统计力学和时间序列分析

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英文标题：
《Statistical mechanics and time-series analysis by L\\\'evy-parameters with
  the possibility of real-time application》
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作者：
Alexander Jurisch
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We develop a method that relates the truncated cumulant-function of the fourth order with the L\\\'evian cumulant-function. This gives us explicit formulas for the L\\\'evy-parameters, which allow a real-time analysis of the state of a random-motion. Cumbersome procedures like maximum-likelihood or least-square methods are unnecessary. Furthermore, we treat the L\\\'evy-system in terms of statistical mechanics and work out it\'s thermodynamic properties. This also includes a discussion of the fractal nature of relativistic corrections. As examples for a time-series analysis, we apply our results on the time-series of the German DAX and the American S\\&P-500\\,.
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中文摘要：
我们开发了一种方法，将四阶截断累积量函数与勒维昂累积量函数联系起来。这为我们提供了Levy参数的明确公式，允许实时分析随机运动的状态。不需要像最大似然法或最小二乘法这样繁琐的程序。此外，我们从统计力学的角度来处理L’evy系统，并计算出它的热力学性质。这还包括对相对论修正的分形性质的讨论。作为时间序列分析的示例，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国S&P-500的时间序列，。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Statistical Mechanics        统计力学
分类描述：Phase transitions, thermodynamics, field theory, non-equilibrium phenomena, renormalization group and scaling, integrable models, turbulence
相变，热力学，场论，非平衡现象，重整化群和标度，可积模型，湍流
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Statistical_mechanics_and_time-series_analysis_by_Lévy-parameters_with_the_poss.pdf (551.94 KB)

2022-6-14 05:17:01 上传

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关键词：时间序列分析 统计力学 时间序列 Quantitative Econophysics

具有实时应用可能性的L'evy参数统计力学和时间序列分析Jurischajurisch@ymail.com我们开发了一种方法，将四阶截断累积量函数与塞尔维昂累积量函数联系起来。这为我们提供了L'evy参数的显式公式，可以实时分析随机运动的状态。不需要像最大似然法或最小二乘法这样繁琐的程序。此外，我们从统计力学的角度处理了L'evy系统，并计算了它的热力学性质。这也包括相对论修正的分形性质的讨论。作为时间序列分析的示例，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国标准普尔500指数的时间序列。PACS编号：05.20-y、 05.60-k、 05.40。Jc，05.40。Fb，05.45。Tp，2.50-r、 2.50。Ey，2.70。RrI。引言aGaussian通常很好地描述了具有可忽略相互作用的宏观多粒子系统的统计信息，它可以由Maxwell-Boltzmann分布或没有非线性项的Ginzburg-Landau泛函给出。然而，有些宏观系统并非如此。这可能是由于相互作用，或者仅仅是由于粒子数或参与者的数量（如果社会经济系统受到关注）不够大，甚至不足以接近中心极限定理的范围，这相当于高斯定理。在这种系统中，必须考虑像偏度或峰度这样的高阶波动，这可能会导致与高斯分布的显著偏差。L'evy分布给出了高斯分布的自然推广。注意，许多分布函数都是L'evy分布的特例，参见Feller（11）或Zolotarev（25）的教科书。

Tsallis分布提供了不同类型的泛化。然而，Tsallis分布产生了一个非延拓热力学，我们倾向于保持与延拓性质的联系。作为非高斯宏观系统的例子，我们选择了股票市场数据。然而，我们的结果是一般性的，因此将适用于不属于中心极限定理领域的任何其他宏观系统。那么，为什么要以股票市场为例进行应用呢？因为它们关于非高斯行为的特性已经被很好地理解，因此它们是测试我们方法可靠性的完美手段。我们写这篇文章的方式是，一个不熟悉股市的读者仍然可以带走通用感知（generalessentials）——或者至少我们希望如此。1961年，曼德尔布罗特（Mandelbrot）[19]证明了市场的行为本质上是非高斯的。自1900年Bachelier对市场行为进行首次分析以来，Mandelbrot的工作可以被视为一项重大突破。特别是，Mandelbrot已经证明，市场随机运动的分布函数表现出类似于L’evy分布，我们在下文中将其称为L’evian。Mandelbrot的结果已经得到证实。g、 Mantegna等人【20】。市场的非高斯行为也反映在这样一个事实上，即当使用历史波动率（方差）时，期权定价的高斯-布莱克-斯科尔斯-默顿理论[4，21]的作用不够充分，因此必须引入隐含波动率的概念。此外，依赖于Cox-Ingersoll-Ross模型的方法[9]，例如。

汤普金斯（Tompkins）[24]在描述期权定价以及描述整个市场方面取得了更大的成功。然而，众多不同的模型，我们还将提到赫斯顿[12]，这是一个众所周知的模型，并不能使事情变得更容易，因此似乎有望走上分数差异的一般道路。有关分数或异常差异的详尽介绍，请参见Metzler等人的报告【22】。例如，Cont等人[8]在市场份额分析方面取得了重大进展，表明市场通常表现出与L'evy指数α=1.7相关的行为。高斯情况意味着α=2。Bouchaud等人【7】等对市场的分数行为进行了广泛的研究，而Feigenbaum等人【10】和Johansen等人【13、14】等则专注于接近崩溃的市场的关键动力学。用物理学的语言来说，碰撞可以理解为相变。本文的一个主要结果是，theL'evy指数α是时间或温度的函数。由于α描述了随机系统的输运性质，α的连续变化很可能被解释为连续相变。下面，我们将对可能发生的相变的性质以及列维昂系统的统计力学和热力学进行详尽的讨论。特别地，我们将讨论经典动能的相对论修正与分形统计之间的关系。Aguilar等人【1，2】、Borland等人【5，6】、Kleinert等人【16，17】和我们自己【15】提出了分数期权定价的最新方法。Aguilar等人使用了一种非常技术性的方法，完全依赖于埃维昂，Borland等人。

提出一个通过Tsallis分布引入分数行为的模型。与埃维昂更密切相关的是Kleinert等人和我们自己的Ansatze。Kleinert等人通过使用分数导数引入分数行为，而我们建议使用分数高斯，它直接来自于L’evy Khintchine定理和与L’evian密切相关的极值原理。然而，所有模型都需要输入它们所依赖的参数的数值。确定分布函数参数的选择方法是最小二乘法和最大似然原理的频率法，或贝叶斯方法。就L’evian而言，由于L’evian是通过傅里叶变换定义的，并且仅对其所依赖的参数的某些数值稳定，因此，L’evian拟合程序尤其困难。这适用于正常的L’evian和截断的L’evian。在本文中，我们发展了一种理论，该理论允许我们直接从所考虑的时间序列中计算出L’evian的参数，但无需使用频繁或贝叶斯拟合程序。事实上，这使我们能够实时计算L'evy参数，这样我们就可以对arandom运动所处的局部状态做出陈述。具体而言，我们的方法通过对数条件的连续匹配，将四阶截断累积量函数与L’evian的累积量函数联系起来。截断的累积函数是多项式，因此不会产生稳定的结果。我们解决这个问题的方法是对截断的累积量函数进行aPad再求和，从中可以得到稳定的结果。根据2013年至2018年的状态分析，我们将我们的结果应用于德国DAX和美国标准普尔500指数的随机波动。

我们的结果与指数的行为非常一致。我们特别强调，我们的L'evy指数α随时间变化的局部结果与CONT的整体结果非常一致。等人【8】。此外，我们使用O\'Hagen和Leonard【23】的方法引入了一个基于【15】结果的斜分数分布函数。将O\'Hagen和Leonard的方法与我们的分数高斯法相结合，避免了列维昂所涉及的一些特性，并允许我们计算描述系统局部状态的局部分布函数的可接受估计。二、L'EVY参数的计算我们从四阶截断累积量函数开始考虑，读取ψ（k）=iσ（t）k-σ（t）k- iσ（t）k+σ（t）k.（1）在我们的符号中，我们有σ平均值，σ方差，σ偏度和σ峰度。我们用时间参数表示累积量，因为它们总是被理解为运行累积量。我们可以安全地假设非高斯分布函数P（x）由这四个累积量有效地描述。然而，不可能通过傅里叶变换p（x）=Z从等式（1）计算该分布函数∞-∞dk2πexp[-i k x+ψ（k）]，（2），因为由于峰度的贡献，积分将发散。但峰度包含有关分布函数形状的有趣信息，因此我们寻求一种方法，允许我们包含峰度。注意，对于σ=0，傅里叶变换公式（2）产生了一个艾里函数，如果适当切割振荡部分，该函数可用作斜分布函数。但我们在这方面采取了更为普遍的做法。解决ψ（k）产生的问题的关键是使用L'evian累积量函数，参见例如。

[11],Ψ∞（k） =±iγk- α| k |α±iαβk | k |α-1ζ（α，k），（3），其中指数∞ 表示L'evian渐近稳定的事实。正如下文所示，函数ζ（α，k）在这里不感兴趣，因此我们将不对其作进一步的评论。参数γ缩写为γ=σ-β、 其中β是相关参数。参数β不是原始的L'evy参数，但我们引入它是为了解释我们所做的观察，见下文。与ψ相反∞（k） ，可观测累积量函数ψ（k）可以假设仅对小k有效。现在的问题是将L'evy参数{α，α，β，β}与累积量{σ，σ，σ，σ}联系起来。这可以通过对数条件的匹配来实现，然而，ψ（k）的结构是多项式，因此不会产生稳定的结果。解决此问题的一种方法是对ψ（k）进行Pad'e-再汇总，就像在类似情况下的场论中一样，参见例[18]。Pad'e重采样累积量函数P（k）=P（k，2，2）+i P（k，1，2）由P（k）=-σ（t）| k|1+σ（t）12σ（t）| k|-1+iσ（t）k1+σ（t）6σ（t）| k|-1.（4）通过Pad'e-重新汇总，没有任何信息被抑制或以实质性的方式改变，但是，傅里叶变换公式（2）的发散被消除。对于我们确定的限制→0P（k）=-σ（t）k+iσ（t）k，（5）limk→∞P（k）=-6σ（t）σ（t）+i 6σ（t）σ（t）k-1.（6）极限说明，对于小k，特征函数Φ=exp[P]的行为类似于高斯，而偏斜效应仅渐进。此时峰度的贡献只不过是一个因素。由于动量空间和实空间是相反的，我们可以推断实空间中的分布函数像高斯函数一样衰减，并且在原点附近表现出倾斜行为。Pad'e重新恢复累积量函数等式。

（4） thusalready是否允许我们通过傅里叶积分公式（2）计算分布函数P（x）。然而，我们选择研究累积量和L'evy参数之间的关系。这将使我们对时间序列的行为有更深入、更全面的了解。根据公式（4），我们现在可以执行匹配程序。A、 通过匹配P（k）和ψ的实部来计算迁移指数和方差∞（k） 我们连续地一起得到了传输指数α的表达式，α（k）=24σ（t）12σ（t）+σ（t）k.（7），到目前为止，公式（7）取决于波矢。情况k=0对应于σ（t）=0，并给出α=2，即高斯分布。| k |的情况→ ∞ 给出α=0，这是极端厚尾状态。可以假设中间的过渡区域由标准偏差的范围给出，因此kmatch≈ 1/pσ（t）。这一假设是正确的，因为标准偏差大致确定了分布函数主体到尾部发生交叉的区域。当我们插入kmatchinto公式（7）时，我们得到α=24σ（t）12σ（t）+σ（t）。（8） 通过引入归一化峰度σ（t），我们可以将公式（8）转换为α（t）=12+￠σ（t），￠σ（t）=σ（t）σ（t）。（9） 这个结果支持我们关于kmatch的假设，因为α（t）确实与时间序列的峰度密切相关。请注意，对于α（t）<2的左旋依云是厚尾的，而对于α（t）>2的左旋依云是细尾的。我们称α（t）为输运指数，因为它的数值描述了随机系统中存在的输运特性：对于▄σ（t）>0，通常的扩散（高斯）、轻轨或跳跃扩散，因此α（t）<2；对于▄σ（t）<0，则平坦或欧姆扩散，因此α（t）>2【26】。此外，我们还获得了α（t）=6σ（t）α/212+～σ（t）=ασ（t）α/2，（10），从中我们可以确定有效方差∑（t）=ασ（t）α/2。（11） 按公式计算。

（9，10）L'evian累积量函数方程（3）的实部完全由obseravbles{σ，∧σ}确定。B、 偏斜参数{β（t），β（t）}描述分布函数的偏斜行为。它们可以通过匹配P（k）和ψ的虚部来获得∞（k） 如上所述连续进行。对于α（t）6=1，我们发现γ（t）=σ（t）- β（t）=-72σ（t）（α（t）-1)6σ（t）+pσ（t）～σ（t）+6（1+α（t））σ（t）（α（t）-1)6σ（t）+pσ（t）～σ（t）, （12） 和β（t）=±12σ（t）σα（t）/2|Μσ（t）α（t）（α（t））-1)6σ（t）+pσ（t）～σ（t）ζ（α，k）。（13） 在等式中。（12，13）我们使用了归一化偏度▄σ（t）=σ（t）pσ（t）。（14） α（t）=1的情况是柯西分布的特例，我们在此不讨论。我们下面的分析将表明，对于股市数据，α（t）>1将成立。通过检查公式（3），我们注意到参数β（t）乘以ζ（α，k），因此我们可以在下面的讨论中忽略公式（13）中的该因素。应用于数据，参数{γ（t），β（t）}可以给出较大的数值，这与所考虑的时间序列的行为不匹配。然而，Eqs。（12，13）仍然是微扰方法的结果，因此我们可以假设只应考虑∑（t）中的前导阶。此外，经验表明，与{σ（t），σ（t）}相比，偏度▄σ（t）通常只有很小的数值，因此方程的前导顺序。（12，13）无论如何都是有效的。下面我们将看到，这个假设确实是正确的，因为前导序提供了时间序列的倾斜行为的极好描述。{γ（t），β（t）}的σ（t）中的前导顺序由γ（t）=σ（t）给出- β（t）=σ（t）-（α（t）-3） pσ（t）（α（t）-1） 6σ（t）+O~σ, （15） 和β=±4￠σ（t）3（α（t）-α（t））+氧~σ. （16） 我们在公式（16）中选择了正号，因为相位的选择与我们的观察结果一致，见下文。来自等式。

（15） 我们可以推断，β（t）描述了平均值σ（t）的斜移，在对称分布函数的情况下，它也是最大值。如上所述，在适当切割的空气分布情况下也可以观察到类似的现象。方程（16）中的参数β（t）的作用类似于弹性，它描述了分布函数的倾斜变形。三、 L'EVIAN统计力学和相变类型在统计力学意义上，L'EVIAN累积量函数方程（3）的实部具有无功能量的含义，因此我们有哈密顿量（k）=k |α。（17） 请注意，有效方差的倒数∑-1（t）在以下方面起着热能kBT的作用。FromEq。（17） 我们可以立即推断出≤ α（t）≤ 2随机运动在α（t）=2（高斯）的经典（离散）行为和α（t）=1的声波（类波）行为之间变化，这对应于柯西情况。如果传输指数是时间的函数，这是第一种局部发生的连续相变。关于哈密顿公式（17），我们将讨论相对论修正如何导致分形行为。对于低动量，我们发现（p）=ppc+mc=m c+p2 m-p8 mc+O（p）。（18） 通过省略剩余能量，并利用哈密顿量和累积量函数ψ=-βH，β-1=kBT，我们发现峰度≈σ=3（m cβ）。注意，这里σ=β/m成立。一种统计数据，它希望包括相对论修正，这与傅里叶变换公式（2）的收敛问题相同。然而，根据公式（8），我们发现传输指数α=2-2 m cβ+O~σ. （19） 因此，将第一次相对论修正包括在内，可以有效地理解为引入分形行为。对于超相对论情况H（p）=c | p |，我们发现了一个柯西分布。