股票市场中的Q-高斯扩散

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英文标题：
《Q-Gaussian diffusion in stock markets》
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作者：
Alonso-Marroquin Fernando, Arias-Calluari Karina, Harre Michael,
  Najafi Morteza N. and Herrmann Hans J
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We analyze the Standard & Poor\'s 500 stock market index from the last 22 years. The probability density function of price returns exhibits two well-distinguished regimes with self-similar structure: the first one displays strong super-diffusion together with short-time correlations, and the second one corresponds to weak super-diffusion with weak time correlations. Both regimes are well-described by q-Gaussian distributions. The porous media equation is used to derive the governing equation for these regimes, and the Black-Scholes diffusion coefficient is explicitly obtained from the governing equation.
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中文摘要：
我们分析了过去22年来标准普尔500指数。价格收益率的概率密度函数表现出两个具有自相似结构的显著区域：第一个区域表现出强超扩散和短时相关性，第二个区域对应于弱超扩散和弱时间相关性。这两个区域都用q-高斯分布很好地描述。多孔介质方程用于推导这些区域的控制方程，Black-Scholes扩散系数由控制方程显式获得。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Q-Gaussian_diffusion_in_stock_markets.pdf (881.78 KB)

2022-6-14 05:31:10 上传

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关键词：股票市场 股票市 correlations Econophysics Applications

股票市场中的Q-高斯分布Fernando Alonso Marroquin、Karina Arias Calluari、Michael Harr\'e、Morteza。N、 Naja fi和Hans J.HerrmannSchool，澳大利亚悉尼大学土木工程学院*法国巴黎圣伯纳德7号Quai St.Bernard大学物理系Ardabili、Ardabil、IranPMMH、ESPCI分析了过去22年来标准普尔500指数。价格回报的概率密度函数表现出两个具有自相似结构的显著区域：第一个区域表现出强超差和短时间相关性，第二个区域对应于弱超差和弱时间相关性。这两种状态都可以用q-高斯分布很好地描述。多孔介质方程用于推导这些区域的控制方程，Black-Scholes扩散系数从控制方程中显式获得。股票市场的价格波动表现出显著的特征，如强短期相关性、弱长期相关性、幂律尾部和缓慢收敛到正态分布[1]。在最早的股票市场模型中，Bachelier提出了古典布朗运动来表示价格波动。该模型是建立完善的股票市场BlackScholes方程的基石。Mandelbrot认为，经典的差异不适合用于建立真实股票市场的模型[2]。他的结论是基于对棉花指数价格变化的分析得出的，该指数的概率密度函数（pdf）可以用L'evy分布更好地描述。后来，Mantegna和Stanley提出，应对这种列维分布进行调整，以实现与缓慢收敛到正态的一致性，并确保价格变化的标准差保持不变[3]。

最近的发展表明，q-高斯分布（相关函数的高斯分布的扩展）更适合解释纳斯达克股票市场指数[4]和纽约证券交易所指数[5]中价格增量的相关性。时间相关性导致异常扩散，这是一种普遍存在于强相关性经典系统中的现象，如筒仓排放[6]和剪切颗粒流[7]。在这封信中，我们分析了1996年1月至2018年5月22年期间标准普尔500指数（S&P500）的股市数据，间隔时间为1分钟。t时的股市指数用I（t）表示。从t到t的时间间隔内的价格回报由x（t，t）=I（t+t）确定-I（t）。（1） 股票市场指数随时间随机波动。经济学家的主要兴趣是预测未来任何时间t+t的价格回报率。这里我们采用概率论方法：我们假设价格回报率x是一个概率密度函数（pdf）PX（x，t）的随机变量。然后，我们建立了该分布的控制方程。标准的差异化过程过于简单，因为价格波动与分钟数的时间密切相关，而与更长时间的时间弱相关[8]。这种分布函数的一个候选是q-高斯分布。q-高斯分布是高斯分布的推广，定义为[9]：gq（x，β）=√βCqeq(-βx），（2），其中等式（x）=[1+（1-q） x]1-q是q指数函数。当q＞1时，q-高斯具有gq给出的渐近重尾幂律~ 1/x2/（q）-1). “q-高斯”是q-高斯分布的特例，定义为gq（x）=gq（x，β=1））。指数函数和高斯函数可以通过取limitq来恢复→ 对于1<q<3，归一化常数cqis由以下公式给出：Cq=rπq- 1Γ(3-q2（q-1） ）Γ（q）-1).

（3） 所谓的q-中心极限定理指出，q高斯是特殊相关随机过程分布的极限。因此，将q-高斯函数作为股票市场PDF分布的候选函数是合理的。为此，我们使用核密度估计构建了标准普尔500指数的pdf。内核的带宽设置为h=0.005，这足够小，可以捕获PDF的非平凡结构。图1a和1b显示了pdf的时间演变及其从活跃市场时间的1分钟到24小时的高度。t=1分钟时的初始分布由沉重的尾巴和中心的一个明显的隆起组成。通过分布斜率的突然变化，可以很容易地将该凹凸与分布的其余部分区分开来，见图1c。图1d和1e中绘制了坡度发生突变的点W与时间的关系图。这些点定义了我们称之为凹凸域的顶部和底部边界。随着时间的推移，凹凸会发生变化，并在78分钟后完全消失。如图1b所示，凹凸高度的时间变化服从幂律，指数为10-2100106 hr3 hr1 hr12 hr24 hr30 mint（min）x10 min4 min3 min2 min1 min1020100P（x，t）-10104102A10102104T（min）10-210-1100101Pmax（t）强超扩散区氮酮BCrossoverWeak超扩散区Cb-0.6-0.4-0.2 0.2 0.4 0.6x10-1100101P（x，t）c-0.6-0.4-0.2 0.4 0.4 6X0204060801010120T（最小）区域氮酮BZ区域CZoneCZone Cd10-210-1100X10101102T（最小值）Zone AZone BZone CZone CeFIG。1： （彩色在线）（a）价格回报pdf的时间演变。最初，pdf的中心有一个明显的隆起，在接近78分钟时完全消失。（b） pdf高度的时间演化。观察到两个明确的幂律。（c） 从图1a中，时间从上到下递增。

凹凸的端点是从pdf的两点处获得的，坡度突变。这些点对应于从强超扩散到弱超扩散的过渡。（d） 圆圈代表根据幂律x=±a（t/to）ν（a=（3.39±0.01）×10）在（e）中拟合的时间绘制的终点-2，to=1 min，ν=0.62±0.05。该曲线和t=35 min的线（红色虚线）确定了强超扩散区（A区）。t=78分钟时，凹凸完全消失（蓝色虚线）。其余区域对应于弱超扩散区（C区）。交叉区域（B区）受曲线限制，35分钟<t<78分钟。在这种情况下，凹凸仍未消散，但经历了从强到弱的超扩散的过渡。最大功率~ t型-1/α，α=1.26±0.04。这与经典扩散过程中预期的指数α=2不同。在t=38分钟和t=78分钟之间，我们观察到一个跨区域。交叉点的末端对应于凹凸完全消失的区域，如图1d和1e所示。交叉结束后，新的分布高度服从不同的幂律，指数α=1.79±0.01，更接近经典差异的指数。Mantegna和Stanley对标准普尔500指数有限数据集的分析得出指数α=1.40±0.05【10】。

这与我们的指数是合理一致的，考虑到他们使用一个指数来拟合高度的整个时间演化。基于凹凸的域和pdf高度的时间演化，我们将二维空间（价格和时间）划分为三个区域，如图1d所示：区域A是凹凸的域，其中幂律适用，区域B是凹凸的域，其中幂律平滑地转变为另一个幂律，区域C是剩余空间。在A区和C区，我们提出了一个自相似分布，由p（x，t）=（Dt）αf决定x（Dt）α. （4） 其中f（x）是归一化分布。指数α将扩散过程定义如下：式4中分布的二阶矩为hxi~ t2/α。α<2对应于超扩散，而α>2则对应于亚扩散。指数α将分布高度标度为Pmax~ t型-1/α如图1b中的前一个设置。目前最受欢迎的替代方案是f（x）=Lα（x）L'evy分布，如Mandelbrot[2]和Mantegna及Stanley[10]所提出的。他们得到α=1.4作为一个合适的参数，表明存在超差。在这里，我们提出了一种不同的方法，通过使用等式4中的q-高斯函数f（x）=gq（x），寻求弱和强超分化区域的自相似拟合。在这两个模型中，可以通过取α=2和g（x）=g（x）=L（x）来恢复经典扩散。该极限对应于扩散方程的自相似解，该解与股市数据不太吻合。A区和C区的自相似拟合如下：首先，我们使用q和β作为拟合参数将每个pdf拟合到公式2。我们评估了拟合参数的时间依赖性。对于每个区域，我们发现Q近似为常数，而β遵循幂律关系，即β=（Dt）-2/α，其中D和α是该幂律的拟合参数。

然后，我们折叠弱超扩散和强超扩散的PDF，如图2和图3所示。为了折叠图1d中弱超扩散区域C中的PDF，我们使用t=1分钟到t=3000分钟的数据。通过从时间序列中提取一个月时间窗内的平均值，对数据进行去趋势化处理。这消除了漂移对pdf的影响。我们获得了q-高斯分布（方程2，β=1）的折叠数据的极好一致性。该区域的q指数为q=1.72±0.03，大于不相关随机过程的预期值q=1。这与该制度中价格波动的弱相关性一致，该相关性由价格波动的自相关性给出，约为0.1%。指数α=1.79±0.01与图1b中计算的指数相同，且低于经典差异的预期值2。图1d中强超扩散区域A中PDF的聚集如图3所示，就像弱超扩散情况下一样，塌陷符合qGauss分布。然而，在这种情况下，指数Q=2.73±0.005大于超扩散周内的指数，而α=1.26±0.04低于超扩散周内的指数。这表明对经典差异的偏离更大。与前一种情况一样，这些指数应视为独立指数。请注意，在图3中，我们仅塌陷分布的凹凸部分，而其尾部在图2中得到了填补，因为它属于弱者区（C区）。接下来，我们构建了基于q-高斯拟合的PDFB的演化方程。将超扩散过程与众所周知的异常扩散模型联系起来是很自然的，该模型由非线性福克·普朗克方程（Fokkerplan）给出，也称为多孔介质方程（多孔介质方程）[11]：ut型=嗯x、 （5）方程式的Barenblatt解。

对于m<2且t>0，图中为5。2： （彩色在线）弱超扩散区（C区）PDF崩溃。用于塌陷指数α=1.79±0.01。塌陷数据由指数q=1.71±0.01和D=0.1118±0.005min的q-高斯（红线）拟合-1、两个指数均由公式10关联。x（Dt）1=，-1-0.5 0 0.5 1（Dt）1=，P（x；t）0.040.050.060.070.080.090.1q-GaussFIG。3： （彩色在线）强超扩散区PDF崩溃（A区）。崩塌指数α=1.26±0.04，D=（4.8±0.2）×10-3分钟-1、聚集数据由指数q=2.73±0.005的q-高斯（红线）拟合。由[12]um（x，t）=tm+1给出C+m- 12m（m+1）xtm+1m级-1.（6）其中C是一个积分常数。公式5中只有一个指数，而我们有两个独立的指数α和q来拟合折叠数据（见图2和图3）。引入一个附加指数ξ，并建议m=2- q we writeP（x，t）=u2-q（x，τ）τ=（Bt）ξ。（7） 比例参数B如下所示：通过placingEq。7到式6中，我们得到，P（x，t）=（Bt）ξ3-质量控制部-1.- q2（2- q） （3）- q） x（Bt）2ξ3-q1.-q、 这个方程可以写成：P（x，t）=Cq（Dt）α1.- (1 - q） x（Dt）α1.-q、 （8）其中Cq是式3中的归一化常数。B和C值与D和CqbyCq=BαCq相关-1D-αD=B（2C（2- q） （3）- q） ）α/2（9）和ξ通过ξ=3根据α和q计算- qα。（10） 参数α、q和D通过拟合坍塌数据得出。式8对应于式4，其中f（x）=式2定义的gq（x）。最后，通过首先取式7中的时间偏导数，得到控制方程P（x，tPt型=Pττt型=u2乐队-qt（Bt）ξ-1ξB.（11）将等式11放入等式5中，得到控制方程d1-ξPt=ξDξP2级-qx、 （12）100101102103t10-1100101102103x2A、C B、C CS和P500数据斜率=1.108斜率=1.000图。

4： （彩色在线）标普500指数pdf全文第二个重要时刻的时间演变。将数据与最佳拟合和对应于经典差异的线性拟合进行比较。还显示了执行集成的区域。等式12非常重要，因为它是S&P500指数价格回报分布的演化方程。参数q、ξ和D取不同的值，这取决于我们是否处于weakor强超扩散区。等式12反映了股票市场的一个显著特征，即使用效率的差异取决于使用量本身，这一特征也在许多生物和物理系统中观察到[13，14]。此外，通过将公式12与线性福克-普朗克方程进行比较，可以计算出布莱克-斯科尔斯扩散系数Pt型=（DP）x【1】。直接比较得出D=ξDξP1-qtξ-1、更换。8和10中，我们得到了扩散系数的显式表达式：D（x，t）=（3- q） DααC1-qqtα-2α1.- (1 - q） x（Dt）α. （13） 对于固定的时间和较大的价格波动，比例D~ 恢复了几何布朗运动的Black-Scholes方程的xof[1]。我们的扩展将幂律与时间的依赖关系引入到这种关系中，从而解释了超差。强超扩散区发生在相空间的一个非常小的区域，因此它只在很小程度上影响pdf分布的矩。我们通过绘制完整pdf的第二个时刻作为时间的函数，并将其设置为最佳幂律，来描述全球差异。结果如图4所示。第二个时刻几乎与时间呈线性关系，表明全球差异是弱超差异的。我们在标准普尔500指数价格回报PDF的时间演变中确定了两种制度，这两种制度解释了强超差和弱超差。

这两个区域都是由自相似q-高斯分布族描述的，该分布族通过解释分布中心的强超差，准确地捕获了金融风险估计所需的尾部分布。pdf的时间演化与相关函数的中心极限定理一致。短时区域中的强相关性反映在以前没有报道过的强超扩散q-高斯区域中，而长时间区域中的弱相关性对应于弱超扩散q-高斯区域。我们证明，这些状态由非线性福克-普朗克方程很好地描述，该方程用于获得Black-Scholes扩散系数的显式公式。HJH感谢CAPES和FUNCAP的支持。MH承认澳大利亚研究委员会的拨款P170102927。*电子地址：fernando。alonso@sydney.edu.au[1] G.L.Vasconcelos，《巴西物理学杂志》341039（2004）。[2] B.Mandelbrot，《商业杂志》第36394页（1963年）。[3] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《物理评论快报》73，2946（1994）。[4] L.Borland，《物理评论快报》89，098701（2002年）。[5] C.Tsallis、C.Anteneodo、L.Borland和R.Osorio，《物理学A：统计力学及其应用》324，89（2003）。[6] R.Ar\'evalo、A.Garcimartin和D.Maza，《欧洲物理杂志》E 23191（2007）。[7] G.Combe、V.Richefeu、M.Stasiak和A.P.Atman，《物理评论快报》115238301（2015）。[8] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《经济物理学导论：金融中的相关性和复杂性》（剑桥大学出版社，伦敦，1999年）。[9] S.Umarov、C.Tsallis和S.Steinberg，《米兰数学杂志》76307（2008）。[10] R.N.Mantegna和H.E.Stanley，《自然》376，46（1995）。[11] C。