关于特征向量法的单调性

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英文标题：
《On the monotonicity of the eigenvector method》
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作者：
L\\\'aszl\\\'o Csat\\\'o and D\\\'ora Gr\\\'eta Petr\\\'oczy
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Pairwise comparisons are used in a wide variety of decision situations where the importance of alternatives should be measured on a numerical scale. One popular method to derive the priorities is based on the right eigenvector of a multiplicative pairwise comparison matrix. We consider two monotonicity axioms in this setting. First, increasing an arbitrary entry of a pairwise comparison matrix is not allowed to result in a counter-intuitive rank reversal, that is, the favoured alternative in the corresponding row cannot be ranked lower than any other alternative if this was not the case before the change (rank monotonicity). Second, the same modification should not decrease the normalised weight of the favoured alternative (weight monotonicity). Both properties are satisfied by the geometric mean method but violated by the eigenvector method. The axioms do not uniquely determine the geometric mean. The relationship between the two monotonicity properties and the Saaty inconsistency index are investigated for the eigenvector method via simulations. Even though their violation turns out not to be a usual problem even for heavily inconsistent matrices, all decision-makers should be informed about the possible occurrence of such unexpected consequences of increasing a matrix entry.
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中文摘要：
两两比较用于各种各样的决策情况，其中应在数字尺度上衡量备选方案的重要性。推导优先级的一种常用方法是基于乘法成对比较矩阵的右特征向量。在这种情况下，我们考虑两个单调性公理。首先，不允许增加成对比较矩阵的任意条目来导致违反直觉的排名反转，即，如果在更改之前不是这种情况（排名单调性），则相应行中的首选备选方案的排名不能低于任何其他备选方案。第二，同样的修改不应减少所选方案的归一化权重（权重单调性）。几何平均法满足这两个性质，但特征向量法违反了这两个性质。公理不能唯一地确定几何平均数。通过仿真研究了特征向量法的两个单调性与Saaty不一致性指数之间的关系。即使事实证明，即使对于严重不一致的矩阵，它们的违反也不是一个常见问题，但应告知所有决策者增加矩阵条目可能会产生的意外后果。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Economics        经济学
二级分类：General Economics        一般经济学
分类描述：General methodological, applied, and empirical contributions to economics.
对经济学的一般方法、应用和经验贡献。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Economics        经济学
分类描述：q-fin.EC is an alias for econ.GN. Economics, including micro and macro economics, international economics, theory of the firm, labor economics, and other economic topics outside finance
q-fin.ec是econ.gn的别名。经济学，包括微观和宏观经济学、国际经济学、企业理论、劳动经济学和其他金融以外的经济专题
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2022-6-14 05:34:35 上传

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关键词：特征向量 单调性 relationship Quantitative Contribution

关于特征向量法的单调性，2020年10月1日，“但任何人都不应否认以下原则”（Edmund Landau：¨Uber Preisverteilung bei Spielturnieren）应在数字尺度上衡量备选方案的重要性。推导优先级的一种常用方法是基于乘法逐段比较矩阵的右特征向量。在这种情况下，我们考虑两个单调性公理。首先，不允许增加成对比较矩阵的任意条目来导致违反直觉的排名反转，即，如果在更改之前不是这种情况（排名单调性），则对应行中的首选备选方案的排名不能低于任何其他备选方案。第二，相同的修改不应减少所选方案的标准化权重（权重单调性）。特征向量法。公理不能唯一地确定几何平均数。由于这两个单调性属性和Saaty不一致性之间的关系，所有决策者都应该知道增加矩阵条目可能会出现这种意外后果。关键词：决策分析；公理化方法；特征向量法；单调性；成对比较MSC等级：90B50，91B08JEL分类号：C44，D71A相关作者。电子邮件：laszlo。csato@sztaki.huIntelligence，运筹学与决策系统研究小组，布达佩斯大学（BCE），运筹学与精算学系，电子邮箱：doragreta。petroczy@uni-科尔维纳斯。布达佩斯胡科尔维努斯大学（BCE）财务系原文：“Niemand aber d–urfte folgendes Prinzip bestreiten”（兰多，1914年，p。

201).arXiv:1902.10790v5【math.OC】20 Oct 20201简介几种决策方法涉及标准和备选方案的比较（1980年）。他建议通过矩阵的主右特征向量，即所谓的特征向量法，从这样的矩阵中得出优先级。由于AHP有许多应用（Ho，2008；Saaty和Vargas，2012；Vaidya和Kumar，2006），因此更好地理解该程序似乎是一个突出的研究问题。本文的出发点是萨蒂的评论（萨蒂，2003，第86页）：“现在我们要问的问题是，优先权是什么，或者更普遍地说，我们应该将什么含义附加到表示优先顺序的备选方案的优先权上。另一个问题是，顺序也应该反映出强度或基数偏好，如数值的比例所示，因此在正乘法常数（归一化）内是唯一的任何备选方案的权重都应该是其比较的单调函数。i矩阵不应导致秩反转i至少排名为ki备选方案的排序或权重可能与决策者的意图背道而驰，决策者希望通过增加成对比较来表达对备选方案更强烈的偏好。对于某些成对比较矩阵，将证明特征向量方法可以解决这两个问题，而几何平均值方法始终满足这些要求。还表明，这些公理并不能唯一地确定几何平均数，因此它们可以作为对成对比较矩阵建议的加权方法进行分类的合理标准。预计对备选方案的更有利意见可能会损害其排名或权重。本文的结构如下。

第2节概述了成对比较矩阵的主题，并介绍了单调性的两个公理。第4节总结了特征向量法。2提出了问题和两个自然性质。我们还简要概述了相关论文。2.1预备知识：乘法成对比较矩阵N{,, . . . , n}aij可供替代的i比替代品更好j?”, 也就是说，aij量化备选方案的相对重要性i 关于替代方案j.LetR公司n+安德烈n×n+表示大小为的正（所有元素均大于零）向量集n 和大小矩阵n × n, 分别地对角线上方对应条目的倒数。定义2.1。乘法成对比较矩阵：MatrixA=[aij] ∈ Rn×n+是一个多复制成对比较矩阵，如果aji= 1/aij适用于所有1≤ i, j ≤ n.在下文中，为了简单起见，将省略“乘法”一词。所有成对比较矩阵的集合n 备选方案表示为An×n.进行两两比较，以获得一个优先级向量，如权重的比例wi和wj备选方案的i和j, 分别近似wi/wj≈ aij任意归一化。定义2.2。权重向量：向量w=[wi] ∈ Rn+是权重向量，如果ni=1.wi= 1、大小的权重向量集n 表示为Rn.定义2.3。加权方法：函数f : An×n→ Rn是一种加权方法。备选方案的权重i根据加权法从成对比较矩阵中f 表示为fi（A） 。权重法通常用于对备选方案进行排序。排名是一个弱命令N~i  ji  ji  j不保留，以及i ~ j 当且仅当i  j 和i  j, 分别地比较矩阵。

可能最流行的程序是稍后讨论的（row）几何平均数，并且有支持几何平均数的合理公理化论据（Fichner，1984；Lundy et al.，2017；Csat\'o，2018；Boz\'oki and Tsyganok，2019；Csat\'o，2019a），AHP方法主要使用自Saaty开创性工作以来的特征向量法。因此，这一程序将成为我们的重点。定义2.4。权重向量wEM（A）∈ Rn对于给定的成对比较矩阵a∈ An×n苏奇塔夫EM（A） =λ最大（A）wEM（A） ，（1）λ（正）矩阵A的最大值。定义2.5。Williams，1985年；德格兰，1980年；德容，1984年；Rabinowitz，1976）：几何平均法将权重向量与GM（A）∈ Rn对于给定的成对比较矩阵∈ An×n, 哪里wGMi（A）=nj=1.a1/nijnk=1.nj=1.a1/nkj. （2） 考虑另一种优先级推导方法来说明单调性。定义2.6。列和法（Zahedi，1986；Choo和Wedley，2004）：列WCMA.∈ Rn矩阵A∈ An×n, 哪里wCMi（A）=nj=1.aijnk=1.nj=1.akj. （3） 所有的加权方法都会导致排名，例如，i EMA.j当且仅当wEMi（A）≥wEMj（A） 。第三，给出相同的结果。定义2.7。A[aij] ∈ Rn×n+如果条件aik= aijajk适用于所有1≤ i, j, k ≤ n.不一致，参见Brunelli（2018）对其进行的调查。我们将考虑最古老且目前最流行的Saaty不一致性指数（Saaty，1977），该指数与特征向量法密切相关。定义2.8。一致性指数(CI): 莱塔=[aij] ∈ Rn×n+成对比较矩阵。其一致性指数为CI（A）=λ最大值（A）- nn - 1，其中λmax（A）是矩阵A的主特征值。RInCIn × n从刻度{/，/，…，}开始。

所占比例CI和RIn被称为一致性比率CR, 或Saaty不一致指数。CR 单次比较不超过阈值0.1.2.2单调性aijijaiji任何替代方案k如果在变更前排名至少一样高。这种反直觉的逆转可能与决策者的意图背道而驰。以下公理将此要求正式化。公理1。A.∈ An×n≤ i, j ≤ n可以是任何两种不同的选择。LetA\'∈ An×n与…相同a′ij> aij（和a′ji< aji由于互惠性）。加权法f : An×n→ Rn称为秩单调ifi fA.k => i fA′k 适用于所有1≤ k ≤ n.我很难相信任何作者首次提出了这一属性。鲁宾斯坦（1980）ijjiBouyssou（1992）将其进一步推广到价值关系的情况。van den Brink和Gilles（2009）将这一公理称为积极响应，Gonz\'alez-D\'iaz等人（2014）将这一公理称为积极响应。类似地，Boldiet al.（2017）研究了中心性度量在向网络添加新弧时的秩单调性。i  ji  jaij根据Bouyssou和Perny（1992年，第188页）的观点，排名单调性似乎不是一个更苛刻的目标。排名是因为，例如，某些资源将根据权重进行分配。那么，有必要排除任何备选方案的权重在一个成对比较增加后降低的可能性。公理2。A.∈ An×n≤ i, j ≤ nA′∈ An×nA.a′ij> aija′ji< ajif : An×n→ Rn称为权重单调，如果a′ij> aij=>fi（A′）nk=1.fk（A′）≥fi（A）nk=1.fk（A）<==> fi（A′）≥ fi（A） ，（4）Landau（1914，p.201）表明，阶非负矩阵的主右特征向量违反了权重单调性n= 3.

有趣且经常被忽视的话：“这导致兰多在肯德尔·韦方法诞生40年前就放弃了它！”然而，成对比较矩阵集是非负矩阵的严格子集，Landau的例子不是成对比较矩阵。自然，这种单调性是许多研究理论领域的标准要求（Balinski和Young，2001；Tasn\'adi，2008）。作者还简要概述了它在多准则决策中的起源。2.3即使矩阵几乎一致，相关工作特征向量也可能不一致。根据Genestet al.（1993），从主要右特征向量获得的顺序取决于Vansnick（2008）发现，右特征向量可能违反顺序保持条件，即偏好。Csat\'o（2017）将这个问题的根源追溯到左右不对称（Johnson等人，1979），并提供了四个备选方案的最小反例。特征向量解决方案不一定是帕累托有效的，换言之，可能存在一个权重向量，该权重向量至少可以在一个条目（及其倒数）中近似成对矩阵的所有元素与一致矩阵的所有元素，而Abele Nagyet al.（2018）将该结果推广到双扰动矩阵，这可以通过改变两个元素及其相互作用来实现。另一方面，特征向量法可能会导致矩阵的权重向量不充分，而任意小的不一致权重向量是否有效，Duleba和Moslem（2019）首次在实际数据上检验了该属性。3结果行几何平均值（对数最小二乘）方法可以很好地满足单调性：大于aij增加备选方案的权重i, 减少备选方案的权重j, 而在归一化之前保留所有其他备选方案的权重。

特征向量法的情况更加复杂。3.1几何平均法是单调的。根据以下结果，一些加权方法满足公理1和公理2。提案3.1。音调和重量单调性。证据考虑成对比较矩阵Saanda′，除了a′ij> aij和a′ji< aji.i GMA.knl=1.ail≥nl=1.aklnl=1.a′il>nl=1.ail和nl=1.a′kl≤nl=1.akl如果k =i,nl=1.a′il>nl=1.a′kl, 这意味着i GMA′k, 那个i也可以。i CMA.knl=1.ail≥nl=1.aklnl=1.a′il>nl=1.ail和nl=1.a′kl≤nl=1.akl如果k =i,nl=1.a′il>nl=1.a′kl, 这意味着i CMA′k, 图1：通过示例3.10.2中的特征向量方法得出的权重0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.650.06750.0680.06850.0690.06950.070.0705α重量wEM（A）α) 第一个备选方案的重量wEM（A）α) 第五个备选方案i也可以。意思是3.2特征向量方法违反了单调性。然而，并非所有加权方法都符合公理1和公理2。提案3.2。特征向量法不满足秩单调性。证据有必要提供一个反例。示例3.1。考虑以下参数成对比较矩阵：Aα=1.α 8 1/9 1/4 1/91/α 1 1/5 1/9 1 1/41/8 5 1 1/8 1/2 1/79 9 8 1 7 84 1 2 1/7 1 1/99 4 7 1/8 9 1.图1中绘制了第一个和第五个备选方案的权重作为参数的函数α.a..方法α增加w, 这也有利于w自从w/w≈ a= 1/4. 另一方面，存在“正常化效应”，其降低w因为所有权重的总和是固定的。提案3.3。特征向量法不满足权重单调性。证据考虑示例3.1。

根据图1，替代品的标准化重量的最小值约为α ≈.因此，特征向量法不满足重量单调性。wEMiλ最大值nl=1.ailwEMl特征向量法的性质（Johnson等人，1979；Blanquero等人，2006；Bana eCosta和Vansnick，2008）。n在互易维基百科页面上题为“某些权重提取方法的非单调性”n × n矩阵，其中n >2013年12月10日，荷兰国际制图选手基斯·皮佩尔（Kees Pippel）补充了这一贡献。我们设法咨询了他，他确认这是指Landau的例子，由于不同的领域，这并不意味着主张3.3。3.3分析单调统计技术的两个公理的框架，并考虑检查两个属性的大量成对比较矩阵。aiji < j离散集;;;;;;;; 1.2.3.4.5.6.7.8.9（5） 等概率1/17，通过设置aji= 1/aij, 以及aii= 1.矩阵条目和标尺（5）中的下一个元素，即如果2≤ a ≤9,a ∈ N、 那么aij= 1/a替换为1/(a -1） ，如果为1≤ b ≤9,b ∈ N、 那么aij=b被取代b在考虑对备选方案给出更有利的意见时，不要期望排名或权重出现违反直觉的变化。因此，计算过程的一次迭代包括以下步骤：1。A.n刻度（5）。2、稠度比CR（A） 和特征向量EM（A） 是计算出来的m.m -≤CR（A） <0.01m, 增加1。对角线上方的所有条目均单独考虑，因此n(n-1） /2扰动aijA.ijA.iji < jaijij在备注1之后，虽然保留了互惠，因此aijji= 1/aijij.4、特征向量w（Aij) 进行计算。5.

单调性检查：owEMi（A）/wEMk（A）wEMi（A）ij) /wEMk（A）ij)比较所有i < j 和1≤ k ≤ n.这个m秩单调性冲突的一致性比率的第个区间，其中CR（A） 摔倒，如果wEMi（A） >wEMk（A）wEMi（A）ij) < wEMk（A）ij)增加的aij在天平上（5）。owEMi（A）wEMi（A）ij)i < j.m违反CITY，其中CR（A） 摔倒，如果wEMi（A） >wEMi（A）ij)aij刻度（5）。6、ACRA.ijkCR代理成对比较矩阵，其中特征向量不分别满足秩单调性、权单调性或两者。矩阵达到预定极限。表1：计算矩阵中使用的随机指数值4 5 6 7 8 9 10随机指数RIn0.884 1.109 1.249 1.341 1.404 1.451 1.486RInCR≤ n ≤我们的模拟也验证了这一点。根据Saaty和Ozdemir（2003），比较九个项目是合理的，因此我们没有检查超过十个备选方案的矩阵。3.4单调性和不一致性的联系标记2。如果备选方案数为3，则特征向量方法满足这两个单调性公理，因为它等效于n= 3（Crawford和Williams，1985），可以应用命题3.1。n（5） 特征向量法的单调性。另一方面，在某些情况下，如果备选方案的数量至少为五个，则会出现此问题。