部分约束下未定权益定价的凸对偶方法

请注意，双重可行性条件是成对的，其中唯一的区别是是否存在=（允许ShortSelling）或≥ （不允许短接）。这个对偶问题（3）与原始问题（1）一样，是一个有限的线性规划问题。如前所述，如果Ohm 它是一个规则的线性规划问题，可以使用s implex算法或内点法来解决。然而，这一版本的对偶问题对于解决原始问题来说并不简单。因此，我们将以更易于解释的形式重写问题（3），这在某些情况下比原始问题更容易解决。3主要定理在这一节中，我们将展示我们的主要定理，定理3.1，它表明对偶问题（3）等价于另一个涉及价格过程的可选投影上的鞅和supe r鞅条件的问题。在下文中，设“MaI（S，G）”为概率测度Q的集合(Ohm, F） 这是绝对连续的w.r.t.P，并且是这样的，价格过程通过凸对偶为i∈ Isatisfy EQ[Si（t+k）| Gt]=EQ[Si（t）| Gt]，而对于j∈ Ithey satisfyEQ[Sj（t+k）| Gt]≤ k的等式[Sj（t）| Gt]≥ 0和t∈ 0, 1, . . . , T- k、 即Q是价格过程可选投影的混合鞅测度和超鞅测度。定理3.1对偶问题（3）等价于以下优化问题。supQ公司∈？MaI（S，G）等式【B】。（4） 证明。Fir st，假设存在一个Q∈？MaI（S，G），即问题（4）的可行解决方案。我们想证明问题（3）有相应的可行解。定义y：=dQdP（Q w.r.t.P的Radon-Nikodym导数，见先令[34]），y：=E[y | Ft]，t=0，1，T- 1.

我们证明了y，yt满足问题（3）的对偶可行性条件（三）*: 从条件期望的定义来看，它有助于超越[ySj（T）| GT-1] dP≤扎伊特-1S（T- 1） 所有A的dP∈ 燃气轮机-1，j∈ 一、 尤其需要证明[ySj（T）| GT-1] ≤ E[年初至今-1Sj（T- 1） |燃气轮机-1] yT定义的P-a.e-1，这是等效前束[ySj（T）| GT-1] ≤ E[E[y | FT-1] Sj（T- 1） |燃气轮机-1] 自Sj（T）起的P-a.e- 1） 是英尺-1-可测，上述不等式与[ySj（T）| GT-1] ≤ E[E[ySj（T- 1） |英尺-1] |燃气轮机-1] P-a.e.根据凸对偶对或有类别进行定价根据塔的性质，这是等效的toE[ySj（T）| GT-1] ≤ E[ySj（T- 1） |燃气轮机-1] P-a.e.在条件期望下，通过测量值的变化，就足以表明[y | GT-1] 公式[Sj（T）| GT-1] ≤ E[y | GT-1] 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-1].这是成立的，因为y≥ 0 P-a.e.和Q∈“MaI（S，G）。”（二）*: 首先，我们证明t=t- 2、请注意∈ 燃气轮机-2，j∈ 伊拉特-1Sj（T- 1） dP=RAE【yT】-1Sj（T- 1） |燃气轮机-2] dP=RAE[E[y | FT-1] Sj（T- 1） |燃气轮机-2] dP=RAE[E[ySj（T- 1） |英尺-1] |燃气轮机-2] dP=RAE[ySj（T- 1） |燃气轮机-2] dp因此，从条件期望的定义和条件期望下度量的变化，可以证明-2Sj（T- 2） |燃气轮机-2] ≥ E[ySj（T- 1） |燃气轮机-2] =E[y | GT-2] 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-2].（5） 但是，根据y（T）的定义-1） ，塔的性质和条件期望下的测量变化-2Sj（T- 2） |燃气轮机-2] =E[ySj（T- 2） |燃气轮机-2] =E[y | GT-2] 等式[Sj（T- 2） |燃气轮机-2].（6） 通过组合方程（5）和（6），可以证明-2] 等式[Sj（T- 2） |燃气轮机-2] ≥ E[y | GT-2] 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-2].基于凸对偶的权变分类定价≥ 0 P-a.e.和Q∈？MaI（S，G）。同样，o ne canshow（二）*对于t=1，T- 3.o（一）*: 回想一下，G={, Ohm}. 对于A=.因此，只需检查E[ySj（1）]≤ E[Sj（0）]=Sj（0）forj∈ 我

请注意，E[ySj（1）]=E[ySj（1）| G]=E[y | F]Sj（1）| G]=E[ySj（1）| F]| G]=E[ySj（1）| G]=等式[Sj（1）]=等式[Sj（1）| G（0）]≤ Sj（0），其中第二个等式来自于Yan的定义，不等式来自于Q∈？MaI（S，G）。因此，（i）*也适用。o平等条件（i）、（ii）和（iii）来自相同类型的论证，基于对MaI（S，G）的定义和条件期望下度量的变化。因此，任何Q∈“MaI（S，G）对应于可行的双重解决方案，即满足双重问题的约束条件（3）。相反，假设存在可行的对偶解y≥ 0，（yt）T-1t=1问题（3）。定义Q（F）：=所有F的RFydP∈ F、 这定义了概率度量y≥ 0，并且可以假设E[y]=1，因为对偶问题（3）在平移下是可变的。证据的剩余部分是为了证明Q∈(R)MaI（S，G），（7）凸对偶定价或有类别ims。e、 问题（3）的双重可行性条件对应于处于“MaI（S，G）”的条件。我们将其分为几个类别，然后加以证明。权利要求1:EQ[Si（T）| GT-1] =等式[Si（T- 1） |燃气轮机-1] 对于i∈ 一、 权利要求1的证明：从条件期望的定义来看，问题（3）中的方程（iii）等价于E[ySi（T）| GT-1] =E【yT】-1Si（T- 1） |燃气轮机-1].从条件期望下的测度变化[ySi（T）| GT-1] =E[y | GT-1] 等式[Si（T）| GT-1] （8）安第斯-1Si（T- 1） |燃气轮机-1] =E【yT】-1 | GT-1] 等式[Si（T- 1） |燃气轮机-1].（9） 通过组合方程（8）和（9），（iii）等于toE[y | GT-1] 等式[Si（T）| GT-1] =E[yt | GT-1] 等式[Si（T- 1） |燃气轮机-1].通过考虑债券的方程式（iii）并使用市场标准化（假设），ZAydP=ZAyT-所有A均为1dP∈ 燃气轮机-1.（10）从条件期望的定义来看，这意味着-1 | GT-1] =E[y | GT-1]. 由于y>0 a.e.，等式[Si（T）| GT-1] =E[Si（T-1） |燃气轮机-1].

这证明了Claim 1。权利要求2:EQ[Si（t+k）| Gt]=EQ[Si（t）| Gt]k∈ N、 我∈ 一、 权利要求2证明：让我∈ 一、 首先，我们可以通过归纳法表明，对于所有T，EQ[Si（T）| Gt]=EQ[Si（T）| Gt]≤ T、 我∈ 一、 使用权利要求1。也通过归纳论证（对于i∈ 一） ，这可以推广到权利要求3。权利要求3:EQ[Sj（T）| GT-1] ≤ 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-1] 对于j∈ 一、 根据权利要求3的凸对偶顶对或有类别进行定价：证明等式[Sj（T）| GT-1] ≤ 等式[Sj（T-1） |燃气轮机-1] 对于j∈ 一、 我们使用（iii）*, 一个类似于用于显示Cla im 1和权利要求2的参数。权利要求4:EQ[Sj（T）| Gt]≤ E【Sj（t）| Gt】适用于所有t≤ T和j∈ 一、 权利要求4的证明：Let j∈ 一、 表示等式[Sj（T）| Gt]≤ 所有t的E【Sj（t）| Gt】≤ T：注意，从方程式（ii）中*对于t+1，t+2，…，的问题（3），T- 2，以下是Raytsj（t）dP≥射线+1Sj（t+1）dP A.∈ 燃气轮机≥射线+2Sj（t+2）dP A.∈ Gt+1，第r节 A.∈ 燃气轮机≥ . . .≥雷特-1Sj（T- 1） dP A.∈ 燃气轮机≥RAySj（T）dP A.∈ GT最终不平等使用（iii）*来自问题（3）。因此，根据条件预期的定义和条件预期下的衡量标准变化≥ZAE[y | Gt]EQ[Sj（T）| Gt]dp对于键，我们知道E[yt | Gt]=E[y | Gt]（参见与方程（10）相关的参数），soZA{E[yt | Gt]（EQ[Sj（T）| Gt]- 公式[Sj（T）| Gt]）}dP≥ 0 A.∈ 燃气轮机。（11） 若yt（A）≥ 0，但不等同于0 a.e.，这意味着权利要求4，即：EQ[Sj（t）| Gt]（a）≥ 公式[Sj（T）| Gt]（A）适用于A∈ 燃气轮机。如果yt（A）=0 A.e.，那么Q（A）=0，那么根据惯例，等式[Sj（T）| Gt]（A）=0。因此，由于价格预测是非负的，因此等式[Sj（t）| Gt]≥ 公式[Sj（T）| Gt]。

这证明了权利要求4。凸对偶目标5下的权变分类定价：等式[Sj（t+k）| Gt]≤ k的等式[Sj（t）| Gt]∈ N、 j∈ 一、 权利要求5的证明：对于∈ GT和j∈ 一、 RAytSj（t）dP≥RAyt+kSj（t+k）dP=RAE[yt+kSj（t+k）| Gt]dP=RAE[yt+k | Gt]EQ[Sj（t+k）| Gt]dP=RAE[y | Gt]EQ[Sj（t+k）| Gt]dP，其中第一个线性如下（ii）*（来自问题（3））迭代，第三个等式来自E[yt+k | Gt]=E[y | Gt]（参见权利要求4的证明）。因此，根据条件期望的定义，由于E[yt | Gt]=E[y | Gt]≥ 0（因为y≥ 0）ZA{E[y | Gt]（等式[Sj（t）| Gt]- 等式[Sj（t+k）| Gt]}dP≥ 0表示所有A∈ 燃气轮机。通过与等式（11）相似的r论证，权利要求5成立，即等式[Sj（t+k）| Gt]≤ 所有k的等式【Sj（t）| Gt】∈ N、 j∈ 一、 通过结合这些声明，我们可以看到Q∈MaI（S，G），理论如下。对偶问题（4）的版本很有吸引力，因为它与鞅测度有关，鞅测度是数学金融学的重要组成部分，参见Karatzas和Shreve【12】和Oksendal【18】。公式（4）的另一个精确特征是，当找到集合“MaI（S，G）”时，解决每个新权利要求B的问题可能相当简单（取决于“MaI（S，G）”的结构），因为se t不依赖于权利要求。相反，只要考虑新的索赔B，就必须从头开始解决原始问题（1）。凸对偶定价或有类别3.2注意，定理3.1与定理1 inKabanov和Stricker有一些相似之处【9】。然而，我们考虑的是未定权益的定价问题，而不是无套利标准，这是[9]的主题。此外，我们有卖空限制，而[9]没有。

此外，我们有一般水平的部分信息（不一定是延迟的），我们使用的技术，特别是凸对偶的使用，是不同的。卡巴诺夫和斯特里克[9]还评论说，据他们所知，他们对威林格定理的部分信息的证明是唯一一个没有将问题简化为一步模型的证明。我们的技术，使用凸性，也不依赖于简化为单周期模型。因此（据我们所知），我们的证明方法必须是一种新的方法，以避免在离散时间模型中简化为一个周期。4强对偶本节的主要目的是证明不存在对偶缺口，即原始问题（1）的值等于对偶问题（4）的值。这可以使用Pennanen和Perkki"o[22]的以下定理来完成（参见[22]中的定理m 9）。为了证明强对偶性，我们还假设i={0，1，…，N}，即不允许卖空或借贷。我们使用与第2节中相同的符号，并考虑附录A中定义的值函数Д（·）。在下面的定理中，H是一个随机过程，每个时间t有N+1个分量∈ {0，1，…，T- 1} HG表示所有适应过滤（Gt）t的随机过程家族。此外，F∞是F的衰退函数，由F定义∞（H（ω），0，ω）：=supλ>0F（λH（ω）+H（ω），？y（ω），ω）- F（\'H（ω），\'y（ω），ω）λ（12）（与\'H，\'y独立）。然后，我们有以下定理：定理4.1（定理9，Penn-anen和Perkkio[22]）假设有一个通过凸对偶映射或有分类∈ Y和m∈ L(Ohm, F、 P）使得对于P-a.eω∈ Ohm,F（H，u）≥ u·y+m a.s.适用于所有人（H，u）∈ RT（N+1）×R（| I |+1）T+1，（13），其中（·）表示欧氏内积。还假设a：={H∈ 汞：F∞（H，0）≤ 0 P-a.s.}是一个线性空间。

然后，值函数Д（u）在u上是下半连续的，并且对于所有u，都达到了原始问题的极限∈ U、 关于定理4.1的证明，请参见[22]。定理4.1给出了值函数Д（见附录A）具有较低se-mi连续性的条件。因此，根据定理A.2，如果这些条件成立，那么就不存在对偶间隙，因为Д（·）是凸的（b因为扰动函数F被选为c凸）。备注4.2请注意，Rockafellar【28】和Pennanen以及Perkki"o【22】的框架之间存在细微差异。在后者中，假设扰动函数F是所谓的凸正规被积函数。然而，从Pennanen【19】中的示例1和Rockafellar and Wets【30】中的示例14.29可以看出，我们选择的F实际上是一个凸正规被积函数。以下定理说明不存在对偶缺口，并描述了或有权的卖方价格。定理4.3考虑本文的设置，并假设（Gt）t不存在任何偏差。如果权利要求B的卖方拥有信息（Gt），并且不允许卖空或借贷，她将以β=supQ的价格提供权利要求∈毫安（S，G）等式【B】。（14） 其中，Ma（S，G）是概率测度Q的集合(Ohm, F） 由凸对偶绝对连续w.r.t.P对或有类别进行定价，且价格过程满足[Sj（t+k）| Gt]≤ k的等式[Sj（t）| Gt]≥ 0和t∈ 0, 1, . . . , T- k、 证明。我们应用定理4。1为了证明定价问题不存在对偶间隙：o我们首先证明集合A是线性空间。我们计算F∞（H（ω），0，ω），选择y=0和H作为从1+supω开始的投资组合∈Ohm债券的B（ω）单位，并且只跟踪市场发展（无任何交易），直到最终时间。

然后，我们发现a={H:G-ada pted，H（t）≥ 0 t、 S（t）·H（t）=0，S（t）·H（t- 1) ≥ 0，S（0）·H（0）≤ 0}={0}，其中最终等式是因为我们认为没有套利。r、 因此，A={0}，这是一个（平凡的）线性空间。因此，满足定理4.1的初始条件。o要检查定理的其他假设，请选择（0，（0）t，（0）t，-1) ∈ Lq公司(Ohm, F、 P:R（| I |+1）T+1），其中0表示0函数。此外，选择m（w）=-1表示所有ω∈ Ohm.然后m∈ L(Ohm, F、 P）。然后，给定（H，u）∈ RT（N+1）×R（I+1）T+1:F（H，u）≥ S（0）·H（0）（从F的定义开始）≥ -z（从F的定义）=u·y（ω）+m（ω）（从y和m中选择）。这证明了定理4.1的条件是满足的。因此，不存在对偶缺口，所以卖方的未定权益价格是通过凸对偶SUPQ对未定类别进行定价∈毫安（S，G）等式【B】。备注4.4我们注意到，F"ollmer和Kramkov[6]中的命题4.1给出了价格过程中具有超鞅条件的索赔的卖方价格表达式。然而，我们考虑的问题与[6]不同，因为我们有部分信息。与文献[6]相比，部分信息的存在导致了不同类型的鞅测度（我们在价格过程的可选投影上得到了鞅和超鞅测度）。为了证明定理4.3中的强对偶性，我们假设不允许卖空或借贷。为了使空间a成为线性空间，这是必要的，正如OREM 4.1中的强对偶特征所要求的那样。然而，我们无法找到一个实际存在二元差距的数值例子。在最后Ohm （即。

（线性规划）的情况下，即使允许借贷或卖空，也不会有二元缺口。因此，如果存在一个二元性缺口的例子，它必须在有限的范围内Ohm案例这让人相信，可能会关闭二元性的缺口。然而，我们还没有通过对问题的凸分析找到实现这一点的方法。另一种选择是，通过使用拉格朗日公理分析原始问题，尝试关闭卖空案例中的双重套利，参见Pinar【24】、【25】。然而，由于这种方法与我们在离散时间环境下的凸双线性方法相当，因此很可能会遇到类似的线性问题。这是一个有待进一步研究的开放性问题。示例4.5我们通过考虑一个简单的数值示例来说明前面的结果。虽然本文的结果在Ohm 是凸对偶集的任意定价或有类别，我们考虑一种情况，其中Ohm 是有限的。这简化了直觉，并允许通过场景树进行说明。考虑时间t=0，1，2，Ohm := {ω，ω，…，ω}和一个具有两种资产的市场：一个银行账户和一种风险资产S。假设市场已结算，因此S（t，ω）=1表示所有时间t和所有ω∈ Ohm. let（t，ω）：=X（t，ω）+ξ（t，ω），即风险资产的价格由另外两个过程X和ξ组成。卖方不遵守这两个过程，只遵守价格。以下场景树显示了过程X和ξ的发展，以及卖方观察到的价格发展。请注意，我们只显示以下计算中所需的信息。Ohm = {ω，ω，…，ω}ξ=3，{ω，ω，ω}ξ=5，{ω，ω}ωωωωωωωq qt=0 t=1t=t=2图1：该市场中的过程ξ完整信息对应于观察x和ξ两个过程，即。

完整信息过滤（Ft）是由X和ξ，σ（X，ξ）生成的σ代数。然而，卖方（Gt）观察到的价格过程产生的过滤（严格）小于完整信息过滤。例如，如果你观察到ξ（1）=3，X（1）=4，你就知道实际情况是ω。然而，这不可能仅通过观察价格过程S来确定。因此，这是一个通过凸对偶对或有类别进行定价的模型示例Ohm = {ω，ω，…，ω}X=4，{ω，ω}X=2，{ω，ω，ω}ωωωq qt=0 t=1t=t=2图2：过程s XS=6，Ohm = {ω，ω，…，ω}S=7，{ω，ω}S=9，{ω，ω}S=5，{ω}S=3，ωS=8，ωS=9，ωS=7，ωS=4，ωq qt=0 t=1t=2图3：价格过程隐藏过程，这是一种不延迟信息的部分信息。假设卖方不允许卖空。在这种情况下，卖方的问题（1）是解决以下最小化问题w.r.t.v和所有（Gt）t适应的交易策略H：通过凸对偶Fv，Hvs对或有类别进行定价。t、 3H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）9H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）5H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）8H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）4H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）H（1，ω）- H（0）+7H（1，ω9- H（0））= 0H（1，ω）- H（0）+5H（1，ω）- H（0））= 0H（1，ω）- H（0）+9H（1，ω）- H（0））= 0Hj（0）≥ 0，Hj（1，ωi）≥ 0表示j=0，1，i=1，2，3H（0）+6H（0）≤ v（15），其中H（1，ω）=H（1，ω）和H（1，ω）=H（1，ω），因为H是（Gt）自适应的。这是一个线性规划问题，可以使用Simplex算法解决。请注意，单纯形算法是一种对偶方法，它导致了一个等价于我们在第3节中导出的对偶问题。直接解决这个问题的一个好处是，我们可以明确地获得交易策略。