随机波动下外汇期权的定价

为了数值求解（2.4），我们将这个无界域截断为一个有限域，如下所示：[τ，s，v，rd，rf]∈ （0，T）×0，smax）×0，vmax）×[-rdmin，rdmax]×[-rfmin，rfmax]≡ （0，T）×Ohm, （3.1）如果子指数s min，max标记适当选择的最小值和最大值。文献[30]表明，欧式普通期权的价格（例如，通过求解（2.4）计算得出）是通过与障碍期权相关联的价格（在对数H中，H是障碍）以指数形式进行估计的，因此，截断域上定义的问题的解仍然存在。更准确地说，【30】中的建议n 3.1表明，持续监控的障碍期权价格可以通过扩展对数障碍来任意调整欧洲期权之一。由于需要一个trunca-ted域来计算障碍期权价格，因此在目前的欧式期权情况下，一旦截断边界距离兴趣点足够远，则截断该域是有效的。我们强调，选择上截断边界smax、vmax、rdmax=-rdmin，rfmax=-距离较远的rfmin有效地减少了将边界条件从原始边界移动到艺术边界的错误。然而，相反，更大的计算域需要更大的离散化宽度。因此，这增加了导数近似的误差，或者需要大量离散点才能获得所需的精度。计算节点的非等距分布可以克服这个问题，同时使离散化和计算机编码更加困难。这将在第4.3.2节高斯RBF–FD权重的数值分析中详细讨论。虽然存在各种常用的基函数选择，如[11]，但在本文中，我们仅使用高斯径向基函数。

其他选择的调查可以以类似的方式进行。选择高斯径向基函数的动机部分是因为在模型（2.2）中，利率具有边际正态分布。然而，这对于RBF方法的本地化版本来说并不重要。高斯径向基函数定义为[5]：φ（kx- xik）=exp“-kx公司- xikc公司#, i=1，2，m、 （3.2）其中c是形状参数，x是表示（四维）空间中一点的坐标向量，k·kis是该空间中的Lnorm，xi，i∈ [1，m]是一组离散化（或所谓的集合）节点。根据RBF–FD方法，我们需要在给定模板上近似（2.4）中的导数，该模板可以使用离散化节点的子集来构造。为此，将为模具中的每个节点指定一定的权重。反过来，为了确定RBF–FD公式（对于一阶导数）的权重，我们在一维中考虑三个点模板，x是相应的坐标：{xi- h、 xi，xi+ωi+1h}，ωi+1>0，h>0，（3.3），其中ωiis是对应的第i个权重，h是一个常数步。显然，（3.3）只是表示非均匀网格的另一种方式。对于标准FD方法使用的多项式函数，该网格上的一阶和二阶导数以及混合导数的近似值是众所周知的[5，27]。6 Soleymani和ItkinAs应用于RBF–FD方法，三点非统一m模板【xi】-hi，xi，xi+hi+1]可以首先表示为（3.3）。然后，根据确定权重ωionce h的theRBF的显式形式，可以导出具有必要阶数的导数的近似值<< c下面我们以明确的形式提供这些表达式。定理3.1。

考虑一阶导数f′（xi）的三点近似值 αi-1f（xi-1） +αif（xi）+αi+1f（xi+1）=^f′（xi），2≤ 我≤ m级- 1，（3.4）其中m是该维度中的节点总数，i穿过所有内部节点（因此不包括边界节点）。对于（3.2）中的充分光滑函数f和高斯RBF，如果权重定义为αi，则该近似值具有二次收敛速度-1=ωi+1h（2ωi+1- 5) - 3c3ch（ωi+1+1），（3.5）αi=ωi+1- 1hωi+1-2h（ωi+1- 1） 3c，（3.6）αi+1=h（5ωi+1- 2） c+ωi+1[3h（ωi+1+1）]-1.（3.7）证明见附录A。（3.4）中的三点近似值在给定节点s上产生一阶导数的稀疏矩阵。这类似于标准FD方法，但另一个优点是RBF–FD方法可以自然处理分散的节点布局。不幸的是，对于二阶导数，三点模板只能得到一个Firstorder近似值。然而，如果我们在模具中加入更多的点，这个问题就可以解决。其想法是考虑四个相邻点（对于内部节点），以解决上述问题。定理3.2。考虑以下节点集：{xi-2、xi-1，xi，xi+1}={xi- wi公司-2h，xi- h、 xi，xi+wi+1h}，wi-2，wi+1，h>0。（3.8）还考虑一些函数f（x）f′′（xi）=βi的二阶导数的以下近似值-2f（xi-2） +βi-1f（xi-1） +βif（xi）+βi+1f（xi+1），3≤ 我≤ m级-1.

（3.9）当权重定义为βi时，充分光滑函数f的近似为二次收敛-2=n（wi+1- 1)2c- hwi+1+ 3hwi-2（wi+1- 1) (3.10)- hwi公司-2（（wi+1- 3） wi+1+1）onch（wi-2.- 1） wi公司-2（wi-2+wi+1）o-1，βi-1=uch（wi-2.- 1） （wi+1+1），（3.11）βi=uchwi-2wi+1，（3.12）βi+1=n（wi-2+ 1)2c+hwi-2.+ 3h（wi-2+1）wi+1（3.13）- h（wi-2（wi-2+3+1）wi+1 NCHWI+1（wi+1+1）（wi-2+wi+1）o-1，随机波动率和利率下的外汇期权定价7，其中u=-wi+12c+hwi-2（wi-2+3+3小时+ wi公司-2.2c+hwi-2+3小时+ h（wi-2+1）wi+1u=-wi公司-2.2c+h（wi+1- 1） wi+1+小时+ （wi+1- 1)2c- hwi+1+ h（wi+1- 1） wi公司-附录B.3.3形状参数给出了该定理的结果。对于局部RBF–FD格式，形状参数的值所起的作用不如全局RBF方法那么重要。然而，它的精确选择可能有助于获得更好的近似精度。这里，我们建议以自适应方式选择定理3.1、3.2中用于计算重量的形状参数。这意味着形状参数适用于每个空间变量（每个维度），也是相应维度中离散化点数量的函数。这种依赖关系的具体形式如下：cs=2 max{s} ，cv=3最大值{v} ，crd=3最大值{rd}，crf=3最大值{rf}，（3.14）其中svrdand公司rf分别是沿s、v、Rd和rf的增量向量。与经典方法相比，这种选择形状参数的方法具有优势，其中s形状参数要么是固定的，要么是基于插值矩阵的条件数选择的。选择cs、cc、crd、crfin（3.14）的值，以满足定理3.1–3.2的条件。同时，我们不希望它们太大，以消除精度损失。

还记得，当（3.14）中的形状参数较高时，例如，一旦c与h显著不同，则BF–FD近似值（3.5）–（3.7）&（3.10）–（3.13）趋向于非均匀网格上定义的FD公式[27]。4离散化。为了数值求解（2.4），我们需要在时间域和空间域对其进行离散化。对于时间离散化，我们采用直线法（MOL），[44]。第3节中高斯RBF–FD方案引入的权重可用于（2.4）的空间离散化。我们的自适应离散化思想，即通过关注解的重要区域，不仅要在解的某些问题区域具有理想的精度，而且要减少必要的离散化节点的数量，以便后续处理中等规模的离散化方程系统。（2.4）中每个微分算子的离散化产生稀疏微分矩阵（DM）。对于对流项（一阶导数），该矩阵取矩量m=（αi，j）m×m=αi，jfrom（3.5）i=j，αi，jfrom（3.6）i- j=1，αi，jfrom（3.7）j- i=1,0，否则。（4.1）对于4D问题，这种离散化是使用自然法则以系统的方式进行的，以便获得更快的速度。4D网格的每个点对应于DM的一行。通过这种方式，所有权重系数重新聚集到一个Spar e（带状）矩阵中。重量（3.5）–（3.7）可用于第2、3、…、，m级-1、如果边界条件以Dirichlet形式提供，则不需要第一行和最后一行。然而，如果我们有一个Neumann边界条件（这是利率的合理选择），那么对于DM（4.1）的第一行和最后一行，应重建8个Soleymani和Itkinweights，因为在这种情况下，模板将包括所选计算节点集外侧的重影点。

例如，这里使用RBFFD方法时，只使用两个节点，而不是三个节点。在这样的amanner中，我们得到α1，1=αm，m-1=hc-h、 α1,2=αm，m=h。（4.2）这种方法预测了DM的三对角结构，但严格地说，打破了边界处近似的第二阶。或者，可以用单侧三点近似代替边界处的中心近似，因为这样矩阵仍然保持稀疏（而不是三对角）。利用定理3.2中关于微分项（第二阶导数）的结果，我们得到以下DMMss=（βi，j）m×m=βi，jfrom（3.10）i=j，βi，jfrom（3.11）i- j=1，βi，jfrom（3.12）j- i=1，βi，jfrom（3.13）i- 否则，j=2,0。（4.3）同样，如果是Neumann边界条件，第一行和最后一行的方案应该改变。为此，在本文中，我们再次使用RBF–FD近似值β1,1=βm，m-1=-4c，β1,2=βm，m=c.（4.4）此外，对于DM的第二行，也应更改（4.4）中的离散化，因为四点模具现在包括一个重影点。例如，我们可以使用三个节点而不是四个节点来保持DM的对角线结构，但要放松二阶近似，或者使用单边近似。前一种基于模板{x-wh，x，x+h}产生以下表达式β2,1=22(ω- 2） ω+5c+h[3(ω+ 1)]-1,β2,2= 2-2ω+ ω- 2c-h类[3ω]-1，β2,3=[6c+2h（ω（5ω- 4） [3chω（ω+1）]-1.（4.5）基于（4.3）–（4.5）生成的DMs也是稀疏的（带状的）。（2.4）中交叉导数项的空间离散化可以通过使用DMs的Kronecker积来完成，[33]。

因此，通过这种方式，可以使用（4.1）作为构建块来找到校正近似值的权重。将（2.4）中算子L的对流、扩散和源项的权重集合在一起，得到以下ODEV′（τ）=a（τ）V（τ），（4.6）系统，其中a（τ）是包含所有空间维度生成的行和列的整个矩阵（spar se）。权重使用d构造该矩阵，使得该方法的精度与全局RBF方法的精度相似。同时，A（τ）的解析结构显著降低了求解的计算成本（4.6）。此外，值得一提的是，对于本文考虑的欧式期权，（2.5）、（2.6）中的支付函数在一阶导数中具有不连续性，这阻碍了高阶收敛。在[36]中，这些函数使用笛卡尔网格的一种稳定技术进行平滑，即使用通过傅立叶变换定义的四阶平滑算子。然而，这里我们不使用smo othing。随机波动和利率94.1边界条件下的外汇期权定价。对于欧洲香草选项，s空间域中的常见边界条件为v（τ，s，v，rd，rf）=0，s=0，Vs，s（τ，s，v，rd，rf）=0，s=smax。（4.7）此外，由于利息率边界处的期权价格通常未知，标准做法是在下限和上限处设置恒定流量，即使用齐次纽曼边界条件Vri，ri（τ，s，v，rd，rf）=0，ri={ri，min，ri，max}，i∈ [d，f]。（4.8）众所周知，如果Felle r条件满足，则v=0时无需边界条件，应使用值v=0代入的PDE本身作为边界条件，参见例如[28]和其中的参考文献。

但是，如果不满足填充条件，则必须将边界条件设置为v=0。这通常是一种反射或死亡状态[6]。在v=Vmax时，有多种方法来设置边界条件。一种方法是继续类似于（4.8）和setVv，v（τ，s，v，rd，rf）=0，v=vmax。（4.9）或者，在【20】中，作者建议使用v（τ，s，v，rd，rf）=s，v=vmax，（4.10），这意味着在v=vmax时，Vv（τ，s，v，rd，rf）=0。根据我们的经验，（4.9）与（4.10）相比，提供了更准确的结果，例如，对于Hesto n模型。这是因为要达到足够的准确度（4.10）需要截断边界以保持完整性，而（4.9）放宽了这一要求。通过按[49]中的方法引入边界，我们得到了以下线性正交（耦合）常微分方程组˙V（τ）=A（τ）V（τ），（4.11），应根据（2.5）或（2.6）中非光滑Payoff函数给出的初始条件来求解。这里，A（τ）是系数矩阵，它包括边界，并且与时间相关。请注意，它是奇异的，因为边界条件直接施加到此矩阵中。显然，（4.11）满足Lipschitz条件，因此，（4.11）的唯一解存在并扩展到整个工作间隔。下面的引理声称（4.11）的解是条件一致稳定的。引理4.1。假设（4.11）中的时间相关矩阵“A（τ）”的大小为N×N，其中N=m×m×m×m。让我们表示“A”的最大和最小逐点特征值*（τ） +(R)A（τ），（4.12）乘以λmax（τ）和λmin（τ）。

如果存在有限常数δ，则（4.11）的解一致稳定，使得（4.12）的最大逐点特征值满足：Zττλmax（χ）dχ≤ δ、 （4.13）对于所有τ，τ，使得0≤ τ≤ τ.该证明的逻辑精神与[42，第133页]中的相似。10 Soleymani和Itkin4.2 Krylov算法用于时间无关的情况。指数时间积分（ETI）方案涉及矩阵指数和相关矩阵函数。这些积分器的一个吸引人的特点是结合了卓越的稳定性和精度特性，后者通常优于标准的显式/隐式时间积分器，请参见[13]。对ETI的兴趣源于Kry-lov子空间技术的高效编程，以计算大型矩阵的矩阵函数。只要耦合系统（4.1-1）与时间无关，就可以通过形式积分（4.11），[41]：V（τ）=eτ′AV（0）来构造解。（4.14）由于“A”非常大且稀疏，计算该解的一种快速方法是依赖Krylov子空间方法。此外，在不丧失一般性的情况下，设τ=1。让我们通过构造Krylov spaceKY=span{V（0），\'AV（0），…，\'AY的正交基来近似（4.14）中的V（τ）-1V（0）}，（4.15），并考虑到Gram–Schmidt的正交化（即Arnoldi算法），[50]。如果V是N×Y矩阵，列为V，V，vY（KY的正交基向量），可以写“AV=V HY+HY+1，YvY+1e*Y、 （4.16）这里hY+1，Y=kVY+1k，Y是相应s步的维数，标量积的数量与Y成正比。e*Y=（1，1，…，1）1×Y。HenceHY=V*\'\'AV。（4.17）事实上，这里的HYis是“A”对KY的限制。应用Krylov方法可以将主要的大规模问题投影到KY子空间上并在其中解决。

当v=βv e，β=kV（0）k时，我们有[52]：v*w=V*e'AV（0）=βV*e'AV e βeHYe。（4.18）考虑到wY=βV eHYe，我们得到wY 五、五*w、 （4.19）其中V V*w是w=e'AV（0）在KY上的投影。事实上，Y远小于n（A的大小），因此，计算e'AV（0）所需的时间是有限的。注意，对于时间步进法，我们需要系统矩阵的最大特征值来选择最佳的时间步长，而在所描述的Krylov模式中，这是不必要的。此外，所描述的算法可以被视为计算某个矩阵函数对表示初始条件的向量的作用。算法1中详细介绍了该算法。使用Krylov近似法，对于大型中等stiff常微分方程组（4.11），可以预期会有相当大的节约，尽管步长的稳定性限制，通常通过显式时间步进法进行求解，或者当隐式方法需要昂贵的雅可比矩阵和线性代数时。对于没有（严格的）稳定性限制的任何步长，它都不需要，例如参见[12]。4.3整合时间相关案例。显式时间积分方法通常需要非常小的时间步长，例如，如果ODE系统是stiff或空间网格在某些点上局部定义，[16]。然而，当系统矩阵的规模非常大时，这种方法消除了随机波动率和利率下外汇期权定价固有的高计算负担11算法1 Krylov计算矩阵指数函数对支付向量作用的方法β=kV（0）k，V=βV（0）o对于j=1:YoVj+1=(R)AVjo对于i=1:johi，j=V*iVj+1oVj+1=Vj+1- hi，jVioendohj+1，j=kVj+1ko如果hj+1，j==0oY=j breakoendoVj+1=hj+1，jVj+1oendoHY=h（1:Y，1:Y）oY=βeHYeowY=V（：，1:Y）Y.隐式方法。