关于Levy风险模型的红色占用时间

（21）exhe给出的σris的拉普拉斯变换-λσri=Px（σr<eλ）=PxOXeλ>r, （22）可以很容易地从下面的定理2中得到。定理6。对于r，λ>0和x∈ R、 Exhe公司-λσri=e-λrZλ（x）-λΦλWλ（x）-λZre-λuB（λ）（x，u）- λZuB（λ）（x，s）ds杜。（23）使用（18），我们得到了反向占用时间发生的概率的以下表达式。推论7。对于r>0，x∈ R和E[X]>0，Px（σR<∞) = 1.- E[X]W（x）+Zr∧′（x，s）ds. （24）最后，我们指出（24）减少到Pτ-< ∞= 1.-当r时，E[X]W（X）→ 0，并使用停止时间σr接近Px的事实-a、 到经典破产时间τ-（见【14】中的3.3号提案）。2.3.3. 具有指数时滞的巴黎破产。精算学中的另一种破产类型与OXtis的分布密切相关，即（12）中定义的具有指数延迟的巴黎破产时间κqd。[22]首次通过占用时间OX之间的关系给出了指数延迟巴黎破产概率的表达式∞和κq，也就是说，forE[X]>0，q>0和X∈ R、 Px（κq<∞) = 1.- Exhe公司-qOX公司∞i=1- E[X]ΦqqZ（X，Φq）。我们很容易恢复我们的结果。鉴于[14]中的命题3.4，已知κq和σeq具有相同的分布。用指数随机时间eqin（24），Px（κq<∞) = 二甲苯σeq<∞= 1.- E[X]Z∞量化宽松-qr码W（x）+Zr∧′（x，s）dsdr=1- E[X]W（x）+Z∞e-qs∧′（x，s）ds= 1.- E[X]ΦqqZ（X，Φq），其中最后一个等式跟在f rom恒等式（17）之后。2.3.4. 上次最大运行时间。用gt=sup表示X上一次达到峰值的时间s≤ t:Xs=(R)Xs,其中？Xt=sups≤txs是X的运行最大值。数量t- GT是所谓的时间t时的水位下降持续时间（见Landriault等人【24】）。

我们还通过t=Zt[0]表示X在正半行中的占用时间，∞)（Xs）ds。由于X=0，根据斯帕雷·安徒生的恒等式（见Bertoin的引理VI.15[6]），我们知道，对于每t>0，bOXtlaw=Gt。那么我们有p（eλ- Geλ∈ dy）=Peλ-方框λ∈ dy公司= POXeλ∈ dy公司=λΦλWλ（0）δ（dy）+e-λy∧′（0，y）dy,其中倒数第二个等式是由于（14）。2.4. 示例。本小节旨在为定理2的主要结果，即OXeλ定律，提供一些光谱负Lévy过程X的示例。对于Brownian风险过程和Cramér-Lundberg过程具有指数索赔的情况，我们将通过进一步的反演得到Oxtberg定律。在下面的隐式示例中，我们假设X=0。2.4.1. 布朗ri-s-k过程。设Xt=ut+σBt，其中u>0、σ>0和{Bt}t≥0是标准布朗运动。对于该过程，标度函数和拉普拉斯指数的右逆由w（x）=u给出1.- e-2ux/σ, x个≥ 0和Φλ=pu+2λσ- uσ-2，λ>0。此外，由于xs具有正态分布，平均us和方差sσ∧（x，s）=σe-us2σu√r2π+Nu√sσ1.- e-2μσx+ e-2uσx，因此∧′（x，s）=σe-2μσxσe-us2σ√r2π- u？Nu√sσ, （26）其中N=1-N是标准正态分布的累积分布函数。可以很容易地检查-λsΦλ=Z∞e-λtu+σe-（u/2σ）（t-s） p2π（t- s）- u？Nu√t型- sσ!dt。（27）由于X具有无界变化路径（即Wλ（0）=0）和X=0时的（26），因此我们有λ-1便士OXeλ∈ ds公司=e-λsΦλ∧′（0，s）=e-λsΦλσ（σe-（u/2σ）s√2πs- u？Nu√sσ)ds。使用拉普拉斯反演，我们最终得到OXt公司∈ ds公司=σ（σe-（u/2σ）s√2πs- u？Nu√sσ)×（u+σe-（u/2σ）（t-s） p2π（t- s）- u？Nu√t型- sσ)ds，这与Akahori[1]中的结果一致。但我们指出，我们的方法是在光谱负Lévy过程的更一般框架下进行的，而Akahori[1]使用特定的Feynman–Kac公式来计算布朗运动。

特别是，让σ=1，u=0，并积分OXtover定律[r，∞), 一个是著名的保罗·列维的反正弦定律，即POXt>r= 1.-πArcinrrt公司, 0<r<t.2.4.2。指数索赔的Cramér-Lundberg过程。设X是具有指数分布索赔的Cramér-Lundberg风险过程，即Xt=ct-NtXi=1Ci，其中{Nt}t≥0是强度η>0且{C，C，…}的泊松过程是具有参数α的独立指数分布随机变量，也与N无关。X的标度函数已知为beW（X）=c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x个,右逆具有闭式表达式Φλ=2cλ + η - cα+q（λ+η）- cα）+4cαλ.如Loeffen等人【31】所述，我们的PNSxi=1Ci∈ dy！=e-ηsδ（dy）+e-αy∞Xm=0（αηs）m+1m！（m+1）！嗯！，因此，Z∞zP（Xs∈ dz）=Zcsze-ηsδ（cs- dz）+e-α（cs-z）∞Xm=0（αηs）m+1m！（m+1）！（cs- z） mdz！=e-ηscs+∞Xm=0（ηs）m+1m！（m+1）！csΓ（m+1，csα）-αΓ（m+2，csα）!,式中，Γ（a，x）=Rxe-tta公司-1dt是不完全伽马函数，ηcαZ∞e（ηc-α） zzP（Xs∈ dz）=Z∞zP（Xs∈ dz）- （c）- η/α）s。那么，∧′（0，s）=αce-ηsc+∞Xi=0ηm+1rmm！（m+1）！csΓ（m+1，csα）-αΓ（m+2，csα）!.λc=q（λ+η- cα）+4cαλ- （cα- λ -η).由于X是有界变差路径（即Wλ（0）>0），我们有λ-1便士OXeλ∈ ds公司=ΦλWλ（0）δ（ds）+e-λsΦλ∧′（0，s）ds。正如盖林（Guérin）和勒努德（R enuad）[14]所示，我们有Φλc=Z∞e-λtatdt，其中=1.-ηcα++2ηπe-（η+cα）tZ-1.√1.- ue公司-2.√cαηtuη+cα+2√cαηudt。那么，我们还有-λsΦλc=Z∞e-λt在-s（0，t）（s）dt，我们得到了占领时间oxt的分布表达式，它比[14]中的表达式更紧凑：对于t>0，POXt公司∈ ds公司= atδ（ds）+c∧′（0，s）at-s（0，t）（s）ds。对于接下来的两个示例，我们旨在提供OXeλ（而不是OXt）的特征。如等式（13）（和（14））所示，有必要确定标度函数Wλ（x）和Xt的密度。

为了完整性，我们回顾了与这些量有关的已知结果。2.4.3. 采用阶段型索赔的跳跃式扩散风险流程。作为前两个例子的推广，我们考虑一个具有阶段型索赔的跳跃扩散风险过程，即Xt=ct+σBt-NtXi=1Ci，其中σ≥ 0，{Bt}t≥0是标准布朗运动，{Nt}t≥0是强度η>0且{C，C，…}的泊松过程是具有公共相位类型分布的独立随机变量，具有最小表示（m，T，α），即其累积分布函数由F（x）=1给出-αeTx1，其中T是连续时间killedMarkov链的m×m矩阵，其初始分布由单纯形α=[α，…，αm]给出，1表示1的列向量。上述所有对象都是相互独立的（有关更多详细信息，请参阅Egami和Yamazaki[12]）。已知X的拉普拉斯指数的形式为ψ（λ）=cλ+σλ+ηα（λI- T）-1吨- 1., （28）其中t=-设ρj，λ为方程θ7的负实部根→ ψ(θ) = λ.由于我们假设净利润条件E[X]>0，根据库兹涅佐夫等人[18]的命题5.4，我们得出ρj，λ是不同的根。然后，根据[12]中的命题2.1，我们得到了wλ（x）=eΦλxψ′（Φλ）+Xj∈IλAj，λeρj，λx，其中Aj，λ=ψ′（ρj，λ），Iλ是与ρj，λs相对应的指数集。此外，P（Xt∈ dz）=e-ηt∞Xk=0（ηt）kk！Z∞F*k（dy）N（dz+y- ct）σ√t型,其中，N是标准正态随机变量的累积分布函数，F*kis是F的第k次卷积，对于k=0，我们理解F*0（dy）=δ（dy）。2.4.4. 稳定的ris k流程。我们假设X是一个α=3/2的谱负α稳定过程。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=λ3/2给出。那么，对于q，x≥ 0，我们有wλ（x）=√xE′3/2（λx3/2），其中E3/2=Pk≥0zk/Γ（1+3k/2）是3/2阶的Mittag-Le-fluer函数。如Loe Offen等人所述。

[31]，我们有P（Xt∈ dy）=P（t2/3X∈ dy）=qπt2/3y-1e级-u/2W1/2,1/6（u）dy y>0，-√3πt2/3y-1件/2件-1/2,1/6（u）dy y<0，其中u=t9/2 | y |，Wκ，u是Whittaker的W函数（见Lebedev[25]）。XT的密度很容易通过简单的变量变化得到。折射Lévy过程的占据时间我们现在将我们的结果扩展到折射光谱负Lévy过程U={Ut}t≥0atlevel 0 defined asUt=Xt- δZt{Us>0}ds，t≥ 0，其中δ≥ 0是折射参数。正如Kyprianou和Loeffen【20】中所讨论的，这样的过程是存在的，它是一个无跳向上的强马尔可夫过程。大于0时，剩余进程u演变为Y={Yt=Xt- δt}t≥0的拉普拉斯指数由λ7给出→ ψ(λ) - Δλ，右逆φq=sup{λ≥ 0 : ψ(λ) -Δλ=q}。然后，对于每个q≥ 0，我们定义了Y的标度函数，即WQ和Zq，byZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ）- Δλ，λ>Дq，和zδ，q（x，θ）=eθx1.- （ψq（θ）- Δθ）Zxe-θzWq（z）dz.我们也有zq（x）=Zδ，q（x，0）=1+qZxWq（y）dy。我们用∧（q）δ（x，s）=Z表示y的延迟q标度函数∞Wq（x+z）zsP（Xs∈ dz）。在【20】和【34】中，折射过程的许多折射恒等式用U的标度函数表示，即q≥ 0和x，z∈ R、 setw（q）（x；z）=Wq（x- z） +δ1{x≥0}ZxWq（x- y） W′q（y- z） dy.（29）注意，当x<0时，我们有w（q）（x；z）=Wq（x- z） ，当q=0时，我们将写w（0）（x；z）=w（x；z）。首先，对于∈ R、 我们定义了以下第一段停车时间：ν-a=在f{t>0:Yt<a}中，ν+a=在f{t>0:Yt中≥ a} κ-a=在f{t>0:Ut<a}中，κ+a=在f{t>0:Ut中≥ a} 。由于Y也是一个光谱负的Lévy过程，因此X的恒等式也适用于Y。例如，对于x∈ R、 Ex公司e-λν-+rYν-= Zδ，λ（x，r）-ψλ（r）-δrr- φλWλ（x）。

（30）我们用κqU表示折射Lévyprocess UκqU=在fnt>0:t时具有指数延迟的巴黎破产时间- 肠道>egUtqo。对于κqUand OUeλ的拉普拉斯变换，我们有以下新结果。引理8。对于q，λ>0和x∈ R、 Exhe公司-λκqUi=qλ+qZλ（x）-λ（Φq+λ- Дλ）（q- Δλ+q）ДλZδ，λ（x，Φλ+q）,因此，Exhe-qOUeλi=qλ（Φq+λ- νλ）（λ+q）（q）- ΔΦq+λ）ДλZδ，λ（x，Φλ+q）-qZλ（x）q+λ+1。（31）证明。对于x<0，使用U的强马尔可夫性质和Uκ+=0的事实κ+< ∞, 我们有-λκqUi=Exhe-λeq{κ+>eq}i+Exhe-（q+λ）κ+iEhe-λκqUi。自从Xt，t<τ+和Ut，t<κ+对于px具有相同的分布，当nx<0时，我们进一步得到-λκqUi=Exhe-λeq{τ+>eq}i+Exhe-（q+λ）τ+iEhe-λκqUi。对于x≥ 0，利用U的强马尔可夫性质，我们得到-λκqUi=Exe-λκ-EUκ-他-λeq{τ+>eq}i+前任e-λκ-EUκ-他-（q+λ）τ+iEhe公司-λκqUi=qq+λExhe公司-λκ-我- 前任e-λκ-+Φλ+qUκ--前任e-λκ-+Φλ+qUκ-Ehe公司-λκqUi=qq+λExhe公司-λν-我- 前任e-λν-+Φλ+qYν--前任e-λν-+Φλ+qYν-Ehe公司-λκqUi，（32）在上一个等式中，我们得出以下事实：Yt，t<ν-和Ut，t<κ-在Px下具有相同的分布。请注意，上述表达式适用于所有x∈ R、 现在，X和Y都有有有界变化的路径。解决Ehe问题-λκqUiandusing（30），我们得到-λκqUi=qq+λEhe公司-λν-我-Ee-λν-+Φλ+qYν-1.- Ee-λν-+Φλ+qYν-=qq+λ-q（λ+q）λ（Φq+λ- Дλ）Дλ（q- ΔΦq+λ）。

（33）将（30）和（33）替换为（32），我们有-λκqUi=qq+λZλ（x）-λДλWλ（x）-qq+λZδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）+qq+λZδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）-q（λ+q）λ（Φq+λ- Дλ）Дλ（q- ΔΦq+λ）Zδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）=qq+λZλ（x）-λДλWλ（x）-q（λ+q）λ（Φq+λ- Дλ）Дλ（q- ΔΦq+λ）Zδ，λ（x，Φλ+q）-（q）- ΔΦq+λ）（Φλ+q- Дλ）Wλ（x）=qZλ（x）q+λ-qλ（Φq+λ-Дλ）（λ+q）ДλZδ，λ（x，Φλ+q）（q- ΔΦq+λ）。X具有无界变化路径的情况如下所示，使用[20]中的s ame近似程序（另请参见[13]）。最后，方程式（31）立即再次使用[14]中命题3.4的下列恒等式，即exhe-qOUeλi=1- Exhe公司-λκqUi。使用与定理2的证明类似的技术，我们得到了OUeλ分布的以下表达式。结果未经证明就陈述了。我们指出，方程式（31）和（34）概括了Kyprianou等人[21]的推论2，其中占用时间达到有限的时间范围。定理9。对于λ>0，x∈ R和y≥ 0，像素OUeλ∈ dy公司=Zλ（x）-λДλZλ（x）δ（dy）+λe-λyB（λ）δ（x，y）- λZyB（λ）δ（x，s）dsdy+λe-λyZλ（x）-λДλZλ（x）dy，（34），其中b（λ）δ（x，s）=∧（λ）′δ（x，s）Дλ- ∧（λ）δ（x，s）。我们用σUr=in f表示折射过程U的反向占用时间t>0：输出>r,我们得到下面的拉普拉斯变换。定理10。对于r，λ>0和x∈ R、 Exhe公司-λσUri=e-λrZλ（x）-λДλWλ（x）-λZre-λuB（λ）δ（x，u）- λZuB（λ）δ（x，s）ds杜。（35）我们还得到了折射过程U的逆占据时间概率的以下表达式。推论11。对于r>0，x∈ R和E[X]>δ，PxσUr<∞= 1.- （E[X]- δ)W（x）+Zr∧′δ（x，s）ds. （36）证明当δ=0时，结果减少到第2节中给出的结果，这是一个微不足道的练习。备注12。

上面的表达式也可以表示为follows，PxσUr<∞= 1.- （E[X]- δ)w（x；0）1- δW（0）+Zr∧′δ（x，s）ds, （37）这是由于以下与不同尺度函数相关的有用恒等式，取自【34】，即p，q≥ 0和x∈ R、 （q）-p） ZxWp（x-y） Wq（y）dy=Wq（x）-Wp（x）+δWq（0）Wp（x）+ZxWp（x- y） W′q（y）dy,我们认为p=q=0。注意，当δ=0时，我们恢复了（9）中的光谱负振幅。出租人r→ 在（37）中，我们恢复了UPx的经典破产概率κ-< ∞= 1.-（E[X]- δ)1 - δW（0）W（x；0）。3.1. 示例。如引言所述，据我们所知，有限视界占据时间的分布仅适用于文献中具有漂移的布朗运动和具有指数声称的Cramér-Lundberg过程。在本节中，通过对（34）的进一步反演，我们能够推导出折射布朗风险过程和折射Cramér-Lundberg过程的指数索赔的有限地平线占用时间公式的分布。这两个公式在文献中都是新的。3.1.1. 折射布朗风险过程。设X和Y是两个布朗风险过程，definedasxt- X=ut+σbt和Yt- Y=（u- δ） t+σBt，其中B={Bt，t≥ 0}是标准布朗运动。在这种情况下，x的拉普拉斯指数由ψ（λ）=uλ+σλ给出。那么，对于x≥ 0，我们有w（x）=u1.- e-2μσx,W（x）=u- δ1.- e-2u-Δσx.和Дλ=σ-2.q（u- δ)+ 2λσ- (u - δ).

使用z的事实∞zrP（Xr∈ dz）=σ√2πre-cr2σ+cNc√rσ,andZ公司∞zre公司-2(u-δ） σzP（Xr∈ dz）=σ√2πre-cr2σ+（2δ- u)√2πN√r（2δ- u)σ,我们得到∧δ（x，s）=Z∞W（x+z）zrP（Xr∈ dz）=u- δσ√2πre-ur2σ+uNu√rσ-e-2(u-δ） σxu- δσ√2πre-ur2σ+e2rδ（δ-2u)σ(2δ - u)√2πN√r（2δ- u)σ因此，∧′δ（x，s）=σe-2(u-δ）σxσ√2πre-ur2σ+e2rδ（δ-2u)σ(2δ - u)√2πN√r（2δ- u)σ.我们也有-λrДλ=Z∞e-λt（u- δ） +σe-(u-δ） /2σ（t-s） p2π（t- s）- (u - δ） N个(u - δ)√rσ!使用拉普拉斯反演，我们最终得到出来∈ ds公司=σσ√2πre-ur2σ+e2rδ（δ-2u)σ(2δ - u)√2πN√r（2δ- u)σ×(u - δ） +σe-(u-δ） /2σ（t-s） p2π（t- s）- ( u - δ） N个(u - δ)√rσ!ds，3.1.2。具有指数索赔的折射Cramér-Lundberg过程。设X和Y是具有指数分布索赔的twoCramér-Lundberg风险过程，则它们是definedasxt- X=ct-NtXi=1土地和Yt- Y=（c- δ） t型-NtXi=1Ci，其中N={Nt，t≥ 0}是一个泊松过程，强度η>0，且{C，C，…}a平均值为1/α的独立和经验分布随机变量，与n无关。在这种情况下，X的拉普拉斯指数由ψ（λ）=cλ+η给出αλ + α- 1., 对于λ>-α和净利润条件由E[Y]=cδ给出- η/α ≥ 0，其中cδ=c- δ.

那么，forx≥ 0，我们有w（x）=c- η/α1.-ηcαe（ηc-α） x个,W（x）=cδ- η/α1.-ηcδαeηcδ-αx个,右逆式为Дλ=2cδλ + η - cδα+q（λ+η- cδα）+4cδ）αλ.我们有∧δ（x，s）=Z∞W（x+z）zrP（Xr∈ dz）=cδ- η/αZ∞1.-η（cδ）αeηcδ-α（x+z）zrP（Xr∈ dz），其中Z∞ze公司ηcδ-αzP（Xr∈ dz）=Zcszeηcδ-αze公司-ηrδ（cr- dz）+e-α（cr-z）∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！（cr- z） mdz=Zcse公司-ηrcreηcδ-αcr+e-αcrzeηcδz∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！（cr- z） mdz！=e-rη+αc+ηccδcr公司+∞Xm=0（αηr）m+1m！（m+1）！Zcre公司-ηcδyym（cr- y） dz！=cre公司-ηr+ηcδ-αcr×cr+∞Xm=0（ηs）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，ηcrcδ）-cδ（η+cδαcr）Γ（m+2，crηcδ）!.那么∧′（0，s）=-ηce-ηr+ηcδ-αcrcδ+ηe-ηr+ηcδ-αcrcδ×∞Xm=0（ηs）m+1m！（m+1）！crΓ（m+1，ηcrcδ）-cδ（η+cδαcr）Γ（m+2，crηcδ）.由于X是有界变差路径（即Wλ（0）>0），我们有λ-1便士OUeλ∈ ds公司=ДλWλ（0）δ（ds）+e-λsДλ∧′δ（0，s）ds。此外，我们还有Дλcδ=Z∞e-λtaδtdt，其中δt=1.-ηcδα++2ηπe-（η+cδα）tZ-1.√1.- ue公司-2.√cδαηtuη+cδα+2√cδαηudt。然后，我们得到占领时间出口>0的分布的以下表达式：P出来∈ ds公司= aδtδ（ds）+cδ∧′δ（0，s）aδt-s（0，t）（s）ds。David Landriault和Bin Li感谢加拿大自然科学和工程研究委员会的资助（资助号分别为341316和05828）。David Landriault感谢加拿大研究主席计划的支持。参考文献[1]J.Akahori，一种新型路径相关期权的一些公式，Ann。应用程序。概率。5（1995），第2383–388号。[2] H.Albrecher、J.Ivanovs和X.Zhou，《在泊松到达时间观察到的Lévy过程的出口恒等式》，Bernoulli 22（2016），第3期，1364–1382。[3] E.J.Baurdoux、J.C.Pardo、J.L.Pérez和J.-F.Renaud，《巴黎破产风险过程的Gerber Shiu分布》，J.App L.Probab。(2016).[4] E.J.Baurdoux、Z.Palmowski和M.R。