证券组合交易的平均场博弈及其对感知的影响

观察到，我们通过假设被考虑的投资者群体对市场平均场有精确的了解，做出了一个强有力的假设。实际上，这种知识只是部分或近似的。[13]在控制的平均场对策的一般框架内研究了系统（2.4）的适定性。在这项工作中，我们提供了更简单的论据来处理我们研究的具体案例。我们假设（Hi）16i6dare类C满足以下条件：（2.5）i=1。。。，dp∈ R、 C类-1–Hi（p）6 C，对于某些C>0，并且mis是具有有限二阶矩的概率密度。此外，我们假设投资者指数在封闭子集D中变化 R、 我们说（ua，m）a∈如果满足以下条件，则为制造系统（2.4）提供解决方案：oua∈ C1,2（[0，T]×R），对于a.e a∈ D、 C中的m（[0，T]；L（R×D））；oua的方程在经典意义上成立，而m的方程在分布意义上成立；o对于任何t∈ [0，T]，（2.6）ZR×D | q | dm（T，dq，da）<∞, 以及|qua（t，q）| 6 C（1+| q |），对于某些C>0。让我们从以下关于t o（2.4）解的唯一性的评论开始。提案2.1。在上述假设下，系统（2.4）最多有一个解决方案。投资组合交易7Proof的平均字段名称。Let（ua，m）a∈丹德（ua，m）a∈Dbe将两个解决方案设置为（2.4），并将“ua：=ua”-ua，\'m：=m- m、 首先，让我们假设m是光滑的，这样下面的计算就成立了。

通过使用系统（2.4），我们得到：（2.7）ddtZ（q，a）’ua’m=-Z（q，a）(R)mdXi=1Vi（高(邱）- 你好(邱））+A（u- u）·q-Z（q，a）’udXi=1Vi气m˙嗨(邱）- 气m˙嗨(邱）,其中u、u分别对应于（ua，m）a∈丹德（ua，m）a∈D、 另一方面，注意z（q，a）(R)mA（u- u）·q=ddtA'E·'E，其中'E（t）：=Z（q，a）q d'm（t）。这源自DDT？E=u- u，依次从sy stem（2.4）中通过零件积分获得。另一方面，根据（2.5），我们得到dxi=1ViZ\'m（高(邱）- 你好(邱））- 齐鲁m˙嗨(邱）- m˙嗨(邱）= -dXi=1ViZm级你好(邱）- 你好(邱）-˙嗨(邱）qi（u- u）-dXi=1ViZm级你好(邱）- 你好(邱）-˙嗨(邱）qi（u- u）6.- min16i6dViZ（q，a）（m+m）2C|qu公司- qu |。因此，（2.7）提供了（2.8）min16i6dViZTZ（q，a）|qu（s）- qu（s）| d（m+m）ds+CA'E（T）·'E（T）=0。通过使用标准正则化过程，恒等式（2.8）适用于任何解（ua，m）a∈丹德（ua，m）a∈Dof（2.4）。因此，我们可以利用这种同一性来推断qu公司≡ 群{m>0}∪{m>0}，因此m，m求解相同的传输方程：tν+dXi=1Vi气ν˙嗨(秋华（t，q））= 0，νt=0=m。该值为m≡ mand so u公司≡ u、 根据我们的规律性假设。8 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNI2.2。二次流动性函数。在实践中，流动性函数通常被选为形式为：L（p）=η| p | 1+φ+ω| p |的严格凸幂函数，η，φ，ω>0。附加术语ω| p |表示成比例的成本，如买卖价差、税收、付给经纪人、交易场所和托管人的费用【23】。二次型情形（φ=1）——也在[13]中考虑过——尤其重要，因为它会导致一些可考虑的简化，并允许以相对较低的成本计算出解。

在本报告的其余部分，我们支持流动性函数采用以下简单形式：（2.9）Li（p）=ηi | p |，其中ηi>0，i=1。。。，d、 按照[13]的方法，我们首先设置'm（da）：=Rqm（dq，da）。对于a.e.a，我们应该提供（2.10）`m（a）6=0∈ D、 而且投资者在一段时间内不会改变他们的偏好参数。因此，我们总是将m（t，dq，da）=m（da），这样我们就可以将m分解为m（t，dq，da）=ma（t，dq）(R)m（da），其中ma（t，dq）是q中几乎所有a的概率度量。现在让我们来描述在我们的分析中起重要作用的以下过程：Ea（t）：=Zqq ma（t，dq）t型∈ [0，T]，对于a.e a∈ D、 我们用Ea表示，1。。。，Ea，D Ea的组件。根据m所满足的PDE，观察其是否满足以下条件：˙Ea（t）=Zqqtma（t，dq）（2.11）=ZqVi2ηi秋花（t，q）16i6dma（t，dq），因此（2.12）ut=Za˙Ea（t）d'm（a）。由于ua所满足的方程中存在线性和二次项，我们希望解具有以下形式：（2.13）ua（t，q）=ha（t）+q′·ha（t）+q′·ha（t）+q′·ha（t）·q，其中ha（t）是R值函数，ha（t）：=（Hia（t））16i6dis值函数，映射ha（t）：=（Hi，ja（t））16i，J6D在Rd×d对称矩阵集中取值。在（2.4）的HJB方程中插入（2.13）并在q中收集类似项，可得出组合交易9的平均场名称，遵循BODEs耦合系统：（2.14）˙公顷=-VHa·Ha˙Ha=-Au- 2HaVHa˙Ha=-2HaVHa+γa∑ha（T）=0，ha（T）=0，ha（T）=-2Aa，其中V：=诊断V4η。。。，Vd4ηd. 为了完全求解（2.14），我们需要知道owu，或过程˙扩展到（2.12）。

我们需要一个额外的等式来完全解决这个问题。根据（2.11），我们有（2.15）˙Ea=2VHa+2VHaEa。通过将该方程与系统（2.14）相结合，可以得到以下fcode：（2.16）¨Ea=-2VAZa˙Ead'm（a）+2γaV∑EaEa（0）=Ea：=Zqqm（q，a）/'m（a）˙Ea（T）+4VAaEa（T）=0。该系统是【13】中研究的系统的一般形式，总结了整个市场平均值。观察到，永久性的市场影响是一个摩擦项，而市场风险项是一个推动更快执行的力量。投资者的异质性在第一个衍生条款中被考虑在内，这意味着所有市场参与者对平均交易流量的贡献已经被所有代理人预测。系统（2.16）是我们在二次型情况下求解MFG系统（2.4）的起点。由于s系统（2.16）的前向-后向结构，我们需要一个较小的条件来构造解决方案。[13]中也考虑了这一假设，从建模标准来看，这一假设没有问题，因为| a |在应用中通常很小（参见第3.3节）。让我们介绍syste m（2.16）解决方案的构建。提案2.2。假设Aa，γa∈ L∞（D） ，则存在α>0，因此，对于| A | 6α，以下情况成立：（i）在L'm（D；C（[0，T]）中存在一个唯一的过程，该过程求解系统（2.16）；（ii）存在常数C>0，因此（2.17）sup06w6T |uw | 6 C1+Za | Ea | d'meCT，其中（ut）t∈[0，T]由（2.12）给出。证据首先，请注意，（2.14）中矩阵Riccati方程的解存在于[0，T]上，是唯一的，仅取决于数据，并且满足要求（参见示例[29]）（2.18）- 2Aa- Tγa∑6 Ha6 0,10 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE Mouzouni，其中上述不等式中的阶应在正对称矩阵的意义上理解。

此外，请注意，∑V和V∑都是可对角化的，没有n个负特征值。因此，通过使用Ha满足的ODE，我们知道HaV和VHAAR都可以对角化，且基矩阵不变。特别是，它支持（2.19）Ha（t）V，ZwtHa（u）V du=VHa（t）、ZwtVHa（u）du= 0对于任何0 6 t，w 6 t，其中symbol[B，A]表示谎言Br acke t：[B，A]=BA- AB.给定Ha，我们的目标是通过求解固定点关系来构建˙Eain L'm（D；C（[0，T]），然后导出Ea。为此，我们首先导出˙Ea的固定点关系。根据（2.19），观察任何溶液中的th Eato（2.16）full fills（2.15）（参见例[31]）Ha（t）=ZTtexpZwt2Ha（s）V dsAZa˙Ea（w）d'm（a）dw，因此Ea（t）=expZt2VHa（w）dwEa+2VZTEXTZtτ2VHa（w）dwZTτexpZwτ2Ha（s）V dsAZa˙Ea（w）d'm（a）dw dτ。通过将该关系与（2.15）相结合，我们推断˙满足以下拟合点关系：（2.20）xa（t）=ΦA（xa）（t）：=2VHa（t）expZt2VHa（w）dwEa+4VHa（t）VZtexpZtτ2VHa（w）dwZTτexpZwτ2Ha（s）V dsAZaxa（w）d'm（a）dw dτ+2VZTtexpZwt2Ha（w）V dwAZaxa（w）d'm（a）dw。相反，我们检查XA是否是固定点关系（2.20）的解决方案，对于a.e.a∈ D、 那么Ea（t）=Ea+Rtxa（s）ds是系统的一个逻辑单元（2.16）。为了解决固定点关系（2.20），在e上只使用ΦA:X上的Banach固定点Th eorem→ 十、 其中X：=L？m（D；C（[0，T]）。很明显，ΦAis是| a |足够小的收缩：的确，给定x，y∈ 十、 认为：|ΦA（xa）（t）- ΦA（ya）（t）| 6 C | A | kx- ykx，其中C>0仅取决于T，kγk∞, 卡克∞, |V |和|∑|。因此，给定s解xato（2.20），函数Ea（t）=Ea+Rtxa（s）ds求解（2.16），并属于L m（D；C（[0，t]），前提是mH具有有限的一阶矩。根据Gr–onwall\'sLemma估算（2.17）。

我们现在可以解决q值流动函数（2.9）情况下的制造系统（2.4）。证券组合交易的平均场名称11定理2.3。根据（2.9）、（2.10）和命题2.2的假设，平均场博弈系统（2.4）有一个唯一的解。证据由于（2.16）可通过命题2.2求解，我们现在可以求解完整系统（2.14），并将ua（t，q；u）t h ank s推导出（2.13）。事实上，由于t o（2.19），我们知道（参考文献[31]）：Ha（t）=ZTtexpZwt2Ha（s）V dsAuwdwha（t）=ZTtVHa（w）·Ha（w）dw，因此（2.13）给出的函数ua（t，q；u）是C1,2（[0，t]×R）。此外，根据（2.17）-（2.18），请注意（2.21）|qua（t，q）| 6 C（1+| q |），对于某些常数C>0，它仅依赖于t和数据。现在，由于uais正则且满足（2.21），我们知道传输方程tma+dXi=1Viqi（马qiua（t，q））=0，ma（0，dq）=m（dq，da）/？m（a）有唯一的弱解ma∈ a.e a的C（[0，T]；L（R））值∈ D、 所以m：=ma'm在弱意义上解决了以下柯西问题：tm+dXi=1Viqi（mqiua（t，q））=0，m（0，dq，da）=m（dq，da）。此外，我们很容易检查m是否长到C（[0，T]；L（R×D））。通过调用（2.16）解的唯一性，我们得到了a.e a的ea（t）=zqma（t，q）dq∈ D、 因此，通过与（2.11）中相同的计算，我们得到uit=Z（q，a）Viqiua（t，q）ma（t，q）(R)m（a）da dq，i=1。。。，d、 所以（ua，m）a∈D解决制造系统（2.4）。根据命题2.1，任何构造的解都是唯一的。因此，为了得出结论，仍需说明：ZR×D | q | m（t，q，a）dq da<∞.为此，让我们设置ψ（t）：=RR×D | q | m（t，q，a）dq da。

在区分ψ并按部分积分后，我们得到了满足ψ的以下ODE：ψ（t）=ψ（0）+2ZtZaHa（w）·Ea（w）(R)m（da）dw+2ZtZa（Ha（w）q·q）m（t，dq，da）dw，12 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNIso，其中ψ（t）| 6 |ψ（0）|+Csup06w6TkEa（w）kL'm+Zt |ψ（w）| dw由于（2.17）-（2.18）而成立。因此，作为一个有限的二阶矩，我们从Gr¨onwall引理推断，对于任何t∈ [0，T]ZR×D | q | m（T，q，a）dq da<∞,这反过来又会产生预期的结果。2.3. 程式化事实和数值模拟。现在，让我们评论我们的结果，并强调系统的一些典型事实。根据（2.13），最佳交易速度v*ais给出人：v*a（t，q）=2VHa（t）q+2VHa（t）（2.22）=2VHa（t）q+2VZTtexpZwt2Ha（s）V dsAuwdw=：v1，*a（t，q）+v2，*a（t；u）。上述表达式表明，最佳交易速度分为两个不同的部分v1，*a、 v2，*a、 第一部分v1，*a对应于复杂组合情况下的经典Almgren-Chris解（参见[23]）。第二部分v2，*aa根据交易窗口剩余部分的预期未来平均交易调整速度【t，t】。由于矩阵为负值，请注意，该策略为当前预期的平均交易赋予了更多权重。此外，随着交易周期的结束，修正期的贡献会减少。修正期旨在利用预期市场平均场的优势。设（2.23）Ga（t，w）：=expZwt2Ha（s）V dsA、 请注意，矩阵GAI不一定是对称的，可能具有与Ha不同的结构。从市场价格动态来看，交易速度表达式表明，个人投资者或交易员对资产i的行为可能会对资产j的价格产生直接影响，至少当这两种资产基本上是相关的，即。

∑i，j6=0。这种交叉影响现象与以下事实有关：其他交易者已经预测到了市场平均值，并希望利用这些信息，尤其是当资产j比资产i流动性更大时（反之亦然）。因此，如果一个投资者是按照人群的预期进行交易的，那么她更有可能通过其他交易者的行为受到“交叉影响”。这一事实在文献[9，26]中得到了经验性的阐述。由于（2.15），还可以导出最佳交易速度的另一个表达式。事实上，我们有：（2.24）v*a（t，q）=Ea+2VHa（t）（q- Ea）。投资组合交易的平均场名称13上述公式表明，个人投资者应遵循市场平均场，但应根据其库存相对于人口平均库存的情况进行修正。为了简化表述，我们从现在开始忽略投资者，并假设市场参与者有相同的偏好。在此假设下，系统（2.16）简单地读取：（2.25）¨E=-2VA˙E+2γV∑EE（0）=E，˙E（T）+4VAE（T）=0。给定离散化步骤δt=N-1，根据以下隐式格式，通过序列（xk，yk）06K6N逼近（2.25）的解：x=Exk- xk公司-1.- δt yk-1=0，k=1。。。，纽约市- yk公司-1.- δt（2γV∑xk- 2VAyk）=0，k=1。。。，N4VAxN+yN=0。因此，计算系统（2.25）的近似解简化为求解一个简单的线性s系统。我们检查了在命题2.2的条件下，上述数值格式收敛且稳定。现在，我们可以用上述数值方法给出一些例子。

我们考虑一个包含三项资产（资产1、资产2、资产3）的投资组合，其特征如下：oσ=σ=0.3美元。白天-1/2.共有-1, σ= 1 $.白天-1/2.共有-1;o V=2000000股。白天-1，V=V=500000股。白天-1;o η= η= 0.1 $.共有-1, η= 0.4 $.共有-1，A=A=2.5美元。白天-1.股份-1;o α= α= 8 × 10-4$.共有-1, α= 6 × 10-4$.共有-1、在Figu re1（a）-1（d）中，我们考虑一个初始平均发明E=100000，E=50000，E=-25000股，分别用于资产1、资产2和资产3。在这个例子中，我们假设资产1和资产2的价格增量之间的相关性为80%，我们设置γ=5×10-5$-1图1（c）除外。图1（a）显示，改变市场影响预因子（αk）16K63对平均执行速度有显著影响。正如【13】所指出的，这一事实本质上与市场影响参数越高，其他市场参与者的预期影响就越重要这一事实有关。也就是说，如果规模较大，交易员预计资产k的价格将面临更大的压力，并调整其交易价格。另一方面，资产动态2表明，市场流动性越高，执行速度越快。这是意料之中的，因为流动性越高，资产交易速度越快。最后，资产3的动态表明，交易者加速了他们对波动性资产的执行。它对应于风险厌恶的自然反应；交易者将试图优先减少风险更高（hencevolatile）资产的风险敞口。14 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNI0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-4-2资产1（参考案例）资产2（参考案例）资产3（参考案例。

案例）资产1（较小）资产2（较大V）资产3（较大）（a）具有不同参数的市场平均值0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-4-2资产1（市场趋势）资产2（市场趋势）资产3（市场趋势）资产1（个人投资者）资产2（个人投资者）资产3（个人投资者）（b）个人投资者的最佳交易：q=40000，q=110，0000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-4-2资产1（=5.10-3）资产2（=5.10-3）资产3（=5.10-3）资产1（=5.10-2）资产2（=5.10-2）资产3（=5.10-2）（c）高风险规避的市场资产2（市场趋势）资产3（市场趋势）资产1（个人投资者）资产2（个人投资者）资产3（个人投资者）（d）个人投资者的最佳交易：q=100000，q=0图1。个人投资者E动态和最优交易曲线的模拟示例。图1（a）中的虚线对应于：α=6×10-4$.共有-1，V=700万股。白天-1，σ=5美元。白天-1/2.共有-1、图1（c）显示了风险厌恶程度越来越高（γ越高）的投资者群体的行为。在上述两种情况下，可以观察到资产2很快被清算，然后建立空头头寸（γ=5×10，约为t=0.05-2$-1） 它最终会逐渐解开。这表明了对冲策略的出现：事实上，由于资产净值1和资产2高度相关，投资者可以通过使用流动性更强的资产（资产净值2）对冲与资产1相关的市场风险，减缓流动性较差的资产（资产1）的执行过程，以降低交易成本。