关于特征向量法的单调性

因此，对1000万个随机生成的矩阵进行了5年的检查≤ n ≤8人，9人500万≤ n ≤ 图2绘制了特征向量法不满足公理1或公理2的成对比较矩阵的比例，作为一致性比的函数CR.请注意CR不能任意大：Aupetit和Genest（1993）在λmaxwhen the response is coded on a bounded scale applied here最大值（当响应在此处应用的有界刻度上进行编码时）。成对比较矩阵变得更加不一致。几乎一致矩阵不违反公理1(CI <.2） ，即使对于高度不一致的矩阵，问题也只会以大约2%的概率出现。令人惊讶的是，权重单调性的情况并非如此，公理2主要是由一致性比约为0.5的矩阵违反的。

对于中度不一致的矩阵，当n ≥ 表2：特征向量法违反单调性的频率（a）所有值CR矩阵大小样本大小矩阵数量比例违反秩权重的矩阵数量均具有单调性5 100.47%0.003%06 100.66%0.070%27 100.80%0.077%118 100.91%0.046%79 5×101.00%0.020%210 5×101.05%0.007%0（b）CR < 0.5矩阵大小样本大小违反单调性的矩阵数量16916343 1146 0 06 7353667 2665 313 17 2712997 2295 1701 28 827413 1059 1307 69 207424 303 435 210 41826 80 110 0图2的信息：违反秩单调性变得更加严重，因为图2：随机生成的成对比较矩阵，其特征向量方法不满足单调性0.5 1 1.5 20.0050.010.0150.02的值CR矩阵大小：n = 5.样本量：100 0.5 1 1.5 20.0050.010.0150.02的值CR矩阵大小：n = 6.样本量：100 0.5 1 1.50.0050.010.0150.02CR矩阵大小：n = 7.样本量：100 0.5 1 1.50.0050.010.0150.02CR矩阵大小：n = 8.样本量：100 0.5 1 1.50.0050.010.0150.02CR矩阵大小：n = 9; 样本量：5×100 0.5 10.0050.010.0150.02CR矩阵大小：n = 10; 样本量：5×10违反秩单调性的矩阵的比率（左标度）违反权重单调性的矩阵的比率（左标度）所有随机生成的矩阵的数量（右对数标度）备选方案的数量增加，而权重单调性对于n = 7如果关注所有随机生成的矩阵。通过将单调性检查限制为CR <.5、随机生成的样本数量基本不一致，见表2中的样本量列。b

然后权重单调性n ≥对于这些中度不一致的矩阵，违反权重单调性的概率随着矩阵的大小而增长。如图2所示，这两条公理显然是独立的。对于稠度比的大值CR, 没有违反权重单调性（公理2），但与排名单调性相比，权重单调性的违反频率更高CRn违反秩单调性而不是权重单调性的实例，如果5≤ n ≤7然而，≤ n ≤从他们的定义来看，这并不奇怪。首先，可能会发生（正常化）ij进入后aij增加了。其次，可能会发生（标准化）权重iaij选择。4结论分别称为秩和权重单调性的比较是从成对比较矩阵导出的任何优先级向量的关键要求。特征向量法被证明违反了这两个性质。然而，与左右不对称相反（Johnsonpreservation（Bana e Costa and Vansnick，2008），出现问题的情况似乎可以避免低水平的不一致性。增加矩阵条目后权重的变化。尽管如此，仍很难验证特定应用程序中是否存在违反秩或权重单调性的情况。也许可以开发一个在线工具来检查这些属性，类似于pcmc。在线，能够测试通过特征向量方法导出的权重的帕累托效率。与决策者的互动是必不可少的：如果违反了单调性不一致性。例如，第四个备选方案在示例3.1中占主导地位。综上所述，我们的发现对从业者具有重要意义。首先，他们强调了不一致性减少方法的必要性（Abel et al.，2018；Aguar\'on et al.，2021；Boz\'oki et al.，2015；Ergu et al.，2011）。

其次，这些矩阵可能存在奇怪的行为，例如在体育应用中出现的行为（Boz\'oki et al.，2016；Chao et al.，Lenten，2017；Vaziri et al.，2018）。第三，特征向量法（对数最小二乘法）在层次分析法中的应用违反单调性。通过帮助用Python编写计算代码来确认论文。Vida提供有用的建议。'创新技术部国家卓越计划。通过多目标优化进行参考。《欧洲运筹学杂志》，267（1）：212–226。'比较矩阵。《信息基础》，144（3-4）：279-289。Abele Nagy，K.，Boz\'oki，S.，和Reb\'ak，¨O.（2018）。双扰动成对比较矩阵的效率分析。运筹学学会杂志，69（5）：707–713。Aguar\'on，J.、Escobar，M.T.和Moreno Jim\'enez，J.M.（2021）。减少不一致性欧洲运筹学杂志，288（2）：576–583。Aupetit，B.和Genest，C.（1993年）。关于层次分析法中正倒数矩阵Perron特征值的一些有用性质。《欧洲运筹学杂志》，70（2）：263–268。伙计，一票。布鲁金斯学会出版社，华盛顿特区，第二版。187(3):1422–1428.Blanquero，R.、Carrizosa，E.和Conde，E.（2006年）。从成对比较矩阵推断有效权重。运筹学数学方法，64（2）：271–284。网络科学，5（4）：529–550。Bouyssou，D.（1992年）。基于价值偏好关系的排名方法：净流量法的特征。《欧洲运筹学杂志》，60（1）：61–67。Bouyssou，D.和Marchant，T.（2014）。文献计量等级和索引的公理化方法。《信息计量学杂志》，8（3）：449–477。Bouyssou，D.和Perny，P.（1992年）。

价值偏好关系的排序方法：运营研究，61（1-2）：186–194。Boz\'oki，S.（2014）。ArbitrarilySall不一致的成对比较矩阵的有效权重。优化，63（12）：1893-1901。排名顶尖网球选手的比较矩阵。欧洲运筹学杂志，248（1）：211–218。Boz\'oki，S.和F¨ul¨op，J.（2018）。两两比较矩阵的有效权重向量。《欧洲运筹学杂志》，264（2）：419–427。运筹学，23（4）：849–866。Boz\'oki，S.和Rapcs\'ak，T.（2008年）。关于成对比较矩阵的Saaty和Koczkodaj不一致性。《全局优化杂志》，42（2）：157–175。不完全加法（乘法）成对比较矩阵。《国际通用系统杂志》，48（4）：362-381。《国家通用系统杂志》，47（8）：751–771。成对比较。运筹学学会杂志，66（1）：1-15。针对不完全信息的大规模数据使用决策方法的方法。《欧洲运筹学杂志》，265（1）：239–247。Choo，E.U.和Wedley，W.C.（2004）。从成对比较矩阵推导偏好值的通用框架。计算机与运筹学，31（6）：893–908。矩阵。数学心理学杂志，29（4）：387–405。Csat\'o，L.（2017年）。重新讨论了群决策中的特征向量方法和秩反转。《信息基础》，156（2）：169-178。共识公理。小组决策与谈判，27（6）：1011–1027。Csat\'o，L.（2019a）。对数最小二乘法的特征。《欧洲运筹学杂志》，276（1）：212–216。三季。《体育经济学杂志》，20（7）：975-981。Csat\'o，L.（2020a）。基于集团的资格体系的激励相容性。《国际通用系统杂志》，49（4）：374–399。Csat\'o，L.（2020b）。

自2015/16赛季以来，欧洲冠军联赛种子队并不是战略证明。运筹学年鉴，292（1）：161–169。统计数字施普林格科学+商业媒体。德格兰，J.G.（1980）。T.L.Saaty多准则分析方法的扩展。沃尔堡国家供水研究所报告。DeJong，P.（1984年）。Saaty优先级缩放方法的统计方法。《数学心理学杂志》，28（4）：467-478。真实数据处理：公共交通服务开发中的应用。ExpertSystems with Applications，116:21–30。运筹学，213（1）：246–259。过程技术报告，德国联邦国防军慕尼黑大学地震与运行研究所。Genest，C.、Lapointe，F.和Drury，S.W.（1993）。关于Jensen提出的分析数学心理学，37（4）：575-610。Gonz'alez-D'iaz，J.、Hendrickx，R.和Lohmann，E.（2014）。配对比较分析：排名方法的公理化方法。《社会选择与福利》，42（1）：139–169。Henriet，D.（1985年）。科普兰选择函数：公理化特征。《社会选择与福利》，2（1）：49–63。Ho，W.（2008）。综合层次分析法及其应用——文献综述。《欧洲运筹学杂志》，186（1）：211–228。特征向量排序程序。数学心理学杂志，19（1）：61–64。Kendall，G.和Lenten，L.J.A.（2017）。当体育规则出错时。欧洲运筹学杂志，257（2）：377–394。K'oczy，L.'A.和Strobel，M.（2009）。不变量方法可以操作。科学计量学，81（1）：291–293。Ku lakowski，K.（2015）。关于AHP中顺序保持和一致性的注释。《欧洲运筹学杂志》，245（1）：333–337。Landau，E.（1914年）。¨Uber Preisverteilung bei Spielturnieren。Zeitschrift f¨ur Mathematikund Physik，63:192–202。Lundy，M.，Siraj，S.，和Greco，S。

(2017). “spanninganalysis”的数学等价性。欧洲运筹学杂志，257（1）：197–208。佩雷斯，J.和莫科托·弗夫（2016）。特征向量优先函数在群体决策中导致强秩反转。基础信息学，144（3-4）：255–261。佩里，M.和雷尼，P.J.（2016）。如果必须，如何计算引用。美国经济评论，106（9）:2722–2741.Rabinowitz，G.（1976年）。关于衡量世界影响力的一些评论。冲突管理与和平科学，2（1）：49–55。应用数学，38（1）：108–111。Saaty，T.L.（1977年）。层次结构中优先级的缩放方法。数学心理学杂志，15（3）：234-281。Saaty，T.L.（1980年）。层次分析法：规划、优先级设置、资源分配。麦格劳·希尔，纽约。必需的《欧洲运筹学杂志》，145（1）：85–91。数学和计算机建模，38（3-4）：233–244。Saaty，T.L.和Vargas，L.G.（2012年）。层次分析法的模型、方法、概念和应用。Springer Science&Business Media，纽约。系统《公共选择》，134（3-4）：293-305。选项。《欧洲运筹学杂志》，169（1）：1-29。有向图。《欧洲运筹学杂志》，193（2）：484–491。Vaziri，B.、Dabadghao，S.、Yih，Y.和Morin，T.L.（2018）。运动评分方法的特点。运筹学学会杂志，69（5）：776-787。Williams，C.和Crawford，G.（1980年）。主观判断矩阵分析。Interimreport R-2572-AF，兰德公司，圣莫尼卡。Young，H.P.（1985）。合作对策的单调解。《国际博弈论杂志》，14（2）：65–72。过程社会经济规划科学，20（6）：347–354。