尾部拟线性方法的风险管理

TQLMραuh具有以下性质：a）它是定律不变的。b） 它具有恒常性。c） 这是单调的。d） 当且仅当U（x）=-e-γx，γ>0，或者如果U是线性的。e） 它在严格递增的函数类中是正齐次的，只有U（x）=γxγ，x>0，γ6=0或U（x）=ln（x）或U是线性的。证据a） 定律不变性直接源于ραu的定义和V aRα是定律不变性的事实。b） 对于m∈ 我们有V aRα（m）=m，因此P=P，这意味着这个陈述。图1：当效用函数U为凹函数时，TQM、CTE、确定性等价物和预期之间的关系。c） 这里我们使用表示ραU（X）=U-1E级U（X）1{X≥V aRα（X）}1.- α!.因此，必须表明关系X≤ Y表示EU（X）1{X≥V aRα（X）}≤EU（Y）1{Y≥V aRα（Y）}. 因为我们只对X和Y的边际分布感兴趣，所以我们可以选择X=F-1X（V），Y=F-1Y（V）与均匀分布在（0，1）上的相同随机变量Vwhich。我们用引理2.2X得到≥ V aRα（X）<=> F-1X（V）≥ V aRα（F-1X（V））<=> F-1X（V）≥ F-1台V aRα（V）<=> F-1X（V）≥ F-1台α<=> 五、≥ α.Y也是如此。自X起≤ Y我们获得F-1台≤ F-1 Yand thusEU（X）1{X≥V aRα（X）}= EF-1X（V）1{V≥α}≤ EF-1Y（V）1{V≥α}= EU（Y）1{Y≥V aRα（Y）}这意味着结果。d） 因为我们有ραU（X）=U的表示-1.EU（X）, （3.6）这一陈述源自穆勒（2007）定理2.2。注意，我们可以在这里使用一个固定的条件分布，因为{X≥ V aRα（X）}={X+c≥V aRα（X+c）}对于所有c∈ R、 e）如d）中所述，该陈述源自M¨uller（2007），定理2.3。注意，我们可以在这里使用一个固定的条件分布，因为{X≥ V aRα（X）}={λX≥V aRα（λX）}对于所有λ>0。备注3.7。

定理3.6的单调性似乎很明显，但如果X和Y是离散的，它可能不成立。在这种情况下，必须谨慎（另请参见B¨auerle&M¨uller（2006））中给出的其他示例）。ConditionalTail期望也是如此。定理3.8。如果ρα是一致的风险度量，那么它就是条件尾部期望度量ραU（X）=CT Eα（X）。证据从定理3.6中可以看出，平移不变性和齐次性同时成立，当且只有U是线性的，这意味着ραU是条件尾部期望。4尾条件熵风险测度在U（x）=γeγx，γ6=0的情况下，我们得到了熵风险测度的条件尾版本。由ραU（X）=γlog E[EγX | X]给出≥ V aRα（X）]。（4.1）在这种情况下，我们写ραγ而不是ρα，因为U由γ确定。对于α↓ 0我们在极限内得到了经典熵风险测度。我们称为ραγ（X）尾条件熵测度，并从（3.3）得到ραγ（X）的以下近似值：如果γ6=0非常接近于零，则熵风险测度的条件尾版本可近似为ραγ（X）≈ CTEα（X）-γT Vα（X）。i、 e.它是由条件尾部期望和尾部方差组成的加权度量（见（3.4））。尾部条件熵风险度量的另一种表示形式是γ6=0，由给出（参见B–auerle&Rieder（2015）；Ben Tal&Teboulle（2007））ραγ（X）=infQP等式[X]+γ等式logdQdP.其中，P再次是条件分布P（·| X≥ V aRα（X））。最小Q*isattained atQ*（dz）=eγzP（dz）ReγyP（dy）。根据定理3.6，我们不能期望尾部条件熵风险测度是凸的。然而，我们得到以下结果：定理4.1。当γ>0时，尾条件熵风险测度对于共单调随机变量是凸的。证据

首先注意尾部条件熵风险测度具有恒常性和平移不变性。因此，使用Deprez&Gerber（1985）中的定理6，可以证明g（0；X，Y）≥ 0表示所有共单调X，Y，其中g（t；X，Y）=ραγ（X+t（Y- 十） ），t∈ (0, 1).因为X和Y是共单调的，所以我们可以把它们写成X=F-1X（V），Y=F-1Y（V）与均匀分布在（0，1）上的相同随机变量V。因此，我们得到了引理2.2（也比较定理3.6c的证明）X≥ V aRα（X）<=> F-1X（V）≥ V aRα（F-1X（V））<=> F-1X（V）≥ F-1台V aRα（V）<=> F-1X（V）≥ F-1台α<=> 五、≥ α.Y和X+t（Y）也是如此-十） =（1）-t） X+tY=（1-t） F级-1X（V）+tF-1Y（V），因为它是t的V的递增左连续函数∈ (0, 1). 因此，我们在此条件下的所有事件都是相同的：{X≥ V aRα（X）}={Y≥ V aRα（Y）}={X+t（Y-X）≥ V aRα（X+t（Y-十） ）}={V≥ α}.因此我们得到（t；X，Y）=E（Y）- 十） eγ（X+t（Y-十） ）[V≥α]Eeγ（X+t（Y-十） ）[V≥α]andg（0；X，Y）=γE（Y）- 十） eγX[V≥α]EeγX[V≥α]-E（Y）- 十） eγX[V≥α]EeγX[V≥α]!.此表达式可以解释为（Y）的方差- 十） 在概率测量dpdp=eγX[V≥α] E类eγX[V≥α]因此大于或等于零，这意味着该语句。5应用程序在本节中，我们展示了TQM是风险管理中各种应用程序的有用工具。5.1资本配置公司通常存在将全球风险资本要求向下分配到子投资组合的问题。一种方法是使用Aumann-Shapley资本分配规则。对于凸风险度量，这不是一项容易的任务，例如Tsanakas（2009）中已经讨论过。在这方面，一个可取的特性是，子投资组合的资本要求之和等于全球风险资本要求。更精确地说，设（X，X，…，Xn）为n个随机变量的向量，并设S=X+X+…+xN其总和。

根据TQM，衡量Xito对总资本要求的贡献的直观方法是通过定义（例如与Landsman&Valdez（2003）进行比较）：ραU（Xi）：=U-1（E[U（Xi）| S≥ V aRα（S）]）。如果ραU（S）=nXi=1ραU（Xi | S），则会产生资本分配规则。（5.1）很容易证明，该性质仅在特殊情况下成立：定理5.1。总损失S的TQLM等于风险源Xi的TQLM之和，i=1，2。。。，n、 即（5.1）适用于所有随机变量Xi，i=1，2。。。，n、 I仅当U为线性时。一般来说，我们不能期望（5.1）保持不变。事实上，对于尾部条件熵测度，我们得出，如果损失是共单调的，则无法将投资组合拆分为子投资组合，而如果两个损失是反单调的，则可以。定理5.2。尾部条件熵风险测度对于γ>0和共单调Xi，i=1，nραγ（S）的性质≥nXi=1ραγ（Xi | S）。当n=2和X时，Xare反单调不等式相反。证据在定理4.1的证明中，对于共单调X，Y，X=F-1X（V），Y=F-1Y（V）与均匀分布在（0，1）和thatX+Y上的相同随机变量V≥ V aRα（X+Y）<=> 五、≥ α.因此，S=X+Y1- αEheγ（X+Y）[S≥V aRα（S）]i=1- αEheγ（F-1X（V）+F-1Y（V））[V≥α] i=~EheγF-1X（V）eγF-1Y（V）i≥EheγF-1X（V）iEheγF-1Y（V）i=1- αEheγX[S≥V aRα（S）]i1- αEheγY[S≥V aRα（S）]是协方差。对于共单调随机变量，协方差为正。这里，与前面一样，P是比亚迪给定的条件分布PdP=1-α[V≥α]. 在两侧取γlog表示n=2的结果。一般结果是通过归纳随机变量的数量得出的。在反单调的情况下，不等式相反。5.2最优再保险薄膜风险度量也可用于确定最优再保险条约。

如果随机变量X描述损失，保险公司可以通过将X分为两部分并将其中一部分转移给再保险公司来降低风险。更正式地说，再保险协议是f:R的函数+→ R+使得f（x）≤ x和fas以及Rf（x）：=x- f（x）都在增加。再保险部分则为f（x）。后一种假设通常是为了排除道德风险。在以下情况下，letC={f:R+→ R+| f（x）≤ x个x个∈ R+和f，Rfare increasing}，是所有再保险协议的集合。请注意，C中的函数尤其是Lipschitzcontinuous，因为Rfincreasing导致f（x）- f（x）≤ x个- 所有0的X≤ x个≤ x、 当然，保险公司必须向承担部分风险的再保险人支付保险费。为简单起见，我们在此假设保费是根据预期价值保费原则计算的，即θ>0时，保费由（1+θ）e[f（X）]给出，且一定金额P>0可用于再保险。现在的目标是求解ραURf（X）s、 t.（1+θ）E[f（X）]=P，f∈ C、 （5.2）这意味着，鉴于P金额可用于再保险，保险公司试图将留存风险降至最低。这类问题可以在Gajek&Zagrodny（2004）中找到。B–auerle&Glauner（2018）中给出了多维扩展。在下面的内容中，我们假设U是严格递增的、严格凸的和连续可微的，即根据（3.3），Rf（X）右尾的大偏差是严重类型化的。为了避免琐碎的情况，我们假设可用于再保险的金额不会太高，即我们假设p<（1+θ）e[（X- V aRα（X））+]。下面的定理给出了最优再保险协议。结果是阿斯托普损失条约。定理5.3。

问题（5.2）的最优再保险协议由byf给出*（十）=0，x≤ a、 x个- a、 x>a，其中a是（1+θ）E[（x）的正解- a） +]=P.请注意，最优再保险协议并不取决于U的精确形式，即保险公司的精确风险规避。证据首先观察z 7→ E[（X- z） +]连续且递减。此外，假设P<（1+θ）E[（X-V aRα（X））+]。因此，根据中值定理，存在a>V aRα（X），使得（1+θ）E[（X- a） +]=P.自U起-问题（5.2）相当于tomin EhU（Rf（X））1[Rf（X）≥V aRα（Rf（X））]s、 t.（1+θ）E[f（X）]=P，f∈ C、 自f起∈ C我们通过引理2.3得到，V aRα（Rf（X））=Rf（V aRα（X）），并且由于Rfisnon递减，我们得到{X≥ V aRα（X）} {Rf（X）≥ Rf（V aRα（X））=V aRα（Rf（X））}。另一方面，假设f（x）=0表示x是合理的≤ V aRα（X），因为该概率质量未进入目标函数，这意味着Rf（X）=X forx≤ V aRα（X），因此{Rf（X）≥ Rf（V aRα（X））=V aRα（Rf（X））} {X≥ V aRα（X）}。我们总共有{Rf（X）≥ V aRα（Rf（X））}={X≥ V aRα（X）}。因此，我们可以等效地考虑问题minfehu（Rf（X））1[X≥V aRα（X）]s、 t.（1+θ）E[f（X）]=P，f∈ C、 接下来要注意的是，对于任何凸的可微函数g:R+→ R+thatg（x）- g（y）≥ g（y）（x）- y） ，x，y≥ 现在考虑函数g（z）：=U（x-z） 1[x≥V aRα（X）]+λz，对于固定λ：=U（a）>0和固定X∈ R+。根据我们的假设，g是凸的且可微分，导数EG（z）=-U（x- z） 1[x≥V aRα（X）]+λ。让f*是定理和f中定义的再保险协议∈ C任何其他可接受再保险条约。

ThenE公司U（X- f（X））1[X≥V aRα（X）]- U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]+λ（f（X）- f*（十） （）≥≥ 呃- U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]+λ（f（X）- f*（十） i.重新排列术语，并注意到E[f（X）]=E[f*（十） ]我们获得U（X- f（X））1[X≥V aRα（X）]+ 呃U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十） ）我≥≥ EU（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]下面是我们可以证明U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十） ）我≤ 我们可以写U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十） ）i=E[X≥a]U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十） （）++ E[X<a]U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ（f（X）- f*（十） （）在第一种情况下，我们得到X≥ a由f定义*λ（注意a>V aRα（X））：U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ=U（a）- λ = 0.在第二种情况下，我们得到X<a的f（X）- f*（十） =f（X）≥ 0和自ui增加：U（X- f*（十） ）1[X≥V aRα（X）]- λ ≤ λ1[X≥V aRα（X）]- λ ≤ 0。因此显示该语句。6对称损失模型的TQM对称分布族以提供合适的金融和精算分布而闻名。该族将正态分布推广到对称的柔性分布框架中。如果一个实值随机变量X的概率密度函数的形式为fx（X）=σg，那么我们说它具有对称分布x个- uσ!, x个∈ R（6.1），其中g（t）≥ 0，t≥ 0，是X和saties的密度生成器∞Zt公司-1/2g（t）dt<∞.参数u∈ R和σ>0分别是分布的期望值和尺度参数，我们写X v S（u，σ，g）。如果存在X的方差，则其形式为v（X）=σZσ，其中σZ=2∞Ztg公司t型dt<∞.对于续集，我们还定义了标准对称随机变量Z v S（0，1，g）和累积生成器g（t），这是Landsman&Valdez（2003）首次定义的，采用了形式g（t）=∞Ztg（v）dv，条件G（0）<∞.

对称分布族的特殊成员有：a）正态分布，g（u）=e-u型/√2π，b）学生t分布g（u）=Γ（m+1）Γ（m/2）√mπ1+2微米-（m+1）/2当m>0自由度时，c）物流分布，g（u）=ce-u/（1+e）-u） 其中，c>0是规格化常数。在下文中，我们将考虑这类随机变量的TQM。定理6.1。设X v S（u，σ，g）。然后，TQLM采用以下形式ραU（X）=ραИU（Z）（6.2），其中U（X）=U（σX+u）。证据对于对称分布X，我们有ραU（X）=U-1E级U（X）1{X≥V aRα（X）}1.- α!.现在我们得到了U（X）1{X≥V aRα（X）}=Z∞V aRα（X）U（X）σg（十）- uσ)dx=Z∞V aRα（X）-uσU（σz+u）g（z）dz=z∞V aRα（Z）~U（Z）g（Z）dz=EU（Z）1{Z≥V aRα（Z）}式中，U（x）=U（σx+u）。因此，声明如下。对于尾部条件熵风险测度的特殊情况，我们得到以下结果：定理6.2。设X v S（u，σ，g）。当且仅当尾部条件熵风险度量满足ραγ（X）=u+σρασγ（Z）<∞.证据对于函数U，我们得到：EhU（X）1[X≥V aRα（X）]i=Z∞V aRα（X）U（X）σg（十）- uσ)dx=Z∞V aRα（X）-uσU（σy+u）g（y）dy.插入U（x）=γeγxyieldsEhU（x）1[x≥V aRα（X）]i=γeγuZ∞V aRα（X）-uσeγσyg（y）dy。因此，ραγ（X）=γnγu+对数Z∞V aRα（X）-uσeγσyg（y）dy- 日志（1- α） o=u+σγσlogZ∞V aRα（Z）eγσyg（y）dy+ σlog（1- α） σγ=u+σρασγ（Z）还应注意ραγ（X）<∞ 等价于矩生成函数的存在性。在下面的定理中，我们导出了对称损失模型族的尾部条件熵风险测度的显式公式。为此，我们用κ（t）：=logψ表示Z的累积函数-t型其中ψ是特征发生器，即它满足e[eitX]=eituψ（tσ）。定理6.3。设X v S（u，σ，g），并假设X的矩母函数存在。

然后，尾部条件熵风险测度由ραγ（X）=u+γ给出-1κ（γσ）+对数FY（V aRα（Z））1- α-1/γ.这里FY（y）是密度FY（y）=eγσyψ的随机变量y的累积分布函数-γσg级y, y∈ Rand Fy是其尾部分布函数。证据根据前面的定理，我们得到ραγ（X）=u+σρασγ（Z），其中Z vS（0，1，g）。然后，根据Landsman et al.（2016），可以明确计算对称分布的条件特征函数，如下所示：EeγσZ | Z≥ V aRα（Z）=∞RV aRα（Z）eγσzgzdz1- α观察到以下关系适用于g的任何特征生成器ψ（参见Landsman et al.（2016），Dhaene et al.（2008））aZ-∞eγσzgzdz=ψ-γσFY（a），a∈ R、 我们的结论是eγσZ | Z≥ V aRα（Z）= ψ-γσFY（V aRα（Z））1- α、 最后，ραγ（X）=u+σρασγ（Z）=u+γ-1.对数ψ-γσ+ logFY（V aRα（Z））1- α= u + γ-1κ（γσ）+对数FY（V aRα（Z））1- α-1/γ，其中κ（γσ）=logψ-γσ是Z的累积量。示例6.4。正态分布。对于X v N（u，σ），特征发生器是指数函数，我们有ψ-t型= et.（6.3）这导致以下密度YfY（y）=eγσy-γσ√2πe-y（6.4）=φ（y- γσ），其中φ是标准正态密度函数。然后，尾部条件熵测度由ραγ（X）=u+γσ+log给出Φ (Φ-1(α) - γσ)1 - α-1/γ.这里Φ，Φ分别是标准正态分布的累积分布函数和尾部分布函数。备注6.5。定理6.1和6.3的公式可以专门用于恢复对称分布的条件尾部期望、风险值和熵风险测度的现有公式。

更精确地说，我们从定理6.3中得出，ct Eα（X）=limγ↓0ραγ（X）=limγ↓0hu+γ-1κ（γσ）+对数FY（V aRα（Z））1- α-1/γi=u+σ′G（V aRα（Z））1- α、 其中，第一个limγ↓0γ-1κ（γσ）=0，使用L\'Hopital规则，第二个极限是再次使用L\'Hopital规则得到的状态表达式。该公式可在Landsman等人（2016）的推论1中找到。熵风险测度可由IMα得到↓0ραγ（X）=u- γ-1κ（γσ），对于风险值，我们最终通过定理6.1和usingU（x）得到=x、 x个≤ V aRα（X）V aRα（X），X>V aRα（X），即V aRα（X）=u+σV aRα（Z）。因此，我们的一般公式包括几个重要的特例。6.1尾部条件熵测度的最优投资组合选择最优投资组合选择的概念可以追溯到Markowitz（1952）和deFinetti（1940），其中，均值-方差度量的优化提供了一个投资组合选择规则，该规则计算应给予投资组合的每项投资的权重，以便在一定风险水平下获得最大回报。在本节中，我们将使用多变量光学模型的TQM度量检验最优投资组合选择。分布的多变量椭圆模型定义如下：设X为随机向量，其值为Rn，其概率密度函数为（参见Landsman&Valdez（2003））fX（X）=p∑gn（十）- u）T∑-1（x- u), x个∈ 注册护士。（6.5）此处为gn（u），u≥ 0，是满足不等式的分布的密度生成器∞Ztn/2-1gn（t）dt<∞,其中u∈ Rn是X的期望值，∑是n×n正有限尺度矩阵，其中，如果存在，X的协方差矩阵由cov（X）=σZn∑给出，我们写X v En（u，∑，gn）。对于n=1，我们得到了上一节讨论的对称分布类。