具有路径相关损失的非参数稳健模型风险度量

3.3导致EQZ*"Abl（T，Z*)"a=最大值∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a。在下面的命题中，我们通过鞅性质来刻画这种最坏情况下的密度。提案3.2。F ix？Z∈ M+（1），并假设（3.1）中的最大值存在于每个∈ [0，T]。然后过程[0，T] t 7→“L（t，’Z）+bl（t，\'Z）是一个Q\'Z-超鞅。这是一个最坏情况下的密度过程。证据给n一个任意的t∈ [0，T]，我们假设Z′∈ Z（t，(R)Z）解决了最大化问题（等式3.1）。应用迭代期望定律，我们得到了eqz′bl（T，Z′）-bl（t，Z′）Fs公司=EQZ′玟EQZ′bl（T，Z′）-bl（t，Z′）英尺Fsa=EQZ′“L（t，’Z）Fs公司（3.4）对于所有s∈ [0，t]。根据Z′（s）=Z（s），bl（s，Z′）=bl（s，’Z）适用于所有s∈ [0，t]。同样的条件也会导致Z′∈ Z（s，’Z）。根据“L（等式3.1）”的定义，我们有以下不等式“L（s，’Z）>等式bl（T，Z′）-bl（s，Z′）Fs公司= 方程式\'bl（t，Z′）-bl（s，Z′）Fs公司+ 方程式\'bl（T，Z′）-bl（t，Z′）Fs公司= 公式Zbl（t，’Z）-bl（s，’Z）+”L（t，’Z）Fs公司（3.5）对于所有s∈ [0，t]。在最后一个等式中，我们将QZ′替换为Q'Zbecausebl（t，’Z），bl（s，’Z）和“L（t，’Z）都是Ft-可测量的。因为t∈ [0，T]是任意选择的，等式3.5适用于满足0 6 s 6 T 6 T的任何s和T。如果QZ（A）=0，而QZ（A）QZ（B）=QZ（B）>QZ（A∩ B） =QZ（Ac∪ Bc）c= 1.- QZ（交流∪ Bc）>1-QZ（Ac）+QZ（Bc）= 1.- 当QZ（A）=1时，QZ（Bc）=QZ（B）=QZ（A）QZ（B）。Ft可测函数X的条件期望：Ohm → R w.R.t a次σ-代数Fs FtisEQZ′型X | Fs= EAZ′（T）Z′（s）XFs~a=EAZ′（t）Z′（s）EAZ′（t）Z′（t）X英尺Fs~a=EAZ′（t）Z′（s）EQZ′X |英尺Fs~a=E~a~a~aZ（t）(R)Z（s）XFs~a=等式ZX | Fs8于峰通过重新安排公式3.5，我们得到了F-适应过程[0，T]的超鞅性质 t 7→“L（t，’Z）+bl（t，’Z）：“L（s，’Z）+bl（s，\'Z）>等式\'Z“L（t，’Z）+bl（t，’Z）Fs公司（3.6）该过程是一个Q'Z-鞅，等式适用于所有0 6 s 6 t 6 t。

如果Z i是最坏情况下的密度过程，则根据定义3.1，Z求解公式3.1中的所有t∈ [0，T]。我们可以在公式3.5中设置Z′=\'Z，以便第一行对所有s取等号∈ [0，t]。相反，如果等式适用于所有0 6 s 6 t 6 t，则它适用于所有0 6 s 6 t=t。通过在等式3中取e qu al符号。用t替换t，我们得到“L（s，\'Z）=EQ\'Zbl（T，’Z）-bl（s，’Z）Fs公司对于所有s∈ [0，T]，根据定义3.1，确认“Z”是最差情况下的密度过程。提议3.2可以看作是动态规划方程的推广。实际上，给定一个最优鞅密度Z*∈ M+（1），我们取一个任意的Z∈ Z（s，Z*) 并将其替换为公式3.6。通过观察“Z”∈ Z（s，Z*)匹配Z*直到时间s，我们将等式3.6转换为“L（s，Z*) +bl（s，Z*) > 公式Z“L（t，’Z）+bl（t，’Z）Fs公司这个不等式适用于所有的Z∈ Z（s，Z*). 当“Z=Z”时，它采用等号w*.这将导致以下动态规划方程与密度过程相关，“L（s，Z*) +bl（s，Z*) = maxZ公司∈Z（s，Z*)EQZ*“L（t，Z）+bl（t，Z）Fs公司对于满足0 6 s 6 t 6 t的所有s和t。4、命题中给出的模型风险度量的一般结果。3.2 F适应过程[0，T] t 7→“L（t，Z*)+bl（t，Z*) 是QZ*-鞅i ffz*是最坏情况下的密度过程。在本节中，我们将展示这样的Z*在一定条件下确实存在，并以方程为特征。这将导致方程2.2中所述问题的完整解决方案。首先我们证明一个引理。引理4.1。固定鞅密度'Z∈ M+（1）。一个可测量的过程C:[0，T]×Ohm → R、 满足等式Z"AC（t，·）| Ft"a6等式Z"AC（t，·）| Ft"a（4.1）的所有t∈ [0，T]和所有Z∈ Z（t，’Z）允许进行可测量的改进，即。

存在一个逐步可测量的过程C：[0，T]×Ohm → R、 视为非预期泛函，满足Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）=C（t，ω）}"a=1∈ [0，T]。证据Ft可测函数u（t，·）：=等式Z"AC（t，·）| Ft"a形成F适应过程（u（t，·））t∈[0，T]。它允许进行可测量的渐进式修改∈[0，T]（Karatzas和Shreve 1991）。我们想证明Q'Z"A{ω∈ Ohm | 对于每个t，C（t，ω）=C（t，ω）}"a=1∈ [0，T]。具有路径相关损失函数的非参数鲁棒模型风险度量9我们用矛盾的方法证明了这个引理。假设存在一个t∈ [0，T]这样q'Z"A{ω∈ Ohm|C（t，ω）=C（t，ω）}"a<1，则Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）=u（t，ω）}"a<1。这意味着Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）<u（t，ω）}"a>0或Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）>u（t，ω）}"a>0。在不失去一般性的情况下，我们假设Q'Z"A{ω∈ Ohm | C（t，ω）<u（t，ω）}"a>0。为了符号的简单性，在其余的证明中，我们使用C表示随机变量C（t，·），用u表示Ft可测函数u（t，·）。我们构造了一个替代鞅密度Z′∈ Z（t，’Z）byZ′（s）=\'\'Z（s）s∈ [0，t]等式ZeCC<u+euC≥uFs公司等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）Z（s）s∈ （t，t]（4.2）表示ind eed Z′∈ Z（t，\'Z），我们需要证明Z′（0）=1，Z′>0，Z′（t）=\'Z（t），Z′是一个P-鞅。从定义来看，前三个条件是显而易见的。（Z′（s））s的鞅性质∈[0，t]已清除。（Z′（s））s的鞅性质∈[t，t]由"AZ′（r）| Fs"a=E"OE确认\'Z（T）"AeCC<u+euC≥u"aFr公司等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）Fsè=E\'Z（T）"AeCC<u+euC≥u"aFs公司等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）=所有s的Z′（s）∈ [t，t]和r∈ [t，t]满足s 6 r。因为等式'Z"AEQ'Z（1C<u'Ft）"a=Q'Z（C<u）>0，所以存在ω∈ Ohm 使得等式Z（1C<u | Ft）（ω）>0。

我们定义：=等式Z"AC<u | Ft"a（ω）wu：=1- wl=等式Z"AC≥u | Ft"a（ω）L：=lnEQ'ZeCC<u英尺（ω） 等式Z（1C<u | Ft）（ω）cl：=等式ZCeCC<u英尺（ω） 等式Z（eCC<u | Ft）（ω）cu：=等式Z（C1C≥u | Ft）（ω）EQ'Z（1C≥u | Ft）（ω）我们只需要证明Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=u（t，ω）}= 1通向Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=~C（t，ω）}= 1、事实上，假设Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=u（t，ω）}= 1我们有Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）=~C（t，ω）}= 1.- Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）6=~C（t，ω）}> 1.- Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）6=u（t，ω）}∪ {ω ∈ Ohm | u（t，ω）6=~C（t，ω）}> 1.- Q'Z{ω ∈ Ohm | C（t，ω）6=u（t，ω）}- Q'Z{ω ∈ Ohm | u（t，ω）6=~C（t，ω）}= 110 YU Feng然后等式4.1的LHS（Z替换为Z′）满足条件Z′C | Ft"a（ω）=等式ZCeCC<u+CeuC≥u英尺（ω） 等式Z（eCC<u+euC≥u | Ft）（ω）=wlcleL+Wuceuwlel+wueu>wlcl+wucu（4.3）注意，该不等式由切比雪夫和式给出，其中表示w，w>0，w+w=1，一个有e（wa+wa）（wb+wb）<wab+wabifa<aa和b<b。通过展开左侧可以很容易地证明该不等式。在公式4.3中，我们有wl>0、wu>0和CL=公式ZCeCC<u英尺（ω） 公式Z（eCC<u | Ft）（ω）<公式ZueCC<u英尺（ω） 公式Z（eCC<u | Ft）（ω）=u 6 cuandeL=公式ZeCC<u英尺（ω） 公式Z（1C<u | Ft）（ω）<公式Z（euC<u | Ft）（ω）公式Z（1C<u | Ft）（ω）=因此切比雪夫和不等式适用。我们进一步将Jensen不等式应用于以下表达式两次（x lnx是凸函数，而lnx是凹函数），E（x lnx）>E（x）lne（x）>E（x）E（x）E（lnx）（4.4）根据上述不等式，我们通过进一步指定x=eC，在由Radon-Nikodym导数Z（t）Z（t）C<uEQ'Z（1C<u'Ft）生成的交替度量下取期望w.r.t Ftand，我们得到以下不等式e\'Z（T）CeCC<u英尺（ω） E类\'\'Z（T）1C<u英尺（ω） >E\'Z（T）eCC<u英尺（ω） E类\'\'Z（T）1C<u英尺（ω） ×E\'\'Z（T）C1C<u英尺（ω） E类\'\'Z（T）1C<u英尺(ω)=>公式ZCeCC<u英尺（ω） 方程式Z（eCC<u | Ft）（ω）>方程式Z（C1C<u | Ft）（ω）方程式Z（1C<u | Ft）（ω）LHS i s简单cl。

将不等式代入等式4.3，一个等式为：EQZ′C | Ft"a（ω）>EQZ′C1C<u | Ft"a（ω）+EQZ"AC1C≥u | Ft"a（ω）=等式Z"AC | Ft"a（ω）这违反了等式4.1中规定的条件。因此，我们得出结论，"AC（t，·）"at∈[0，T]允许逐步可测量的修改∈[0，T]。满足引理4.1中条件的过程C允许逐步可测量的修改C w.r.t Q'Z，但不一定是参考度量值P。然而，如果它也保持w.r.t P，则我们得到引理4.1的相反结果。事实上，对于“Z”∈ M+（1）和任意Z∈ Z（t，\'Z），Q'zan和qzan都是绝对连续的w.r.t P，意味着'C是C w.r.t Q'zan和QZ的修改。结果inEQ'Z"AC（t，·）'Ft"a=EQ'Z"AC（t，·）'Ft"a和EQZ"AC（t，·）'Ft"a=EQZ"AC（t，·）'Ft"awu=0将导致EQ'Z（C'Ft）（ω）=EQ'Z（C1C<u'Ft）（ω）<u（ω），与u.NON的定义相反。具有路径相关损失函数的参数稳健模型风险度量11逐步可测量的过程C适用于过滤F。因此，EQ'Z"AC（t，·）| Ft"a=~C（t，·）=等式z"AC（t，·）| Ft"a∈ [0，T]和Z∈ Z（t，’Z）。我们使用引理4.1来证明以下命题。提案4.2。Z*∈ M+（1）是随机变量的最坏情况鞅密度Ohm  ω 7→ l（T，ω）-f′（Z*（T）（ω））θ等于常数QZ*-a、 并由相同的常数P-a.s.证明支配。假设Z*∈ M+（1）是最坏情况下的鞅密度。根据定义。3.1，Z*= arg最大值∈Z（t，Z*)方程（b）l（T，Z）-bl（t，Z）Ft"a（4.5）适用于所有t∈ [0，T]。给定任何t∈ [0，T]和任意Z∈ Z（t，Z*), 我们构造了一个新的鞅密度，它位于Z*Z byZλ=（1- λ） Z*+ λz其中λ∈ [0, 1]. Zλ∈ Z（t，Z*) 对于所有λ∈ [0，1]由于Z（t，Z）的凸性*). SinceZ公司*求解方程4.5，k（λ）的最大值：=方程zλ"Abl（T，Zλ）-bl（t，Zλ）λ=0时达到Ft"a（4.6）。

取关于λ的一阶和二阶导数，wegetK′（λ）=ECZ（T）- Z*（T）Z*（t） 圣约翰l（T，Z*) - l（t，·）-f′（Zλ（T））θaFta（4.7）K′（λ）=- EИ（Z（T）- Z*（T））Z*（t） f′（Zλ（t））θFté（4.8）注意到二次可微函数f:R+→ 根据f-散度的非负性（Ali和Silvey 1966），R是凸的。这意味着所有z的f′（z）>0∈ R+。结合E q.4.8，对于所有λ，该条件应为K′（λ）<0∈ [0, 1].对于K（0）=最大λ∈[0,1]K（λ）要保持不变，λ=0处的一阶导数必须满足yk′（0）6 0<=> EQZ"ACZ*（t，·）| Ft"a6 EQZ*"ACZ*（t，·）| Ft"a（4.9），其中工艺CZ*: [0，T]×Ohm → R由CZ定义*（t，·）：=l（T，·）- l（t，·）-f′（Z*（T））θ上述不等式适用于所有T∈ [0，T]和所有Z∈ Z（t，Z*). 据艾玛说。4.1，CZ*允许逐步进行可测量的修改，例如CZ*. 特别是在t=0CZ时*(0, · ) = l（T，·）-f′（Z*（T））θ12 YU Feng取一个常数值c：=▄CZ*（0，0），QZ*-a、 事实上，捷克*被视为非参与泛函，因此*（0，ω）=CZ*（0，0）=c表示所有ω∈ Ohm 满足（0，ω）~(0, 0). 因此，QZ*"ACZ*（0，·）=c"a>QZ*"AИCZ*（0，·）=c"a- QZ公司*"ACZ*（0，·）6=~CZ*（0，·）"a=QZ*"AИCZ*（0，·）=c"a- 0>QZ*"A(0, ·) ~ （0，0）"a=QZ*({ω ∈ Ohm | ω（0）=0}）=1（4.10）接下来我们证明P"ACZ*（0，·）6 c"a=1，矛盾。相反，假设P"ACZ*（0，·）>c"a>0。我们构造了一个鞅密度Z′∈ Z（0，Z）*) = M+（1）通过设定Z′（t）=ECZ公司*（0，·）>c英尺P"ACZ*（0，·）>所有t的c"a∈ [0，T]。这导致了QZ′"ACZ*（0，·）| F"a=E（Z′（T）CZ*（0，·））=E"ACZ*（0，·）>cCZ*（0，·）"aP"ACZ*（0，·）>c"a>cE"ACZ*（0，·）>c"aP"ACZ*（0，·）>c"a=c，因为我们已经证明CZ*（0，·）=c，QZ*-a、 s.（E q.4.10），等式*"ACZ*（0，·）| F"a=c<EQZ′CZ*（0，·）| F"a根据公式4。9，K′（0）>0（其中一般密度过程Z被构造过程Z′代替∈ Z（0，Z*)).

这违背了Z*是aworst情形鞅密度。相反，给定一个过程Z*∈ M+（1），假设CZ*(0, · ) : Ohm → R取一个常量值，比如c，QZ*-a、 美国和捷克*（0，·）6 c P-a.s.给定任何t∈ [0，T]和任意Z∈Z（t，Z*), CZ公司*（0，·）6 c QZ-a.s.由于QZw的绝对连续性。r、 这些属性导致条件期望Seqz*"ACZ*（0，·）| Ft"a=c和EQZ"ACZ*（0，·）| Ft"a6 C指定CZ*（t，·）=CZ*(0, · ) - l（t，·）其中l（t，·）是Ft可测的，我们有eqz"ACZ*（t，·）| Ft"a6 c- l（t，·）=等式*"ACZ*（t，·）| Ft"a根据等式4.9，K′（0）6 0。因为对于所有λ，K′（λ）<0（等式4.8）∈ [0，1]，K（0）>K（1）。根据K（λ）的定义（式4.6），我们得到了*"Abl（T，Z*) -bl（t，Z*)Ft"a=K（0）>K（1）=方程z"Abl（T，Z）-bl（t，Z）Ft"a该不等式适用于每个t∈ [0，T]和每Z∈ Z（t，Z*). 因此，Z*求解顺序。4.5对于所有t∈ [0，T]确实是最坏情况下的鞅密度。我注意到这一主张。3.2是适用于任何F-adaptedprocess（b）的一般结果l（t，Z））t∈[0，T]，不考虑其实际配方（等式2.3）。另一方面，命题。4.2将公式化，从而指定函数f（x）的aworst情形鞅密度w.r.t的条件。请注意，任何w orst-c ase densityprocess Z*∈ M+（1）s解决了方程2.5中的原始问题。假设Z的存在*, 我们将公式2.5视为特定过程的初始值（t=0），称为价值过程。一般来说，我们在下面定义了三个F适应过程。具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量13定义4.3。

给定θ∈ (0, ∞) 最坏情况下的鞅密度Z*∈ M+（1），值处理s，U：[0，T]×Ohm → R、 最坏情况风险，V:[0，T]×Ohm → R、 预算过程η：[0，T]×Ohm → R、 被视为非预期泛函，定义为u（t，·）：=“L（t，Z*) + l（t，·）V（t，·）：=“L（t，Z*) +bl（t，Z*) + F（t，Z*)η（t，·）：=θ（V（t，·）- U（t，·）），其中（F（t，Z*))t型∈[0，T]是QZ*-满足F（T，Z）的鞅*) = f（Z*（T））/Z*（T）。直觉上，U（t，·）给出了最坏情况下的预期损失，减去从时间t到t扰动标称模型的持续成本。根据最坏情况鞅密度的定义（公式3.3），U（t，·）=公式z*"Abl（T，Z*) -bl（t，Z*)Ft"a+l（t，·）=等式*"Al（T，·）Ft"a- θ-1Z*（t）-1E"Af（Z*（T））- f（Z*（t） （）Ft"aZ*（t） >0（4.11）s second te rm是从timet开始扰动标称模型的惩罚项。对于连续性，在Z的极限情况下定义为零*（t） =0。根据定义4.3，V（t，·）是最坏情况下的预期损失，V（t，·）=EQZ*"Abl（T，Z*)Ft"a+θ-1Z*（t）-1EQ"Af（Z*（T））Ft"aZ*（t） >0=EQZ*"Al（T，·）Ft"aV（t，·）和U（t，·）之间的差异给出了扰动标称模型的成本（通过f-散度测量），其特征是过程η：η（t，·）=Z*（t）-1E"Af（Z*（T））- f（Z*（t） （）Ft"aZ*（t） >我们可以进一步了解这三个过程的终值和初始值。价值过程，U（t，·），从U（t）=l（T，·）和U（0）=等式z*"Abl（T，Z*)"a=最大值∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a（4.12）最坏情况风险过程从后面测量模型风险，公式2.2。根据引理。2.1（4），最坏情况密度Z*用η解原始问题：=η（0，·）=E（f（Z*（T）））。因此，V（T）=l（T，·）和V（0）=等式z*(l（T，·））=supZ∈ZηEQZ*"Al（T，·）"a累积预算η（即。

Glasserman和Xu（20 14））中的相对熵收支是通过向后的收支过程测量的，η（T）=0，η（0）=E（f（Z*（T））=η为了解决方程2.5中的问题，方程4.12建议通过反向归纳法来解决过程U。以类似的方式，模型风险（方程式2.2）及其相应的累积预算（η）可以通过反导求解过程V和η来量化。下面的定理给出了完整的过程。我们将其命名为预算过程，因为它衡量了竞争对手的剩余预算（Glasserman和Xu，2014）。η（0，·）在Glasserman和Xu（2014）中被称为相对熵预算。14余风定理4.4。给定θ∈ (0, ∞), 假设存在一个函数z:R→ R+满足要求-f′（z（x））θ=c，如果x∈ Ic：={θ-1年+年∈ 范围（f′）}（4.13）z（x）=0如果x/∈ Ic（4.14），其中c∈ R是一个常数，使得E"Azo l（T，·）"a=1和P(l（T，·）<sup Ic）=1。然后，价值过程U，最坏情况风险V和预算过程η满足以下等式su（t，·）=M（t）+f（Z（t））θZ（t）+cV（t，·）=W（t）Z（t）（4.15）η（t，·）=W（t）- M（t）- f（Z（t））Z（t）- θC对于所有t∈ [0，T]和a.a.ω∈ {Z（t）>0}，其中（Z，M，W）是满足以下终端条件的F-适应P-鞅："OZMWè（t）="OZo l（T，·）f′o zo l（T，·）×zo l（T，·）- fo zo l（T，·）zo l（T，·）×l（T，·）è（4.16）证明。由公式4.13定义的函数z提供了鞅密度z∈ M+（1）按成分：Z（t）=E"AZo l（T，·）| Ft"a（4.17）对于所有T∈ [0，T]。Z正是inEq定义的矢量化过程的第一个元素。4.16. 它确实是M+（1）的一个元素，因为Z（T）=Zo l（T，·）>0且Z（0）=E"AZo l（T，·）"a=1。随机变量CZ（0，·）：=l（T，·）-f′（Z（T，·））θ=l（T，·）-f′o zo l（T，·）θ（4.18）等于常数c QZ-a.s。

事实上，c∈ R的选择应确保1=E"Azo l（T，·）"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）∈Ic"a+E"Azo l（T，·）1l（T，·）/∈Ic"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）∈对于所有x，z（x）=0时的Ic"a/∈ 集成电路。因为CZ（0，ω）=c表示所有ω∈ Ohm 令人满意的l（T，ω）∈ Ic，我们有qz"ACZ（0，·）=c"a=E"AZ（T）1CZ（0，·）=c"a>E"AZo l（T，·）1l（T，·）∈IcCZ（0，·）=c"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）∈Ic"a=1接下来我们需要证明CZ（0，·）6 c P-a.s.注意函数f′：（0，∞) → 由于f的凸性，Ris连续且严格增加，这意味着范围（f′）=（f′（0+），f′(∞-)). 我们得出结论，范围（f′）是一个开放区间，用（a，b）表示，其中a和b可以是实数或±∞. 根据假设，wehave1=P（l（T，·）<sup Ic）=P"Al（T，·）∈ 集成电路[l（T，·）6{θ-1a+c}"a非参数稳健模型风险度量与路径相关损失函数15我们通过指定f′（0）=a.P"ACZ（0，·）6 c"a=E"A，将函数f′连续扩展到零l（T，·）∈IcCZ（0，·）6c"a+E"Al（T，·）/∈IcCZ（0，·）6c"a=E"Al（T，·）∈Ic"a+E"Al（T，·）/∈集成电路l（T，·）-θ-1f′（0）6c"a=E"Al（T，·）∈Ic"a+E"Al（T，·）/∈(θ-1a+c，θ-1b+c）l（T，·）6θ-1a+c"a=P"Al（T，·）∈ 集成电路[l（T，·）6θ-1a+c"a=1根据命题，我们得出CZ（0，·）=c QZ-a.s.和CZ（0，·）6 c P-a.s.的结论。4.2式4.17中定义的Z是最差的基密度过程。式4.16的第二个分量是由m（t）=E"Af′给出的P-鞅o zo l（T，·）×zo l（T，·）- fo zo l（T，·）| Ft"a=E"AZ（T）f′（Z（T））- f（Z（T））| Ft"a所有T∈ [0，T]。替换公式4。18到式4.11，我们有u（t，·）=式ZCCZ（0，·）+f′（Z（t，·））θFta- ECf（Z（T））- f（Z（t））θZ（t）Fta=c+EcZ（T）f′（Z（T））- f（Z（T））+f（Z（T））θZ（T）Fta=M（t）+f（Z（t））θZ（t）+CZ（0，·）=c QZ-a.s.通过CZ（0，·）=c QZ-a.s.的优点，上述方程更精确地保持了QZ-a.s.它表示a.a.ω∈ {Z（t）>0}。等式的第三个元素。