投资组合优化的多尺度渐近分析

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英文标题：
《Multiscale Asymptotic Analysis for Portfolio Optimization under
  Stochastic Environment》
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作者：
Jean-Pierre Fouque, Ruimeng Hu
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Empirical studies indicate the presence of multi-scales in the volatility of underlying assets: a fast-scale on the order of days and a slow-scale on the order of months. In our previous works, we have studied the portfolio optimization problem in a Markovian setting under each single scale, the slow one in [Fouque and Hu, SIAM J. Control Optim., 55 (2017), 1990-2023], and the fast one in [Hu, Proceedings of IEEE CDC 2018, accepted]. This paper is dedicated to the analysis when the two scales coexist in a Markovian setting. We study the terminal wealth utility maximization problem when the volatility is driven by both fast- and slow-scale factors. We first propose a zeroth-order strategy, and rigorously establish the first order approximation of the associated problem value. This is done by analyzing the corresponding linear partial differential equation (PDE) via regular and singular perturbation techniques, as in the single-scale cases. Then, we show the asymptotic optimality of our proposed strategy within a specific family of admissible controls. Interestingly, we highlight that a pure PDE approach does not work in the multi-scale case and, instead, we use the so-called epsilon-martingale decomposition. This completes the analysis of portfolio optimization in both fast mean-reverting and slowly-varying Markovian stochastic environments.
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中文摘要：
实证研究表明，标的资产波动存在多个尺度：以天为单位的快速尺度和以月为单位的缓慢尺度。在我们之前的工作中，我们研究了每个单尺度下马尔可夫环境下的投资组合优化问题，【Fouke and Hu，SIAM J.Control Optim.，55（2017），1990-2023】中的慢速投资组合优化问题，以及【Hu，IEEE CDC 2018年会议录，接受】中的快速投资组合优化问题。本文致力于分析两种尺度在马尔可夫背景下共存的情况。我们研究了当波动率同时由快尺度和慢尺度因素驱动时的终端财富效用最大化问题。我们首先提出了一种零阶策略，并严格地建立了相关问题值的一阶近似。这是通过分析相应的线性偏微分方程（PDE）通过正则和奇异摄动技术实现的，就像在单尺度情况下一样。然后，我们在一个特定的容许控制族中证明了我们提出的策略的渐近最优性。有趣的是，我们强调，纯偏微分方程方法在多尺度情况下不起作用，相反，我们使用所谓的ε鞅分解。这就完成了快速均值回复和缓慢变化马尔可夫随机环境下的投资组合优化分析。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Multiscale_Asymptotic_Analysis_for_Portfolio_Optimization_under_Stochastic_Environment.pdf (307.38 KB)

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关键词：投资组合优化 投资组合 Optimization Quantitative Mathematical

托卡斯特环境下投资组合优化的多尺度渐近分析Jean-Pierre Fouque*Ruimeng Hu+2019年9月4日摘要实证研究表明，标的资产波动存在多个尺度：以天为单位的快速尺度和以月为单位的缓慢尺度。在我们之前的工作中，我们研究了在马尔可夫环境下，在每个单一尺度下的投资组合优化问题，【Fouke and Hu，SIAM J.Control Optim.，55（2017），1990-2023】中的slowone，以及【Hu，2018 IEEE CDC会议录，5771-5776，2018】中的fast。本文致力于分析在马尔可夫背景下，两个尺度何时共存。我们研究了当波动率同时由快尺度和慢尺度因素驱动时的终端财富效用最大化问题。我们首先提出了一种归零策略，并严格建立了相关问题值的一阶近似值。这是通过在单尺度情况下，通过正则和奇异摄动技术分析相应的线性偏微分方程（PDE）来实现的。然后，我们通过将其性能与特定形式的可接受策略进行比较，证明了我们提出的策略的渐近最优性。有趣的是，我们强调，纯偏微分方程方法在多尺度情况下不起作用，相反，我们使用所谓的ε鞅分解。这就完成了在快速均值回复和缓慢变化的马尔可夫随机环境中对组合优化的分析。关键词：最优投资组合、多尺度随机波动性、渐近最优性、epsilo n-鞅分解、正则和奇异摄动1简介数学金融中的一个经典问题是投资者的消费和/或最终财富的效用最大化。

Mossin【19】和Samuelson【21】首次在离散时间框架中研究了这一点，Merton【17，18】首次在连续时间案例中研究了这一点。在梅尔顿的开创性工作中，基础资产遵循Black-Scholes（BS）模型，即收益率和波动率是常数，效用是某种类型的，例如，常数相对风险厌恶效用函数。提供了关于如何投资和/或消费的明确解决方案。后来，这一问题在va rioussettings和le vels of General中得到了广泛研究，例如，允许交易成本[16，12]，提款限制[11，5，6]，考虑价格影响[4]，并将BS模型扩展到随机波动率[22，3，9，15]。本文从两个方向概括了默顿的工作。首先，观察单个资产配置中的时变风险规避[2]，我们考虑一般效用函数。其次，在资产建模的直接过程中，我们使用了一个多尺度随机波动模型，与金融市场中股票价格波动的快速时间尺度（以天为单位）和缓慢时间尺度（以月为单位）的存在相一致【8】。在这种情况下，几十年来，人们对期权定价问题进行了渐近分析，其中应用了奇异和正则期权方法来推导有效的近似值；在这里，我们给出了R+上具有一般效用函数的非线性Merton问题的新结果。根据【8】中的建模，资产评估价格和随机因素的马尔可夫动态为：dSt=u（Yt，Zt）Stdt+σ（Yt，Zt）StdWt，dYt=b（Yt）dt+√a（Yt）dWYt，dZt=δc（Zt）dt+√δg（Zt）dWZt，*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.

NSF拨款DMS-1814091支持的工作+纽约哥伦比亚大学统计系，邮编：10027-4690，rh2937@columbia.edu.where资产回报率u和波动率σ是两个因素的函数：快速标度因子Yt和低标度因子Zt。两个参数（，δ）<< 1很小，以捕捉这两个尺度，（Wt、WYt、WZt）是相关的布朗运动。第2节详细讨论了这种模式。固定时间范围T，我们对终端效用最大化问题感兴趣：supπE[U（XπT）]，（1.1）其中一般效用U（·）满足假设2.5，Xπ是投资者在时间T的财富，由两部分组成：投资于风险集合St的资金，用π表示，其余部分XπT- π投入货币市场，赚取无风险利率。将π限制为自我融资策略（时间0后无异源存款或取款），为简单起见，假设r=0，Xπt如下：dXπt=πtu（Yt，Zt）dt+πtσ（Yt，Zt）dWt。（1.2）关注反馈策略，即让πt=π（t，Xπt，Yt，Zt），可以使用动态编程的方法来解决这个问题。其主要思想是将我们的原始问题（1.1）嵌入到一类更大的问题中，这些问题具有不同的开始时间t、初始财富x和两个因素（y，z）的初始水平，然后将所有这些问题与称为汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程的偏微分方程联系起来。

为此，我们定义了值函数asV，δ（t，x，y，z）=supπ∈A，δE[U（XπT）| XπT=X，Yt=y，Zt=z]，（1.3）用A，δ收集所有反馈容许控制：A，δ={π：πT≡ π（t，Xπt，Yt，Zt），Xπs≥ 0, s≥ t、 给定（Xπt，Yt，Zt）=（X，y，z）}。上标、δ强调了对通过YtandZt引入的两个小参数的依赖性。通常，根据假设，V，δ被描述为HJB方程（2.9）的经典解或粘度解，对于HJB方程（2.9），闭合d型解很少可用。在文献[9]中，假设存在经典解，通过奇异和正则摄动技术推导出形式一阶展开式：V，δ=V（0）+√v（1,0）+√δv（0,1）+v（2,0）+δv（0,2）+√δv（1,1）+···。（1.4）第2.2节将介绍v（0）、v（1,0）和v（0,1）的配方。请注意，即使在规范的电力效用情况下，上述展开也不严格，因为将问题线性化的disto-rtion变换[22]不适用于超过一个随机波动率因子。然而，他们推测[9，第4.2节]，根据（1.4）中的前导阶项v（0）定义的零阶策略：π（0）=-λ（y，z）σ（y，z）v（0）x（t，x，z）v（0）xx（t，x，z），可以复制v，δ直到一阶校正，即与π（0）相关的值函数取形式v（0）+√v（1,0）+√δv（0,1）+o(√ +√δ).主要结果。本文的目标有两个：首先，我们对π（0）的上述断言进行了严格化。为此，我们分析了与π（0）相关的问题值所满足的线性P：Vπ（0），，δ：=EnU（Xπ（0）T）Xπ（0）t=X，Yt=y，Zt=zo，其中Xπ（0）在（1.2）中给出，其中π=π（0）。对于Vπ（0）、、δ，得到了严格的一阶近似，它与V（0）一致+√v（1,0）+√δv（0,1）。这导致了我们的第一个结果。定理1.1。

设v（0）、v（1,0）和v（0,1）是第2.2节中确定的v、δ在（1.4）中的启发式展开的系数函数。在假设2.5和2.3下，残差函数E（t，x，y，z）定义为bye（t，x，y，z）：=Vπ（0），，δ（t，x，y，z）- v（0）（t，x，z）-√v（1,0）（t，x，z）-√对于所有（t，x，y，z），δv（0,1）（t，x，z）的阶数为+δ∈ [0，T]×R+×R×R，即| E（T，x，y，z）|≤ C（+δ），其中C可能依赖于（t，x，y，z），但不依赖于（，δ）。第3节将给出证明。其次，更重要的是，我们证明了π（0）outp执行某种形式的任何可容许策略。精确地说，对于一些过程eπt、eπ（1,0）t、eπ（0,1）t（不一定以反馈形式）和一些正幂α、β，我们将其性能与eπ，δ=eπ+αeπ（1,0）+Δβeπ（0,1），（1.5）进行了比较。为此，对于假设符合第4节和附录A的eπ、eπ（1,0）和eπ（0,1）的x选择，我们表示byeV，δ值过程：eV，δt=e{U（xπt）| Ft}，π=eπ，δin（1.5），（1.6），Ft=σ（Ws，WYs，WZs，s≤ t） 。然后通过比较Vπ（0），，δ与V，δ的近似值，得到π（0）的渐近最优性。现在，我们将此结果总结如下。定理1.2。在假设2.5、2.3、4.1和A.1下，对于eπ、eπ（1,0）、eπ（0,1）、α、β的任何固定选择，土地满意度存在以下限制：l := lim（，δ）→0eV，δt- Vπ（0），，δ（t，Xt，Yt，Zt）√ +√δ≤ 也就是说，生成Vπ（0），，δ的策略π（0）在阶上的渐近性能更好√ +√δthan（1.5）中给出的策略eπ，δ。考虑这种形式的eπ，δ的原因如下。在温和的假设下，optimizerto问题（1.3），用π表示*, 存在【14】。虽然π*对（，δ）有明显的依赖性，当（，δ）为零时，它是否会收敛是未知的。

支持π*允许一个极限，比如eπ，那么很自然地将eπ，δ视为极限eπ的第一个或第二个扰动。参数（α，β）允许对（，δ）的任何正幂进行校正，从而使该假设更加灵活。关于我们的结果的几点评论：首先，我们的模型同时考虑了两个波动因素，一个快速，一个缓慢。这扩展了我们之前的工作【7】和【13】，其中收益率u和波动率σ由单一因素驱动。反过来，需要将正则摄动技术和奇异摄动技术结合起来，这两种技术分别应用于上述工作中。这涉及到非平凡的额外困难。其次，我们处理一般效用函数，这与大多数文献所考虑的某种类型的效用（幂、指数、对数等）相反。这种泛化非常重要，因为并非每个人的效用都是CRRA类型的[2]。第三，虽然我们无法通过证明扩展（2.10）来充分描述V，δ，但我们通过分析asub最优策略π（0）来回答这个问题，该策略具有严格的一阶近似，与V，δ的启发式一致，并且优于任何形式（1.5）的可接受策略。论文的组织结构。在第2节中，我们重申了[9，第4节]中的多尺度模型和启发式扩展结果。然后，我们简要回顾了经典的默顿问题，该问题与（2.10）中的零阶值v（0）以及后面章节中的推导密切相关。我们还列出了所有需要的假设和引理，为以后的证明做准备。第3节分析了π（0）-投资组合的性能，并严格定义了其Firstorder近似。

第4节专门讨论了π（0）的渐近最优性，如定理1.2所述，通过比较eπ，δ=eπ+αeπ（1,0）+Δβeπ（0,1）与π（0）的一阶性能。我们在第5.2节“准备和假设”中做了总结。在本节中，我们首先详细介绍了多尺度随机波动模式，回顾了Merton PDE和风险容忍函数，总结了[9，第4节]中的扩展结果，并列出了效用和状态过程的模型假设。回想一下由快速因子Yt和慢速因子Zt驱动的随机环境，基础资产组合DST=u（Yt，Zt）Stdt+σ（Yt，Zt）StdWt，（2.1）dYt=b（Yt）dt+√a（Yt）dWYt，（2.2）dZt=δc（Zt）dt+√δg（Zt）dWZt，（2.3），其中标准布朗运动（Wt，WYt，WZt）由以下公式表示：dW、 怀俄明州t=ρdt，dW、 WZ公司t=ρdt，dWY，WZt=ρdt，具有正定义约束：|ρ|<1，|ρ|<1，|ρ|<1和1+2ρρρ- ρ- ρ- ρ> 0.关于模型系数u（y，z）、σ（y，z）、b（y）、a（y）、c（z）和g（z）的假设将在第2.3节中具体说明。和δ都是小的正参数，分别表征了Yt的快速平均重变和Zt的缓慢变化。时变过程ZtD=Z（1）δ是连续的，具有一个无δ的微元生成器，用M表示：M=g（Z）z+c（z）z、 （2.4）类似地，过程Y（1）tD=Ythas为无的微型生成器：L=a（Y）y+b（y）y、 为了应用奇异摄动，我们假设y（1）是遍历的，并且具有唯一的不变量分布Φ。

我们用h·i表示关于Φ的平均值：hfi=Zf dΦ。进一步讨论模型（2.1）–（2.3），包括期权定价的渐近结果为（，δ）→ 0，我们参考[8]。回顾第一节中与反馈交易策略π相关的财富过程Xπt：dXπt=π（t，Xπt，Yt，Zt）u（Yt，Zt）dt+π（t，Xπt，Yt，Zt）σ（Yt，Zt）dWt，以及值函数V，δ（t，X，y，z）：V，δ（t，X，y，z）=supπ∈A，δE[U（XπT）| XπT=X，Yt=y，Zt=z]，第2.2节回顾了[9，第4节]中研究的V，δ的启发式展开结果。在那之前，我们将通过回顾经典的默顿问题来绕道一点，因为它在渐近分析以及后来的证明中起着重要作用。2.1默顿偏微分方程和风险容忍度函数在默顿的原著【17，18】中，（2.1）中的收益率u和波动率σ均为常数。在这种情况下，财富过程用Xπt表示（有一些滥用符号），bec omesdXπt=π（t，Xπt）udt+π（t，Xπt）σdWt。按照[9]中的符号，我们用M（t，x；λ）表示相应的默顿值函数：M（t，x；λ）=supπE[U（xπt）| xπt=x]，其中λ是夏普比λ=u/σ。显示对λ的显式依赖性的原因是M（t，x；λ）由非线性方程mt表征-λMxMxx=0，M（T，x；λ）=U（x）。（2.5）其中λ显示为参数。稍后，当在（1.4）中识别v（0）时，符号M将与不同的λ重复使用。应用动态编程原理，给出了SMT+supπ，得到了PDE（2.5）σπMxx+uπMx= 0，然后插入最优策略π的候选者（t，x；λ）=-λσMx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（2.6）验证定理【1，第19章】确保解决HJB方程也可以作为问题的有效条件（1.1）。

接下来，我们将提供一些与后面的推导相关的结果。为了简洁起见，省略了这些证明，有关详细信息，请参阅[7，第2.1节]。提案2.1。假设效用函数U（x）是C（0，∞), 严格递增，严格凹，使得U（0+）是有限的，并满足INDA和渐近弹性条件：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1，那么，默顿值函数M（t，x；λ）严格递增，在财富变量x中严格凹，在时间变量t中递减。它是C1,2（[0，t]×R+），是方程（2.5）的唯一解。它是关于λ的cw，最优投资组合π*由（2.6）给出。接下来，我们定义与经典默顿值函数相关的风险容限函数R（t，x；λ）：R（t，x；λ）=-Mx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（2.7）它在后面章节的分析中起着重要作用。注意，由于M（t，x；λ）的正则性、严格凹性和单调性，R（t，x；λ）定义良好、连续、严格正。根据[9]中的说明，我们根据R（t，x；λ）Dk（λ）=R（t，x；λ）k定义微分算子kx，k=1，2，····，Lt，x（λ）=t+λD（λ）+λD（λ）。（2.8）注意，Lt，x（λ）的系数取决于R（t，x；λ），因此取决于M（t，x；λ）。因此，MertonPDE（2.5）可以用“线性”mannerLt，x（λ）M（t，x；λ）=0重写，并且该PDE具有唯一的非负解。提案2.2。设Lt，x（λ）为（2.8）中定义的算子，并假设效用函数U（x）满足命题2.1中的条件，则Lt，x（λ）U（t，x；λ）=0，U（t，x；λ）=U（x），具有唯一的非负解。因此，这种零终端条件的偏微分方程只具有平凡解。2.2多尺度渐近展开我们现在总结了【9，第4节】中导出的一些现有理论。