证券组合交易的平均场博弈及其对感知的影响

只要资产2中的往返成本小于相应的风险降低（从等式（2.2）定义的回报函数Ua（t，x，s，q；u）来看），交易方就有动机使用这种策略。投资组合交易的平均场名称现在，我们提供了各个p层最优策略的示例。我们考虑两个例子：图1（b）中初始库存q=40000、q=0和q=110000的个人投资者；图1（d）中初始库存q=100000，q=q=0的个人投资者。在图1（d）中，被考虑的投资者从q=e开始。因此，凭借（2.24），她的清算曲线完全符合市场平均值。此外，投资者通过在资产2和资产3上建立有利仓位来把握市场的预期演变：在资产2（分别为资产3）上建立短期（分别为多头）仓位，并回购（分别为卖出），以利用大规模清算（分别为买入）导致的价格下跌（分别为上涨）。资产2和资产3的交易策略与v2相关，*在（2.22）中。这种策略可以被描述为“流动性比特率策略”。图1（b）显示了两个有趣的事实：一方面，个人玩家在实现其目标（完全清算）后在资产1上建立空头头寸，以利用市场抛售压力；另一方面，考虑到资产1的市场购买压力，投资者放慢了清算速度，以降低执行成本，因为她预计没有可持续的价格下跌。3、资产回报的依赖结构T h is部分的主要目的是利用第2部分的平均场博弈框架，分析大型交易对资产回报之间观测协方差矩阵的影响。

为此，我们假设一个简单的模型，其中连续的投资者每天交易一个资产组合，并且投资者之间的库存初始分布根据某种给定的概率定律从一天到另一天随机变化。我们假设（2.1）给出了价格动态，并考虑了在一个大型的日内价格观测数据集上估计资产收益协方差矩阵的问题。为了简单起见，我们忽略了投资者的异质性，并假设市场参与者具有理论偏好。接下来，我们将我们的发现与2014年每5分钟抽样的176只美国股票的实证分析进行比较，并根据市场数据校准我们的模型。在本节中，我们表示为十、对于任意两个随机变量X，Y，X的方差和hx，yi，X和Y之间的协方差。此外，我们将“bin”称为5分钟的时间间隔。我们关注连续交易时间，因为所有拍卖（即开盘和收盘拍卖）的机制是特定的。由于美国市场开放时间为9小时30分至16小时，我们的数据库每天有78个垃圾箱。它们将从1到M进行编号，并用k.3.1进行索引。使用日内数据进行估计。我们假设Eis是一个随机变量，在每个交易周期[0，T]上实现敏捷，其中T=1天（交易日）；考虑到以下价格观察结果，估计资产回报协方差矩阵的问题：Snt1,1。。。，Snt1，M,Snt2,1。。。，Snt2，米, ....,SntN，1。。。，SntN，M, n=1。。。，d16 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNIwhere Sntl,kis资产n的价格，以k为单位l.

我们假设tl,1=0，tl,M=T，对于任何1 6l 6 N和tl,k=tl′,k=t对于任何1 6 k 6 M，1 6l, l′6 N.为简单起见，我们假设tkandtk+1之间资产收益的协方差矩阵是使用以下“原始”估计量从数据中估计出来的：（3.1）Ci，j[tk，tk+1]：=N- 1NXl=1δSi，k，l-δSi，kδSj，k，l-δSj，k,式中，δSn，k，l=Sntl，k+1- Sntl，kandδSn，k=N-1PNl=1δSn，k，l，n=i，j。我们将相关矩阵定义如下：（3.2）Ri，j【tk，tk+1】：=Ci，j【tk，tk+1】Ci，i【tk，tk+1】Cj，j【tk，tk+1】1/2.假设价格动态由（2.1）给出，那么下面的命题提供了Ci，j【tk，tk+1】的精确计算。提案3.1。假设Eis独立于过程（Wt）t∈[0，T]，然后对于任何1 6 k 6 M- 1和1 6 i，j 6 d，以下保持：（3.3）Ci，j[tk，tk+1]=（tk+1- tk）∑i，j+αiαjηiηj4ViVj∧i，jk+N，其中N→ 0作为N→ ∞,∧i，jk：=X16l,l′6dDθi，lk、 θj，l′kE+X16l,l′6dDπi，lk、 θj，l′kE+X16l,l′6dDθi，lk、 πj，l′kE+X16l,l′6dDπi，lk、 πj，l′kE和πn，lk： =Ztk+1tkHn，l（s） E类l（s） ds，θn，lk： =Ztk+1tkZTsGn，l（s，w）ul（w） dw ds。证据

使用价格动力学（2.1）、大数定律以及EAN和（Wt）t之间的独立性的精确表达式∈【0，T】获得：（3.4）Ci，j【tk，tk+1】=N+（tk+1- tk）∑i，j+αiαj（N- 1） NXl=1Ztk+1tkui，ls-uisdsZtk+1tkuj，ls′-“ujs”ds′，其中unu=N-1PNl=1un，lu和ul，分别表示第1天u，E的实现。现在，由于（2.22）-（2.23），我们知道ult=2VH（t）El（t）+2VZTtG（t，w）ulwdw=：ν1，l（t）+ν2，l（t）。因此，通过设置￠νn，lk：=Ztk+1tkνn，l（s）- N-1NXl=1νn，l（s）！ds，n=1，2，组合交易的平均场名称17我们推断ZTK+1tkui，ls-uisdsZtk+1tkuj，ls′-“ujs”ds′型=ν1，l，ik+ν2，l，ikν1，l，jk+ν2，l，jk.通过注意估计噪声N、N、NandN的存在，从而得出期望的结果，从而：- 1)-1NXl=1￠ν1，l，ik￠ν1，l，jk=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDπi，lk、 πj，l′kE+N；（N）- 1)-1NXl=1￠ν2，l，ik￠ν2，l，jk=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDθi，lk、 θj，l′kE+N；（N）- 1)-1NXl=1￠ν1，l，ik￠ν2，l，jk=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDπi，lk、 θj，l′kE+N；（N）- 1)-1NXl=1￠ν1，l，jk￠ν2，l，ik=ηiηj4ViVjX16l,l′6dDθi，lk、 πj，l′证明是完整的。备注3.2。我们可以很容易地得出类似的结果Ci，j[0，T]16i，j6d。也就是说，它认为：（3.5）Ci，j[0，T]=T∑i，j+αiαjηiηj4ViVj∧i，j+N，其中→ 0作为N→ ∞,∧i，j：=X16l,l′6dDθi，l, θj，l′E+X16l,l′6dDπi，l, θj，l′E+X16l,l′6dDθi，l, πj，l′E、 +X16l,l′6dDπi，l, πj，l′E、 和πn，l:=ZTN，l（s） E类l（s） ds，θn，l:=ZTZTsGn，l（s，w）ul（w） dw ds。恒等式（3.3）和（3.5）表明，已实现协方差矩阵是基本协方差和由机构投资者交易策略群体影响产生的超额已实现协方差矩阵的总和。另一方面，由于（πi，i）和（θi，i）.

另一方面，由于H和G继承了类似于∑的结构，一旦满足以下条件中的一个或两个，非对角线项中的已实现协方差的超出量就非零：o存在i6=J，如∑i，j6=0；o存在i6=jsuch thatDEi，EjE6=0.18 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE Mouzouni此外，（3.3）和（3.5）当市场影响较大（高度拥挤），考虑资产具有高度流动性（小ηi/Vi），风险规避系数γ较高时，超额实现协方差会显著偏离基本面，或者当Eis的标准偏差较大时。此外，由于θn的贡献，lkandπn，l当kvanishes接近交易期结束时，观察到（3.6）Ci，j【tk，tk+1】~ （油箱+1- tk）∑i，j，作为tk+1→ T、 这意味着在交易期结束时，市场基本面趋于一致。这是因为，在我们的模型中，所有交易者都有足够高的风险厌恶，因此他们的交易速度在接近终端时间T时变为零。根据（3.3），还可以用基本相关性ρi，j：=σi，j/（σi，i∑j，j）1/2来解释已实现的相关矩阵。也就是说，它认为：（3.7）Ri，j【tk，tk+1】=ρi，j（油箱+1- tk）∑i，i∑j，jCi，i[tk，tk+1]Cj，j[tk，tk+1]1/2+αiαjηiηj∧i，jk4ViVjCi，i【tk，tk+1】Cj，j【tk，tk+1】1/2+N=：ρi，jAi，jk+Bi，jk+，对于任何1 6 i<j 6 d。该表达式表明，实现的相关性与基础的偏差是一个线性映射。乘法部分Ai，jk的分子不依赖于H的非对角项，而加法部分Bi，jk的情况也是如此。3.2. 数值模拟。

在这一部分中，我们进行了一些数值实验，以说明交易对资产回报协方差矩阵结构的影响。我们通过选择ρ1,2=60%、ρ1,3=30%和ρ2,3=5%来考虑第2.3节的示例。为简单起见，我们假设Eis是一个中心高斯随机向量，其方差矩阵为：Γ：=λ。1 0.2 -0.10.2 1 0.3-0.1 0.3 1,式中λ=10000份。我们确定时间步长δt=10-2天(~ 4分钟），设置tk+1- tk=δt，估计值Ci，j【tk，tk+δt】16i6j6316k6M-1和Ri，j【tk，tk+δt】16i<j6316k6M-1通过使用第2.3节的数值方法生成一个N=10000个观测值的样本。图2（a）-2（d）显示，观察到的协方差和相关矩阵与基本面有显著偏差，尤其是在交易日开始时。图2（b）-2（d）还说明了偏差相对于初始库存标准d偏差变化的敏感性：随着λ减小，交易的影响降低，协方差和相关矩阵向基本面收敛。另一方面，我们观察到，每个iod的交易开始时间由初始库存的依赖结构决定。这是由于投资组合交易的平均场名称190 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-0.20.40.60.8R[t+t]1,2（参考案例）R[t+t]1,3（参考案例）R[t+t]2,3（参考案例）（a）日内相关性0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3时间0.10.20.30.40.50.70.80.9C t]1,1（参考案例）C[t+t]2,2（参考案例）C[t+t]3,3（参考案例。

案例）C[t+t]1,1（较小）C[t+t]2,2（较小）C[t+t]3,3（较小）（b）λ=10和λ=6.100 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1时间-0.20.40.60.8R[t+t]1,2（较小）R[t+t]1,3（较小）（C）λ=100 0.05 0.1的日内相关性.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5时间-0.010.010.020.030.040.050.060.070.08C【t+t】1,2（参考案例）C【t+t】1,3（参考案例）C【t+t】2,3（参考案例）C[t+t]1,2（较小）C[t+t]1,3（较小）C[t+t]2,3（较小）（d）日内协方差f或λ=10和λ=6.10图2。使用（2.1）模拟日内协方差和相关矩阵的示例。加性项（Bi，jk）16i<j63；事实上，考虑到分母有效值的相对较高幅度，当tk时，（Ai，jk）16i<j63非常小→ 此外，我们注意到，在交易期结束时，所有观察到的数量收敛于两个基本面，这符合（3.6）。3.3. 经验应用。现在，我们对d=176只股票进行了实证分析。该数据包括五分钟的分类数据（δt=5分钟）和2014年1月至12月的报价信息，摘自每家股票（纽约证券交易所或纳斯达克）的一级市场。我们只关注连续交易时段的开始，即开盘后30分钟和收盘前最后90分钟，以避免这些时段交易活动的特殊性，并针对收盘策略。在美国，n天的数量为n=252，每天的箱子数量为M=55。天数将标记为byl=1。。。，N、 k=1的箱子。。。，M、 为了简单起见，我们注意Ci，jk，而不是Ci，j[tk-δt，tk]对于任何1 6 i，j 6 d.20 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE Mouzouni，我们的目标是实证评估交易活动对资产回报日内协方差矩阵的影响，然后将获得的模型与我们之前的理论观察结果进行比较。

根据我们在第3.1节和第3.2节中的分析，我们预计资产回报的观测协方差矩阵会出现异常，尤其是在交易期开始时。此外，正如图2（b）和2（d）所示，我们预计这种影响的大小将是市场订单典型规模的一个递增函数。3.3.1. 市场影响。让我们首先评估资产回报的日内方差与净交换流量的日内方差（Fi，ik）16i6d之间的关系，其定义为：Fi，ik：=N- 1NXl=1νik，l-^1ikνik，l-^1ik对于任何1 6 i 6 d和k=1。。。，M式中，νik，lis是tk之间交换体积的净总和- 第1天库存i的δt和tkf，且|νik=N-1PNl=1νik，l（即“νik”是对νik期望值的估计，lregardless of the day）。作为副产品，我们获得了永久市场影响因素的估计值。尽管νdoe与第3.1节中的变量u并不完全相同，但这两个变量都是市场订单流量的指标，为简单起见，我们将使用ν作为u的代理。1 2 3 4 5 6 7 8 90.050.10.150.20.250.30.350.40.450.50.55（a）GOOG（b）Corr（C，F）直方图图3。（Ci，ik）16k6M和（Fi，ik）16k6M之间的依赖结构。图3（a）显示了（Ci，ik）16K6M和（Fi，ik）16K6M之间的关系。图3（b）显示了Corr（C，F）表示的相关直方图。图3（a）显示了（Ci，ik）16K6M和（Fi，ik）16K6M之间的强正相关。图3（b）表明，第3.1节和第3.2节中的几乎所有库存和钢筋都是如此。

此外，如（3.4）所示，我们假设（Ci，ik）16k6M和（Fi，ik）16k6M之间存在线性关系；因此，在回归后的2016年1月6日，我们将投资组合交易的平均场名称定义为：（3.8）Ci，i=+δt·∑+α·Fi，i其中是误差项（假设d为正态），系数∑与资产回报的“基本”协方差矩阵相关，系数α的平方根与市场影响因子（参见（3.4））。在表1中，我们给出了几个例子的（Ci，ik）16k6M和（Fi，ik）16k6M（表示为Corr（C，F））之间的α、∑和t的相关性估计。特别是，我们获得了永久市场影响bα的估计值。AAPL BMRN GOOG INTCbα（bp）0.8 8.43 2.5 0.01cα6.41×10-117.11 × 10-96.25 × 10-81.79 × 10-12标准。(4.15 × 10-12) (3.98 × 10-10) (3.17 × 10-9) (1.58 × 10-13） p值0.01%0.01%0.01%0.01%b∑0.16-0.01 0.15 5.5 × 10-3std。(0.05) (0.05) (0.49) (2 × 10-4） p值0.01%60%75%2%Corr（C，F）90%92%94%84%表1。Nasdaq股票的α，∑和（Ci，ik）16K6M和（Fi，ik）16K6M之间的已实现相关性估计。对于每个估计值，标准偏差（std.）显示在括号中，p值在第三行中给出。粗体数字在至少99%的水平上是重要的。3.3.2. 典型的日内模式。接下来，我们感兴趣的是收益协方差矩阵的对角线项和非对角线项的日内演变，以及当交易的典型规模减小时，这种演变受到的影响。为此，我们计算了美国股票池的日内收益协方差矩阵，并将每个项（Ci，jk）16k6m按其日平均值进行归一化，然后我们将对角项和非对角项的中值视为分别表征典型对角项和典型非对角项演变的一种方法。

通过调节我们的估计来评估订单相对规模对日内模式的影响。更准确地说，我们首先确定每只股票的贸易失衡矩阵，以便能够比较贸易的相对规模。也就是说，对于任何n，k，l，我们设置：wnk，l：=νnk，lmean16l6NPk | nk，l |，22 CHARLES-ALBERT LEHALLE和CHARAFEDDINE MOUZOUNIwhere meann∈A{xn}表示（xn）的平均值，因为n在A中变化。该平均值是对νnk，lover一天绝对值s um的期望值的估计；它可以看作是一个重整化常数，使我们能够在图4中混合不同的股票。接下来，我们定义条件日内协方差矩阵Ci，jk（λ）16i，j6d16k6m对于每个λ>0，如下所示：（3.9）Ci，jk（λ）：=#Ei，jk（λ）- 1Xl码∈Ei，jk（λ）δSi，k，l- δSi，j，kλδSj，k，l-δSj，i，kλ,式中：o集合Ei，jk（λ）对应于一个条件：它只包含这对股票（指数由（i，j）编辑）的这5分钟仓位（由k索引）的天数，注意，我们可以有i=j）使得重整化ne t体积（绝对值）低于λ。严格定义如下：Ei，jk（λ）：=1 6 l 6 N：| wik，l | 6λ和| wjk，l | 6λ;o δSn，k，lis为（3.1）中定义的价格增量，根据历史库存价格计算得出；oδSi，j，kλ是选定天数内的平均价格增量，由以下公式得出：δSi，j，kλ=Pl公司∈Ei，jk（λ）δSi，k，l/#Ei，jk（λ）;o #Ei，jk（λ）表示Ei的元素数量，jk（λ）：所选天数。请注意，调节越严格（即λ越小），选择的天数越少，因此#Ei，jk（λ）越小。在这里Ci，jk（λ）16i，j6d16k6m表示两国贸易不平衡条件下的收益日内协方差矩阵-λ和λ。在我们所有的例子中，系数λ被选择为有足够的时间进行选择（出于明显的统计显著原因），即。