统计力学和时间序列分析

最后要注意的是，对于多项式相互作用U（x）到四阶，也可以引入分形行为，例如有效值yu（x）~ xα出现。第二类连续相变与第一类相变相关，或者说是对其的不同解释。对称L′evian的傅里叶变换可以转换为p（x）=αZ∞dqπq2/α-1exp-∑qcoshx q2/αi，（20），其中我们设置了k=q2/α。当我们将公式（20）解释为维积分时，我们发现维的d（t）=2/α（t）。高斯情况下，d（t）=1，而对于柯西情况，d（t）=2。因此，经典运动和声波运动之间的连续相变对应于一个连续的一维相变，它位于一维和二维之间。对于α（t）<1的值，系统的维数会朝着完整性快速增长。关于分布函数的尾部，我们知道，尾巴越粗，越有可能出现大的移动，这由d（t）=2/α（t）表示，对应于内部自由度的增长。极端轻轨极限α（t）→ 这导致了动量空间中蒸发的模拟。注意，通过α（t）的连续变化，分布函数处于呼吸模式。现在我们想讨论一下列维昂系统的热力学性质。由于现实空间中没有相互作用，我们可以假设埃维昂气体是一种理想气体，尽管是分数气体。请注意，根据我们的发现，上述分形行为很可能与多项式相互作用有关。我们用z=VNN来计算配分函数！αZ∞dq q2/α-1exp-∑q余弦∑βqN、 （21）在式（21）中，我们使用的密度仅为正半定义，因此不是严格意义上的密度。包含余弦，但这是包含倾斜行为的唯一可能性，我们将看到这确实是有意义的。

对于这里的余弦感到不安的Areader可能会想到Wigner函数，它也只是一个正半定义，但仍然可以被视为一个相空间分布。对于自由能，使用斯特林公式，我们发现f=-N∑1+lnVNα1+1/α∑-1/α(1 + β)-1/（2α）cosarctan[|β|]αΓ[1/α]. （22）状态方程如下：- F 五、∑，N=p=NV∑-1，（23），其中p等于压力。式（23）是理想气体状态方程的等价物，正如预期的那样。我们推断它保持p（α）≥ p（α=2），因此非高斯系统中的压力始终高于高斯系统中的压力。这一结果是正确的，因为对于瘦小的身体和肥胖的尾巴来说，大跳跃的概率高于高斯情况。系统内压力越高，爆发概率越高。对于我们发现的熵=（∑） F Σ五、 N=N（1+α）α+N lnVNα1+1/α∑-1/α(1 + β)-1/（2α）cosarctan[|β|]αΓ[1/α].（24）在图（1）中，我们将熵S表示为几个β值的α函数。图（1）阐明了弹性β起着序参数的作用。β值越大，系统内部的熵越小。1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 22.533.54SHΑ2L0.2 0.4 0.6 0.8 1∑21.21.41.61.822.22.4XXΒ2 \\\\图1：左图：熵作为α的函数。通过σ=0.5、β=0（黑色）、β=0.5（蓝色）和β=1（红色）选择参数。右图：β的标准偏差作为σ的函数。参数由α=2（黑色）、α=1.7（蓝色）、α=1.5（红色）和α=2.5（绿色）选择。一般设置为N=1，V=1。由于熵是无序的一种度量，我们可以得出这样的结论：偏度创造了秩序，因为偏度指示了随机运动的方向。因此，作为序参数的弹性可以被视为磁化或极化的类似物。

根据严格的莱维昂条件-1.≤ β≤ 1铁磁相变的类似物与|β|=1有关。通过观察β的矩，可以进一步分析β的磁化强度。我们计算βni=αZ∞dq q2/α-1Z-1dβnexp-∑q余弦∑βq. （25）我们发现hβi=0。这是意料之中的，因为我们可以很好地假设系统的平均状态是对称的（顺磁），因此是最大熵的状态，正如我们从上面所知道的。请注意，在以下DAX和标准普尔500指数的状态分析中，我们将发现hβ（t）i 6=0。这一结果仍然是有限时间范围内的动态平均值，因此与我们目前的热力学结果没有主要矛盾。只有在有限的时间范围内，我们才能预期与热力学极限的稳定匹配。差异β是有限的。然而，我们不会写下这个公式，因为它是cumbrous，积分是直接的。我们在图（1）中说明了标准偏差hhβii=phβi。我们很容易推断出，我们可以预期非高斯情况下的歪斜函数比高斯情况下的强。这个结果是正确的，因为高斯情况可以被视为一个平衡，而平衡可以被认为是对称的。此外，我们可以推断，当σ趋于零时，偏斜函数显著增加。这种状态给出了相应分布函数的薄体，包括高斯分布函数和非高斯分布函数，我们当然可以预期这种状态下的随机运动会出现突变。爆发是必然的，但发生在某个方向，爆发的方向会导致系统的偏斜或极化。然而，我们必须强调，疫情的增加并不一定会导致疫情爆发。

我们处理的是一个随机运动，如果不发生极有可能发生的疫情，无论出于何种原因，这种运动很可能会朝着平衡方向放松。四、 DAX和标准普尔500指数的状态分析在本节中，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国标准普尔500指数。我们的状态分析将表明，我们为上述L'evy参数推导的公式工作得很好，并且可以令人满意地描述随机运动所处的状态。A、 DAX数据在图（2）中，我们展示了德国DAX的状态分析。时间段为2013年2月至2018年9月，图表上的时间单位为一天。考虑到一个月有20个交易日，移动平均线抽样约240个数据点。图中从上到下的窗口为：a）DAX的随机运动（浅绿色），b）倾斜位移参数β（t）（黄色），c）标准偏差，L'evianp∑（t）（灰色），Gaussianpσ（t）（红色），d）传输指数α（t）（aqua），e）弹性参数β（t）（石灰）。数据由Metatrader软件分析，数据由XM提供。通用域名格式。图2：DAX分析的可视化。从上到下的窗口。DAX的随机运动（浅绿色）。斜移参数β（黄色）。标准偏差：埃维昂（灰色）、高斯（红色）。传输指数α（aqua）。弹性参数β（石灰）。运行参数大约在一年内采样，p=240（交易日）。数据取自Metatrader 4，提供者XM。首先，我们了解到传输指数的范围在1.48之间振荡≤ α（t）≤ 1.9，平均值为hα（t）i=1.73。这与Cont等人[8]的研究结果完全一致，其中发现静态总体值α=1.7。我们还推断，对于下降的α（t），DAX执行更大的运动，而对于增长的α（t），运动会平静下来，甚至可能停滞。

这也完全符合这样一个事实，即α（t）越小，埃维昂的尾巴就越胖。更粗的尾巴表明，与高斯或接近高斯的环境相比，更大的跳跃更有可能发生。对于1.8<α（t），可给出近似高斯环境≤ 2.我们还注意到，当随机运动的波动限制在一个狭窄的区域时，α（t）下降。这也与L’evian的性质完全一致，因为对于α<2，分布函数体变薄。胖尾巴和瘦身体是相互关联的，因此这种随机运动状态可以很好地用爆发临近的方式来解释，因为这是一种高内压状态。然而，当然有可能没有爆发发生，因此系统放松了高斯状态。α（t）的行为反映在标准偏差的行为中。高斯标准差总是大于列维昂标准差。这是意料之中的，因为对于α（t）<2，有效方差∑（t），见等式（11），总是小于高斯方差σ（t）。这再次反映了埃维昂的薄体，因此压力更高。此外，我们发现，当β（t）>0时，斜移参数β（t）表示上升运动，而当β（t）<0时，则有收缩或停滞的趋势。未在图（2）中绘制的偏度范围由下式给出-1.7≤ σ（t）≤ 1.63 . 对于σ（t）<0，我们有上升运动，而对于σ（t）>0，我们有停滞或牵引。我们看到弹性β（t）在-1.83≤ β（t）≤ 2.26，因此对埃维昂的限制-1.≤ β≤ 违反了1。我们推断，对于β（t）>0，存在上升运动，而对于β（t）<0，则出现收缩或停滞。

因此，β（t）的行为与β（t）的行为相同。然而，平均值位于hβ（t）i=0.35。因此，可以计算平均值hβ（t）i=0.35的L’evian，但不一定总是局部β（t）。下面将讨论我们如何在分布函数方面处理这个问题。所有L'evy参数都是时间的函数，因此为了推断趋势或趋势的变化，也必须考虑极值、转折点和零点。还要注意的是，移动平均线必然是一个很大的问题。3： 标准普尔分析的可视化。从上到下的窗口。标准普尔500指数的随机波动（浅绿色）。倾斜移位参数β（黄色）。标准偏差：埃维昂（灰色）、高斯（红色）。传输指数α（aqua）。弹性参数β（石灰）。运行参数的采样周期约为一年，p=240（交易日）。数据取自Metatrader 4，providerXM。延迟，使得随机运动和移动平均线在现场的行为并不总是重叠。然而，由{α（t），p∑（t），β（t），β（t）}提供的总览与随机运动的行为非常一致。对于我们用来计算累积量的移动平均数的构造，请参见附录。B、 标准普尔500指数在图（3）中，我们展示了美国标准普尔500指数的状态分析。时间段为2013年2月至2018年9月，图表上的时间单位为一天。移动平均值再次采样约240个数据点。图片中的窗口从上到下显示：a）标准普尔500指数（浅绿色）的随机运动，b）斜移参数β（t）（黄色），c）标准偏差，L’evianp∑（t）（灰色），Gaussianpσ（t）（红色），d）运输指数α（t）（aqua），e）弹性参数β（t）（石灰）。

数据由Metatrader软件分析，数据由XM提供。通用域名格式。首先，我们注意到标准普尔500指数的随机运动比DAX的随机运动更平稳。这是因为欧洲指数是加权绩效指数，而盎格鲁-撒克逊指数大多是加权平均值指数。因此，与前一年的参考日期相比，DAX不仅包括其组成部分的价值，还包括其营业额。我们发现传输指数介于1.5之间≤ α（t）≤ 1.87，平均值由hα（t）i=1.74给出。Againwe发现与Cont等人[8]的静态总体值完全一致，α=1.7。当然，我们上面所说的关于可能爆发或向高斯区域放松的所有内容在这里也适用。弹性介于-1.3<β（t）<2.26，因此再次违反了严格的莱维昂条件-1.≤ β≤ 1.然而，弹性的平均值由hβ（t）i=0.62给出，因此可以计算出总体L'evy分布。因此，图（3）中未绘制的偏度范围由下式给出-1.86<σ（t）<1.49。上述关于其他参数{p∑（t），pσ（t），β（t）}的所有内容在这里也适用。五、 构造偏态分布函数从我们上面的数据分析中我们知道，弹性-1.≤ β≤ 如果它是局部函数β（t），则违反1。然而，对于一个稳定的埃维昂，它必须无条件地持有-1.≤ β≤ 1.这使得严格意义上的塞尔维昂对于计算局部分布函数毫无用处。奥哈根（O\'Hagen）和伦纳德（Leonard）提出了一种优雅地解决这个问题的方法。为了讨论我们如何仍然可以利用这些参数，我们将给出这种方法的基本动机。偏态的引入类似于对称函数的反对称化。

因此，任何反对称函数都可以作为引入偏态的工具，至少在原则上是这样。阶跃函数A（x）=θ（x）提供了反对称化器的一般假设。（26）等式（26）给出的函数A（x）在某种程度上是一个硬反对称器。然而，函数A（x）却有一个显著的特性，即它可以被涂抹成累积概率分布CDF，例如A（x；β）=1+erfβx√2 σ, （27）这与高斯函数的CDF有关。对于任何符合函数a（x；β）的函数，以下限制必须保持，limβ→0A（x；β）=，limβ→±∞A（x；β）=θ（±x）。（28）等式（28）所要求的属性由对称分布函数的任何CDF填充，给定适当的归一化。[23]中建议的结构是，可以通过ansatzP（x；β）=Psym（x）a（x；β）对对称分布函数进行反对称化来引入偏度。（29）通过适当的归一化，斜分布函数遵循以下性质Limβ→0P（x；β）=Psym（x），limβ→±∞P（x；β）=Psym（x）θ（±x）。（30）参数β的作用类似于上述弹性。在【23】中，通过拟合来估计倾斜参数。尽管我们得到了关于L'evy参数的结果，但我们能够绕过这种不方便的方法，并使用从时间序列计算出来的{β，β}。因此，可以通过ansatzP（x；α，α，γ，β）=Psym（x）提出具有L'evy参数的斜分布函数- γ; α、 α）A（β（x- γ); α, α) . （31）必须始终记住，施工公式（31）是一个估计值，而不是一个精确的数量。

Psym的CDF总是提供一个合适的反对称器A。作为psym的一个模型，我们使用我们在[15]中推导的分数和极值高斯，读取psym（x）=N（α，α）exp“-|x个||x |α（4- α)3.-α#exp“|x |α（4- α)4.-α3-αα#，（32），归一化n（α，α）=3- α4 - αα(4 - α)3.-α!3.-α4-αΓ2 α- 7α- 4.-1.（33）对于α=2，分数高斯当然是正态高斯。我们的分布函数有一个优点，即我们可以摆脱为了在实空间中获得L'evian或截断的L'evian而必须进行的傅立叶变换。-3-2-1 0 1 2 3x00.20.40.6PHxL-3-2-1 0 1 2 3x00.20.40.60.81CDFHxLFIG。4： 根据等式（31）给出的反对称化，对倾斜行为进行了说明。左：倾斜分布函数。（31）（黑色）与对称分布函数公式（32）（蓝色）相比。这些分布是标准化的。右图：相应累积概率分布CDF的说明。我们选择了α=1.7，σ=0.5和￠σ=-由于式（32）已经依赖于两个L'evy参数{α，α}，因此仍然需要通过式（31）给出的构造引入斜交参数{γ，β}。分布函数公式（32）仍然呈指数衰减，然而，α<2时，这是由一个更胖的体来补偿的，因此与高斯函数相比，波动空间仍然增加，更多细节请参见【15】。在图（4）中，我们说明了上述反对称化的影响。我们清楚地看到，生成了一个合理的偏态分布函数，它充分满足了所有预期的需求。对于负偏度￠σ<0，我们观察到，由于γ=-β. 注意σ=0。

弹性β减少了γ左侧的弯曲空间，而γ右侧的弯曲空间略有增加。这种行为正是我们从偏态分布函数中所期望的。因此，我们现在能够计算L'evy参数的任何可能值的分布函数，特别是弹性β，不受硬约束施加的限制-1.≤ β≤ 1.六、 数据分布函数的可视化我们现在可以进一步进行随机运动的状态分析。上述方法允许将分布函数直接可视化为与时间相关的L'evy参数的局部函数。例如，我们再次选择了DAX和标准普尔500指数，但规模更大，如上所述。我们将以一周为时间单位分析随机运动。这个尺度允许我们描述随机运动的一般状态。我们选择的采样周期为260周，因此为五年。可视化时间段为2015年至2018年。我们再次使用了XM提供的Metatrader数据。通用域名格式。在图中。（5，6）我们说明了DAX和标准普尔500指数的映射分布函数。橙色线表示高斯分布，浅绿色线表示偏态分数分布。中间线是最大值，而外部线标记标准偏差。映射如下所示。在高斯情况下，我们绘制最大值：σ（t），标准- 偏差：σ（t）±pσ（t）。在偏态分数分布的情况下，我们绘制了最大值：γ（t）=σ（t）- β（t），标准- 偏差：γ（t）±2p∑（t）CDF[γ（t）β（t）]。通过这种构造，我们满足了式（30）中讨论的反对称化要求。对于β（t）→ 0表示对称情况，而对于β（t）→ ±∞ 我们得到了完全反对称情形。