控制系统性风险-最小化it和节点的网络结构

我们构建了所有218家相关银行的网络，并将其缩减为最大的强连接组件，包括N=53家银行。由于数据集是匿名的，我们必须重建银行的权益。我们从平均值为1的正态分布和标准偏差（a）（b）（c）（d）（e）（f）中选择Ei=max（Ai，Li）×1.25×ξi，其中ξi如图2所示。（a） 1999年意大利市场上有53家银行的负债网络。（d） 对于该网络，源和目标属性是不相关的。（e） 在最小化系统风险后，网络变得不可分割，源节点和目标节点的不同标量属性之间存在反相关。对于Ai=Li，这些相关性可以用标量不分离性的简单测量来描述，如下图1a所示。灰色带表示Ai/Ei的第一个和第三个四分位数之间的区域，因此中值周围的Ai/Ei值有一半位于灰色区域内。我们看到，对于较小的系统性风险，高Li/E的银行i应该向Aj/Ej低的银行j贷款。解释：具有高Li/EI的银行i对其贷款人的影响很大，而具有低Aj/EJ的银行j对其借款人的风险敞口很小，因此冲击会受到抑制。（b） 风险最小的网络。银行i的总资产AI显示为节点大小，银行间Li/Eias边缘颜色显示在边缘源，Aj/Ejat边缘目标，颜色从绿色（低值）到红色（高值）。（c） 风险最大的网络。（f） 最大系统风险与分类有关。0.2. 由此产生的网络如图2a所示。银行i的总资产Ai显示为节点大小，银行间/Eias边缘颜色显示在边缘源，Aj/Ejat边缘目标，颜色从绿色（低值）到红色（高值）。我们发现该网络的冲击放大器ψ=1.90。

在（d）中，我们分析了贷款人负债除以权益（来源Li/Ei）和借款人杠杆（目标Ai/Ei）之间的网络相关性。绘制了所有目标节点的平均Ai/EI，这些目标节点是从源节点以一定间隔的Li/EI值获得的。我们发现，贷款人负债除以股票与借款人杠杆率之间没有显著相关性。对于Ai=Li，这些相关性简化了，可以用标量分类来描述，如底部的图1a所示。网络由53家银行中的763条边组成，因此平均度为14.4。资产和负债与0.11的皮尔逊相关性呈轻度相关。总共有36条定向边在相反方向上有一个反向部分，因此存在一些长度为2的循环。最大的AIS为8.75亿欧元，最大的LI为11.32亿欧元。所有资产总计70.4亿欧元，负债也是如此。使用100个不同的等式样本，我们发现hψi=1.87，标准偏差为0.06。对于示例，我们在最终扫描n=10、β=10、βk=0.1和βasym=2.0的情况下最小化和最大化冲击振幅ψ。我们总结了ψ的前50个术语，用于评估更新试验。最终扫描后，我们使用前200项计算ψ，结果ψ=1.80（最小值）和ψ=2.25（最大值）。最终优化的网络均具有平均度数k=2.0。在优化结束时，连接矩阵最小化冲击幅度是严格不对称的，而对于最大化，我们看到少量长度为2的回路。结果如图2所示。通过（b）和（e），我们可以看到，与Ai/Ei=Li/Ei的示例相比，具有最小ψ的投资矩阵具有更微妙的标量不可分解性。在这里，当高Li/Ei的银行向低Ai/Ei的银行放贷时，系统性风险最小化。

通过（c）和（f），我们可以看到最大化系统风险的网络是分类的。必须强调的是，这种结构与通常在金融网络中观察到的典型核心-外围结构非常不同【22，23】。还必须强调，原则上风险最小化可以减少网络中的边缘数量，从而减少单个金融机构的风险分散。这一明显的悖论之前已在[24]中讨论过。我们还必须强调，标量分类与网络分类非常不同。先前对复杂网络中级联的分析【25】表明，级联（类似于系统性风险扩散）受到网络分类结构的抑制，而该分析表明系统性风险因标量分类而放大。这一结果并不是相互对立的，而是相辅相成的。C、 分析可解的例子还有另一个强有力的指标，为什么源Li/Ei和目标Aj/EJAR之间的相关性在优化中占主导地位：对于常数C=Li/Ei或常数C=Ai/Ei（例如，不可能存在正或负相关性），ψ是常数，与投资矩阵Aij无关。让我们首先为C=Ai/Ei显示这一点。ψ（2）以下的项无论如何与Aij无关。对于更高的项，我们可以写出ψ（3）+ψ（res）=P∞t=3Pijei（λt）ij。我们可以用元素Sij=Aij/EiC定义一个离散矩阵，如Ai/Ei=PjAij/Ei=C。pjsij=1和∧ij=SijC，我们有ψ（3）+ψ（res）=∞Xt=3xiject（St）ij=∞Xt=3CtXiei=∞Xt=3Ct。（16） 在这里，我们使用随机矩阵的性质，Pj（S）ij=Pjksikj=1等。对于常数=Li/Ei的负债总额，我们可以定义一个随机矩阵Sij=Aij/EjC，这里的pisij=1。我们有∧ij=SijCEj/Ei和Pijklei∧ij∧jk∧kl=Cpijklisjksklel=CPlEl，对于恒定杠杆率，具有相同的结果ψ（3）=Cas。更高的条款也是如此。

有了这一发现，投资矩阵的其他更微妙的属性，如二次邻域相关性，只能发挥有限的作用。此外，我们从尖峰分布（maxi | Ai/Ei）中找到了银行间杠杆的近似值- 朝觐/朝觐 hAi/Eiii）。在这种情况下，宏观冲击放大主要独立于投资网络和平均杠杆率ψ的简单函数≈P∞t=0（hAi/Eiii）t=1/（1）- hAi/Eiii），几何和仅适用于hAi/Eiii<1的情况。现在，让我们讨论一个可以显式执行ψ优化的情况。我们有N=N+N个银行，它们的权益相同，Ei=E，Ei=1/N。通过这个选择，我们有∧ij=Aij/E。第一个银行的杠杆率为Ai/E=Li/E=c，而最后一个银行的杠杆率较低，Ai/E=Li/E=c<c。对于N=2和N=3，让我们介绍以下参数化矩阵∧=cncn0 0 0cncn0 0 00 0cncncn0 0cncncn0 0CNCNCNN 0 0CNCNCNCNN+ κ-nn型-nn1 1 1-nn型-nn1 11 1-nn型-nn型-nn1 1-nn型-nn型-nn1 1-nn型-nn型-nn型= ∧a+κ. （17） 矩阵∧ais是最大分类的，因为只有相同类型的银行相互作用。为了更简单的表示法，我们允许自链接。对角线元素可以很容易地清空为相同类型的银行之间的链接。这使ψ保持不变。带∧ij≥ 0，我们有0≤ κ ≤ 最小值（序号、序号）。对于κ的最大值，两组类型尽可能多地相互作用。因此，这是最不协调的情况。ψ的变化导致不协调性的微小增加，从∧到∧+dκ, isdψ=∞Xt=3t-1Xp=2Xij（λp∧t-p） ijdκ/N，（18）Xij（λp∧t-p） ij=-f（λp）f（λt-p） f（λp）=n（λp）+（n- n） （λp）1N- n（λp）NN。（19） 我们忽略了dκ中的高阶项，并使用piij=0，因此该矩阵仅出现在矩阵∧之间。

显示Pij（λp∧t-p） ij公司≤ 0对于所有0<p<t，我们表明，最匹配的连接矩阵意味着最大的冲击传播，而最不匹配的矩阵意味着最小的冲击传播。我们证明了f（λp）=f（λ）Cp具有Cppositive。使用（λp）1N=n∧（λp-1） 1N+n∧1N（p∧-1） 对于（p）和（p）NN的类似表达式，我们可以写出f（p）=n（p-1） f（λ）+n∧NNf（λp-1). 这是f（λ）的正多重数，如果这对f（λp）成立-1). 当f（λ）的条件被平凡地填充时，我们可以使用归纳法证明它适用于任何p。对于∧=λass，简单的闭式结果ψ=p∞t=0ct+t保持。控制项Ct与t成正比增长或收缩。最小ψ是c、c和N中的一个很长的多项式，很难简化为闭合形式的表达式。安萨兹v=（1，1，…，a，a，…）对于具有最大特征值λ的特征向量，我们发现λ=c- κn+c- κn+[c]- κn- （c）- κn）]+κnn1/2. （20） 假设许多健康的银行和一些高杠杆的银行：n=5，c=2，n=50，c=0.5。对于λawe，当第一家银行破产时，λ=c=2。对于可能的最大κ，λ=0.8。在这里，所有银行都经受住了小规模的宏观经济冲击。在后一种情况下，第一家NB银行互不放贷，而healthybanks将2/5的份额用于与第一家NB银行的互动，并保持3/5的份额用于彼此的互动。D、 单一银行资产的有限规模效应和变化分布图。3、无限制优化（圆）和限制优化的有限尺寸效应，其中小度和不对称投资矩阵是强制的（菱形）。（a） 通过有限尺寸缩放，我们发现对于大N，最小化后的ψ接近ψ∞最小值≈ 2.0947 ± 5 × 10-4，尺寸偏差约为∝ N-1.15. 数值结果显示为圆形（无限制）和菱形（限制优化）。

虚线表示指数为-1.15的幂律。（b） （a）的结果以线性比例重复（绿色符号和下虚线），并与最大化结果进行比较（红色符号和上虚线表示有限尺寸缩放的结果）。虚线表示ψ∞minandψ∞最大值≈ 2.315 ± 0.01.（c） 最小化（绿色钻石）和最大化（红色钻石）受限优化后的分类能力。结果表明，独立于网络规模，风险最小的网络具有很强的去分化性，而风险最大的网络在杠杆方面具有很强的分类性。为了讨论不同网络规模N的有限规模效应，我们为所有银行选择Ei=1，Ai/Ei=Li/Ei=0.2+0.6i/（N- 1). 这样，不同规模的网络的单银行属性是相似的，无需对多个单银行属性的实现进行平均。我们通过增加参数β=10×N×100n/nmax，对nmax=5×10sweeps进行优化。每次优化扫描的算法成本以N为尺度，在每个微观更新试验之前，必须执行矩阵乘法（以N为尺度），并且扫描中有N个微观更新试验。选择较小的杠杆值，我们只能使用前13项sinψ来评估更新试验。用103项计算最终ψ。使用βk=βasym=0进行无限制优化，使用βk=0.1和βasym=2.0发现有限制的结果。在图3a中，我们看到了无限制（绿色圆圈）和限制（绿色钻石）最小化的有限尺寸缩放。我们发现了一个渐近结果ψ∞最小值≈ 2.0947 ± 5 × 10-4和ψ- Ψ∞最小值∝ N-1.15. 我们还对ψ的无限制最大化结果进行了有限尺寸缩放（未显示）。这有不太令人信服的结果，表明局部极大值是一个问题。Wefoundψ∞最大值≈ 2.315±0.01.

在（b）中，我们看到最小化（绿色）和最大化（红色）的结果。对于小型网络，受限最大化结果（红色菱形）远低于非受限情况（红色圆圈）。然而，对于较大的网络来说，偏差很小。在（c）中，我们看到ψ最大的网络是强分类的，而ψ最小的网络是强非分类的。nFIG。4、调整单一银行杠杆Ai/Ei→ c×Ai/Ei，应力传播可以从衰减转变为指数增长。我们在c=2的示例中看到了这一点。当应力传播矩阵∧的最大特征值λ从低于1（实线、最小绿色、最大红色）增加到高于1（虚线）时，优化过程在这两种情况下的分类结果相似。我们已经讨论了单一银行资产Ai/EI和Li/Eia之间的相关性如何影响结果。现在让我们与重定标Ai/Ei讨论结果→ c×Ai/Ei和Li/Ei→ c×Li/Ei。我们为所有银行选择Ei=1，andAi/Ei=Li/Ei=c×（0.2+0.6i/（N- 1） ），N=30组。在图4中，我们看到了c=1（实线）和c=2（虚线）的结果。随着参数β=10×N×100n/nmax的增加，我们对nmax=5×10sweeps进行了优化。由于c=2的损失呈指数增长，我们仅使用ψ中的前6项来评估更新试验。在图的左侧，我们可以看到优化过程中应力传播矩阵∧的最大特征值λ。λ大于c=2时的λ（虚线）。这意味着，即使是非常小的初始冲击也会导致应力呈指数增长的传播，最终导致至少一家银行破产。在图的右侧，我们看到优化过程中的监控附加性表明了类似的行为，即使应力传播从衰减（实线）变为指数增长（虚线）。五、

总结与展望我们看到，在DebtRank的框架内，风险最大的投资网络在贷款人负债除以权益（来源Li/Ei）和借款人杠杆（目标Ai/Ei）方面具有高度的分类性。我们对单个银行资产的特定样本进行了测试，发现这种影响在单个银行资产、网络规模之间的相关性方面是稳健的，最后，这也是压力传播减弱或指数增长的一个共同特征。对于经验数据，我们也发现了这种行为。最后，我们对两类银行的网络进行了分析优化。本文的两个主要结果是：（i）金融网络中的冲击传播可以仅从单节点特性近似计算；（ii）通过使金融网络具有分离性，可以最小化这种冲击传播。除了（i）中的一个明显优势，即仅使用单节点属性的计算更简单和更快，这些结果还有其他优势和潜在的应用。从单一银行资产（近似）估计银行间网络中冲击幅度的可能性为金融监管机构带来了额外的优势。也就是说，这种估算所需的单一银行资产，如其总资产、Ai和负债是累积数量，因此，它们的变化比银行间网络结构的变化更慢。特别是，我们预计本行的总资产或负债不会发生重大变化。然而，可以合理预期，网络中的任何银行都会在相同的每日时间尺度上向许多新银行进行借贷，或者为该银行已经连接的其他银行改变借贷数量。

因此，在仅使用依赖于单一银行资产的第一项的冲击传播近似值是可靠的情况下，只要这些单一银行资产没有显著变化，并且比银行间网络变化的典型规模长得多，这些估计值也有望保持可靠。标量非分支网络结构与较低系统风险的关联，使监管机构在解决少数银行的脆弱性威胁到整个网络的情况时拥有更多的“自由度”。也就是说，有许多网络结构具有高度的不可分割性，如果存在现实的法律、流动性甚至政治约束，监管机构更容易找到或实现其中的一个。这一分析也产生了一个与物理系统有趣的平行关系。也就是说，如果我们将杠杆分类为todiscreet类别，那么我们就有可能将它们映射到像Potts模型这样的自旋系统。如果这个类比成立，人们可以将低风险结构与反铁波茨模型的变体相关联，而风险更大的网络可能与波茨模型的铁变体相关联。这一类比是否成立超出了本文的范围，但如果能够将系统风险模型映射到这样一个经过充分研究的统计物理模型，那么研究系统风险的科学家群体将从积累的知识中受益匪浅。最后，仅从单一银行资产估算银行间网络冲击传播的方法为公共监督金融系统稳定性提供了一种新的可能性。

由于银行定期发布公共财务报表，且这些报表包含金融系统中向其他银行借贷的总数据，原则上任何人都可以计算各种初始金融困境情景下的系统性风险下限。这样，金融系统中的系统性风险监控将不再局限于监管机构。六、 AcknowledgementSHˇS和VZ的研究得到了欧洲区域发展基金KK赠款的支持。01.1.1.01.0009（数据交叉）。VZ得到QuantiXLie卓越中心的支持，该项目由克罗地亚政府和欧盟通过欧洲区域发展基金-竞争力和凝聚力运营计划（KK.01.1.01.0004）共同资助。VZ还得到了欧盟通过欧洲区域发展基金——竞争力和凝聚力行动计划（KK.01.1.1.06）以及H2020 CSA结对项目692194（RBI-T-WINING）的支持。[1] T.Roukny、H.Bersini、H.Pirotte、G.Caldarelli和S.Battiston，《科学报告》32759（2013）。[2] M.Bardocia、S.Battiston、F.Caccioli和G.Caldarelli，《自然通信》814416（2017）。[3] S.Battiston、M.Puliga、R.Kaushik、P.Tasca和G.Caldarelli，《科学报告2》（2012年）。[4] C.Minoiu和J.A.Reyes，《金融稳定杂志》9168（2013）。[5] M.Chinazzi、G.Fagiolo、J.A.Reyes和S.Schiavo，《经济动力与控制杂志》371692（2013）。[6] S.Poledna、J.L.Molina Borboa、S.Mart'nez Jaramillo、M.Van Der Leij和S.Thurner，《金融稳定杂志》20，70（2015）。[7] M.Montagna和C.Kok，欧洲中央银行第1944号工作文件，可在SSRN上查阅：https://ssrn.com/abstract=2830546 (2016).[8] S.Poledna，A.Hinteregger和S.Thurner，arXiv预印本arXiv:1801.10487（2018）。[9] V.Zlati\'c，G。