基于高斯过程回归的可变年金定价

yn）假设为givenbyy~ Nu（X），K（X，X）+σnIn, （3.1）对于u平均函数，在由K（X，X）i给出的n×n单位矩阵和K a n×n矩阵中，j=K（xi，xj）。这里，我们考虑自动相关确定平方指数（ARDSE）核，它由k（x，x）=σfexp给出-DXk=1lk（xk- xk）！，（3.2）其中σfis是信号方差，Lk是沿k方向的长度刻度。现在，另外，让我们考虑m个点{xj | j=1，…，m}的测试集▄X。fj=G（xj）+εjare的实现未知，但通过EhfX，y，Xi进行预测：EhfX，y，Xi=uX+ KX，XA、 （3.3）带有=K（X，X）+σnIn-1（y- u（X））。平均函数u（假定为预测值的线性函数）通过多元线性回归分析确定。参数σf，l，核的lDof和噪声的σnof被称为超参数，它们是通过对数似然最大化估计的。GPR方法的开发包括两个步骤：培训和评估（也称为测试）。前者包括估计u、超参数和计算，而后者只能在训练后执行，它包括通过（3.3）获得预测。3.2将GPR应用于GMWB合同我们的目标是将GPR方法应用于GMWB产品，以加速计算价格和希腊人的价格。建模过程从计算训练集D开始。预测集X由随机模型和GMWB产品参数的n个组合组成。具体而言，预测因子为v、kv、θv、ωv、ρv、r、kr、ωr、ρrα和κ。我们强调，我们可以避免将保费P作为预测因素，因为GMWB合同的价格V与P成正比，即V/P不依赖于P。

类似地，希腊语也可以从计算P的特定值的希腊语中获得：例如，Delta不取决于P的考虑值。此外，我们不考虑预测因素中的合同到期日，因为这是一个离散参数，通常在一个小集合中变化（通常T=5、10或20），并且可以为T的每个值计算一个独立的GPR。伪随机组合在每个参数的固定范围内均匀采样。具体而言，n个参数组合通过福勒序列进行采样，该序列有效地覆盖了参数的所有领域，并产生了比随机样本更好的结果。对于每个参数组合，我们计算价格，然后将观测数据传递给GPR算法。一旦培训步骤完成，模型就可以估计价格。希腊人也是如此。我们指出，上述程序与单一保单的估价有关。如果考虑政策组合，则可以对每个合同单独进行定价和敏感性计算。GMWB合同的无套利费αNao是α的特定值，它使得保单v（P，P，v，r，0）的初始值等于保费P，并且在出售合同之前，其计算是常见的做法。该值通常采用割线法确定，寻求v（P，P，v，r，0）和P相等。GPR方法可以在割线法中应用，通过GPR预测将V（P，P，V，r，0）的直接计算替换为HPDE，从而提高αNAB的计算。4数值结果在本节中，我们报告了一些数值结果。

具体而言，在第一次测试中，我们展示了混合树PDE算法在定价、计算Delta和无套利费用方面的准确性。然后，在以下两个测试中，我们应用GPR方法预测无套利费用和希腊 分别签订GMWB合同。HPDE算法已在inC++中实现，而回归算法已在MATLAB中实现，并在配备8 GB RAM和2.5GHz i5-7200u处理器的PC上进行了计算。GPR方法的性能根据以下指标进行衡量，这些指标取决于最大和平均绝对和相对误差：RMSE（均方根误差）、RMSRE（均方根相对误差）、MaxAE（最大绝对误差）和MAXRE（最大相对误差）。最后，我们还报告了速度，即HPDE直接计算的计算时间与GPR方法计算时间之间的比率。4.1测试HPDE方法我们展示了HPDE方法的准确性，该方法涉及计算培训和测试步骤中使用的数据。输入参数如表1所示，而结果如表2所示。此外，65岁德国男性DAV 2004R死亡率表用于计算函数M和R（表见Forsyth和Vetzal[8]）。具体而言，我们计算价格、Delta和无套利费用时，考虑了随着时间和空间步数的增加而出现的几种配置（有关更多详细信息，请参见Goudenège等人[12，13]）。数值结果表明，只需几步就可以获得准确的值，但计算时间可能会变得相当长。4.2无套利费用结果我们测试GPR模型计算GMWB合同无套利费用的能力。表3报告了输入参数的范围。

培训集由n=1250、2500、500010000、，或20000个参数组合和使用HPDE方法获得的价格名称Symbol价值名称Symbol价值溢价P 100初始利率r0.02到期日T 10年平均回报率kr0.15初始波动率v0.05利率波动率ωr0.015平均回报率kv2.00相关性ρr0.20长期方差θv0.05费用α0.035波动率ωv0.50罚金κ0.10相关性ρv-0.55表1：采用的参数。时空步长125×125 250×250 500×500 1000×1000价格100.08（7.8e+0）100.11（8.3e+1）100.12（1.1e+3）100.12（1.4e+4）Delta 0.3881（7.8e+0）0.3888（8.3e+1）0.3892（1.1e+3）0.3894（1.4e+4）无套利费353.45（4.6e+1）354.81（5.0e+2）355.25（6.6e+3 355.55（8.4e+4）表2：混合树PDE计算结果。括号中的值是以秒为单位测量的计算时间。无套利费用以bps表示。具有250个时间和空间步长。回归模型在输入数据和样本外数据上都进行了测试。特别是，样本外数据由m=20000个额外参数组合组成，这些参数组合是通过随机模拟获得的。数值结果见表4。图4.1a显示了根据n=10000数据训练的模型的样本外绝对误差散点图。具体而言，预测误差根据各自的政策价格进行排序，我们可以看到误差保持在可接受的范围内。4.3 Delta结果我们测试GPR模型预测GMWB合同的第一个衍生Delta的能力，这在对冲中至关重要。数值结果如表5所示，估计误差散点图如图4.1b所示。

特别地，误差分布在零附近，withName Symbol Value Name Symbol ValuePremium P 100初始利率r[0.01，0.03]到期日T 10年平均回报率kr[0.05，0.25]初始波动率v[0.01，0.10]利率波动率ωr[0.005，0.025]平均回报率kv[1.40，2.60]相关性ρr[0.05，0.35]长期方差θv[0.01，0.10]费用α[0.00，0.10]波动率波动率ωv[0.45，0.75]惩罚κ[0.00，0.20]相关性ρv^A - 0.70, -0.40表3：参数范围。培训集大小1250 2500 5000 10000 20000RMSE 7.88e-4 5.94e-4 4.82e-4 3.93e-4 3.74e-4RMSRE 2.30e-2 1.98e-2 1.54e-2 1.36e-2 1.20e-2 1.02e-2 1.08e-2 8.10e-3 6.50e-3 6.13e-3轴3.22e-1 3.07e-1 2.74e-1 1 1 1 1 1.66e-1 1 1 1 1.51e-1加速×9.8E5E表4：GPR方法计算无套利费用的性能。培训集大小1250 2500 5000 10000 20000RMSE 1.94e-4 6.09e-4 6.93e-4 8.16e-4 9.37e-4In-sample RMSRE 8.28e-4 3.75e-3 3 3.95e-3 5.16e-3 6.07e-3预测最大值8.84e-4 3.95e-3 6.30e-3 7.78e-3 1.60e-2最大值7.47e-3 9.42e-2 1.08e-1 1 1 1 1 1.64e-1 2.52e-1RMSE 2.65e-3 1.88e-3 1.44e-3 1.22e-3 1.16e-3样本外RMSRE 1.83e-2 1.20e-2 8.97e-3 7.78e-3 7.39e-3预测最大值3.26e-2 2 2.70e-2 2 2.47e-2 1.87e-22.10e-2MaxRE 6.25e-1 4.26e-1 2.64e-1 2.63e-1 2.50e-1速度×9.8e5×3.8e5×1.8e5×1.2e5×6.4E4表5：探地雷达方法在计算δ方面的性能。任何明显的轮廓。4.4计算结果备注表4和表5显示了所开发方法的性能。在所有考虑的情况下，误差都非常小，表明预测非常准确。最有趣的方面是计算时间方面的收益：它减少了数千倍。此外，表6显示了训练步骤的计算时间。

训练步骤的成本取决于训练集的大小和目标函数（价格或增量）。我们观察到，当训练集的大小为n=20000时，所需的时间很高，因为在这种情况下，使用BCD算法代替精确计算（参见Grippo和Sciandrone[14]）。最后，表7显示了表2中考虑的同一GMWB政策的预测价格、增量和无套利费用。我们观察到，估计非常准确，计算时间方面的增益是可以考虑的。训练集大小1250 2500 5000 10000 20000Price 49 154 185 188 3219Delta 32 110 128 142 3144表6：训练GPR算法的计算时间（秒）。（a） 无套利费（b）Delta图4.1：在n=10000点上训练的探地雷达方法的样本外预测绝对误差。培训集尺寸1250 2500 5000 10000 20000价格100.10（8.5e-5） 100.09（2.2e-4） 100.09（4.6e-4） 100.09（6.8e-4） 100.09（1.3e-3） Delta 0.3899（8.4e-5） 0.3892（1.9e-4） 0.3892（4.2e-4） 0.3891（7.4e-4） 0.3891（1.4e-3） 无套利费354.27（5.1e-4） 354.08（1.3e-3） 353.93（2.8e-3） 354.01（4.1e-3） 354.03（7.8e-3） 表7：探地雷达计算结果。括号中的值是以秒为单位测量的计算时间。无套利费用以bps表示。5结论在本文中，我们介绍了高斯过程回归如何应用于保险领域，以解决在同时考虑随机波动率和随机利率的情况下，GMWB可变年金的定价和敏感性计算问题。事实证明，HPDE方法是计算赫斯顿-赫尔-怀特模型中价格和希腊语的有效工具，但如果考虑大量时间步长，则可能需要花费大量时间。

GPR方法可以大大减少计算时间，因为在训练阶段会产生更大的计算效果，在计算单个预测时，只能在实际使用模型之前执行一次。通过使用伪随机方法和一般核函数，可以用少量的观测值获得准确的结果。结果模型可用于计算保单价格，以进行套期保值，或计算保单的无套利成本，对于必须多次重复评估的保单账簿尤其有用。我们的结论是，相同的方法可以适用于所有类型的可变年金合同。A三项式树在本附录中，我们介绍了如何为波动过程v和利率过程x构建三项式树。在长期产品定价范围内，此处提出的三项式树更适合Briani等人提出的二项式树。[3]，因为它精确匹配已开发过程的前两个时刻，收敛速度更快。设Z为aBrownian运动，G为高斯过程，由dgt=a（Gt）dt+bdZt，（a.1）给出，方差仅取决于时间推移，即Gt+h | Ft~ Nu（h，Gt），σ（h）其中u（h，Gt）和σ（h）分别是过程G的期望值和方差。我们展示了如何构建一个简单的三项式树，该树可以匹配G的前两个时刻。让我们确定一个成熟度T若干时间步N，并确定t=t/N。每个节点将用gn、jn表示，其中n∈ {0，…，N}和j∈ {0，…，2n}。每个节点的值为gn，j=G+（j-n） pσ(t） 。（A.2）我们回顾了过程G:M的前两个时刻（M，M）(t、 Gt）=E[Gt+t | Ft]=u(t、 Gt），M(t、 Gt）=Eh（Gt+t） | Fti=u(t、 Gt）+σ(t） 。（A.3）让我们固定一个节点Gn，j。

简而言之，u表示u(t、 Gn，j）和σ将表示pσ(t） 。我们假设条件期望值u=E[Gt+h | Ft]介于节点时间（n+1）的值之间t、 假设时间增量t足够小（实际上，通过连续性，limt型→0+u (t、 Gn，j）=Gn，j，这是一个节点）。我们定义（n，j）=n+ceil3σ(u - G）, （A.4）即值大于过程平均值的第一个节点。LetjB（n，j）=jA（n，j）- 1，jC（n，j）=jA（n，j）+1，jD（n，j）=jA（n，j）- 2.（A.5）如果0≤ 乔治亚州- u ≤σ如果σ<GA- upA5σ-4（GA-u)9σ2(u-GB）+3σ（u-GB）+2σ9σpB2（GA-u）+3σ（GA-u)+2σ9σ5σ-4(u-GB）9σpC2（GA-u)-3σ（GA-u）+2σ9σpD2（u-GB）-3σ(u-GB）+2σ9σ表8：三项式树的转移概率。简而言之，我们只写jA、jB、jC、jD和GAGA=Gn+1，jA，其他字母也一样。我们现在可以定义一个马尔可夫离散时间过程，n=0，N，其中^G=G0,0。设^Gn=Gn，j.如果0≤ 乔治亚州- u ≤σ然后^Gn可以移动到GA、GB、GC，否则^Gn可以移动到GA、GB、GD。转移概率如表8所示。自GB<u≤ GA，我们可以很容易地证明这些概率定义得很好：在[0，1]中，它们的总和等于1，变量的前两个矩^Gn+1 | Gn=Gn，jare等于变量Gt+h | Gt=Gn，j的前两个矩。我们可以通过一个过程G来近似过程G，该过程G在每个时间间隔内保持不变，并由Gt=Gbt/hc定义。Nelson和Ramaswamy[15]证明了该树的弱收敛性。这种构造可以直接应用于为进程x构建树，因为它是高斯的。就波动率过程而言，由于v不具有恒方差且不是高斯分布，因此该方法不能直接应用。然而，它可以很容易地进行修改，如[12]，以保证本周的收敛性。参考文献[1]A.R.Bacinello、P.Millossovich、A.Olivieri和E。

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