.12），允许唯一解。然后v（1,0）用v（0）byv（1,0）（t，x，z）=-（T- t） ρB（z）Dv（0）（t，x，z），其中B（z）=hλ（·，z）a（·）yθ（·，z）i，Lθ（y，z）=λ（y，z）-λ（z）。注意，在上述泊松方程的解θ（y，z）中，变量z可以被视为参数。（iii）慢变量v（0,1）中的一阶校正被定义为线ar PDE的解：v（0,1）t+λ（z）v（0）xv（0）xx！v（0,1）xx-λ（z）v（0）xv（0）xxv（0,1）x- ρbλ（z）g（z）v（0）xv（0）xxv（0）xz=0，（2.13）v（0,1）（T，x，z）=0，具有唯一的解，其中bλ（z）由bλ（z）=hλ（·，z）i.（iv）通过“织女星伽马”关系，前导项v（0）的z导数v（0）z（T，x，z）=（T- t） λ（z）λ′（z）Dv（0）（t，x，z），（2.14）和v（0,1）可以用v（0）by v（0,1）（t，x，z）=（t- t） ρbλ（z）g（z）Dv（0）z（t，x，z）=（t- t） ρbλ（z）λ（z）λ′（z）g（z）Dv（0）（t，x，z）。

（2.15）请注意，（i）–（iii）中的统一ss源自提案n 2.1和2.2.2.3模型假设和初步估计。本文所述结果需要两组假设：一组关于状态过程，另一组关于一般效用。第一组基本上是我们之前工作[7]中假设2.12的组合，仅考虑缓慢因素和假设2。4在第一种情况下【13】，除了基于λ（z）（慢情况）和λ（快情况）的公式都转移到多尺度情况λ（z）。第二组扩展了文献[7]中的假设2.5，它要求U（x）具有更多的正则性，并且对风险容忍度R（x）=-U′（x）/U′（x）。为了完整性，我们接下来将详细介绍它们。对于固定（t，z），我们观察到，v（0）（t，x，z）=M（t，x；λ（z））是一个具有线性上限的凹函数。事实上，对于t=0，存在一个函数G（z），因此v（0）（0，x，z）≤ G（z）+x，（x，z）∈ R+×R。设Xπ（0）t为π（0）之后的财富过程，并根据模型参数和零阶R项v（0）（t，X，z）：π（0）=-λ（y，z）σ（y，z）v（0）x（t，x，z）v（0）xx（t，x，z）。（2.16）假设2.3。我们对状态过程（St，Yt，Zt，Xπ（0）t）作出以下假设：（i）对于任何起点（s，y，z）和固定点（，δ），SDEs系统（2.1）–（2.2）–（2.3）具有唯一的强解（St，Yt，Zt）。

函数g（z）在C（R）中，λ（y，z）在z变量的C（R）中。系数g（z）、c（z）、a（y）λ（y，z）及其导数g′（z）、g′（z）、λz（y，z）、λzz（y，z）和λzzz（y，z）最多呈多项式增长。（ii）过程Y（1）的最小生成元是遍历的，具有唯一不变分布Φ，并且在t≤ T：支持≤TEY（1）tk≤ C（T，k）。泊松方程的解φ（y，z）（in y）Lφ（y，z）=l（y，z）假设为多项式（in y）函数的多项式l（y，z）。（iii）过程Z（1）和（2.4）中定义的微型生成器Mde允许t中任意阶的矩≤ T：支持≤TEZ（1）tk≤ C（T，k）。（iv）过程g（Z·）在L（[0，T]×中）Ohm) 统一表示δ，即e（0，z）“ZTG（Zs）ds#≤ C（T，z），其中C（T，z）与δ无关，z遵循（2.3），z=z。（v）财富过程Xπ（0）·保持非负，即π（0）∈ A，δ（t，x，y，z）0 < , δ ≤ 1、此外，它在L（[0，T]×中Ohm) 统一in（，δ），即e（0，x，y，z）“ZTXπ（0）sds公司#≤ C（T，x，y，z），其中C（T，x，y，z）独立于（，δ）。引理2.4。在假设2.3（iv）-（v）下，过程v（0）（·，Xπ（0）·，Z·）在L（[0，T]×中）Ohm) 均匀in（，δ），即。（t，x，y，z）∈ [0，T]×R+×R×R，我们有e（T，x，y，z）“ZTtv（0）（s，Xπ（0）s，Zs）ds公司#≤ C（T，x，y，z），其中v（0）（T，x，z）在第2.2节中定义，满足v（0）（T，x，z）=M（T，x；λ（z））。证据证明遵循[7，引理2.15]中的论点。假设2.5。我们对U（x）作出以下假设：（i）U（x）是C（0），∞), 严格递增，严格凹，并满足以下条件（Inadaand渐近弹性）：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1。（ii）U（0+）是有限的。

在不丧失一般性的情况下，我们假设U（0+）=0。（iii）假设风险容限R（x）：=-U′（x）/U′（x）满意度R（0）=0，严格递增，R′（x）<∞在[0，∞), 存在K∈ R+，因此对于x≥ 0和2≤ 我≤ 7.（i） xRi（x）≤ K、 （2.17）（iv）将边际效用U′（x）的反函数定义为I:R+→ R+，I（y）=U′(-1） （y），并假设对于某些正α，I（y）满足多项式增长条件：I（y）≤ α+κy-α.注意，假设2.5（ii）是一个有效条件，e排除了U（x）=xγγ，γ<0，U（x）=lo g（x）的情况。然而，本文中的所有理论在对证明稍作修改后仍然成立。关于上述假设、示例、限制性和含义的进一步讨论见【7，第2.3节】。接下来，我们对风险承受能力函数（2.7）进行一些估计。由于在多尺度体系中，零阶项v（0）（t，x，z）被确定为M（t，x；λ（z）），参见方程（2.11），风险容限函数的符号相应地更改为R（t，x；λ（z）），其中R（t，x；λ（z））：=-v（0）（t，x，z）v（0）（t，x，z）=-Mx（t，x；λ（z））Mx（t，x；λ（z））强调λ（z）的偏差。提案2.6。根据一般效用假设2.5，风险容忍度R（t，x；λ（z））函数满足以下要求：对于0，Kj>0≤ j≤ 6，以便（t，x，λ（z））∈ [0，T）×R+×R，Rj（t，x；λ（z））(（j+1）xR（t，x；λ（z）））≤ 千焦。或同等地，1.≤ j≤ 7，t存在sekj>0，这样（t、x、z）∈ [0，T）×R+×R，（j） xRj（t，x；λ（z））≤eKj。此外，以下量是一致有界的：RRxxz、RRxxxz、Rxzz、rrxxzz和RRxxxzz。证据第一部分扩展了[7，命题3.5]的结果，并且通过使用热方程的比较原理，证明基本上重复了j=5和6的情况下的论点。

第二部分的内容包括依次区分（2.14）中的“织女星-伽马”关系，使用v（0）的凹度，第一部分中的结果，以及用λ或λ（z）替换的[7]中的命题3、5、3.6和3.7。为了简单起见，我们省略了这个冗长、乏味但直截了当的推导。3π（0）-多尺度区域下的投资组合绩效计算根据模型参数定义的策略π（0）和（2.16）中的零阶项v（0）（t，x，z）：π（0）=-λ（y，z）σ（y，z）v（0）x（t，x，z）v（0）xx（t，x，z）：=λ（y，z）σ（y，z）R（t，x；λ（z）），假设π（0）是可容许的，我们将在本节中给出其性能。更准确地说，让Xπ（0）为财富过程，在π（0）dXπ（0）t=u（Yt，Zt）π（0）（t，Xπ（0）t，Yt，Zt）dt+σ（Yt，Zt）π（0）（t，Xπ（0）t，Yt，Zt）dWt之后，我们旨在找到相关值函数的严格近似：Vπ（0），，δ：=EnU（Xπ（0）t）Xπ（0）t=X，Yt=y，Zt=zo，（3.1），通用工具U满足第2.5节的要求。关于Vπ（0）、、δ的估计结果已在orem 1.1中总结，我们在下一小节中给出了证明。3.1定理1.1的证明分为两步：首先，我们提出Vπ（0），，δ：Vπ（0），，δ=Vπ（0），（0）的展开形式+√vπ（0），（1,0）+√δvπ（0），（0,1）+··，（3.2），并正确识别vπ（0），、vπ（0），（1,0）和vπ（0），（0,1）。为此，我们写下Vπ（0）、、δ满足的偏微分方程，在慢参数δ中执行规则摄动，然后在快参数中执行奇异摄动。请注意，此技术已用于具有两个因子模型的线性定价问题，例如，请参见[8，第4节]。其次，我们证明（3.2）中的“···”部分的顺序为O（+δ），以完成证明。步骤1：启发式推导。

通过鞅性质，我们注意到Vπ（0），，δ满足以下线性PDEL+√L+L+δM+√δM+√δ√M！Vπ（0），，δ=0，（3.3）Vπ（0），，δ（T，x，y，z）=U（x），其中操作符和mi定义为：L=b（y）y+a（y）y、 L=ρa（y）σ（y，z）π（0）x个y、 L=t+u（y，z）π（0）x+σ（y，z）π(0)x、 M=ρσ（y，z）g（z）π（0）x个z、 M=c（z）z+g（z）z、 M=ρa（y）g（z）yz、 策略是首先在慢参数δ中扩展值函数：Vπ（0），，δ=Vπ（0），，0+√δVπ（0），，1+····················································································································································+√vπ（0），（1,0）+vπ（0），（2,0）+3/2vπ（0），（3,0）+···，vπ（0），，1=vπ（0），（0,1）+√vπ（0），（1,1）+vπ（0），（2,1）·····。vπ（0）的上标（i，j）再次表示√和√δ和（0，0）分别减小为（0），以与[9]中的符号一致。通过让δ=0，我们推断L+√L+LVπ（0），，0=0，Vπ（0），，0（T，x，y，z）=U（x）。这实际上是[13]中的等式n（17），期望将λ（y）替换为λ（y，z），以考虑慢因子zt。然而，z可以被视为Vπ（0），，0中的一个参数，因为在上述偏微分方程中没有z-导数。

因此，可以应用[13，Section I II.A]中的推导和推理，得出vπ（0），（0）=v（0）=M（t，x，λ（z）），（3.4）vπ（0），（2,0）=-θ（y，z）Dv（0）+C（t，x，z）（3.5）vπ（0），（1,0）=v（1,0）=-（T- t） ρB（z）Dv（0），（3.6）vπ（0），（3,0）=（t- t） θ（y，z）ρB（z）D+DDv（0）+ρθ（y，z）Dv（0）+C（t，x，z），（3.7），其中θ（y）是常微分方程的解：Lθ（y）=λ（y，z）a（y）yθ（y，z）- hλ（·，z）a（·）yθ（·，z）i和Ci（t，x，z）是y中的某个积分常数，它可能依赖于（t，x，z），因为i=1，2。接下来，我们回到方程（3.3）并通过收集阶数项导出Vπ（0），，1的偏微分方程√δ,L+√L+LVπ（0），，1+M级+√MVπ（0），，0=0，Vπ（0），，1（T，x，y，z）=0。观察到y中的Mtakes导数，以及Vπ（0）、、δ的展开式中，前两项Vπ（0）、（0）和Vπ（0）、（1,0）独立于y（参见（3.4）和（3.6）），我们可以√MVπ（0），，δ=√vπ（0），（2,0）+vπ（0），（3,0）+··。现在，通过收集-1条款和√项并注意到等式中没有y-导数，我们可以选择vπ（0），（0,1）=vπ（0），（0,1）（t，x，z）和vπ（0），（1,1）=vπ（0），（1,1）（t，x，z），即它们独立于y。收集一阶项形成vπ（0），（2,1），Lvπ（0），（2,1）+Lvπ（0），（0,1）+Mvπ（0），（0），（0,1）+vπ（0），（0），（0）的泊松方程,1）（t，x，z）=0。（3.8）并得出以下vπ（0），（0,1）vπ（0），（0,1）t+λ（z）v（0）xv（0）xx的可解性条件！vπ（0），（0,1）xx-λ（z）v（0）xv（0）xxvπ（0），（0,1）x+ρbλ（z）g（z）Rv（0）xz=0，vπ（0），（0,1）（T，x，z）=0。其中，我们使用了关系vπ（0），（0）=v（0）（参见（3.4））。这正是方程（2.13），通过其唯一性，我们得到vπ（0），（0,1）=v（0,1）=（T- t） ρbλ（z）g（z）Dv（0）z（t，x，z）（3.9）=（t- t） ρbλ（z）λ（z）λ′（z）g（z）Dv（0）（t，x，z）。将其插回到方程（3.8），求解vπ（0），（2,1）给出svπ（0），（2,1）=-θ（y，z）D+Dv（0,1）- θ（y，z）ρg（z）Dv（0）z+C（t，x，z），其中θ（y，z）是模型的解θ（y，z）=λ（y，z）-bλ（z）和C（t，x，z）是y中的某个“常数”。

为了进一步用v（0）单独表示vπ（0），（2,1），我们使用v（0,1）的表达式（2.15），得到vπ（0），（2,1）=-θ（y，z）（T- t） ρbλλ′gD+DDv（0）（3.10）- θ（y，z）ρg（z）（T- t） λλ′Dv（0）+C（t，x，z）。到目前为止，所需术语均已确定，包括vπ（0）、（0）、vπ（0）、（2,0）、vπ（0）、（1,0）、vπ（0）、（3,0）、vπ（0）、（0,1）和vπ（0）、（2,1），我们将继续对上述推导进行调整。步骤2：扩展调整。为了验证上述形式推导，我们至少需要证明剩余函数E（t，x，y，z）的阶数高于√ +√δ). 为此，我们首先分析由ee（t，x，y，z）=Vπ（0），，δ定义的辅助期望函数ee（t，x，y，z）- v（0）-√v（1,0）- vπ（0），（2,0）- 3/2vπ（0），（3,0）-√δv（0,1）- √δvπ（0），（2,1），这些函数分别在（3.4），（3.5），（3.6），（3.7），（3.9）和（3.10）中给出。我们取Ci（t，x，z）≡ 0，i=相关条款中的1、2、3。

直接计算给定值+√L+L+δM+√δM+√δ√M！eE+Lvπ（0），（2,0）+3/2vπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）+ Lvπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）+√δM√vπ（0），（2,0）+vπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）+ δMv（0）+√v（1,0）+vπ（0），（2,0）+3/2vπ（0），（3,0）+√δv（0,1）+√δvπ（0），（2,1）+√δM√v（1,0）+vπ（0），（2,0）+3/2vπ（0），（3,0）+√δv（0,1）+√δvπ（0），（2,1）= 0，eE（T，x，y，z）=-vπ（0），（2,0）（T，x，y，z）- 3/2vπ（0），（3,0）（T，x，y，z）。注意到我+√L+L+δM+√δM+√δ√Mis是过程的最小生成元（Xπ（0）t，Yt，Zt），使用我们接下来将显示的界估计，我们得到了以下Fe-ynman–Kacformula：eE（t，X，y，z）=E（t，X，y，z）“ZTtR（s，Xπ（0）s，Ys，Zs）ds#+δE（t，X，y，z）”ZTtR（s，Xπ（0）s，Ys，Zs）ds#+√δE（t，x，y，z）“ZTtR（s，xπ（0）s，Ys，Zs）ds#- E（t，x，y，z）hvπ（0），（2,0）（t，xπ（0）t，YT，ZT）i- 3/2E（t，x，y，z）hvπ（0），（3,0）（t，xπ（0）t，YT，ZT）i，（3.11），并获得预期的结果~ O（+δ），当变量定义为：R=Lvπ（0），（2,0）+√vπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）+ Lvπ（0），（3,0）+√δMvπ（0），（2,0）R=Mv（0）+√v（1,0）+vπ（0），（2,0）+3/2vπ（0），（3,0）+√δv（0,1）+√δvπ（0），（2,1）+ Mv（0,1）R=Lvπ（0），（2,1）+Mvπ（0），（2,0）+√vπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）+ Mv（1,0）+vπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）.现在，我们在（3.11）中给出了预期的有界估计。简单的计算表明，每个经验项E（t，x，y，z）hrttrisdsis是以下形式的积分之和：E（t，x，y，z）“ZTth（Ys，Zs）Dv（0）（s，xπ（0）s，Zs）ds#，（3.12），其中h（y，z）主要是多项式增长的，Dv（0）取v（0）的导数。根据不同的运算符，导数为：Dv（0），DDv（0），Dv（0），DDv（0），DDv（0），DDv（0），DDv（0 v（0），DDDv（0），DDv（0）（3.13）M：zDv（0），zDv（0），zDv（0），zDDv（0），M：zv（0），zv（0），zDv（0），zDv（0），zDv（0），zDDv（0），加上MM:D的所有术语zDv（0），DzDv（0），DzDv（0），DzDDv（0）。