具有路径相关损失的非参数稳健模型风险度量

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英文标题：
《Non-Parametric Robust Model Risk Measurement with Path-Dependent Loss
  Functions》
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作者：
Yu Feng
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  Understanding and measuring model risk is important to financial practitioners. However, there lacks a non-parametric approach to model risk quantification in a dynamic setting and with path-dependent losses. We propose a complete theory generalizing the relative-entropic approach by Glasserman and Xu to the dynamic case under any $f$-divergence. It provides an unified treatment for measuring both the worst-case risk and the $f$-divergence budget that originate from the model uncertainty of an underlying state process.
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中文摘要：
理解和衡量模型风险对金融从业者来说很重要。然而，缺乏一种非参数方法来模拟动态环境中的风险量化以及路径相关损失。我们提出了一个完整的理论，将Glasserman和Xu的相对熵方法推广到任何$f$-散度下的动态情况。它提供了一种统一的处理方法，用于衡量最坏情况下的风险和源于基础状态过程的模型不确定性的f美元分歧预算。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Non-Parametric_Robust_Model_Risk_Measurement_with_Path-Dependent_Loss_Functions.pdf (351.25 KB)

2022-6-14 05:53:11 上传

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关键词：风险度量 风险度 非参数 Quantitative Mathematical

具有路径依赖损失函数的非参数稳健模型风险度量。理解和衡量模型风险对金融从业者很重要。然而，在动态环境和路径相关损失下，缺乏一种非参数方法来建模风险量化。我们提出了一个完整的理论，将Glasserman和Xu（2014）的相对熵方法推广到任何f-散度下的动态情况。它提供了一种统一的处理方法，用于衡量最坏情况下的风险和源自基础状态过程的模型不确定性的f-分歧预算。1、简介作为一个工作定义，模型风险是指由于使用不适当的模型对金融证券进行估值和管理而导致的意外损失的量化，包括市场价格随时可用的股票和债券等交易广泛的证券，以及此类证券上交易较少的衍生工具。与其他金融风险不同，模型风险关注的是所选模型范式中随机性的影响，模型风险关注的是在第一阶段选择错误建模范式的可能性。这使得它在概念上和实施方面都是一个更具挑战性的命题。不足为奇的是，无论是在确定合适的理论方法还是在发展特殊计量学方面，模型风险仍然落后于其更传统的计量部分，如价格风险、利率风险和信用风险。考虑模型不确定性的一种简单方法是为备选模型分配权重，然后由n计算平均市场风险（Branger和Schlag，2004年）。也许更好的方法是将模型风险部分与市场风险部分分开。

此外，从风险管理的角度来看，人们可能更感兴趣的是最坏的情况，而不是平均情况。Kerkhof等人（2002年）提出了一种风险区分措施，将最坏情况模型下的市场风险与名义市场风险分开。Cont（2006）遵循最坏情况方法，制定了一个量化框架，用于衡量衍生品定价中的模型风险。这种方法适用于一组参数化的替代措施，根据k sp的读数，这些措施将一些基准工具的价格设定在各自的出价范围内。继Cont的工作之后，Gup-ta等人（2010年）建议将偶然目标的价差定义为所有合法模型给出的价格集。Bann–or和Scherer（2013）提出了一个参数化风险框架，该框架统一了Cont（2006）、Gupta等人的建议。（2010）和Lindstrom（2010）。这种方法结合了参数值的分布，以捕获参数不确定性的风险，从而导致在面临参数风险的工具中进行投标。Detering和Packham（2016）基于剩余利润和损失来处理模型风险度量b的问题日期：2019年3月6日。2 YU Feng在参考模型中对冲。Kerkhof et al.（2010）提出了在计算资本储备时考虑模型风险的程序。他们没有根据一系列概率度量来制定模型风险，而是考虑实践者可能基于不同性质的模型来评估风险的现实。从实践角度来看，Boucher et al.（2014）提出了一种将模型风险纳入一般市场风险度量的方法。上述方法是参数化的，因为它们考虑了由一组有限参数参数化的替代模型。除此之外，Glasserman和Xu（2014）提出了一种非参数方法。

在此框架下，在参考模型的邻域内的备选模型中找到了最坏情况模型。Glasserman和Xu采用相对熵（或KullbackLeibler散度）来测量参考模型给出的概率测度和（等效）替代测度之间的距离b。通过对相对熵进行约束，以非参数方式定义合法替代模型集，然后可以在与参考模型的有限距离内分析解决最坏情况。这种方法是根据状态变量的分布而制定的，因此在状态变量动态演化时不太适用。在本文中，我们将其集中应用于状态过程的模型风险度量问题。我们用对偶公式解决这个问题，并借助函数伊藤演算处理路径依赖性（续20 16）。定义合法替代模式l s的约束条件是w.r.t f-d i收敛，这是一种比Kullback-Leibler发散更普遍的选择。2、问题公式Fix T∈ (0, ∞) 和d∈ N、 然后让Ohm:= D（[0，T]，Rd）表示c\'adl\'ag路径集ω：[0，T]→ Rd.Let[0，T] t 7→ X（t）是上的正则过程Ohm, 也就是说X（t）（ω）：=ω（t），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm. 设F=（Ft）t∈[0，T]表示过滤Ohm 由X生成，也就是说ft：=\\u s∈[0，t]PX（s）-1（U）U∈ B（Rd）(c)=\\U s∈[0，t][U∈B（Rd）{ω∈ Ohm | ω（s）∈ U} ，对于所有t∈ [0，T]。在文章ar中，F：=PX（0）-1（U）U∈ B（Rd）(c)=[U∈B（Rd）{ω∈ Ohm | ω(0) ∈ U} 。将参考概率度量P固定在(Ohm, FT），根据条件P"AX（0）-1（U）"a=P（{ω∈ Ohm | ω(0) ∈ U} （）=如果0，则为1∈ U如果0，则为0/∈ U、 适用于所有U∈ B（Rd），也就是说，在P下，几乎所有路径都从零开始。

注意，对于所有A，该条件确保P（A）=0或P（A）=1∈ F、 为了与Cont（2016）中的符号保持一致，我们将写出ωt：=ω（t∧ ·) ∈ Ohm表示路径ω∈ Ohm 在时间t停止∈ [0，T]。我们施加一个等价关系~ 在[0，T]×上Ohm, 通过指定（t，ω）~ （t′，ω′）当且仅当t=t′，ωt=ω′t′，对于所有（t，ω），（t′，ω′）∈ [0，T]×Ohm. 也就是说，如果时间相等，且相应的停止路径为非参数稳健模型风险度量，且路径相关损失函数相同，则由时间和路径组成的两对是等价的。商集∧dT：=[0，T]×Ohm / ~ 形成一个完整的度量空间，当与度量d结合时∞: （λdT）→ R+，比亚迪定义∞"A（t，ω），（t′，ω′）"a：=sups∈[0，T]|ω（s∧ t）- ω′（s）∧ t′）|+| t- t′|=kωt- ω′t′k∞+ |t型- t′|，对于所有（t，ω），（t′，ω′）∈ ∧dT。我们参考∧dT，d∞) 作为停止路径的空间。可测函数F∧dT→ R被称为非预期泛函，其中∧dt被赋予由d生成的Borel-sigma代数∞R被赋予由通常的欧几里德度量生成的Borel-sigma代数。自（t，ω）~ （t，ωt），对于所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm, 我们可以把非预期泛函F∧dT看作→ R是一个适当可测的函数F:[0，T]×Ohm → R表示条件F（t，ω）=F（t，ωt）。也就是说，当应用于特定的时间和路径时，非预期泛函的价值仅取决于路径在该时间之前的行为。注意（F（t，·））t∈[0，T]是一个逐步可测的过程，适用于过滤F。设M表示过滤概率空间（Ohm, FT，F，P），在紧时间间隔[0，T]上，和letM+（1）：={Z∈ M | Z>0且Z（0）=1}表示从1开始的非负鞅的子族。

每个Z∈ M+（1）定义概率度量QZon(Ohm, FT）满足QZ<< P（即QZis绝对连续w.r.t P），根据reci pe QZ（A）：=e"AAZ（t）"a，对于al l A∈ FT.相反，每个概率度量Q(Ohm, FT）satisf-ying Q<< P c可以写成q=QZ，其中Z∈ M+（1）由z（t）确定：=ECdQdPFta，对于所有t∈ [0，T]。考虑一个二次可微严格凸函数f:R+→ R满足f（1）=0。对于任何概率度量Q(Ohm, FT）满足Q<< P、 Qp相对于P的f-di收敛性由DF定义（QkP）：=ECfCdQdPa（2.1）（见Basseville 2013，第2节）。直觉上，f-散度提供了两个概率度量之间距离的度量。因此，setZη：={Z∈ M+（1）| Df（QZkP）6η}，其中η>0，对应于接近参考概率测度P的绝对连续概率测度族。最后，x一个非预期泛函l : ∧dT→ R令人满意l(0, 0) = 0. 我们需要翻译l（t，ω）为投资组合金融证券产生的截至t时的累计已实现损失。投资组合的状态完全由路径ω决定∈ Ohm. 参考概率测度guarantesp"AX（0）的条件-1{0}"a=P（{ω∈ Ohm | ω（0）=0}）=1，如下所示l（0，·）=0 P-a.s。也就是说，在参考概率测度下，投资组合产生的初始实现损失为零。如果我们将P解释为与投资组合动力学的名义模型相关联的概率测度d，4 YU Feng then E"Al（T，·）"a给出了名义模型下的预期总损失。在金融应用中，我们通常将终端时间T设置为整个投资组合清算的时间点，从而实现累积损失。现在，假设re对于哪种模型最能描述投资组合是不确定的。

特别是，s支持由Zη的数量确定的每个概率度量，对于某些η>0，对应于投资组合动力学的一个合理模型。在这种情况下，风险经理会对以下数量感兴趣：supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）"a和supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）"a- E"Al（T，·）"a。（2.2）前一表达式可被视为在所有合理模型下，投资组合所承受的最坏情况预期损失，而后一表达式量化了最坏情况预期损失与默认模型下预期损失之间的差异。因此，它可以作为模型风险的度量。（2.2）中定义的问题可采用双重形式（Glasserman和X u2014）。我们首先定义拉格朗日L:M+（1）×（0，∞) × (0, ∞) → R byL（Z，θ，η）：=等式Z"Al（T，·）"a-Df（QZkP）- ηθ=方程l（T，·）-f"AZ（T）θZ（T）a+ηθ，拉格朗日函数导致一个定义为比亚迪（θ，η）的对偶函数：=supZ∈M+（1）L（Z，θ，η）=supZ∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a+ηθ给定T∈ [0，T]和Z∈ M+（1），blθ（t，Z）：=l（t，·）-f"AZ（t）θZ（t）（2.3）定义了Ft可测量函数Blθ（t，Z）：Ohm → R、 与…一样l : [0，T]×Ohm → R、 b类lθ（·，Z）可被视为非预期函数。如果原始问题是凸的且约束满足Slater条件（Slater2014），则强对偶成立，给出∈ZηEQZ(l（T，·））=infθ∈(0,∞)d（θ，η）（2.4）这在下面的引理中得到了证明。引理2.1。以下陈述是真实的：（1）集合Zη是凸的。（2） 函数Zη Z 7→ 方程（E）l（T，·）"a是凸的。（3） 强对偶方程。

2.4保持。（4） 给定θ*∈ (0, ∞), 假设Z*∈ M+（1）满意度Z*= arg最大值∈M+（1）方程z"Ablθ*（T，Z）"athenZ*= arg最大值∈ZηEQZ"Al（T，·）"a这里的想法是，所有绝对连续的概率测度都接近于参考测度（在f-散度的意义上）对应于似乎接近于参考模型的模型。具有路径相关损失函数5且η：=E（f（Z））的非参数稳健模型风险度量*（T）））。证据（1） 给定Z，Z∈ Zη，观察df（QλZ+（1-λ） ZkP）=Df"AλQZ+（1- λ） QZ公司P"a=E"Af"AλZ（T）+（1- λ） Z（T）"a"a6 E"Aλf"AZ（T）"a+（1- λ） f"AZ（T）"a=λE"Af"AZ（T）"a+（1- λ） E"Af"AZ（T）"a"a=λDf（QZkP）+（1- λ） Df（QZkP），对于所有λ∈ [0，1]，利用f的凸性和Jensen不等式。由于f（QZkP）6η和Df（QZkP）6η，上述不等式导致Df（QλZ+（1-λ） ZkP）6η。这意味着λZ+（1- λ） Z∈ Zη，通过f作用λZ+（1- λ） Z∈M+（1）。（2） 给定Z，Z∈ Zη，观察等式λZ+（1-λ） Z"Al（T，·）"a=E"A"AλZ（T）+（1- λ） Z（T）"al（T，·）"a=λE"AZ（T）l（T，·）"a+（1- λ） E"AZ（T）l（T，·）"a=λEQZ"Al（T，·）"a+（1- λ） 方程（E）l（T，·）"a，对于所有λ∈ [0, 1]. Henc e，函数Zη Z 7→ 方程（E）l（T，·）"a是线性的，因此也是凸的。（3） 对于给定η∈ (0, ∞), 常数过程Z=1满足Df（QZ | | P）=Df（P | P）=0<η。

它也是subs et Zη的一个内点 M+（1）。根据Slater\'scondition（Slater 2014），强二元性成立。（4） 设η：=E（f（Z*（T）），并观察∈(0,∞)d（θ，η）6 d（θ*, η） =supZ∈M+（1）方程z"Ablθ*（T，Z）"a+ηθ*= EQZ*"Ablθ*（T，Z*)"a+ηθ*= EQZ*"Al（T，·）"a-θ*EQZ*切夫（Z）*（T））Z*（T）a+ηθ*= EQZ*"Al（T，·）"a-θ*E（f（Z*（T））+ηθ*= EQZ*"Al（T，·）"a6 supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）引理2.1（3）然后确保infθ∈(0,∞)d（θ，η）=EQZ*"Al（T，·）"a=supZ∈ZηEQZ"Al（T，·）"a要了解这一点，考虑连续函数H:M+（1）→ 定义为H（Z）=E（f（Z（T））（我们赋予M+（1）由度量d（Z，Z）=E（| f（Z（T））导出的拓扑- f（Z（T））|）。连续性确保S：=H-1((-η、 η）是M+（1）的一个开放子集。福瑟莫尔，S {Z∈ M+（1）| Df（QZ | | P）<η} Zη表示S int（Zη）。作为S中的一个元素，常数过程Z=1是Zη的一个内点。6于峰，结果如下。对于方程2.2中的原始问题，引理。2.1（4）表示存在解Z*它位于Zη的边界上，给定η>0（即e（f（Z*（T））=η），只要Z*solvesmaxZ公司∈M+（1）方程z"Ablθ（T，Z）"a（2.5）对于某些θ∈ (0, ∞). 在以下上下文中，我们将考虑等式2.5中的对偶问题，而不是原始问题。为简单起见，我们将θ>0视为给定的表达式Blθbybl.描述最坏情况预期损失本节提供了（2.2）中所述最坏情况预期损失问题解决方案的隐含特征。给定t∈ [0，T]和'Z∈ M+（1），定义时间t之前的'Z一致鞅密度族byZ（t，'Z）：={Z∈ M+（1）| Z（t）=Z（t）}。请注意，Z（0，\'Z）=M+（1），因为对于所有Z，Z（0）=1=\'Z（0∈ M+（1）。请注意，Z（t，\'Z）的成员的马尔丁格尔属性确保Z（s）=E"AZ（t）| Fs"a=E"AZ（t）| Fs"a=\'Z（s），对于所有Z∈ Z（t，(R)Z）和所有s∈ [0，t]。

换句话说，Z（t，’Z）是在区间[0，t]上与‘Z’一致的一组过程inM+（1）。此外，我们观察到，对于所有Z，qz（A）=E"AAZ（T）"a=E"AE"AAZ（T）| Ft"a=E"AAZ（T）"a=E"AA'Z（T）"a=E"AA'Z（T），Ft"a=E"AA'Z（A∈ Z（t，(R)Z）和所有A∈ 也就是说，与Z（t，(R)Z）的成员相关的概率度量在所有Ft可测量事件上彼此一致。这是一组前瞻性的可行替代措施（从时间t开始）。给定“Z”∈ M+（1），我们现在定义F适应过程（“L（t，(R)Z））t∈[0，T]by“L（T，\'Z）：=最大值∈Z（t，’Z）方程Z"Abl（T，Z）-bl（t，Z）Ft"a（3.1）适用于所有t∈ [0，T]，假设最大值始终存在。自b起l（·，Z）是一个非对抗性函数满足Bl（0，Z）=0 P-a.s.和Z（0）=1意味着QZ | F=P | F，它遵循bl（0，Z）=0 QZ-a.s.以及。因此，“L（0，(R)Z）=maxZ∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）F"a=最大值∈M+（1）方程z"Abl（T，Z）"a，（3.2）其中，第二个等式来自于Fand fta是独立的sigma代数这一事实，关于QZ。这只是等式2.5中给出的问题。首先观察Z（0）=1意味着对于所有A，QZ（A）=P（A）=0或QZ（A）=P（A）=1∈ F、 因此，如果∈ 风扇B∈ 英尺，我们得到0.6 QZ（A∩ B） 6 QZ（A）=0=QZ（A）QZ（B），具有路径依赖损失函数的非参数稳健模型风险度量7定义3.1。最坏情况下的密度过程是一些Z*∈ M+（1）s解决最大化问题（3.1）w.r.t Z族*-一致鞅密度：EQZ*"Abl（T，Z*) -bl（t，Z*)Ft"a=“L（t，Z*) （3.3）对于每个t∈ [0，T]。假设Z*∈ 根据上述定义，M+（1）是最坏情况下的鞅密度，然后是Z*解决等式2中的问题。将式3.2替换为式3.2，即可证实这一点。