投资组合优化的多尺度渐近分析

（3.14）重复使用v（0）的凹度，【7】中的命题3.7和命题2.6保证了Dv（0）以v（0）的z倍数为界，即对于任何采用ab ove形式的Dv（0），我们有Dv（0）（t，x，z）≤ k（z）v（0）（t，x，z），（3.15）对于一些非负且最多多项式增长函数k（z）。为清楚起见，我们考虑Rto中的术语Lvπ（0），（2,0）来说明上述过程。根据定义，一个有LVπ（0），（2）=t+λ（y，z）R（t，x；λ（z））x+λ（y，z）R（t，x；λ（z））x个(-θ（y，z）Dv（0））=-θ（y，z）（λ（y，z）-λ（z））R（t，x；λ（z））x+（λ（y，z）-λ（z））R（t，x；λ（z））x个Dv（0）=-θ（y，z）（λ（y，z）-λ（z））（Dv（0）+DDv（0）），其中我们使用了关系Lt，x（λ（z））Dv（0）=DLt，x（λ（z））v（0）=0。在假设2.3下，函数θ（y，z）（λ（y，z）-λ（z））最多呈多项式增长，因此Lvπ（0），（2）的形式为（3.12）。因此，省略了Ri中的其他术语，即i=1、2、3，然后是类似的推理。为了说明（3.13）–（3.14）中的所有导数可以像（3.15）中那样有界，我们考虑以zDv（0）为例：zDv（0）=zR（Rx- 1） v（0）≤Rz（Rx- 1） v（0）x+RRxzv（0）x+R（Rx- 1） v（0）xz,其中，我们省略了R的参数（t，x；λ（z）），以及v（0）的参数（t，x，z）。提案2.6给出了| Rx |≤ Kand | R |≤ 因为R严格递增[7，命题3.4]。根据[7]中的命题3.7，zderivatives以其自身的多项式倍数为界，即| Rz |≤ed（z）R，| Rxz |≤edand公司v（0）xz≤ d（z）v（0）x，正的，主要是多项式增长的，eD和d。

因此，ab ove不等式以d（z）xv（0）x为界，然后使用v（0）的余隙以d（z）v（0）为界。然后，我们可以使用柯西-施瓦茨不等式来分离积分中仅依赖于（y，z）和v（0）（s，Xπ（0）s，Zs）的函数，也就是说，它是由（t，y，z）zth（Ys，Zs）k（Zs）ds导出的！1/2E（t，x，y，z）ZTtv（0）（s，xπ（0）s，Zs）ds！1/2.（Yt，Zt）的假设确保第一部分在（，δ）中一致有界，而第二部分遵循引理2.4。类似地，（3.11）中的最后两项是通过使用效用假设重复上述程序来定义的（参见假设2.5方程（2.17））。到目前为止，我们已经为任何（t，x，y，z）显示了∈ [0，T]×R+×R×ReE（t，x，y，z）≤欧共体 + δ +√δ≤eC（δ+），其中eC可能因线路而异，且不含（，δ）。根据E和E之间的差异Vπ（0），，δ- v（0）-√v（1,0）-√δv（0,1）≤eE公司+vπ（0），（2,0）+3/2vπ（0），（3,0）+√δvπ（0），（2,1）≤ C（+δ），其中C=C（t，x，y，z），与小参数（，δ）无关。这样我们就得到了期望的结果。4π（0）的渐近最优性本节着重于定理1.2的证明，通过与π，δ=eπ+αeπ（1,0）+Δβeπ（0,1）形式的其他容许策略进行比较，专门讨论π（0）的性能。假设4.1和A.1中给出了关于eπ、eπ（1,0）和eπ（0,1）的任何固定选择的详细假设。回顾（1.6）中定义的相关值过程eV，δtde:eV，δt=E{U（Xπt）| Ft}，（4.1），其中π=Eπ，δ和Xπt由dxt=Eπ，δtu（Yt，Zt）dt+Eπ，δtσ（Yt，Zt）dWt驱动。（4.2）我们希望通过观察Vπ（0），，δ和V，δ的近似值，渐近比较π（0）和eπ，δ的性能。对于Vπ（0），，δ，定理1.1给出了严格的结果。因此，仍需找到与所需阶数的eπ，δ相关的近似值。

注意，（4.1）是一个过程，而不是（t，x，y，z）的函数，因为我们不限制自己使用马尔可夫策略。这也在下文中明确说明。假设4.1。对于（eπ，eπ（1,0），eπ（0,1），α，β）的固定选择，我们要求：（i）过程eπt，eπ（1,0）和eπ（0,1）皮重适应三种布朗运动（Wt，WYt，WZt）产生的过滤Ft。（ii）策略eπ，δ=eπ+αeπ（1,0）+δβeπ（0,1）是可容许的。（iii）函数u（y，z）最多是多项式增长的。（iv）过程v（0）（t，Xπt，Zt）=M（t，Xπt；λ（Zt））在L（[0，t]×中Ohm) 统一in（，δ），即e“ZTv（0）（s，Xπs，Zs）ds公司#≤ C、 其中，Cis独立于（，δ），Zt紧随其后（2.3），Xπt紧随其后（4.2）。上述假设主要是为了确保ev、δ得到很好的定义，并且可以得到启发式展开式。一旦这样做了，就需要在eπ，δ上附加技术可积性条件，以严格化导数。为了不减少呈现流量，我们将在附录A中列出它们。第一次尝试确定feV，δ的近似值是使用偏微分方程方法，如Vπ（0），，δ的情况。为了做到这一点，我们确实需要将eπ，δ限制为反馈策略，即eπt，eπ（0,1）和eπ（0,1）皮重函数（t，Xπt，Yt，Zt）。因此，ev，δt是（t，x，y，z）的函数，可以用偏微分方程来表征。

L et L是状态过程（Xπt，Yt，Zt）的最小发生器，Xπtde定义在（4.2）中，通过定义v，δ满足：teV，δ+LeV，δ=0，eV，δ（T，x，y，z）=U（x）。根据和δ的幂，可以将发电机L重写为：0=t+L=L+δM+√δ√M+√eL+eL+αeL+2αeL+α-1/2升+√δfM+δβfM+δ2βfM+αδβfM+δβ√fM+α√δfM+δβ+1/2fM，（4.3），其中操作符定义为（为了简洁起见，系统地省略了eπ、eπ（1,0）、eπ（0,1）的参数）：eL=ρa（y）σ（y，z）eπx个y、 eL=t+u（y，z）eπx+σ（y，z）eπx、 eL=u（y，z）eπ（1,0）x+σ（y，z）eπeπ（1,0）x、 eL=σ（y，z）eπ（1,0）x、 eL=ρa（y）σ（y，z）eπ（1,0）x个y、 fM=ρσ（y，z）g（z）eπx个z、 fM=u（y，z）eπ（0,1）x+σ（y，z）eπeπ（0,1）x、 fM=σ（y，z）eπ（0,1）x、 fM=σ（y，z）eπ（1,0）eπ（0,1）x、 fM=ρa（y）σ（y，z）eπ（0,1）x个y、 fM=ρσ（y，z）g（z）eπ（1,0）x个z、 fM=ρσ（y，z）g（z）eπ（0,1）x个z、 观察到四个标尺α，√, δβ,√δ存在于（4.3）中，我们提出以下假设，δ=ev（0）+n+1Xi+j=1iαδjβev（iα，jβ）+√ev（1,0）+√δev（0,1）+··，（4.4），其中n=max（n，n），n（resp.n）是满足nα<（resp.nβ<）的最大整数。如果在我们之前的工作【7，第4节】中只考虑了s低因子，那么在有了ansatz之后，下一步就是在o之前确定所需的项(√ +√δ） 在（4.4）中，并证明扩展的合理性。进行此操作时，请记住，我们需要将其与Vπ（0）、、δ的近似值进行比较，即V（0）+√v（1,0）+√δv（0,1）+O（+δ）。在某些情况下，很难进行比较。即使对于可以进行比较的情况，通过匹配所有不同者的术语，这个过程也是漫长而乏味的。

对于实例，当α=和β=时，o之前的术语(√ +√δ） 在（4.4）中，areev（0）+αev1α，0β+δβev0α，1β+δ2αev2α，0β+δβevα，β+δ3αev3α，0β+√ev（1,0）+√δev（0,1），其中ev1α、0β和ev0α、1β为识别零，其他项可用有效方程表示。但不可能将上述每一项与v（0）进行比较+√v（1,0）+√δv（0,1），vπ（0），，δ的一阶近似值。然而，如果在上述表达式中加上δ2βev0α，2β这一术语（尽管其本身是(√ +√δ） ，并将其与2αev2α，0β+αΔβevα，β重新组合，可以断言s um为负且为O级（2α+δ2β）。因此，我们可以假设π（0）的输出性能为2α+δ2β的顺序，并且不需要进一步分析项（例如3αev3α，0β+√ev（1,0）+√δev（0,1））。正如你所看到的，对于α，β的一种情况，进行比较已经很棘手了。因此，在这一节中，我们将用另一种方法来表示π（0）的最优性：epsilon-marting-ale分解法。epsilon-martinga-le分解方法的一个优点是放松了反馈形式的控制。正如您在上述关于eπ，δ的假设中所看到的，我们不要求eπ，δ是状态（t，Xt，Yt，Zt）的显式函数，而是一个一般的适应过程，尽管我们打算将其与π（0）进行比较，π（0）是马尔可夫类型。4.1ε鞅分解εMartingale分解是一种有效的工具，可以在涉及所有参数的非马尔可夫问题中找到感兴趣的鞅的近似值。用（Vδt）t表示该鞅∈[0，T]与部分过滤（Ft）T对应∈[0，T]，其中δ表示一组小参数，则该方法包括使n-ansatz Qδtfor Vδtin成为一个鞅加上一个小的（非z-eronon鞅部分）的形式，并具有正确的终端条件。

那么这个ansa-tz实际上是vδt的近似值，其误差为非鞅部分的阶数。更准确地说，假设有人打算找到Vδtat阶的近似值√δ然后需要分解Qδtas：Qδt=Mδt+Rδt，Qδt=Vδt，（4.5），其中Mδ是鞅，Rδ是o阶(√δ). 请注意，订单条款√δ将被摩尔分数Mδt吸收。假设我们得到这样的分解（4.5），那么，在方程Qδt=Mδt+RδTgivesVδt=e的两侧取关于f的条件期望QδT | Ft= Mδt+ERδT | Ft= Qδt+ERδT | Ft- Rδt，因为Rδt为o阶(√δ） ，Qδ是Vδtup to的近似值√δ. 因此，上述论证得出了期望的d近似结果。在我们的例子中，鞅考虑了（4.1）中定义的iseV，δtde，期望的R阶，δ是o(√+√δ） 或o（1），取决于π（0）和eπ之间的关系。推导将在下一节中介绍。4.2 V，δ的渐近性和定理1.2的证明在下面，我们将推导V，δ的近似值。为了缩短表达式的长度，在不引入混淆的情况下，我们系统地省略了函数v（0）、v（1,0）和v（0,1）的参数（t，Xπt，Zt）。此外，关于真鞅性和剩余项顺序的主张由假设A保证。由于这是通过推导使用的，我们在开始时提到了它，以后不再重复这种推理。近似的阶数将取决于eπ是否与π（0）相同。我们首先处理eπ=π（0）的情况。

通过应用于v（0）（t，Xπt，Zt）的It^o公式，我们推导出dv（0）（t，Xπt，Zt）=Lt，X（λ（Yt，Zt））v（0）dt+αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tu（Yt，Zt）v（0）xdt+αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tσ（Yt，Zt）v（0）xxdt+λ（Yt，Zt）R（t，Xt；λ（Zt））αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tσ（Yt，Zt）v（0）xxdt+δMv（0）dt+√Δρg（Zt）πtσ（Yt，Zt）v（0）xzdt+dfM（1）t，其中fm（1）是一个随机变量fm（1）t=πtσ（Yt，Zt）v（0）xdWt+√δg（Zt）v（0）zdWZt。利用关系式Lt，x（λ（z）））v（0）=0，以及R（t，x；λ）和Dk的定义，可以简化上述asdv（0）（t，xπt，Zt）=λ（Yt，Zt）-λ（Zt）Dv（0）dt+√Δρg（Zt）λ（Yt，Zt）Dv（0）zdt+凹痕+deR（1）t+dfM（1）t，（4.6），其中~ O（2α+δ2β）严格递减，且（1）高于阶数√ +√δ由凹痕定义=αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tσ（Yt，Zt）v（0）xxdt，deR（1）t=δMv（0）dt+√Δρg（Zt）αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tσ（Yt，Zt）v（0）xzdt。现在需要在（4.6）中找到前两项的epsilon-Martingale分解。为此，我们首先分析术语λ（Yt，Zt）- λ（Zt）dt，将在以下推导中重复使用。回想第2.2节中定义的泊松方程的解θ（y，z）：Lθ（y，z）=λ（y，z）-λ（z）。将It^o公式应用于θ（Yt，Zt），为了长度的缘故，省略了θ的参数（Yt，Zt），OneDescularsdθ（Yt，Zt）=“Lθ+δMθ+rΔMθ#dt+√a（Yt）yθdWYt+√δg（Zt）zθdWZt，其中，我们将陆地母马称为Y（1）D=Yt和z（1）D=Zt/δ和M=ρa（Y）g（z）的微型属yz

因此λ（Yt，Zt）-λ（Zt）dt=dθ-hδMθ+√δMθidt-√a（Yt）yθdWYt- √δg（Zt）zθdWZt。然后（4.6）中的第一项计算如下λ（Yt，Zt）-λ（Zt）Dv（0）dt=Dv（0）dθ-deR（2）t-dfM（2）t，（4.7），其中（2）再次为订单o(√ +√δ） andfM（2）是由Der（2）t=hδMθ定义的一个连续鞅+√δMθiDv（0）dt，dfM（2）t=√a（Yt）θyDv（0）dWYt+√δg（Zt）θzDv（0）dWZt。对于术语Dv（0）dθ，我们使用乘积规则dDv（0）θ= Dv（0）dθ+θdDv（0）+dDv（0），θtandGetDv（0）dθ=-√ρB（Zt）Dv（0）dt+deR（3）t+dfM（3）t，（4.8）with deR（3）t=dDv（0）θ-√ρθya（Yt）+√Δρθzg（Zt）αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）t×σ（Yt，Zt）xDv（0）dt-√Δρθya（Yt）+Δθzg（Zt）zDv（0）g（Zt）dt- θt+πtu（Yt，Zt）x+πtσ（Yt，Zt）x+δM+√Δρg（Zt）πtσ（Yt，Zt）xz公司Dv（0）dt-√ρ（a（Yt）λ（Yt，Zt）θy- B（Zt））Dv（0）dt，dfM（3）t=πtσ（Yt，Zt）xDv（0）载重吨+√δg（Zt）zDv（0）dWZt。现在回想一下，（2.12）中定义的快速变量v（1,0）的一阶校正满足Lt，x（λ（z））v（1,0）=ρB（z）Dv（0），因此√v（1,0）（t，Xπt，Zt）=√ρB（Zt）Dv（0）dt+deR（4）t+dfM（4）t，（4.9）其中deR（4）t=√αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tu（Yt，Zt）v（1,0）xdt+√αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tσ（Yt，Zt）v（1,0）xxdt+√αeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tλ（Yt，Zt）R（t，Xπt，λ（Zt））σ（Yt，Zt）v（1,0）xxdt+√δMv（1,0）dt+√Δρg（Zt）πtσ（Yt，Zt）v（1,0）xzdt+√λ（Yt，Zt）-λ（Zt）（D+2D）v（1,0）dt，dfM（4）t=√πtσ（Yt，Zt）v（1,0）xdWt+√δg（Zt）v（1,0）zdWZt。（4.6）中的第二项由慢变量v（0,1）中的一阶校正来处理，它表示Lt，x（λ（z））v（0,1）=- ρbλ（z）g（z）Dv（0）z；见（2.13）。

应用It^o公式计算v（0,1）（t，Xπt，Zt）屈服√δv（0,1）（t，Xπt，Zt）=√Δρg（Zt）λ（Yt，Zt）Dv（0）zdt+deR（5）t+dfM（5）t，（4.10）with deR（5）t=√δαeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tu（Yt，Zt）v（0,1）xdt+√δαeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tσ（Yt，Zt）v（0,1）xxdt+√δαeπ（1,0）t+Δβeπ（0,1）tλ（Yt，Zt）R（t，Xπt，λ（Zt））σ（Yt，Zt）v（0,1）xxdt+δ3/2Mv（0,1）dt+Δρg（Zt）πtσ（Yt，Zt）v（0,1）xzdt+√δλ（Yt，Zt）-λ（Zt）（D+2D）v（0,1）dt-√Δρg（Zt）λ（Yt，Zt）-bλ（Zt）Dv（0）zdt，dfM（5）t=√Δπtσ（Yt，Zt）v（0,1）xdWt+δg（Zt）v（0,1）zdWZt。现在，用Q（t，x，z）=v（0）（t，x，z）定义函数Q（t，x，z）+√v（1,0）（t，x，z）+√δv（0,1）（t，x，z），其终端条件为Q（t，x，z）=v（0）（t，x，z）=U（x）。结合方程（4.6）、（4.7）、（4.8）、（4.9）和（4.10），我们推导出dq（t，Xπt，Zt）=deRt+dfMt+deNt，其中(√ +√δ） ，而Fmtis a tru鞅由dert=deR（1）t给出-deR（2）t+deR（3）t+deR（4）t+deR（5）t，dfMt=dfM（1）t-dfM（2）t+dfM（3）t+dfM（4）t+dfM（5）t。根据假设A.1中要求的可积性条件、[7，命题3.7]中列出的v（0）估计值以及各种函数的增长条件，对上述关于MTA的阶数和真实马丁尼性的主张进行了调整。

最后我们得出结论：v，δt=E[U（Xπt）| Ft]=E[Q（t，Xπt，ZT）| Ft]=Q（t，Xt，ZT）+E[eRT-eRt | Ft）+E[输入-eNt | Ft）<Q（t，Xt，Zt）+o(√ +√δ） ，（4.11），其中第一步是由ENT的单调性决定的。在eπ6=π（0）的情况下，类似的导数会带来dv（0）（t，Xπt，Zt）=Lt，X（λ（Yt，Zt））v（0）dt+πt- π(0)σ（Yt，Zt）v（0）xxdt+δMv（0）dt+√Δρg（Zt）πtσ（Yt，Zt）v（0）xzdt+πtσ（Yt，Zt）v（0）xdWt+√δg（Zt）v（0）zdWZt=dbRt+dbNt+dcMt，其中B的顺序为O(√ +√δ） ，cMtis a true鞅和bntis严格递减且为一阶：dbRt=（λ（Yt，Zt）-λ（Zt））Dv（0）dt+δMv（0）dt+√Δρg（Zt）πtσ（Yt，Zt）v（0）xzdt，dbNt=πt- π(0)σ（Yt，Zt）v（0）xxdt，dcMt=πtσ（Yt，Zt）v（0）xdWt+√δg（Zt）v（0）zdWZt。因此，在这种情况下，eV，δt=E[U（Xπt）| Ft]=E[v（0）（t，Xπt，ZT）| Ft]=v（0）（t，Xt，ZT）+E[bRT-bRt | Ft）+E[bNT-bNt | Ft]<v（0）（t，Xt，Zt）+O(√ +√δ). （4.12）定理1.2中的不等式是Vπ（0），，δ和V，δ两个近似结果的结果。通过比较定理1.1中给出的Vπ（0）、、δ的近似值与Q（t，x，z）的定义，我们得出Vπ（0）、、δ（t，x，y，z）=Q（t，x，z）+O（+δ）。现在，将其与两个不等式（4.11）和（4.12）进行比较，并观察-耳鼻喉科√+√δ和BNT-bNt公司√+√δ为负无论α和β取什么值，我们都得到了期望的结果。5结论本文研究了多尺度随机环境下投资者效用一般时的投资组合优化问题。受最近的实证研究[8]的推动，基础资产的回报率和波动率由快时间尺度和慢时间尺度的函数建模。我们首先分析了[9]中提出的零阶策略的性能，并给出了与该策略相关的一阶价值过程的严格近似值。然后，我们将其性能与任何特殊形式的可接受策略进行比较。