尾部拟线性方法的风险管理

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英文标题：
《Risk Management with Tail Quasi-Linear Means》
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作者：
Nicole B\\\"auerle and Tomer Shushi
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We generalize Quasi-Linear Means by restricting to the tail of the risk distribution and show that this can be a useful quantity in risk management since it comprises in its general form the Value at Risk, the Tail Value at Risk and the Entropic Risk Measure in a unified way. We then investigate the fundamental properties of the proposed measure and show its unique features and implications in the risk measurement process. Furthermore, we derive formulas for truncated elliptical models of losses and provide formulas for selected members of such models.
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中文摘要：
我们通过限制风险分布的尾部来推广拟线性平均值，并表明这在风险管理中是一个有用的量，因为它以统一的方式包括风险价值、风险尾部价值和熵风险度量。然后，我们研究了所提出的度量的基本属性，并展示了其独特的特征和在风险度量过程中的含义。此外，我们还推导了截断椭圆损失模型的公式，并为此类模型的选定成员提供了公式。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Risk_Management_with_Tail_Quasi-Linear_Means.pdf (338.08 KB)

2022-6-14 04:34:35 上传

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关键词：风险管理 Implications distribution Quantitative Applications

尾部准线性均值风险管理*以色列比尔舍瓦内盖夫本古里安大学吉尔福德·格雷泽工商管理学院工商管理系D-76128卡尔斯鲁厄卡尔斯鲁厄理工学院托默·舒什随机研究所*通讯作者。电子邮件：nicole。baeuerle@kit.eduAbstract：我们通过限制风险分布的尾部来概括准线性平均值，并表明这在风险管理中是一个有用的数量，因为它以统一的方式在其一般形式中包括风险价值、条件尾部期望和熵风险度量。然后，我们研究了所提出度量的基本属性，并展示了其独特的特征和在风险度量过程中的含义。此外，我们推导了截断椭圆损失模型的公式，并为此类模型的选定成员提供了公式。关键词：拟线性平均；风险度量；尾部风险措施；条件目标期望；风险价值；熵风险度量1简介实践中广泛使用的最突出的风险度量之一是风险价值和条件尾部期望。两者都有各自的优缺点，众所周知，条件尾部期望是控制风险价值的最小一致性风险度量（从Artzner等人（1999）的角度来看）（参见F¨ollmer&Schied（2016），定理4.67）。虽然在数值例子中，条件尾部预期通常比风险值大得多，但给定相同的α水平。在本文中，我们提出了一类风险度量，它包括风险值和条件尾部期望。具有该属性的另一类是风险价值范围，在Cont et al.（2010）中引入，作为风险价值和条件尾部预期的稳健性证明。

我们的方法依赖于准线性人的推广。准线性均值可以追溯到Bonferroni（Bonferroni（1924），第103页），他提出了不同均值的统一公式。有趣的是，他用精算学中关于生存概率的问题来推动这一点（详情参见Muliere&Parmigiani（1993），第422页）。用ψU（X）表示的随机变量X的准线性平均值是一个递增的连续函数，定义为ψU（X）=U-1（E[U（X）]）其中U-1是U的广义逆（参见Muliere&Parmigiani（1993））。如果U是加法凹的，则ψU（X）是确定性等价物。如果U是凸的，则U（X）对应于平均值风险度量（见Hardy et al.（1952））。我们从精算的角度来看，即我们假设随机变量X是实值的，代表固定期限结束时的净损失。这意味着正值将丢失，而负值将被视为增益。在本定义中采用指数函数时得到的一个众所周知的风险度量是熵风险度量，该度量已知为凸风险度量，但不一致（参见M¨uller（2007）；Tsanakas（2009））。本文通过关注风险分布的尾部，推广了拟线性平均。当以高于其风险价值的结果为条件时，拟议的衡量指标量化了投资者的准线性平均值。更精确的定义为ραU（X）：=U-1.EU（X）| X≥ V aRα（X）.其中，V aRα是通常的风险值。我们称之为尾部拟线性平均值（TQM）。可以看出，当我们限制凹（效用）函数时，TQM在风险值和条件尾部期望之间插值。通过正确选择效用函数U，我们可以接近风险价值或条件目标期望值。

当我们插入特定的实用功能时，这两种极端情况也包括在内。熵风险度量也是我们构建的一个限制性案例。虽然TQM通常不是凸的，但它有一些很好的性质。尤其是它在应用程序中仍然是可管理和有用的。我们展示了TQM风险度量在资本配置、最优再保险和最小风险投资组合中的应用。特别是在对称分布类中，我们证明了显式计算可以简化为TQM的解析闭合形式。在精算学中，已经有一些方法可以统一风险度量或保费原则。风险度量可以被视为比保险费原则更广泛的概念，因为后者被视为风险的“价格”（如Goovaerts et al.（2003）所述）；Furman&Zitikis（2008））。两者的基本定义都是从随机变量空间到实数的映射，但兴趣属性可能因应用而异。在Goovaerts et al.（2003）中，通过最小化尾部概率的马尔可夫界，提出了一种统一的方法来推导风险度量和保费原则。该方法包括均值原则、瑞士保费原则和条件尾部预期等。在Furman&Zitikis（2008）中，引入了加权保费，其中期望值是关于加权分布函数的。这种结构包括条件尾部预期、尾部方差和埃舍尔溢价。本文还讨论了这些测度的不变性和可加性。此外，均值原理以各种方式得到了推广。在B–uhlmannet al中。

（1977）这些保费原则已扩展到所谓的瑞士保费原则，该原则借助于参数z进行插值∈ [0，1]介于均值原则和零效用原则之间。De Vylder&Goovaerts（1980）讨论了瑞士优质原则的性质。特别是在某些假设下，证明了独立随机变量的单调性、正次Translation性和次可加性。后两个概念分别是翻译变异性和次加性的弱化版本。Ben Tal&Teboulle（2007）研究了所谓的优化确定性当量，作为构建风险度量的一种手段。它包括条件尾部预期和有界短缺风险。以下部分提供了风险度量的定义和准备工作，将作为本文的必要基础。第3节介绍了拟议的风险度量，并推导了其基本属性。我们展示了这类风险度量的各种表示，并证明了凹函数U（在技术假设下）的TQLM在风险值和条件尾部期望之间有界。不幸的是，这一类中唯一一致的风险度量结果是条件目标期望（这可能并不奇怪，因为这在普通确定性等价物类中也是如此，见M¨uller（2007））。在第4节中，我们在选择指数函数时考虑了特殊情况。在这种情况下，我们称之为ραUTail条件回归风险测度，并证明它在共单调随机变量类中是凸的。第5节专门讨论应用程序。在第一部分中，我们讨论了资本配置的应用。我们根据我们的TQM确定了每个子投资组合的风险度量，并讨论了其性质。

在第二部分中，我们考虑了一个以TQM为目标函数的最优再保险问题。对于凸函数U，我们证明了最优再保险合约是止损形式的。在第6节中，研究了对称分布族的拟议风险度量。这里可以进行一些明确的计算。特别是对于尾部条件熵测度，存在一个显式公式。最后，以尾部条件熵风险测度为目标函数，求解了一个最小风险投资组合问题。第7节对本文进行了讨论。2经典风险度量和其他初步研究我们考虑实值连续随机变量X：Ohm → 定义在概率空间上(Ohm, F、 P）并用X表示该集合。这些随机变量表示固定期限结束时的贴现净损失，即正值视为损失，负值视为收益。我们用fx（x）表示（累积）分布函数：=P（x≤ x） ，x∈ R、 此外，我们考虑了递增和连续函数su:R→ R（如果X只取正值或负值，则可以限制U的域）。广义逆U-1此类功能由U定义-1（x）：=inf{y∈ R:U（y）≥ x} ，其中x∈ R、 带L：={X∈ X:X是E[X]<∞}我们表示所有实值、连续、可积随机变量的空间。我们现在回顾一些风险度量的概念。通常，风险度量是映射ρ：L→R∪ {∞}. 特别重要的是以下风险措施。定义2.1。

对于α∈ （0、1）和X∈ l使用分布函数FXwe definea）α级X的风险值为V aRα（X）：=inf{X∈ R:FX（x）≥ α}.b） αasCT Eα（X）水平上X的条件尾部期望：=E[X | X≥ V aRα（X）]。请注意，条件尾部预期的定义是针对与风险平均值、预期短缺或尾部条件预期相同的连续随机变量（见F¨ollmer&Schied（2016）或Denuit et al.（2006）第4章）。下面我们总结了广义逆的一些性质（参见McNeilet al.（2005），A.1.2）。引理2.2。对于具有广义逆U的递增连续函数U-1方法：a）U-1严格递增并保持连续。b） 对于所有x∈ R+，y∈ R、 我们有你-1.o U（x）≤ x和Uo U-1（y）=y.c），如果U在（x）上严格增加- ε、 x）对于ε>0，我们有U-1.o U（x）=x。下一个引理对于风险度量的替代表示很有用。它可以直接从风险价值的定义中得出。引理2.3。对于α∈ （0，1）和任何递增的左连续函数f:R→ R itholds V aRα（f（X））=fV aRα（X）.在下文中，我们将研究风险度量ρ：L的一些性质→ R∪{∞}, like（i）定律不变性：ρ（X）仅取决于分布FX。（ii）恒常性：ρ（m）=所有m的m∈ R+。（iii）单调性：如果X≤ Y然后ρ（X）≤ ρ（Y）。（iv）平移不变性：对于m∈ R它保持ρ（X+m）=ρ（X）+m。（v）正同质性：对于λ≥ 0它认为ρ（λX）=λρ（X）。（vi）次加性：ρ（X+Y）≤ ρ（X）+ρ（Y）。（vii）凸性：对于λ∈ [0，1]它认为ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1- λ） ρ（Y）。具有（iii）-（vi）性质的风险度量称为一致性。注意，当X是离散随机变量时，CTEα（X）不一定是相干的，但如果X是连续的，则CTEα（X）是相干的。还要注意，如果ρ是正齐次的，则凸性和次可加性是等价的性质。

接下来，我们需要通常的随机序的概念（参见M¨uller&Stoyan（2002））。定义2.4。设X，Y为两个随机变量。那么，X通常按随机顺序（X）小于Y≤stY）如果E[f（X）]≤ E【f（Y）】对于所有增加的f:R→ R、 当存在期望时。这相当于FX（t）≥ FY（t）适用于所有t∈ R、 最后，我们还必须处理共单调随机变量（参见Denuit et al.（2006）中的定义1.9.1）；定义2.5。如果存在随机变量Z和递增函数f，g:R，则两个随机变量X，Y称为共单调变量→ R使得X=f（Z）andY=g（Z）。如果两个函数中的一个是递增的，另一个是递减的，则这对函数称为反单调函数。连续随机变量X的3尾拟线性平均值∈ X和α级∈ （0，1）让我们介绍以下形式的风险度量：定义3.1。让X∈ 十、 α∈ （0，1）和U是一个递增的连续函数。尾部准线性平均值由ραU（X）：=U定义-1.EU（X）| X≥ V aRα（X）（3.1）只要内部条件预期存在且不确定。备注3.2。a） 很容易看出，U（x）=x导致CT Eα（x）。b） 拟线性平均ψU（X）通过取limα得到↓0ραU（X）。在下文中，我们将首先给出一些TQM的替代表示。通过定义条件分布，我们可以立即写出ραU（X）=U-1E级U（X）1{X≥V aRα（X）}P（X≥ V aRα（X））！其中P（X≥ V aRα（X））=1- α表示连续X。此外，当我们用▄P（·）=P（·▄X表示时≥ V aRα（X））给定X的条件概率≥ V aRα（X），然后我们得到ραU（X）=U-1.EU（X）. （3.2）因此，ραU（X）只是X相对于条件分布的拟线性平均值。为了了解TQM衡量的是什么，假设U是有效的。然后我们通过泰勒级数近似（参见。

Bielecki&Pliska（2003）），ραU（X）≈ CTEα（X）-`U（CT Eα（X））T Vα（X）（3.3），其中\'U（X）=-U（x）U（x）是绝对风险规避的Arrow-Pratt函数，t Vα（x）：=V ar（x | x≥ V aRα（X））=E[（X- CT Eα（X））| X>V aRα（X）]（3.4）是X的尾部方差。如果U是凹的\'U≥ 如果U是凸的\'U，则从CT Eα中减去0和T Vα≤ 添加0和T Vα，以惩罚尾部的偏差。从这个意义上讲，ραU（X）近似为约束优化问题的拉格朗日函数，我们希望在尾方差不太高的约束下优化条件尾期望。以下技术假设将是有用的：（A）存在ε>0，使得U在（V aRα（X）上严格增加-ε、 V aRα（X））。显然，假设（A）是满足的，如果U在其域上严格增加，那么在所有合理的应用中都应该满足。经济上（A）指出，至少在临界水平V aRα（X）之前的很短时间内，我们的措施严格惩罚了X的较高结果。在假设（A）下，我们获得了TQM的另一种表示。引理3.3。对于所有X∈ 十、 递增连续函数U和α∈ （0，1）使得（A）满足，我们得到ραU（X）=U-1.CT Eα（U（X））.证据我们首先表明，在（A）下，我们得到：{X≥ V aRα（X）}={U（X）≥ V aRα（U（X））}。由于引理2.3，我们立即得到{X≥ V aRα（X）} {U（X）≥ U（V aRα（X））}={U（X）≥ V aRα（U（X））}。另一方面，我们有引理2.2b），c）thatU（X）≥ V aRα（U（X））=> 十、≥ U-1.o U（X）≥ U-1.o U（V aRα（X））=V aRα（X），这意味着两个集合相等。因此，我们得到了U（X）| X≥ V aRα（X）= EU（X）| U（X）≥ V aRα（U（X））= CT Eα（U（X）），这意味着该语句。接下来，我们将提供TQM的一些简单但基本的特性。第一个比较明显，我们跳过了证明。引理3.4。

对于任何X∈ 十、 TQLM和拟线性平均ψUare相关如下：ραU（X）≥ ψU（X）。如果U是凹的，则TQM在风险值和条件尾部期望之间插值。我们将在假设（A）下的下一个定理中说明这一点（另请参见图1）：定理3.5。对于X∈ X与凹增函数U和α∈ （0，1）使得（A）满足，我们得到v aRα（X）≤ ραU（X）≤ CTEα（X）。此外，还存在效用函数，从而达到了界限。如果U为凸且满足（A），且存在所有期望，则我们得到ραU（X）≥ CTEα（X）。证据设U为凹形。我们将首先证明上界。这里，我们使用（3.2）中ραU（X）的表示作为条件分布P的确定性等价物。我们使用Jensen不等式E[U（X）]≤ U（~E[X]）=U（CT Eα（X））。（3.5）在两侧取U的广义逆，并使用引理2.2 a），b）得到ραU（X）≤ U-1.o U（CT Eα（X））≤ CTEα（X）。选择U（x）=x导致ραU（x）=CT Eα（x）。对于下界，请注意u（V aRα（X））≤ EU（X）| X≥ V aRα（X）.在两侧取U的广义逆，并使用引理2.2 c）yieldsV aRα（X）=U-1.o U（V aRα（X））≤ ραU（X）。定义U（x）=x、 x个≤ V aRα（X）V aRα（X），X>V aRα（X）产量-1（x）=x、 x个≤ V aRα（X）∞, x>V aRα（x），我们得到U（X）| X≥ V aRα（X）= U（V aRα（X））。在两侧取U的广义逆并使用引理2.2 c）得到ραU（X）=U-1.o U（V aRα（X））=V aRα（X），表明可以达到下限。如果U是凸的，则（3.5）中的不等式相反。接下来我们讨论TQM的性质。当然，当我们以特定的方式选择U时，我们期望拥有更多的房产。定理3.6。