随机波动下外汇期权的定价

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英文标题：
《Pricing foreign exchange options under stochastic volatility and
  interest rates using an RBF--FD method》
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作者：
Fazlollah Soleymani and Andrey Itkin
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  This paper proposes a numerical method for pricing foreign exchange (FX) options in a model which deals with stochastic interest rates and stochastic volatility of the FX rate. The model considers four stochastic drivers, each represented by an It\\^{o}\'s diffusion with time--dependent drift, and with a full matrix of correlations. It is known that prices of FX options in this model can be found by solving an associated backward partial differential equation (PDE). However, it contains non--affine terms, which makes its difficult to solve it analytically. Also, a standard approach of solving it numerically by using traditional finite--difference (FD) or finite elements (FE) methods suffers from the high computational burden. Therefore, in this paper a flavor of a localized radial basis functions (RBFs) method, RBF--FD, is developed which allows for a good accuracy at a relatively low computational cost. Results of numerical simulations are presented which demonstrate efficiency of such an approach in terms of both performance and accuracy for pricing FX options and computation of the associated Greeks.
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中文摘要：
本文提出了一种在考虑随机利率和外汇汇率随机波动的模型中对外汇期权进行定价的数值方法。该模型考虑了四个随机驱动因素，每个驱动因素都由一个随时间变化的漂移It ^{o}扩散和一个完整的相关矩阵表示。众所周知，该模型中外汇期权的价格可以通过求解相关的后向偏微分方程（PDE）来确定。然而，它包含非仿射项，这使得它很难解析求解。此外，使用传统的有限差分（FD）或有限元（FE）方法对其进行数值求解的标准方法存在计算量大的问题。因此，本文提出了一种局部径向基函数（RBF）方法，即RBF—FD，它以相对较低的计算成本获得了较好的精度。数值模拟结果表明，该方法在外汇期权定价和相关希腊货币计算的性能和准确性方面都是有效的。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Numerical Analysis        数值分析
分类描述：Numerical algorithms for problems in analysis and algebra, scientific computation
分析和代数问题的数值算法，科学计算
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Pricing_foreign_exchange_options_under_stochastic_volatility_and_interest_rates_.pdf (1.96 MB)

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关键词：外汇期权 Quantitative correlations Applications Differential

基于RBF-FDMETHODFAZLOLLAH SOLEYMANI的随机波动率和利率下外汇期权定价*和ANDREY ITKIN+摘要。本文提出了一种外汇期权定价的数值方法，该方法考虑了随机利率和外汇利率的随机波动性。该模型考虑了四个随机驱动因素，每个驱动因素由一个It^o与时间相关裂谷的差异表示，并具有完整的相关矩阵。众所周知，通过求解相关的后向偏微分方程（PDE），可以找到该模型中外汇期权的价格。然而，它包含无条件项，因此很难通过分析来解决它。此外，通过使用传统的有限差分法（FD）或有限元法（FE）进行数值求解的标准方法也会带来较高的计算负担。因此，本文提出了一种局部径向基函数（RBF）方法，即RBF–FD，它以相对较低的计算成本实现了良好的精度。数值模拟的结果表明，这种方法在外汇期权定价和相关希腊人计算的性能和准确性方面都是有效的。关键词。外汇期权；随机波动率；多维偏微分方程；RBF–FD方法；随机利率管理科目分类。91G30；65M20；91G201简介。根据纳斯达克的数据，外汇市场是世界上交易最活跃的市场。每天平均交易额超过5万亿美元。相比之下，这一交易量超过全球股票交易量25倍。相应地，外汇期权市场是各种期权中最深、规模最大、流动性最强的市场。因此，外汇期权的数学建模是现代数学金融的一个重要领域。

关于这一领域有大量文献，参见，例如[7,32]及其参考文献。从风险管理的角度来看，外汇模型很有用，因为它们可以帮助我们调查严重市场崩溃对外汇利率的影响。这对于具有流行的提前行权合约特征的长期（20年或更长期限）外汇衍生品而言非常重要，请参见[15，2，9]和其中的参考文献。考虑到大多数外汇期权都是异国情调的，如今，外汇模型的一种常见方法是将基础国内和国外利率（IRs）视为随机的，以及外汇利率本身的波动性[23,34,43]。然而，由于这种复杂性，这种模型下的期权定价需要使用数值方法，更多详细信息请参见[26,3 8,47]和其中的参考文献。虽然蒙特卡罗方法传统上速度较慢，但FD方法受维度过程的影响，而FE方法需要广泛的三角化。因此，文献中已采取各种尝试，以提出一个简单但足够复杂的模型，从而能够捕捉期权价格的市场动态。例如，[21]的作者在国内外利率不变的假设下，改进了外汇环境中的赫斯顿随机波动率（SV）模型[22]。尽管恒定IRs的假设因其简单性而极具吸引力，但实证结果证明，此类模型并不能反映市场现实，尤其是在新一代长期混合外汇产品的情况下。

对于这些产品，汇率和IRs的影响都是至关重要的，因此恒定的IRs假设对于可靠的估值和对冲来说显然是不合适的。*伊朗基础科学高级研究所（IASB）数学系，Zanjan45137–66731（电子邮件：fazlollah）。soleymani@gmail.com & soleymani@iasbs.ac.ir).+纽约大学坦顿工程学院金融与风险工程系，12 Metro技术中心，RH 517E，Brooklyn NY 11201，USA（电子邮件：aitkin@nyu.edu).2 Soleymani和ItkinIn【45】提出了对Heston SV模型的另一个改进。然后，在[19，39]中，通过考虑账户随机IRs并假设所有随机因素都是相关的，进一步扩展了货币衍生品的该模型。[8]中引入了赫斯顿型多因素SV模型。他们的模型在货币之间的三角关系方面是一致的，并允许同时校准三角（如欧元/美元/日元）中涉及的外汇汇率的波动面。尽管进行了这些尝试，但人们认识到，更复杂的模式可能有助于外汇衍生品的建模。特别是，人们对使用四因素跳差模型对外汇衍生品进行建模非常感兴趣，请参见[1]及其参考文献。通常，在这些模型中，即期外汇汇率及其波动率遵循赫斯顿模型的跳跃式扩展[17]，而国内外IRs遵循单因素赫尔-怀特或考克斯-英格索尔-罗斯（CIR）动力学[3，25]。因此，基于这一简短的调查，在本文中，我们考虑了[18]中提出的一个模型。

然而，尽管该论文的作者试图使用一些额外的近似方法使其在分析上易于处理（通过特征函数的闭式解），但在本文中，我们考虑整个模型，也假设所有随机因素之间存在非零相关关系。尽管该模型失去了可分析性，但可以使用一种新的二阶RB F–FD数值模式有效地处理该问题。本文的主要贡献如下：o为了有效解决4D时间相关PDE问题，我们提出了一种自适应（非均匀）离散化方法，以便在保持固定精度的同时尽可能少地使用离散点。我们的本地化DRBF–FD方法将出现在稀疏的材料中通过使用具有三个和四个节点的非等距模板分别逼近函数的一阶和二阶导数，我们证明了ourRBF–FD方法在内部点中获得了二阶收敛提出了一种新的形状参数选择策略。

特别是，形状参数在每个空间变量（每个维度）中都有所不同，并且也是相应维度中离散化点数量的函数建议对偏微分方程的边界条件进行近似，以加快计算速度如果模型的参数已知，并且不需要校准，例如交换选项的项结构，则引入一个简单但有效的想法，通过常量值近似时间独立系数，从而允许离散化的普通微分方程组（ODE）具有常数系统矩阵。例如，与最近的一篇论文【36】（进一步MS）相比，MS使用高阶RBF–FD方法以及非均匀节点布局来处理金融衍生品的数字定价，其区别如下：oMS考虑的是二维问题，而这里我们讨论的是4D问题。o没有以MS为单位给出权重的闭合形式公式，而在这里，我们提供了二阶近似的权重闭合形式表达式MS方法试图在一个点的邻域中计算尽可能多的节点。在这里，我们不这样做。o在我们的方法中，我们以闭合形式导出微分矩阵的诊断元素。因此，当（均匀或非均匀）节点的数量增加时，无需每次构建MS pape r的系统（7）。随机波动和利率下的外汇期权定价3这项工作的剩余部分组织如下。在第2节中，我们描述了该模型并提供了一个偏微分方程，因此外汇普通期权的价格可以在适当的边界和初始条件下进行求解。在第3节中，提出了高斯RBF–FD方法对一阶和二阶导数的特殊权重。

结果表明，利用这些新的权值，该方案达到了二阶收敛。然后，第4节详细讨论了偏微分方程的数值解。分析了该解的收敛性和稳定性。第5节介绍了数值讨论和报告。通过计算，我们描述了SV和IRs下定价的新数值程序的准确性，并研究了特定模型参数的影响。文中还讨论了一些渐近解。第6节总结并概述了未来可能的工作。2型号。如前所述，在本节中，我们将讨论一个四因素r模型，其中所有过程都由It^o的漂移差表示。例如，可以在[2]中找到关于四因素模型及其在实践中的有用性的扩展讨论。我们考虑了国内和国外IR过程，rt、dand和rt，F遵循赫尔-白（短速率）动力学，分别根据其相应的现场测量（Q-国内和Z-fo统治）确定：drt，d=λd（θd（t）- rt，d）dt+ηddWQt，d，drt，f=λf（θf（t）- rt，f）dt+ηfdWZt，f，（2.1），其中WQt，dand，WZt，分别是Q和Z下的布朗运动。参数λd，λf确定平均回归到平均回归水平θd（t），θf（t）的概率，参数ηd，η表示波动率的波动率，或vol–of–vol。考虑即期外汇汇率率，st，单位为本币，单位为外币。

我们遵循[18]，其中（2.1）中利率的动力学与st的Heston模型相结合（因此整个模型都是c alledFX–HHW），假设所有随机因素之间存在非零相关性dstst=（rt，d- rt，f）dt+√vtdWQt，s，（2.2）dvt=κ（(R)v- vt）dt+γ√vtdWQt，v，drt，d=λd（θd（t）- rt，d）dt+ηddWQt，d，drt，f=[λf（θf（t））- rt，f）- ηfρs，f√vt]dt+ηfdWQt，f，st∈ [0, ∞), rt，d∈ (-∞, ∞), rt，f∈ (-∞, ∞), v∈ [0, ∞), t型∈ [0, ∞).在这里，所有随机过程都是在国内风险-非均衡测度下定义的，Q和γ是过程vt的波动性-非波动性参数。在国内-现货测度下，rt的漂移，F包含一个附加项-ηfρs，f√vt，见【18】。与动力学相关的全相关矩阵（2.2）readshdWtdWti公司=1ρs，vρs，dρs，fρs，v1ρv，dρv，fρs，dρv，d1ρd，fρs，fρv，fρd，fdt，（2.3），其中Wt=【WQt，s，WQt，v，WQt，d，WQt，f】*, 和所有元素ρi，j，i，j∈ 相关矩阵的[s，d，f，v]是常数。（2.2）中所有过程的初始值：s、r0、d≡rd、0、r0、f≡ rf、0、v是模型的参数。

为了保证瞬时方差的非负性，假设满足标准伐木条件，即2κθ/γ>1，[31]。4 Soleymani和Itkin根据标准的无套利论证，可以为FX–HHW模型推导定价PDE，并读取[1 8，26]：五、τ=LV，（2.4）LV=sv五、s+γv五、v+ηd五、rd+ηf五、rf+ρs，vγsv五、sv+ρs，dηds√v五、srd+ρs，fηfs√v五、srf+ρv，dγηd√v五、vrd+ρv，fγηf√v五、vrf+ρd，fηdηf五、研发部射频+（rd- rf）s五、s+κ（(R)v- 五）五、v+λd（θd（τ）- rd）五、研发部+λf（θf（τ）- 射频）- ρs，fηf√v五、射频- rdV，其中V=V（τ，s，V，rd，rf），τ=T- t是反向时间，L是二阶线性微分算子。（2.4）中的偏微分方程应根据初始和边界条件求解。普通看涨期权的初始条件为：V（0，s，V，rd，rf）=（s- E） +，（2.5），普通普通认沽期权为：V（0，s，V，rd，rf）=（E- s） +，（2.6），其中E为期权行使。第4.1.3节（2.4）的数值解更详细地讨论了边界条件。多维4D PDE（2.4）包括非有效项，即平方根和乘积。因此，求解它需要一些数值方法（参见[20，46]），如FD或meshfr e RBF方法。同时，这个时间相关问题存在四个空间变量以及六个混合导数项，这意味着任何数值方法都是昂贵的。例如，可以考虑使用FD方法（尽管文献中尚未研究）或FEmethod（例如，55）对（2.4）进行空间离散化。

但对于四维问题，这些方法已经摆脱了高计算负担（例如，由于维数诅咒）。去年，RBF方案在计算金融领域获得了很大的兴趣，[24，40]，因为使用RBF，只需使用很少的离散化节点即可构建高分辨率方案。这在解决各种多维问题时尤其有用，例如，对于设置了多个随机因素的模型。对于一个或多个空间维度的期权定价问题，基于RBF近似构建的无网格方法（特别是局部方法）的性能优于标准FD方法，参见例如[9]和其中的参考文献。当使用RBF配置方法时，主要的困难是必须反转由于全局RBF支持而产生的病态矩阵。作者[53]讨论了另一种使用RBF求解偏微分方程的方法，即以与传统FD格式相同的方式构造局部支持的近似导数的算子。他们的方法被称为RBF–FD方法。该方法是一种局部方法，导致spa rse线性s系统，与全局RBF–方案相反，全局RBF–方案导致病态稠密矩阵系统[37]。因此，局部化方法不仅可以提供从RBF函数中继承的高精度，而且可以提供稀疏结构，使其能够有效地解决高维问题。随机波动和利率下的外汇期权定价53.1本地化。我们要记住，（2.4）定义在无界域上[τ，s，v，rd，rf]∈ （0，T）×[0，∞)× (-∞, +∞)根据初始条件g（·）asit在（2.5）–（2.6）中定义。