部分约束下未定权益定价的凸对偶方法

然而，直接解决问题（15）的一个缺点是，对于每个新的权利要求B，必须从头开始解决问题。相反，在解决双重问题时，情况并非如此。根据定理4.3，索赔价格的对偶问题是：supQ∈\'Ma（S，G）EQ[B]（16），其中\'Ma（S，G）是一组绝对连续的概率测度，使得价格过程Sa（Gt）t-条件超鞅（和S，但由于价格过程被贴现，该isPricing或有类别由凸对偶trivial生成）。为了解决这个问题，我们必须找到集合Ma（S，G）。通过使用Ma（S，G）的定义，我们得到了一个要求解的线性不等式组。通过解决这些问题，使用ex-ampleFourier-Motzkin消除法，我们发现'Ma（S，G）={Q=（Q，Q，…，Q）：0≤ q≤, 0≤ q≤ 1.- q、 0个≤ q≤ 1.- q- q、 0个≤ q≤ 1.- q- q- q和q=1- q- q- q- q} （17）因此，考虑到一些索赔B，可以解决（17）中集合的问题（16），以确定卖方的价格。当人们想确定几种索赔B、B、…、的价格时，Bm，解决对偶问题比解决原始LP问题更简单，因为s et'Ma（s，G）对于所有索赔都是相同的。5结论在本文中，我们展示了如何利用凸二元性为拥有部分信息且在离散时间金融市场模型中面临卖空约束的债权卖方获得定价结果。这给出了新的结果，这些结果总结在定理3.1和定理4.3中。很自然，这些结果可以推广到具有连续时间的模型，可能使用离散时间近似。

然而，这可能相当技术性。Rockafellar[2 8]提出的共轭对偶和成对空间共轭对偶理论（也称为凸对偶）为通过对偶问题解决非常一般的优化问题提供了一种方法。设X为线性空间，f:X→ R是一个函数。最小化问题minx∈Xf（x）被称为原始问题，表示为（P）。为了用凸对偶方法对偶然类进行定价，将共轭对偶方法应用于原问题，我们考虑了一个nabstract优化问题minx∈XF（x，u），其中F:x×u→ R是一个函数，使得F（x，0）=F（x），U是线性空间，U∈ U是根据手头的特定问题选择的参数。函数F称为pertu rbation函数。我们希望选择（F，U），使F是x和U的闭合联合凸函数。对应于此问题，我们定义了最优值函数ν（U）：=infx∈XF（x，u），u∈ U、 （18）注意，如果扰动函数F是联合凸的，则最优值函数Д（·）也是凸的。两个线性空间X和V的配对是实值双线性形式h·、·离子X×V。假设在空间sx和V之间有一对。如果拓扑图yon X是局部凸拓扑，例如线性函数h·，vi是连续的，并且X上的任何连续线性函数都可以用这种形式来表示某些v∈ 五、类似地定义了可比较的地形V。如果X和V之间存在配对，并且这两个空间具有关于配对的兼容拓扑，则空间X和V是成对空间。例如，空间X=Lp(Ohm, F、 P）andV=Lq(Ohm, F、 P），其中P+q=1。这些空间通过双线性形式hx配对，vi=ROhmx（s）v（s）dP（s）。下面，让X与另一个线性空间V成对e d，U与线性空间Y成对。

配对的选择在应用中可能很重要。定义拉格朗日函数K:X×Y→\'R为K（x，y）：=inf{F（x，u）+hu，yi:u∈ U}。以下定理A.1来自Rockafellar【28】（见【28】中的定理6）。定理A.1拉格朗日函数K是封闭的，在y中是凹的∈ 凸对偶x对每个定价或有类别的Y∈ 十、 如果F（X，u）在uf（X）=supy中是闭的和凸的∈YK（x，y）。（19） 关于这个定理的证明，请参见Rockafellar【28】。在定理A.1的激励下，我们定义了（P），（D）maxy的对偶问题∈Yg（y），其中g（y）：=infx∈XK（x，y）。问题（D）被称为原始问题（P）的对偶的一个原因是，从方程（19）中，问题（D）给出了问题（P）的较低边界。这就是所谓的弱二元性。有时，可以证明原始问题和对偶问题具有相同的最优值。如果是这样的话，我们就说不存在二元性差距，而强大的二元性是成立的。下一个定理（见Rockafellar[28]中的定理7）很重要：定理A.2（D）中的函数g是封闭的和凹的。阿尔索斯皮∈Yg（y）=cl（co（Д））（0）和infx∈Xf（x）=Д（0）。（其中cl和co分别表示函数的c损失和凸包，见Rocka fellar[29]）。有关证据，请参见Rockafellar【28】。定理A.2指出，如果值函数Д是凸的，则Д的下半连续性是不存在对偶间隙的充分条件。参考文献《凸对偶定价或有分类》[1]Anderson，E.J.和Nash，P.：《有限维空间中的线性规划：理论与应用》。Wiley Interscience，离散数学和优化硕士（1987）。[2] B ouchard，B.：在具有比例交易成本和一般信息结构的离散时间市场中无套利。财务和随机性。

10, 276–297, (2006).[3] Cvitani'c，J.，Karatzas，I.：使用Constrainedpo rtfolios对冲未定权益。安。应用程序。Pro bab。3, 652–681, (1993).[4] De Vallière，D.、Ka banov，Y.、Stricker，C.：对于具有交易成本和不完整信息的金融市场，没有套利标准。《金融与随机》，11237-251，（2007年）。[5] Devolder，O.、Glineur，F.和Nesterov，Y.，《通过多项式近似解决有限维优化问题》，研究与计量经济学中心讨论论文，（2010年）。[6] F"ollmer，H.，Kramkov，D.：约束下的可选分解。概率。理论关系。领域。109, 1–25, (1997).[7] Frittelli，M.，Rozassa Gianin，E.：在风险度量中排序。《银行与金融杂志》。26, 1473–148 6, (2002).[8] Jouini，E.，Kallal，H.：《有卖空约束的证券市场套利》，数学金融，3197-232，（1995）。[9] Kabanov，Y.，Stricker，C.：延迟和受限信息下的Dalang Morton-Willinger定理，摘自《纪念保罗·安德烈·梅耶》（Memoriam Paul AndréMeyer，Springer），（2006年）。[10] Kabanov，Y.、Stricker，C.、Yu，M.：教师的无套利标准，séminaire de Probabilités XXXV，选择。注释数学。，1755 , 149–152,(2001).参考文献《凸对偶法对未定权益的定价》[11]Karatza s，I.，Kou，s.G.：《约束投资组合对冲美国未定权益》，《金融与随机》，2215–258，（1998）。[12] Karatza s，I.，Shreve，s.E.：数学金融方法。纽约斯普林格（1998）。[13] King，A.J.：《对偶与马尔丁格尔：未定权益的随机规划视角》。数学规划服务。B、 91543–562，（2002年）。[14] King，A.J.，Korf，L.：不完全市场中的鞅定价测度∞. 预印本。华盛顿大学（2001年）。[15] 克莱恩，I.，罗杰斯，L.C。

G、 ：存在市场摩擦的最佳投资和消费问题的二元性。数学资金17, 22 5–247, (2007).[16] Kramkov，D.，Schachermayer，W.：效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资。安。应用程序。概率。9, 904–950, (1999).[17] Kramkov，D.，Schacher mayer，W.：不完备市场中最优投资问题的必要和充分条件。安。应用程序。概率。13, 1504–1516, (2003).[18] Oksendal，B.：随机微分方程。Spring e r，柏林，（2007年）。[19] Pennanen，T.：随机优化和数学金融中的凸对偶。运筹学数学。36, 340–362, (2011).[20] Pennanen，T.：非流动市场中超边际成本的双重表示。《数学与金融经济学》，5233-248，（2012年）。[21]Pennanen，T.：《金融市场凸优化导论》。数学编程，134，pp.157-186，（2012年）。参考文献《凸对偶定价或有分类》【22】Pennanen，T.，Perkki"o，A.P.：无对偶间隙的随机规划。数学编程。136, 9 1–110, (2012).【23】Pham，H.：金融应用中的连续时间随机控制和优化。Spr inger，柏林海德堡（2009）。[24]皮纳尔，M.切赫：离散时间内欧式索赔损益对冲的双重表示。第61、361–372号优化公告（2012年）。[25]皮纳尔，M.切赫：测度模糊下的盈亏定价，ESAIM：控制、优化和变异演算。16, 132–147, (20 10).【26】普利斯卡。S、 R.：数学金融导论：离散时间模型。布莱克威尔出版社，马尔登（1997）。【27】Pulido，S.：资产定价的基本定理、对冲问题和禁止卖空的金融市场中的最大债权。arXiv:1012.3102，（2011年）。Rockafellar，R.T.：《共轭对偶与优化》。

费城工业和应用数学学会（1974年）。Rockafellar，R.T.：凸分析。普林斯顿大学出版社，普林斯顿，（1972年）。【30】Rockafellar，R.T.，Wets，R.J.-B.：变量分析。柏林·海德尔伯格（BerlinHeidelberg），斯普林格（Springer），2004年。Rogers，L.C.G.：《约束最优投资和消费问题中的对偶性：综合》。数学课堂讲稿。柏林斯普林格（2003）。[32]罗杰斯，L.C。G、 ：百慕大期权的双重估值和对冲。西亚姆杰。金融数学。1, 604–608, (2 010).[33]Shapiro，A.、Dentcheva，D.、Ruszczynski，A.：随机规划讲座：建模与理论。暹罗和MPS，费城，（2009年）。参考文献《凸对偶定价或有类别》【34】Shilling，R.L.：测度、积分和鞅。剑桥大学出版社，剑桥，（2005年2月）。[35]Vanderbei，R.J.，《线性规划：基础和扩展》。Kluwer学术出版社，波士顿（1996年）。