部分约束下未定权益定价的凸对偶方法

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英文标题：
《A convex duality approach for pricing contingent claims under partial
  information and short selling constraints》
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作者：
Kristina Rognlien Dahl
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We consider the pricing problem facing a seller of a contingent claim. We assume that this seller has some general level of partial information, and that he is not allowed to sell short in certain assets. This pricing problem, which is our primal problem, is a constrained stochastic optimization problem. We derive a dual to this problem by using the conjugate duality theory introduced by Rockafellar. Furthermore, we give conditions for strong duality to hold. This gives a characterization of the price of the claim involving martingale- and super-martingale conditions on the optional projection of the price processes.
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中文摘要：
我们考虑或有索赔卖方面临的定价问题。我们假设该卖方有一些一般水平的部分信息，并且不允许他卖空某些资产。这个定价问题是我们的首要问题，是一个约束随机优化问题。我们利用Rockafellar提出的共轭对偶理论导出了这个问题的对偶。此外，我们给出了强对偶成立的条件。这给出了在价格过程的可选投影上涉及鞅和超鞅条件的索赔价格的一个特征。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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PDF下载：
--> A_convex_duality_approach_for_pricing_contingent_claims_under_partial_informatio.pdf (275.71 KB)

2022-6-14 05:29:32 上传

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关键词：Mathematical Optimization Quantitative mathematica Rockafellar

部分信息和卖空约束下定价约束索赔的凸对偶方法Kristina Rognlien Dahl*2019年2月28日摘要我们考虑或有索赔卖方面临的定价问题。我们假设卖方有一些一般水平的部分信息，并且不允许他卖空某些资产。这个定价问题是我们的首要问题，是一个约束随机优化问题。我们利用Rockafellar提出的共轭对偶理论导出了这个问题的对偶。此外，我们给出了强对偶成立的条件。这在价格过程的可选投影上给出了涉及鞅和超鞅条件的索赔价格的一个特征。关键词：凸对偶。数学金融。定价部分信息。AMS科目分类：49N15、90C15、90C25、90C46、91G20。*奥斯陆大学数学系。kristd@math.uio.no.根据欧洲共同体第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC赠款协议号，导致这些结果的研究已获得欧洲研究理事会的资助。本文利用共轭对偶从数学金融角度分析了一个最优化问题。我们考虑了在一个圆盘rete时间、任意场景空间设置下，一个偶然目标B的卖方的定价问题。卖方拥有一般水平的部分信息，并受到卖空约束。卖方的（随机）优化问题是找到索赔的最低价格，这样她就可以通过投资一个自我融资的投资组合，在最终时间T没有资金浪费的风险。

价格过程仅被假定为非负随机过程，因此框架是独立于模型的（从这个意义上讲）。本文的主要贡献是将索赔B的卖方价格的对偶刻画为索赔的Q-期望，其中Q是关于价格过程的条件期望的混合鞅和超鞅测度，见定理3.1。据我们所知，这是一个新的结果。鞅和超鞅测度的混合是由于某些资产上存在卖空约束，而条件期望是由于卖方的部分信息。这个对偶问题的最优值是卖方价格的上界。为了证明这个特征，我们使用了共轭对偶技术。这项技术不同于数学金融文献中常见的技术，其结果是（相当）简短的证明。此外，它不依赖于一个周期模型的推导。此功能使优化问题得以解决，即使它包含部分信息。共轭对偶（也称凸对偶）是研究和解决优化问题的一般框架，用于分析塞勒问题。Ro ckafellar【28】介绍了该框架，见附录a的简要总结。为了进一步处理共轭对偶及其在随机优化中的作用，s e Shapiro et a l。

[33].本文的一些主要特点是：通过凸对偶对或有类别进行定价o我们有一个完整的一般过滤，呈现部分信息。这与例如Kaba nov和Stricker[9]相比，后者使用延迟信息。共轭对偶的使用是一种通用方法，它提供了一种有效的方法来推导卖方定价问题的对偶，而无需简化为一个周期模型由于我们使用discr e te time，因此考虑了一般的价格过程。在数学金融中使用共轭对偶是一个相当新的发展。在过去几年中，Pennanen在这一领域做了一些开创性的工作，参见Pennanen【19】、【20】、【21】以及Pennanen和Perkki"o【22】。金（King）[13]和金（King）与科尔夫（Korf）[14]也研究了共轭二元性与主题性之间的联系。广义上的二元性理论是数学金融理论的核心。各种对偶性，如线性规划对偶性、拉格朗日对偶性和双极性定理，被用于许多金融领域。例如，Pinar【24】，【25】应用拉格朗日对偶，推导出了使用收益损失的或有利润定价的对偶表示。在发送路径的设置中，这种拉格朗日对偶方法等效于我们的共轭对偶方法。然而，共轭对偶的优点是它也可以推广到连续时间环境。特别是，对偶理论（特别是在有限维中）被用于效用最大化、对冲、分析凸风险度量、消费和投资问题以及最优停止。Kramkov和Schachermayer【16】、【17】、Karatzas和Shreve【12】和Pham【23】考虑了效用最大化问题中的对偶性。卡拉扎斯、什里夫（12）和范（23）的书也考虑了对冲的双重性。

Pliska【26】在套利相关问题中使用了线性规划对偶。Frittelli a和Rozas sa Gianin【7】将共轭对偶应用于凸风险度量。此外，罗杰斯还考虑了二元性在数学金融中的许多应用，例如在消费、投资和享乐问题中，参见罗杰斯【31】以及克莱恩和罗杰斯【15】。Rogers还通过凸对偶推导出了定价或有cla ims。这是一种用于解决最优停止问题的纯对偶方法，参见Rogers【32】。有关卖空限制下债权复制的更多信息，请参见Cvitani\'cand Karatzas【3】、F"ollmer和Kramkov【6】、Jounini和Kallal【8】、Karatzas和Kou【11】、Karatzas和Shreve【12】和Pulido【27】。卡巴诺夫和斯特里克[9]推导了延迟信息下的达朗-莫顿-威林格定理。他们通过推广Kabanov等人的无套利标准证明来做到这一点。他们的结果与定价结果定理4.3有关，因为它涉及价格过程的可选投影上的鞅条件。然而，与卡巴诺万·斯特里克（Kabanovand Stricker）[9]相比，我们有完全通用的部分信息（即，不需要延迟信息）。此外，我们考虑的是索赔的定价，而不是像[9]中那样的问题。我们也有卖空限制，我们的方法，特别是共轭对偶的方法，与[9]中的方法不同。Bo uchard[2]和De Valliére等人[4]也没有考虑部分信息下的仲裁条件，而是考虑交易成本，没有像我们这样的卖空限制。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了金融市场模型，并通过使用共轭对偶推导对偶问题来分析卖方的优化问题。

第三节通过证明证明了我们的主要定理，并给出了对偶问题的另一个特征。第4节表明，在没有借贷或卖空的情况下，不存在二元缺口。通过将这一结果与之前的结果相结合，我们发现了卖方价格在鞅和超鞅条件下的特征化。我们还给出了一个数值例子来说明结果。最后，第5节进行了总结，并提出了一些有待进一步研究的开放性问题。利用凸对偶2定价法在卖空约束和部分信息条件下对或有类别进行定价我们对金融市场建模如下。存在给定的可能性空间(Ohm, F、 P）由场景空间组成Ohm, σ-代数FOhm 和可测空间上的概率测度P(Ohm, F） 。金融市场由N+1项资产组成：N项风险资产（股票）和1项非风险资产（债券）。每个资产都有一个（不等于零）随机价格过程Sn（t，ω），n=0，1，N、 对于ω∈ Ohm 和t∈ {0，1，…，T}其中T<∞, SDE注意到债券的价格。我们用S（t，ω）：=（S（t，ω），S（t，ω），SN（t，ω）），RN+1中的向量，包含所有资产的价格过程。我们假设S（t，ω）：=1表示所有t∈ {0，1，…，T}，ω∈ Ohm, 所以市场被打乱了。设（Ft）Tt=0为市场中完整信息对应的过滤。我们假设价格过程适应于这种过滤。有关类似框架的更多信息，请参见Oksendal[18]。市场上的每个卖家都有一个过滤（Gt）t：=（Gt）Tt=0，其中G={, Ohm} 和GT=F。过滤代表卖方可用信息的发展。关于Gand GT的假设意味着在时间0时卖方什么都不知道，而在时间T时真实的世界场景被揭示出来。我们假设Gt Ft对于所有t=0，1。

. . , T这意味着卖方只有部分信息，而卡巴诺夫和斯特里克则使用延迟信息。通过考虑一般的部分信息，我们包括例如卖方未观察到/隐藏过程的可能性。设Hn（t，ω），n=0，1，···，n是资产编号n的单位数，卖方有t时间t∈ {0，1，…，T-1} 在方案ω中∈ Ohm. 然后，卖方选择一种交易策略H（t，ω）：=（H（t，ω），H（t，ω），····，HN（t，ω））基于此信息通过凸对偶定价或有类别。由于卖方每次都根据其当前信息选择此交易策略，因此H（t）对于所有t∈{0，1，…，T- 1}. 因此，交易策略过程（H（t））t∈{0,1，…，T-1} 是（Gt）t自适应的。让所有这些（Gt）适应t的交易策略的空间都被HG占据。我们考虑了一个非负F-可测未定权益B（B是非负的，不损失平移的一般性）的卖方的定价问题。让我 {1，2，…，N}是风险资产的子集，设I={1，2，…，N}\\I（即I的补充）。卖方不得卖空riskyasset Sj，其中j∈ 一、 此外，我们假设不存在套利w.r.t.（Gt）t.LetH（t）：=H（t）- H（t- 1). 卖方的优化问题是：inf{v，H}v服从（i）s（T）·H（T- 1) ≥ B a.s.，（ii）s（t）·H（t）=0表示1≤ t型≤ T- 1，a.s.，（iii）Hj（t）≥ 0的0≤ t型≤ T- 1，a.s.，j∈ I（iv）S（0）·H（0）≤ v、 （1）其中v∈ R和H是（Gt）t自适应的。请注意，不等式（iii）是非短期销售约束。因此，卖方的问题是：将索赔B的价格降至最低，以便卖方能够在时间T（约束（i））从投资于自筹资金（约束（ii））、ada pted（w.r.T.）中支付B。

时间0时成本小于或等于v的部分信息（partialinformation）投资组合（约束（iv））。此外，交易策略不能涉及资产Sj、j的卖空∈ I（约束（iii））。注意，如果存在（Gt）t-套利，问题（1）是无界的。此外，在完全信息过滤（Ft）下不存在套利，这就意味着在部分信息（Gt）t下不存在套利。请注意，问题（1）是一个不确定的线性规划问题，即该问题与许多约束变量呈线性关系。有关通过凸对偶有限编程对或有类别进行定价的更多信息，请参见Instance Ander son和Nas h【1】和数字方法，如Devolder等人【5】。但是，如果Ohm 是有限的，（1）是线性规划问题。在这种情况下，可以使用单纯形算法或内点法数值求解问题，参见范德贝[35]的例子，我们将以适合确定其对偶的方式重写问题（1）。显然，可以移除约束（iv），而不是最小化S（0）·H（0）。此外，由于不存在（Gt）t-套利，因此需要最小化投资组合，如S（0）·H（0）≥ 然后，定价问题是一个具有四类约束（S（0）·H（0）的极小化问题≥ 0是第四种类型）。现在，这个问题可以重写，以符合共轭对偶框架（参见附录A，了解共轭对偶或Rockafellar[28]）。让| I |表示I中元素的数量，即卖方不允许卖空的资产数量。Le t p∈ [1, ∞) 扰动空间u由u定义：={u=（γ，（wt）T-1t=1，（x（j）t）t-1t=0，j∈一、 z）：u∈ 有限合伙人(Ohm, F、 P:R（| I |+1）T+1）}。定义（为方便起见）w：=（wt）T-1t=1和x（j）：=（x（j）t）t-1t=0。设Y：=U*= Lq公司(Ohm, F、 P:R（| I |+1）T+1），U的对偶空间，其中P+q=1。

请注意，y：=（y，（yt）T-1t=1，（ξ（j）t）t-1t=0，j∈一、 y）∈ Y有组件C响应u∈ U还要注意，u c包含四种类型的变量，γ，w，（x（j））j∈一、 这些变量中的每一个都对应于重写最小化问题中的约束类型。这同样适用于双变量。考虑使用双线性形式hu，yi=E[U·Y]对U和Y进行配对。选择扰动函数F:HG×U→ R（关于摄动函数的更多信息，请参见附录A）如下：（i）如果B- S（T）·H（T- 1) ≤ γa.s.，s（t）·H（t）=所有t的WT∈ {1，…，T- 1} 2.1利用凸对偶对或有分类进行定价的两个引理。s-Hj（t）≤ x（j）t对于所有t∈ {0，…，T- 1} ，j∈ Ia。s、 ，s（0）·H（0）≥ z、 然后设F（H，u）：=S（0）·H（0）。（ii）否则，设F（H，u）：=∞.相应的拉格朗日函数isK（H，y）=S（0）·H（0）+E[y（B- S（T）·H（T- 1） ）]+PT-1t=1E【ytS（t）·】H（t）]-Pj公司∈IPT-1t=0E[ξjtHj（t）]- E[yS（0）·H（0）]如果y，ξjt，y≥ 所有t均为0 a.s∈ {0，…，T- 1} K（H，y）=-∞ 否则我们现在可以将（共轭）对偶问题确定为原始问题（1）。通过收集每个Hi（t）的项，双目标函数isg（y）：=inf{H：（Gt）t-自适应}K（H，y）=E[yB]+Pi∈IinfHi（0）{E[Hi（0）{Si（0）（1- y）- ySi（1）}]}+Pj∈IinfHj（0）{E[Hj{Sj（0）（1- y）- yS（1）- ξ（j）}]}+PT-2t=1圆周率∈IinfHi（t）{E[Hi（t）（ytSi（t））- yt+1Si（t+1））]}+Pj∈IinfHj（t）{E[Hj（t）（ytSj（t））- yt+1Sj（t+1）- ξ（j）t）]}+圆周率∈IinfHi（T-1） {E[Hi（T- 1)(-ySi（T）+yT-1Si（T- 1） ）]}+Pj∈IinfHj（T-1） {E[Hj（T- 1)(-ySj（T）+yT-1Sj（T- 1) - ξ（j）T-1)]}.（2） 2.1两个引理本节由以下表述所需的两个引理组成。我们包括完整性的证明。引理2.1设f为任意随机变量w.r.t(Ohm, F、 P）设G是F的次σ-代数。

设X表示所有G-可测随机变量的集合。然后{g∈X}E[fg]>-∞如果且仅当所有A的ifRAfdP=0∈ G、 2.1两个引理通过凸对偶屋顶对或有类别进行定价。=>: 假设存在∈ G使得rafdp=K 6=0。defineg（ω）：=所有ω的M∈ A、 其中M是常数，g（ω）：=0表示所有ω∈ Ohm\\A、 结果如下：→ +/ - ∞<=: 证明简单函数的结果。引理后面是一个近似参数。在下一个引理中，符号与引理2.1中的符号相同：引理2.2 inf{g∈X}E[fg]>-∞ 意味着inf{g∈X}E[fg]=0。证据通过观察inf{g∈X}E【fg】≤ 0（g=0是可行的）和最小值的定义。通过将引理2.2与引理2.1相结合，可以得出inf{g∈X}E[fg]=0if且仅当所有A的rafdp=0时∈ G、 当且仅当方程（2）中的所有函数大于-∞. 为了推导对偶问题，我们将这些最小化问题分别考虑，并在引理2.1和L emma 2.2之后使用注释。我们也使用它，因为ξ（j）t≥ 所有t均为0 a.e∈ {0，1，…，T- 1} 和j∈ 一、 thenRAξ（j）tdP≥ 0表示所有A∈ Gt对于所有t。此外，从衍生的对偶可行性条件来看，仅最大化Y=0 P-a.e.的解是有效的。请注意，这样的解是存在的，因为我们假设定价或有类别由凸对偶确定，不存在（Gt）t-套利。因此，对偶问题是∈Y：Y≥0}E[yB]s.t.（i）RASi（0）dP=RAySi（1）dP A.∈ G、 （一）*RASj（0）dP≥RAySj（1）dP A.∈ G、 （ii）RAytSi（t）dP=RAyt+1Si（t+1）dP A.∈ Gt，t=1，T- 2、（二）*RASj（t）ytdP≥射线+1Sj（t+1）dP A.∈ Gt，t=1，T- 2、（iii）雷特-1Si（T- 1） dP=RAySi（T）dP A.∈ 燃气轮机-1、（三）*雷特-1Sj（T- 1） dP≥RAySj（T）dP A.∈ 燃气轮机-1（3）如果等式约束（i）、（ii）和（iii）适用于i∈ i和不平等约束（i）*, （二）*和（iii）*保持j∈ 我