基于高斯过程回归的可变年金定价

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英文标题：
《Gaussian Process Regression for Pricing Variable Annuities with
  Stochastic Volatility and Interest Rate》
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作者：
Ludovic Gouden\\`ege and Andrea Molent and Antonino Zanette
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper we investigate price and Greeks computation of a Guaranteed Minimum Withdrawal Benefit (GMWB) Variable Annuity (VA) when both stochastic volatility and stochastic interest rate are considered together in the Heston Hull-White model. We consider a numerical method the solves the dynamic control problem due to the computing of the optimal withdrawal. Moreover, in order to speed up the computation, we employ Gaussian Process Regression (GPR). Starting from observed prices previously computed for some known combinations of model parameters, it is possible to approximate the whole price function on a defined domain. The regression algorithm consists of algorithm training and evaluation. The first step is the most time demanding, but it needs to be performed only once, while the latter is very fast and it requires to be performed only when predicting the target function. The developed method, as well as for the calculation of prices and Greeks, can also be employed to compute the no-arbitrage fee, which is a common practice in the Variable Annuities sector. Numerical experiments show that the accuracy of the values estimated by GPR is high with very low computational cost. Finally, we stress out that the analysis is carried out for a GMWB annuity but it could be generalized to other insurance products.
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中文摘要：
在本文中，我们研究了在赫斯顿-赫尔-怀特模型中同时考虑随机波动率和随机利率时，保证最小提取收益（GMWB）可变年金（VA）的价格和计算。我们考虑一种数值方法来解决动态控制问题，这是由于计算了最优取款。此外，为了加快计算速度，我们采用了高斯过程回归（GPR）。从之前为一些已知模型参数组合计算的观测价格开始，可以在定义的域上近似整个价格函数。回归算法包括算法训练和评估。第一步最耗时，但只需执行一次，而后一步速度非常快，只需在预测目标函数时执行。所开发的方法，以及用于计算价格和希腊货币的方法，也可用于计算无套利费用，这是可变年金行业的常见做法。数值实验表明，探地雷达估计值精度高，计算量小。最后，我们强调，该分析是针对GMWB年金进行的，但也可以推广到其他保险产品。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Gaussian_Process_Regression_for_Pricing_Variable_Annuities_with_Stochastic_Volat.pdf (1.07 MB)

2022-6-14 05:50:03 上传

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关键词：高斯过程 Quantitative Applications Combinations Computation

具有随机波动率和利率的可变年金定价的高斯过程回归*Andrea Molent+Antonino ZanetteAbstract在本文中，我们研究了在赫斯顿-赫尔-怀特模型中同时考虑随机波动率和随机利率时，保证最低提取收益（GMWB）可变年金（VA）的价格和希腊计算。我们考虑一种数值方法来解决动态控制问题，这是由于计算了最优退出。此外，为了加快计算速度，我们采用了高斯过程回归（GPR）。从之前为一些已知模型参数组合计算的观察价格开始，可以在定义域上近似整个价格函数。回归算法包括算法训练和评估。第一步最耗时，但只需执行一次，而后一步非常快，只需在预测目标函数时执行。developedmethod，以及用于计算价格和希腊货币的方法，也可用于计算无套利费用，这是可变年金行业的常见做法。数值实验表明，探地雷达估算值的精度高，计算量小。最后，我们强调，该分析是针对GMWB年金进行的，但它可以推广到其他保险产品。关键词：GMWB定价、Heston-Hull-White模型、数值方法、机器学习、高斯过程回归1简介在本文中，我们重点关注一种特殊的可变年金（VA），它引领着生活福利附加者：保证最低提取福利（GMWB）。该合同是通过支付一笔金额来启动的，然后投资于风险资产，通常是共同基金。

保单持有人（PH）有权在合同周年纪念日提取固定金额，即使therisky账户已降至零。如果提取的金额超过担保金额，则将处以罚款。合同还包括向PH的继承人支付福利*中央统计局-法国中央统计局FR3487，法国-卢多维奇。goudenege@math.cnrs.fr+意大利安德烈乌迪内大学经济统计研究所。molent@uniud.it意大利安东尼诺乌迪内大学经济统计科学部。zanette@uniud.itin保险期内死亡案例。当合同到期时，支付最终款项，合同终止。研究人员致力于开发新的数值技术，其效率越来越高，计算成本也越来越低。例如，Bacinello等人[1]考虑使用蒙特卡罗方法对GMWB产品进行定价和计算。Chen和Forsyth【4】以及Donnelly等人【7】引入了偏导数方程，而Costabile【5】提出了基于树的定价方法。最近，Goudenège等人应用混合树PDE方法来计算GLWB和GMWB合同的价格和希腊价格【12，13】。然而，随着这些技术越来越有效，计算时间仍然不容忽视，尤其是当被认为代表市场动态的随机模型包含许多随机因素时，如随机波动率和随机利率。此外，使用包含随机波动率和随机利率的准确模型对于处理长期到期产品（如VAs）至关重要。在本文中，我们研究了当考虑赫斯顿船体白模型时，GMWB合同的评估。

这种随机模型特别有趣，因为它同时提供了随机波动率和利率。特别是，我们考虑了Briani等人[3]引入的混合树PDE（HPDE）方法，这是一种反向归纳算法，在股票过程的方向上遵循有限差分PDE方法，在其他随机源（即随机波动率和随机利率）的方向上遵循树方法。此外，我们开发了一种新的三项式树来区分额外的随机源，并利用它来获得HPDE方法的改进版本。事实证明，这种数值方法特别适用于GMWB产品的范围，因为它能够处理这些保险产品的长期到期。此外，由于PH可以选择在每个合同周年纪念日提取的最佳金额，因此必须解决动态控制问题，并且可以有效地应用HPDE方法来处理此问题。特别是，我们采用HPDE方法计算两个合同周年之间合同的持续价值，并根据最优退出策略修改每个周年的合同状态变量，从而在时间上向后推进。据我们所知，这是GMWB第一次在赫斯顿-赫尔-怀特模型中定价，同时也考虑了最优的取款策略。保险公司面临的计算依赖于模型参数和合同参数，这些参数很少且变化范围很小。这种情况类似于衍生品世界中发生的情况，在衍生品世界中，有许多标准化产品的重复估值。De Spiegeleer等人提出了一种加快衍生品定价的创新解决方案。

[6] ，这包括使用机器学习技术从由模型参数特定组合的观察价格组成的训练集预测衍生产品的价格。特别是，他们考虑高斯过程回归（GPR），这是一种贝叶斯非参数技术。计算一个函数所需的所有信息（价格或导数的希腊字母）都可以在一个训练集中汇总，然后算法学习该函数，并可以应用它快速预测新的输入参数。Gan【9】采用了类似的方法，结合聚类技术，在Black-Scholes模型中为VAs的大型投资组合定价。与De Spiegeleer等人所做的不同，Gan考虑了市场参数的固定值（利率和波动率），必须在市场条件的每次变化时重复该程序。Ganand Lin[10]提出了一种结合聚类技术和GPR的新方法，可以在考虑嵌套模拟的情况下有效评估策略。最近，Gan和Lin【11】提出了一种两级元建模方法，通过GPR和蒙特卡罗模拟，有效估计对冲投资组合VA所需的敏感性。作为第二个结果，我们表明，机器学习技术可以应用于GMWB产品的范围，只要在赫斯顿-赫尔-怀特模型中考虑定价和希腊计算。特别是，我们表明，对于培训范围内的市场和合同参数的每种组合，可以开发一种回归方法，能够预测每种政策的价格和价格。培训程序要求准确计算不同参数配置政策的价格和希腊价格，这由HPDEmethod完成。

培训程序只需执行一次，所开发的回归可以在各种市场条件下以及不同的GMWB合同中应用。此外，我们还表明，GPR可以有效地用于计算无套利费用，即在风险中性概率下使合同公平的成本。数值试验表明，使用探地雷达方法可减少多个因素的计算时间，但精度损失较小，这使得该技术特别有趣。此外，与Gan[9]提出的不同，投资组合不需要聚类技术，提供了不依赖于特定模板策略的通用方法。本文的主要成果在于将HPDE方法应用于GMWB产品的评估，并通过GPR方法加快评估速度，以便在很短的时间内获得准确的保单评估，这是所有保险公司所要求的。本文的作者组织如下。在第2节中，我们介绍了GMWB合同，并解释了如何使用HPDE计算价格和希腊语。在第3节中，我们简要回顾了GPR方法，并解释了如何将其应用于GMWB范围。在第4节中，我们报告了一些数值试验的结果。最后，第5节得出结论。2 GMWB合同及其评估在本节中，我们介绍了GMWB合同和数值方法。继Chen和Forsyth【4】和Goudenège等人【13】之后，我们重点关注合同的简化版本。2.1 GMWB合同在合同开始时，PH向保险公司一次性支付保费P。然后，PH有权在每个合同周年纪念日进行提款，从t=1开始。如果被保险人死亡，其继承人将获得福利，合同终止。

如果到期时仍然有效，则PH执行最后一次提款，收到最终付款，合同终止。合同的演变由两个状态参数描述，即账户价值（At，A=P）和基本收益（Bt，B=P），在合同期限内，根据基础资金价值的变化，这两个参数将在合同有效期内发生变化。具体而言，在两个连续的合同周年纪念日之间，基本收益Bt不变，而账户价值At遵循相同的St动态，但由参数α确定的一些费用从Atas中减去如下：dAt=AtStdSt- αAtdt。（2.1）在合同周年纪念日期间，PH可以从其账户中提取最低金额G，该金额通常等于P/T。让我们表示为(-)i、 英国电信(-)i第i个合同周年纪念日之前的合同状态变量发生在ti=i的时间，而在（+）i，Bt（+）发生后的状态变量相同。此外，请电汇在时间ti提取的金额，该金额必须为非负且小于基本收益Bt(-)i、 如果提取金额满足wi≤ G、 则不施加罚款，而如果wi>G，则按比例收取罚款κ（wi- G） 减少PH实际接收的数量。为此，我们用fi（wi）表示：h0，Bt(-)二→ R网络现金流时间ti:fi（Wi）=（wiif Wi≤ Gwi公司- κ（wi- G） 如果wi>G，则撤销后的合同状态变量更新如下：At（+）i=max在(-)我- wi，0, 和Bt（+）i=Bt(-)我- wi。（2.2）如果PH值在时间τ时消失∈ ]ti公司-1，ti[，则其继承人将获得一笔死亡抚恤金，该抚恤金的价值为db=max在(-)i、 （1）- κ） 英国电信(-)我（2.3）合同终止。如果PH在到期时间T时仍然有效，则他有权执行最后一次提款，然后他将收到最终付款，该最终付款的价值为P=max（at（+），（1- κ） BT（+）），（2.4），合同终止。

死亡率对合同的影响通过两个函数来描述：M：[0，T]→ R、 它代表PH的随机死亡年份的概率密度，和R:[0，T]→ 表示在t时仍然活着的原始所有者的分数，即R（t）=1-RtM ds。为了简单起见，我们假设M在合同周年纪念日之间是常数，因此可以很容易地从死亡率表中获得。让VA、 B、v、r、t(-)我, 五、A、 B、v、r、t（+）i分别表示在时间ti执行提款之前和之后的合同价值。继Forsyth和Vetzal[8]之后，我们考虑保险公司最糟糕的退出策略，即iswi=argmaxw∈0，Bt(-)我五、最大值在(-)我- w、 0个, 英国电信(-)我- w、 vti、rti、t（+）i+ R（ti）fi（w）。（2.5）假设这样一种策略并对其进行对冲显然是非常保守的，但它确保了保险公司不会损失。2.2基础和GMWB评估的随机模型Heston-Hull-White模型包括随机波动率和随机利率，如下所示：dSt=rtStdt+√vtStdZtdvt=kv（θv- vt）dt+ωv√vtdWvt，drt=kr（θr（t）-rt）dt+ωrdWrt，（2.6），其中Z，Wvand Wrare布朗运动，使得d hZt，Wvti=ρvdt，d hZt，Wrti=ρrdt和d hWvt，Wrti=0。这里θr（t）是一个确定性函数，它完全由零息票债券的市场价值通过校准确定。

为了简单起见，我们假设到期日为t的零息票债券的市场价格为PM（t，\'t）=e-r（(R)t-t） ，也就是所谓的弯曲情况。识别Heston-Hull-White模型的参数为初始波动率v、均值回复率kv、长期方差θv、波动率ωv、相关性ρv、初始利率r、均值回复率kr、，利率波动率ω和相关性ρr。为了计算赫斯顿-赫尔-怀特模型中GMWB合约的公平价格和希腊价格，我们采用了Briani等人[3]引入的HPDE方法进行期权定价，并在Goudenège等人[12，13]的VAs框架中成功应用，同时考虑了赫斯顿和Black-Scholes-Hull-White模型。HPDE是一种后向诱导算法，在共享过程的方向上遵循有限差分PDE方法，在波动率和利率的方向上遵循树方法。我们在这里给出了有关数值方法的一些细节，并请感兴趣的读者参考[2、3、12、13]以获得详细的描述。我们首先观察到r可以写成rt=ωrxt+Дt，（2.7），其中xt=-krZtxtds+WrtandДt=re-krt+krZtθr（s）e-kr（t-s） ds。（2.8）我们现在考虑一个近似树^vhnn∈v和{0，…，N}^xhnn∈对于x，{0，…，N}，都有Ntime步骤。由于GMWB合同是长期合同（最长30年），因此[3]中提出的二元树不适用于这种情况。在附录A中，我们报告了如何获得更适合VAs范围的三元树。这些树是精度和所需工作内存之间的良好折衷。所以，让我们t=tn和tn=nt。

我们沿着树向后处理，每次tn，针对每对节点^vhn，^xhn, 我们认为VT和XTE的值分别等于^vh和^xh。然后，我们计算B的每个值在时间t的合同价值，作为一维偏导数方程的解，该方程依赖于账户价值a的适当变换z（见Briani等人[3]）：(tu+u（v，x，t）zu+ρvzu=0u（ti+1，z；v，x）=vA（z），B，v，ωrx+Дt，t-i+1（2.9）通过执行有限差分步骤，在每个树节点计算此类PDE的解。3高斯过程回归对于G MWBIn本节，我们简要回顾了高斯过程回归，对于综合处理，我们参考Rasmussen和Williams【16】。探地雷达是一类基于非参数核的概率模型，它将输入数据表示为阿高斯随机过程的随机观测值。简言之，探地雷达技术用于高维外推。这种方法最重要的优点是可以有效地开发复杂的数据集，这些数据集可能由多维空间中随机采样的点组成。当域维度较高时，这尤其有用，在这种情况下，即使是点网格的mereconstruction也需要令人望而却步的计算功能。最后，与神经网络等其他人工智能技术相比，探地雷达需要更少的计算时间和输入数据来产生准确的结果。3.1高斯过程回归let X={xi}i=1，。。。，n RDbe是一组预测器，Y={yi}i=1，。。。，n R ScalarOutput的集合。这些观测值被建模为高斯过程G和高斯噪声源ε之和的实现。特别是，y=（y。