随机波动下外汇期权的定价

此外，ex-plic it方法易于实现。因此，我们在时间相关的情况下应用这类最有效的方法之一，如下所述。让我们注意到Vι是问题的近似解，与精确值V（τι）相反。让我们也考虑具有时间步长的+1个相等的时间节点τ=T/>0，因此τ=ιτ, 0 ≤ ι ≤ . 为了近似时间相关问题（4.11）的解决方案，我们使用了一种显式修改的中点方法，首先应用中点方案[5 1]：Z=V（0），（4.20）Z=V+τ′A（τ）V，Zι+1=Zι-1+ 2τ′A（τι）Zι，ι=1，2， - 1、Vι=Zι+Zι-1+ τ′A（τι）Vι.这里Z是中间近似值，以τ、 Vι是V（τι）的最终近似值。除第一点和最后一点外，该方法基本上是一种中心差分或中点法，因此提供了时间上的秒近似值。在[49，第119-123页]中可以找到该方案在其改进稳定性区域的简单而有效的实现。选择此解算器的动机是在spa ce和时间上都有一个一致的二阶方案，这是目前实践中的标准要求。（4.20）也是许多标准数学软件的一部分，例如，在Wolfra mMathematica中，这可以通过以下调用完成：方法->{“FixedStep”，“StepSize”->\\Delta\\tau，方法->{“ExplicitModifiedMidpoint”}}4.4时间相关函数的选择。我们将（2.4）中的函数θd（τ）和θf（τ）定义为θd（τ）=- e类(-τ），θf（τ）=- e类(-τ），（4.21），其中, , 和, , 是通过校准市场数据可以找到的六个常数。然而，为此目的使用不同到期日的掉期期权12 Soleymani和Itkin可能会导致校准不良。

因此，另一种方法是用与可用到期日相对应的饼图常量结构替换（4.21）。值得一提的是，我们的模型有16个参数，因此模型的校准可能很耗时，甚至不稳定。然而，如果模型的参数已知，并且不需要校准（例如，交换选项的术语结构），则可以替代（4.22），假设θd（τ）和θf（τ）在时间上是常数。我们的想法是将这些常数的值取为τ=1附近泰勒级数展开式（4.21）的第一项，并获得θd（τ） - e-, （4.22）θf（τ） - e-.这种方法并不实用，因为以这种形式存在的ag模型无法预测掉期期权的期限结构。因此，在本文中，这种简化仅用于测试所提出的方法，并研究其收敛性和性能。希望在时间相关参数θd（τ）和θf（τ）的一般情况下，假设该方法的特性与本工作中发现的特性接近。5个数值实验。在本节中，我们提供了通过使用建议的s模式（进一步称为PM）获得的计算结果。该代码在Wolfram Mathematica 11.0[14]中实现，并使用插值在空间/时域的任何点查找所需的选项值。在下文中，我们报告了以下仪器的（2.4）解决方案1。表5.1中给出的模型参数的欧洲普通看涨期权，T=1年。参考溶液Vref（T、E、v、0.024、0.024） 8.420安ndVref（T、E、v、0.1、0.1） 7.888公顷是通过使用一个非常固定的网格获得的。表5.1中给出了模型参数的欧洲香草看跌期权，但T=2年。

此处参考值为：Vref（T，E，v，0.024,0.024） 12.528和Vref（T、E、v、0.1、0.1） 10.594.3. 表5.2中给出了g型iven参数的欧洲普通看涨期权。这里的参考原则是：Vref（T，e，v，0.024，0.024） 3.999和Vref（T、E、v、0.1、0.1） 3.929.在所有这些数值实验中，模型的相关结构定义为asR=1.-0.4-零点一五-0.15-0.4 1 0.3 0.3-0.15 0.3 1 0.25-0.15 0.3 0.25 1. （5.1）T，yr E，$γκ'vηdηfrd，0rf，01,2 100 0.3 0.5 0.1 0.007 0.012 0.1 0.1vλdλf0.04 0.01 0.05 0.05 0 0 0.05 0 0表5.1：用于数值试验1和2的模型参数。随机波动率和利率下的外汇期权定价13T，yer E，$γκ'vηdηfrd，0rf，00.25 100 0.3 0.5 0.1 0.007 0.012 0.1 0.1vλdλf0.04 0.01 0.05 0.074 0.014 2.10 1.0 0.5 0.5表5.2：用于数值试验3的模型参数。在每一个数值实验中，除了期权价格，我们还计算了他们的希腊人。提醒一下，它们是各种模型参数下期权价格的衍生品，是对冲与这些参数的市场变化相关的期权组合风险的一个非常重要的工具[54]。希腊人的计算对于任何数值方法来说都是一个挑战，因为期权价格本身的良好近似值并不能保证希腊人的良好近似值。请注意，我们没有将我们的结果与[56]中的结果进行比较，因为后者只包括两个和三个因素模型。如第2节所述，我们还不了解文献中提出的任何数值方法来求解（2.4）。因此，为了进行比较，我们还实现了FD方法。该方法使用三点模板和一阶和二阶导数的中心近似，九点模板用于混合d阶导数的近似。

众所周知，侧向近似可能是不稳定的，并且不保持解的积极性，请参见[27]和其中的参考文献，我们将在下文给出结果时对此进行更详细的讨论。我们使用统一的网格和与我们的RBF-FD方案相同的时间步进解算器。边界条件也与P M施加DF的条件完全相同。总的来说，该方案提供了每个空间维度的二阶近似，而时间近似的阶数取决于使用的时间解。我们不使用任何交替方向隐式（ADI）方法，因此所有空间节点都被组合成一个一维向量。选择这种方法是为了准确地模拟我们使用RBF–FD方法所做的工作。此实施进一步称为FDKM。我们还设定了“精准目标”- > 5，精度高- > 5“在我们的代码中，尽可能加快进程。为了研究我们方案的收敛性，我们计算了标准相对误差（RE）和收敛速度（ROC）ROC对数V（4m）- V（2m）V（2m）- V（m）, （5.2）式中，V（m）是通过使用多节点得到的问题的解。该表达式假设ROC是针对每个空间维度单独研究的。所有计算均在Windows 7 Ultimate、Intel（R）Core（TM）i5–2430M CPU 2.40GHz处理器、HDD内存和16.00 GB RAM下完成。失效时间以秒为单位报告，并且在整个表格中使用符号aE- B平均值a·10-b、 s、v、Rd和Rf的非等距节点定义如【4，20】si=ξssinh西辛-1（ξs（smax- E） （）- (1 - xi）新罕布什尔州-1（ξsE）+ E、 （5.3）vj=ξvsinh{yjsinh-1（ξv（vmax- v） （）- (1 - yj）新罕布什尔州-1（ξvv）}+v，rd，k=rd，0+rd，maxξrdsinh（sinh-1.rd，最小值- rd，0d+ （k）- 1)ζd），rf，l=rf，0+rf，最大ξrfsinh（sinh-1.rf，最小值- rf，0d+ （l）- 1)ζf），14 Soleymani和ItkinFig。

5.1：实验1中的数值解通过使用PM获得，m=34，m=24，m=m=20。此处，第一行左图为子集V的V（T、s、V、rd0、rf 0）∈ [0，1]，第一行-右图为V（T，s，V，rd0，rf 0），表示更大的域V∈ [0, 10]. 其他曲线图表示：V（T，s，V，rd，rf 0）-第二行-左，V（T，E，V，rd，rf 0）-第二行-右，V（T，E，V，rd，rf）-第三行-左，V的增量（T，s，V，rd0，rf 0）-第三行-右，V的织女星（T，s，V，rd0，rf 0）-第四行-左，V的瓦纳（T，s，V，rd0，rf 0）-四投-右。哪里ζd=m- 1.新罕布什尔州-1.rd，最大值- rd，0d- 新罕布什尔州-1.rd，最小值- rd，0d, （5.4）随机波动和利率下的外汇期权定价15ζf=m- 1.新罕布什尔州-1.rf，最大值- rf，0d- 新罕布什尔州-1.rf，最小值- rf，0d, （5.5）米，米，米，米>> 1, 1 ≤ 我≤ m、 1个≤ j≤ m、 1个≤ k≤ m、 1个≤ l≤ m、 和[0，1]上的xi，yjare一致点，参见[48]了解此类非一致鸟的收敛性质。这种网格生成的目的是使尽可能多的计算节点接近最重要（或有问题）的节点。特别是，它们包括接近执行价格的点（其中支付函数不平滑）；或者在下边界，方差是否消失；或在与国内外利率初始值相对应的点。在我们的实验中，我们选择将计算边界设置为smin=vmin=0，smax=14E，vmax=10，rd，min=rf，min=-1，rd，max=rf，max=1。当根据（5.3）生成节点时，我们使用ξs=0.01，ξv=50，ξrd=ξrf=500。当使用RBF–FD方法时，计算节点的放置有一定的自由度。此外，在靠近边界的区域中，基于最近邻居的模板会自动变形，因此无需特殊处理来计算这些区域中的差异权重。

然而，从计算效率的角度来看，存在一个共同的直觉，即在RDR和rfdirections中使用的离散化节点比v方向少，在v方向上使用的离散化节点比在s方向上使用的离散化节点少。正如sugg在[35]中所述，为了节省计算时间，另一种施加（4.7）–（4.9）的方法如下。可以考虑位于边界处的配置节点的原始PDE，并使用Ga-ussian RBF–FD方法将其离散化。然后，这些离散化方程可以用作偏微分方程的近似边界条件。在下文中，我们将此方法称为ABC条件。下面，在我们处理欧式普通看涨期权（1和3）的数值实验中，我们只考虑Dirichlet边界条件。相反，对于2中的欧式普通看跌期权，出于比较的原因，所有节点在边界处的位置，我们使用ABC条件。如表5.5-5.6和图所示。5.1–5.2，从性能的角度来看，这种方法在计算上是有效的，同时提供几乎相同的解决方案精度。mhmincsVROC VROC8 13.02 1834.59 8.25786-7.73678 16 5.84 1130.55 8.45893-7.92453 32 2.78 627.29 8.42466 2.55 7.89247 2.5564 1.36 330.29 8.41957 2.75 7.88750 2.68128 0.67 169.45 8.42030 2.79 7.88808 3.09 ROC 2.7的平均值表5.3：使用PM在数值实验（1）中观察到的s方向ROC。5.1结果。这里，我们讨论了数值实验1-3中得到的结果。表5.5中给出了计算的RE与OFFDKM和PM方法的参考值。这里V=V（T，E，V，0.024，0.024），V=V（T，E，V，rd0，rf0），和，是相应的REs。

在表5.3中，给出了PM方法的ROC，这些测试与s维度中常见的节点数不同。可以观察到二阶收敛（实际上是2.7）。PM方法不包括任何特殊考虑，以保持溶液的正性，如在[26]中所做的那样。因此，为了验证这一点，我们的结果是16 Soleymani和ItkinFig。5.2：实验2中的数值解，通过使用m=28、m=20、m=m=16的PM获得。此处，第一行左图为V（T、s、V、rd0、rf 0），表示asubset V∈ [0，1]，第一行-右图为V（T，s，V，rd0，rf 0），表示更大的域V∈ [0, 10]. 其他曲线图表示：V（T，s，V，rd，rf 0）-第二行-左，V（T，E，V，rd，rf 0）-第二行-右，V（T，E，V，rd，rf）-第三行-左，V的增量（T，s，V，rd0，rf 0）-第三行-右，V的织女星（T，s，V，rd0，rf 0）-第四行-左，V的瓦纳（T，s，V，rd0，rf 0）-四投-右。图5.1中还显示了Delta、Vega和Va nna的图形，它们都显示了数值解的稳定行为。随机波动和利率下的外汇期权定价17Fig。5.3：基于FDKM的FX选项2不稳定数值解，m=28，m=20，m=16。V（T，s，V，rd0，rf0）（左）和V（T，E，V，rd，rf0）（右）。嗯，嗯τVVEl。时间8 6 6 6 0.01 4.120 4.048 3.04E-2 3.05E-2 3.2110 8 8 0.005 3.746 3.681 6.30E-2 6.28E-2 19.1112 10 10 0 0.0025 3.805 3.738 4.84E-2 4.83E-2 88.7716 14 10 0.002 3.975 3.906 5.88E-3 5 5 5.82E-3 256.3020 14 10 0 0.000625 4.006 3.936 1.75E-3 1.80E-3 3 647.73表5.4：实验3中获得的RE是不同方向节点数和经过时间的函数。时间（年）0.0450.0500.0550.0600.0650.0700.075时间依赖时间独立图。

5.4：实验3参数的时间依赖函数（4.21）及其常数近似值（4.22）。对于欧洲香草认沽期权2，结果如表5.7所示。在这种情况下，期权到期时间较长，这显然会影响系统矩阵的la rgestiegen值。注意，在实验1-2中，我们处理的是（4.11）中的常数系统矩阵，因此可以应用算法1中描述的Krylov格式来计算解。本实验中获得的数值结果也如图5.2所示，以证明PMA的有用性以及我们的模型的人工边界的施加方式。图5.3提供了试验2的结果与使用FDKM获得的结果的比较。对于这两种方法，使用Krylov子空间方法作为时间步进解算器。可以看出，FDKM表现出一些不稳定性，甚至在vmax附近出现振荡，而RBF–FD方法在该区域提供了稳定的解决方案。产生这些振荡的一个可能原因是混合导数项的九点近似值，它不表示期权价格的正性。18 Soleymani和Itkin最后一个实验3很重要，因为它给出了与时间相关的系统矩阵，这使得获得数值解的整个过程更加困难。快速Krylov子空间方法不再适用于这里，我们依赖于显式改进的中点格式来随时间推进。由于OFFDKM速度非常慢，因此我们仅使用PM，并在表5.4中报告结果。该方法的收敛行为与之前的实验相似，但对于非常精确的解，需要耗费大量的CPU时间。我们还提供了一个测试，其中恒定平均回归水平在asin（4.22）中获得。

该近似值与时间相关水平的比较如下图所示。5.4. 在恒定水平的情况下，不需要时间步进解算器，可以利用Krylov子空间方法在实际合理的时间间隔内快速收敛。表5.6显示了这种情况下方法的收敛性，与表5.4相比，可以观察到更快的收敛性。由于Krylov方法“无步长”，即对步长没有限制，因此即使在一个时间步长内也可以获得解。然而，对于marchingalong，我们在每种情况下都使用了表5.4中给出的时间步长（4.20）。一旦τ非常小，可以达到预期的二阶近似值。6最后备注。在本文中，我们使用一个包含随机波动率和随机利率的四因素模型来考虑外汇期权的定价。由于该模型是马尔可夫模型，期权价格可以通过解一个抛物线型四维偏微分方程得到。由于模型的复杂性，该偏微分方程应进行数值求解。本文的主要思想是提出一种无网格方法，可以有效地解决这个问题，提供空间和时间上的二阶近似。利用高斯径向基函数构造空间离散化。这是因为对于全局RBF方法，它们提供了与所考虑ed模型中利率边际分布的相似性。然而，我们专注于局部高斯RBF–FD方法，以提供更好的性能。特别地，我们明确地推导了该方法的权值，该方法对于非等距节点具有二次收敛性。时间离散采用直线法。

因此，这种构造导致了一组均匀耦合的常微分方程组，其系统矩阵一般依赖于时间。在这种情况下，使用指数时间积分器来求解系统。然而，如果s系统与时间无关，则应用Krylov子模式以提供快速收敛。Krylov subspa cescheme的一个优点是它的多功能性。此外，还描述了一种用于为ea ch模具选择所涉及形状参数的自适应过程。通过求解偏微分方程计算欧式看涨期权和期权价格的数值实验，证明了该方法的良好性能，同时也证明了近似的二阶性。尽管没有对初始条件（期权支付）进行特别处理，但数值解足够光滑。我们还计算了表现出稳定和定性正确行为的期权希腊。这项工作的一个自然延伸是对pricingAmerican风格外汇期权的方法进行调整。此外，如果ODE系统（4.11）为ISSTIFF，K rylov方法的收敛速度预计会很慢。在这种情况下，可能需要一种（张量型）预处理来计算该矩阵对支付向量的作用。这些将在披露声明中进行调查。作者未报告潜在的利益冲突。随机波动率和利率下的外汇期权定价19附录A.定理3.1的证明。我们使用（3.4），考虑函数f的显式表示，如（3.2）中定义的高斯RBF，并将其应用于点xi-1=xi-h、 xi，xi+1=xi+ωi+1h。由此可获得极限h（3.5）–（3.7）分析中的加权系数<< c、 更严格地说，如果u=h/c，则O（u）级的术语也应为O（h）。后者表示c=O（1/h）。