具有路径相关损失的非参数稳健模型风险度量

4.16，W（t）=E"Azo l（T，·）×l（T，·）| Ft"a=E"AZ（T）l（T，·）| Ft"a，通过v（T，·）=EQZ表征最坏情况下的风险l（T，·）英尺= ECZ（T）Z（T）l（T，·）对于所有ω，Fta=W（t）Z（t）∈ {ω ∈ Ohm | Z（t）（ω）>0}。因此，上面的方程保持QZ-a.s。根据U（t，·）和V（t，·）的表达式，我们得到了预算过程η（t，·）=V（t，·）的公式- U（t，·）"a=θW（t）- M（t）- f（Z（t））Z（t）- θc在上面的证明中，我们提出了函数f′的逆，用g表示：范围（f′）→ (0, ∞). 使用此Inverse函数，我们有以下建议，即某些可积条件保证了模型风险量化问题的解的存在，如定理4.4所示。根据CZ（0，·）（等式4.18）的定义，CZ（0，ω）=c表示所有ω∈ Ohm 令人满意的l（T，ω）∈ 集成电路。由Z（T）（ω）=Z得出o l（T，ω）=0表示a.aω∈ {ω ∈ Ohm | l（T，ω）/∈ Ic}thatEQZ（CZ（0，·）| Ft）=EQZ（CZ（0，·）1l（T，·）∈Ic | Ft）+方程（CZ（0，·）1l（T，·）/∈Ic | Ft）=Z（t）-1E（Z（T，·）CZ（0，·）1l（T，·）∈Ic | Ft）+Z（t）-1E（Z（T，·）CZ（0，·）1l（T，·）/∈Ic | Ft）=cZ（t）-1E（Z（T，·）1l（T，·）∈Ic | Ft）=cZ（t）-1E（Z（T，·）| Ft）=C或a.a.ω∈ {Z（t）>0}。16余风提案4.5。表示g：（a，b）→ (0, ∞) 作为f′的反函数。如果f′(∞-) = ∞对于每个c∈ R g"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）∈Icis在参考量下可积，则定理4.4中的假设成立。证据我们需要证明c的存在∈ R和z：R→ R+，使得公式4.13适用于所有x∈ 对于所有x，Icand z（x）=0/∈ Ic，E"Azo l（T，·）"a=1和P(l（T，·）<sup Ic）=1。在定理4.4的证明中，我们已经证明了范围（f′）=（a，b）。这里b拿s∞当严格递增函数f′在单位处发散时。对于给定的c∈ R、 等式4.13的隐含式给出了z（x）=g"Aθ（x- c） 适用于所有x∈ Ic=（θ-1a+c，∞).

对于所有x/∈ Ic，z（x）=0，给出"Azo l（T，·）"a=E"Azo l（T，·）1l（T，·）>θ-1a+c"a+E"Azo l（T，·）1l（T，·）6θ-1a+c"a=E"Ag"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）>θ-1a+c"a我们想展示函数K:R→ 定义byK（c）：=E"Ag"A977;(l（T，·）- c） "al（T，·）>θ-1a+c"a（4.19）对于某些c取1的值∈ R、 首先，我们将证明K是连续的。修复任意c∈ R和ε∈ (0, ∞).由于g的连续性，函数y（·，ω）：(-∞, c]→ 定义byy（c，ω）：="Ag"Aθ(l（T，ω）- c） "a- g"Aθ(l（T，ω）- c） "a"al（T，ω）>θ-每ω1a+cis连续∈ Ohm. 因此，函数Y：(-∞, c]→ R、 定义为y（c）：=E（y（c，·）），在c处是连续的。其连续性意味着δ>0的存在，从而| y（c）|=| y（c）- Y（c）|<ε/2，对于所有c∈ R满足c- δ<c 6 c。让δ-:= 最小δ，f′（ε/2）- 那么对于所有的c- δ-< c 6 cwe有0 6 K（c）- K（c）=E"Ag"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）-θ-1a级∈（c，c]a+Y（c）6 E"Ag"Aθ（θ-1a+c- c） "al（T，·）-θ-1a级∈（c，c）"a+Y（c）<g（a+δ-) + ε/26 g"Af′（ε/2）"a+ε/2=ε根据支配收敛定理，Y在c是连续的。事实上，序列{Y（c- 1/n，·）}∞n=1时，实值可测函数凭借其连续性逐点收敛到y（c，·）。序列以y（c）为主- 1，·）由于g单调增加。y（c- 1，·）是可积asE|y（c- 1, ·)|6 Eg级θ(l（T，·）- c+1l（T，ω）>θ-1a+c6 Eg级θ(l（T，·）- c+1l（T，ω）>Ic-1.< ∞支配c收敛定理保证了期望Limn的收敛性→∞Ey（c- 1/n，·）= Ey（c，·）= 0这意味着给定任意ε>0，存在n∈ N因此Ey（c- 1/n，·）< ε表示所有n>n。

由于g单调增加，永远是y c∈ [c]- 1/n，c]我们有0 6 Ey（c，·）- Ey（c，·）= Ey（c，·）6 Ey（c- 1/n，·）< ε这证明Y在c处是连续的。具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量17我们可以用类似的方式证明存在δ+>0，使得K（c）-K（c）∈ (-ε、 0]对于所有c<c<c+δ+。结合两个参数，| K（c）- 对于所有c，K（c）|小于ε∈ R满足| c- c |<最小值（δ+，δ-). 这证明了函数K定义为inEq。4.19，是连续的。接下来我们需要证明存在c+，c-∈ 使K（c+）6 1和K（c-) > 1、事实上→-∞P"Al（T，·）>θ-1a+c"a=1意味着c的存在∈ 如P"Al（T，·）>θ-对于某些ξ>1的情况，1a+c"a>1/ξ。定义C-:= c-最大"A0，f′（ξ）- a"aθ6 cwe haveK（c-) > E"Ag"Aθ(l（T，·）- c-)"al（T，·）>θ-1a+c"a>g"Aθ（θ-1a+c- c-)"aE"Al（T，·）>θ-1a+c"a>g"Aθ（θ-1a+θ-1（f′（ξ）- a） "aE"Al（T，·）>θ-1a+c"a=ξP"Al（T，·）>θ-另一方面，以下情况→∞E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）-θ-1a级∈（0，c）"a=E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a"a<∞暗示c的存在∈ R使E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）-θ-1a级∈（0，c）"a>E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a"a- 设置c+=最大值（0，c），我们有K（c+）6 E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a+c+"a6 E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a+c"a=E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）>θ-1a"a- E"Ag（θl（T，·））1l（T，·）-θ-1a级∈（0，c）"a6 1根据中间值定理，存在c∈ R使得等式4.19中定义的连续函数K取1。条件P(l（T，·）<sup Ic）=1不考虑实际测量值P，对于[x∈集成电路l（T，·）6 x=[x>θ-1a+c{ω∈ Ohm | l（T，ω）6 x}={ω∈ Ohm | l（T，ω）∈ R} 概率为1。因此，orem 4.4中所述的假设是有效的，这保证了定理提供的最坏情况解的存在。

我们考虑一类特殊的f-di收敛，包括著名的Kullback-Leiblerdivergence，其中函数R x 7→ xf′（x）- f（x）是线性的（或等效的yx 7→ xf′（x）是常数）。这种类型的f-散度在应用定理上有一个特殊的优势。4.4，因为过程m（t）=E"AZ（t）f′（Z（t））- f（Z（T））| Ft"a=E（Z（T）| Ft）×f′E（Z（T）| Ft）"a- f"AE（Z（T）| Ft）"a收敛由支配收敛定理保证。见最后一页的脚注。此类c∈ 通过注意函数K严格递减，R也是唯一的。18余峰=Z（t）f′（Z（t））- f（Z（t））（4.20）可以直接从Z（t）计算出来。因此，在实际中，我们只需要对二维P鞅（Z（t），W（t））t应用反向导∈[0，T]。通过替换EQ。4.20在公式4.15中，我们有以下主张。推论4.6。假设定理4.4中存在d∈ (0, ∞) 对于所有x，xf′（x）=d∈ R+。然后，价值过程U、最坏情况风险V和预算过程η满足以下等式su（t，·）=f′（Z（t））θ+cV（t，·）=W（t）Z（t）（4.21）η（t，·）=W（t）Z（t）- f′（Z（t））- θC对于所有t∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm 使得Z（t）（ω）>0，其中（Z，W）是满足以下终端条件的F-适应P-鞅：ZWa（t）=Zo l（T，·）zo l（T，·）×l（T，·）a推论4.6适用于Kullback-Leibler散度。特别是，常数c的计算是相当超前的。我们用以下推论来说明这一点。推论4.7。在Kullback-Leibler散度下，支持E"AEθl（T，·）"a<∞. 因此，模型风险量化问题有一个独特的解决方案，由u（t，·）=lnZ（t）V（t，·）=W（t）~Z（t）η（t，·）=W（t）~Z（t）给出- ln▄Z（t），其中▄Z，▄W"a是一个满足终端条件的F-适应P-鞅：▄Z▄W！（T）=θexp（θl（T，·））l（T，·）exp（θl（T，·））证明。

对于所有x，Kullb-ack-Leibler散度采用f′（x）=（x ln x）′=ln x+1∈(0, ∞). f′在∞. 反函数g:R→ (0 , ∞) 由g（x）=ex给出-1、E"AEθ以来l（T，·）"a<∞, 我们有g"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）∈集成电路= e-θc-1E"Aeθl（T，·）"a<∞对于所有c∈ R、 命题4.5保证存在唯一的c∈ R和z：R→ R+满足E"Azo l（T，·）"a=1，因此是模型风险量化问题的唯一解决方案。更具体地说，我们计算函数z:R→ 公式4.13中的R+：z（x）=eθ（x-c）-1具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量19适用于所有x∈ R、 常数c∈ R由1=E"Az给出o l（T，·）"a=E"AEθ(l（T，·）-c）-1"a<=> c=θln E"AEθl（T，·）-1"a=lnZ（0）- 1θ推论定义了两个P-鞅，由Z（t）=Eeθl（T，·）英尺W（t）=El（T，·）eθl（T，·）英尺推论4.6中的过程Z和W是▄Z和▄W的简单归一化版本，Z（t）=E"AZo l（T，·）| Ft"a=Eeθ(l（T，·）-c）-1.英尺=~Z（t）~Z（0）W（t）=E"AZo l（T，·）×l（T，·）| Ft"a=El（T，·）eθ(l（T，·）-c）-1.英尺=~W（t）~Z（0）将上述方程代入式4.21，我们有eU（t，·）=ln（Z（t））+1θ+c=lnZ（t）V（t，·）=W（t）Z（t）=W（t）~Z（t）η（t，·）=W（t）Z（t）-"Aln（Z（t））- 1"a- θc=θW（t）~Z（t）- lnZ（t）注意Z（t）（ω）=eθ(l（T，ω）-c）-1> 所有ω为0∈ Ohm. Z（t）=E（Z（t）| Ft）>0，这意味着上述方程适用于所有t∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm. 具有连续半鞅的模型风险度量最后一部分提供了量化模型风险的一般理论。在本节中，我们重点讨论连续se半鞅类。它具有由函数Ito公式表示的重要性质。为了介绍公式，我们需要简要回顾函数Ito演算（Bally等人，2016）。首先，我们定义非预期函数F的水平导数和垂直导数：∧dT→ R

其在（t，ω）处的水平导数∈ ∧由limitDF（t，ω）定义的dTis：=limh→0+F（t+h，ω）- F（t，ω）hif它存在。直观地说，它描述了w.r.t时间的变化率，假设状态变量从t开始没有变化，并以停止路径ωt给出的截至t的历史为条件。另一方面，垂直导数描述了w.r.t时间从t开始的状态变量的变化率。形式上，垂直导数at（t，ω）∈ ∧dT，表示为ωF（t，ω）定义为函数Rd的梯度 x 7→F"At，ωt+x1[t，t]a等于0，假设其存在。非预期泛函的水平导数和垂直导数也是非预期泛函。我们通过注意到停止路径的空间∧dT具有度量d来定义左连续非预期泛函∞. 假设F：∧dT→ R是一个非参与泛函。F为左连续if for every（t，ω）∈ ∧dt和ε>0，存在δ>0 s u ch，即| F（t，ω）- F（t′，ω′）|<ε表示所有（t′，ω′）∈ ∧dt满足t′<t20 YU Feng和d∞（（t，ω），（t′，ω′）<δ。我们可以进一步对一个非预期泛函F施加一个有界条件。它指出，对于任何紧凑的K 当t<t时，存在一个C>0的suc h，即所有t 6和ω的| F（t，ω）| 6 C∈ Ohm. 假设一个非算数函数F在水平方向上可微分，在垂直方向上可二次微分（t，ω）∈ ∧dT和DF，ωF和ωF满足有界条件abov e。此外，F，ωF和ωF是左连续的，DF对所有（t，ω）都是连续的∈∧dT。然后我们称F为正则函数。假设正则过程X为Ohm 是连续半鞅且F：∧dT→R是正则函数。R值过程（Y（t））t∈[0，T]，由Y（T）=F（T，·）定义所有T∈ [0，T]遵循Ito函数公式P-a.s.（Bally et al.2016，pp。

190–191）Y（t）- Y（0）=ZtDF（u，·）du+ZtωF（u，·）dX（u）+ZtTr"AωF（u，·）d[X]（u）"a如果我们进一步对所有有界可预测过程ξ满足rtξ（t）dt=0施加rtξ（t）dX（t）=0的约束，那么规范过程X是SDE（Revuz和Yor 2 013）dX（t）=u（t）dt+σ（t）dW（t）（5.1）的强解，其中（W（t））t∈[0，T]是基础过滤概率空间（假设其存在）上的Rd值标准Wie-ner过程。（u（t））t∈[0，T]是一个Rd值可预测过程，（σ（T））T∈[0，T]是一个Rd值的可预测过程。我们可以识别它们的元素，比如（ui（t））t∈[0，T]和（σij（T））T∈[0，T]，具有非预期泛函。SDEEq。5.1可被视为著名Ito扩散过程的路径依赖推广。文献中通过施加各种条件（如有界性和Lipschitz性质，见Bally et al.（2016）），给出了其解的存在性和唯一性。现在，如果X满足等式5.1 P-a.s.，那么从函数Ito公式可以看出，过程Y是SDEdY（t）=ΔDF（t，·）+u（t）的强解ωF（t，·）+Tr"Aσ（t）ωF（t，·）"aédt+σ（t）ωF（t，·）dW（t）注意，σ（t）的平方在矩阵乘法的意义上，即σ（t）=σ（t）σ（t）t。为了简单起见，我们可以定义一个非线性微分算子a，它通过af将正则泛函发送给非反正则泛函：=DF+u（t）ωF+Tr"Aσ（t）ωF"a（5.2）那么过程Y，由Y（t）=F（t，·）定义，是一个强解todY（t）=AF（t，·）dt+σ（t）ωF（t，·）dW（t）（5.3）假设Y是一个P-鞅，那么正则泛函F满足AF=0 P-a.s。应用这个性质，我们可以将定理4.4中的鞅陈述转换为分析陈述。这是由以下推论得出的。推论5.1。给定θ∈ (0, ∞), 假设存在c∈ R和z：R→ R+定义定理4.4。

对于某些Rd值可预测过程（u（t））t，如果正则过程X满足等式5.1∈[0，T]和Rd值可预测过程（σ（T））T∈[0，T]，然后，具有路径相关损失函数的非参数稳健模型风险度量21值过程U，最坏情况风险V和成本过程η满足以下方程su（T，·）=M（T）+f（Z（T））θZ（T）+cV（T，·）=W（T）Z（T）η（T，·）=W（T）- M（t）- f（Z（t））Z（t）- θC对于所有t∈ [0，T]和所有ω∈ Ohm 使得Z（t）（ω）>0，其中Z、M和W由方程AF=0（P-a.s.）的解确定，受其各自的终端条件限制："OZMWè（t）="OZo l（T，·）f′o zo l（T，·）×zo l（T，·）- fo zo l（T，·）zo l（T，·）×l（T，·）è在实践中，我们更感兴趣的是给出常数函数x 7的f-散度类型→ xf′（x）。这样的f收敛性允许我们直接使用依赖于路径的偏微分方程来求解U和V d。提案5.2。假设存在d∈ (0, ∞) 这样，对于所有x，xf′（x）=d∈ R+，函数f′在单位处发散。此外，反函数g:Imf′→(0, ∞), 提供二次微分函数R x 7→ g（x）1x∈国际货币基金组织\'。值过程和最坏情况风险由正则函数Ut：=U（t，·）和Vt：=V（t，·）确定，解出以下路径依赖的部分微分方程QZ-a.s.AUt+θg′"Aθ（Ut- c） "ag′"Aθ（Ut- c） "a（σtωUt）=0AVt+θg′"Aθ（Ut- c） "aωUtσtg"Aθ（Ut- c） "aωVt=0（5.4），受终端条件UT=Vt=l（T，·）。成本过程ηt=θ（Vt- Ut）对于所有t∈ [0，T]。定义Ic：={θ-1年+年∈ 如果g"Aθ，则解存在(l（T，·）-c） "al（T，·）∈每c可积的Icis∈ R、 证明。根据推论4.6，z（t）=g（θ（Ut- c） ）1Z（t）>0=g（Ut- c） ）1Ut∈Ic：=g（θ（Ut- c） ）我们在命题4.5的证明中表明，f′在单位上发散意味着Imf′是一个开放区间，形式为（a，∞).

ThenU（t，ω）=θ-1f′（Z（t）（ω））+c>-1a+c∈ Ic适用于所有ω∈ { ω ∈ Ohm | Z（t）（ω）>0}。另一方面，对于所有ω∈ {ω ∈ Ohm | Z（t）（ω）=0}，0=Z（t）（ω）=EQZ（Z（t）1l（T，·）6θ-1a+c | Ft）（ω）+EQZ（Z（T）1l（T，·）>θ-1a+c | Ft）>方程（g（θ(l（T，·）- c） ）1l（T，·）>θ-1a+c | Ft）（ω）这意味着方程（1l（T，·）>θ-1a+c | Ft）（ω）=0，根据Img=（0，∞), 给定su（t，ω）=EQZ(l（T，·）| Ft）（ω）=EQZ(l（T，·）1l（T，·）6θ-1a+c | Ft）（ω）6θ-1a+c/∈ Ic22 YU FENGfor all t∈ [0，T]，其中g表示二次可微函数R x 7→ g（x）1x∈国际货币基金组织\'。自（Z（t））t∈[0，T]是一个P-鞅，可以用方程的解af=0（P-a.s.），我们有0=Ag（Ut- c） ）=g′"Aθ（Ut- c） "aAUt+θg′"Aθ（Ut- c） "a（σtωUt）对于所有ω∈ Ohm 使得U（t，ω）∈ Ic，方程等价于Ut+θg′"Aθ（Ut- c） "ag′"Aθ（Ut- c） "a（σtωUt）=0（5.5），注意{ω∈ Ohm | U（t，ω）∈ Ic}在QZ下有测度1，方程abov eholds QZ-a.s。从方程5.3可以看出，P-鞅（Z（t））t∈[0，T]解SDEdZ（T）=A g（Ut- c） ）dt+σtωg（θ（Ut- c） ）dW（t）=θg′（θ（Ut- c） ）σtωUtdW（t）我们可以定义一个过程（Y（t））t∈[0，T]通过随机积分（T）：=Ztθg′（Us- c） ）g（θ（美国）- c） ）美国∈Icσt所有t的ωUsadW（s）∈ [0，T]。这将上述SDE转换为dz（t）=θg′（Ut- c） ）1Ut∈IcσtωUtdW（t）=g（θ（Ut- c） ）1Ut∈IcdY（t）=Z（t）dY（t），表明过程（Z（t））t∈[0，T]是Doleans-Dade指数，即Z=e（Y）。注意，上述SDE确保（Z（t））t∈[0，T]是局部鞅。为了保证它确实是一个鞅，我们假设Novikov条件，EexpZTθg′（Ut- c） ）g（θ（Ut）- c） ）Ut∈IcσtωUtadt！！<∞根据Girsanov定理，QZis下的布朗运动由ad dingan额外的漂移项给出。注意到Ut∈ IcQZ-a.s.，Girsanov定理在P（等式。

5.1）以下SDE（即（X（t））t∈[0，T]是在QZ），dX（T）=θT+θg′（Ut）下的下列强解- c） ）g（θ（Ut）- c） ）σtωUtadt+σtdWQZ（t）（5.6）函数Ito公式，等式5.2-5.3，适用于替代测量QZas。根据运算符A的定义，我们得到aqzf（t，·）=DF（t，·）+ut+θg′（Ut- c） ）g（θ（Ut）- c） （）ωUtσtaωF（t，·）+Tr"Aσ（t）所有x的ωF（t，·）"a∈ （a），∞), g′（x）=g′（x）>0（由于f的凸性），并且对于所有x∈ (-∞, a]，g′（x）=limh→0-g（x）- g（x- h） h=0因此，g（x）=g（x）1x∈（a），∞)意味着g′（x）=g′（x）1x∈（a），∞), 这意味着g′′（x）=g′′（x）1x∈（a），∞). 对于所有ω∈ {ω ∈ Ohm | U（t，ω）∈ Ic}，θU（t，ω）- c∈ （a），∞) 和thusg\'θ（U（t，ω）- c）= g′θ（U（t，ω）- c）> 0和g′\'θ（U（t，ω）- c）= g′\'θ（U（t，ω）- c）QZ（U（t，·））∈ Ic）=QZ（Z（t）>0）=E（Z（t）1Z（t）>0）=E（Z（t）1Z（t）>0）=E（Z（t））=1具有路径依赖损失函数的非参数稳健模型风险度量23=AF（t，·）+g′（σt（Ut- c） （）ωUtσtg（θ（Ut- c） （）一类正则泛函F∧dT的ωF（t，·）→ R和所有t∈ [0，T]。最坏情况下的模型风险，EQZ(l（T，·）| Ft），是QZ鞅。与正则函数V相同，它满足以下方程QZ-a.s.0=AQZVt=AVt+θg′（Ut- c） "aωUtσtg"Aθσt（Ut- c） "aωVt（5.7）结合终端条件UT=Vt=l（T，·）、式5.8和式5.7分别提供了控制价值过程和最坏情况风险的路径依赖型偏微分方程。根据命题4.5，如果g"Aθ(l（T，·）- c） "al（T，·）∈每c可积的Icis∈ R著名的Kullback-Leibler分歧为我们将命题5.2应用于实践提供了极大的便利。函数f′（x）=lnx+1除以∞, andits倒数g:R→ (0 , ∞) 由g（x）=ex给出-1可区分两次。