尾部拟线性方法的风险管理

对于椭圆分布类的一大子集，例如正态分布、Student-t分布、logistic分布和Laplace分布，对于X v En（u，∑，gn）和π∈ 对于一些非随机向量，我们有πTX v E（πTu，πT∑π，g），g：=g。这意味着椭圆随机向量的线性变换也用相同的生成器gnreduced为一维的椭圆分布。例如，在正态分布的情况下，gn（u）=e-u/（2π）n/2，然后g（u）：=g（u）=e-u/（2π）1/2。在现代投资组合理论中，投资组合回报率表示为R：=πTX，其中假设X v Nn（u，∑）是财务回报的正态分布随机向量。定理6.6。设X v En（u，∑，gn）。然后，组合收益率R=πTX的尾部条件熵风险度量由ραγ（R）=πTu给出+√πT∑πραγ√πT∑π（Z）。证据根据椭圆随机向量的线性变换特性，并使用REM 6.2，定理立即成立。使用与Landsman&Makov（2016）相同的符号和定义，我们将n个1和1的列向量定义为（n）的列向量-1） 一个。此外，我们用以下划分∑定义n×n正有限尺度矩阵∑=∑∑∑Tσnn.这里∑是一个（n- 1） ×（n- 1） 矩阵，σ=（σ1n，…，σn-1n）Tandσnni是∑的（n，n）分量，我们还定义了a（n- 1） ×（n- 1） 矩阵Q，Q=∑- 1σT- σT+σnnt也是正定义（再次参见Landsman&Makov（2016））。我们还确定了（n- 1） ×1列向量 = un- u其中u：=（u，u，…，un-1） T.在下面的内容中，我们考虑用固定α和γ的最小ραγ来查找Portfolio的问题：minπραγ（R）s.T.nXi=1πi=1。（6.6）下一个定理给出了解决方案：定理6.7。设X v En（u，∑，gn）为收益的随机向量，R=πTX为投资组合收益X，X。。。，Xn。

那么，（6.6）的最优解是π*= ^1+r*^1ifr·sTQ公司-1.·r+T∑-1.-1.= 1/2有唯一的正解r*. 此处^1=T∑-1.-1Σ-11,φ=TQ公司-1.-1TQ-1.T、 s=ds（T）/dt，s（T）=TραTγ（Z）。证据我们首先通过定理6.6观察到，当πTu最小化时，ραγ（R）最小化+√πT∑πραγ√πT∑π（Z）。然后，使用Landsman&Makov（2016）中的定理3.1（另见Landsman et al.（2018）），紧接着陈述。7讨论尾部准线性平均值是一种关注风险分布右尾部的度量。在一般定义中，它包括许多著名的风险度量，如风险价值、条件尾部预期和熵风险度量。因此，一旦得到关于TQM的结果，我们就能够将它们专门化到其他有趣的案例中。这也符合平均值原则的精算概念。此外，我们已经证明，在风险管理中应用TQM确实是可能的，并且它会产生计算上可处理的结果。致谢：这项研究得到了以色列科学基金会（T.S.第1686/17号拨款）的支持。参考文献：Artzner，P.、Delbaen，F.、Eber，J.M.、Heath，D.（1999）。一致的风险度量。数学金融，9（3），203-228。B–auerle，N.，&Glauner，A.（2018）。再保险网络中的最优风险分配。保险：数学与经济学，82，37-47。B¨auerle，N.，&M¨uller，A.（2006）。随机顺序和风险度量：一致性和界。保险：数学与经济学，38132-148。B–auerle，N.，&Rieder，U.（2015）。部分可观测的离散时间风险敏感停止问题。受控随机过程的现代趋势：理论与应用，第二卷（A.B.Piunovskiy ed）。Luniver出版社，12-31。Ben Tal，A.，&Teboulle，M.（2007）。凸风险度量的一个古老的新概念：优化确定性等价物。

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