关于Levy风险模型的红色占用时间

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英文标题：
《On occupation times in the red of L\\\'evy risk models》
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作者：
David Landriault, Bin Li and Mohamed Amine Lkabous
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  In this paper, we obtain analytical expression for the distribution of the occupation time in the red (below level $0$) up to an (independent) exponential horizon for spectrally negative L\\\'{e}vy risk processes and refracted spectrally negative L\\\'{e}vy risk processes. This result improves the existing literature in which only the Laplace transforms are known. Due to the close connection between occupation time and many other quantities, we provide a few applications of our results including future drawdown, inverse occupation time, Parisian ruin with exponential delay, and the last time at running maximum. By a further Laplace inversion to our results, we obtain the distribution of the occupation time up to a finite time horizon for refracted Brownian motion risk process and refracted Cram\\\'{e}r-Lundberg risk model with exponential claims.
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中文摘要：
本文得到了光谱负L{e}vy风险过程和折射光谱负L{e}vy风险过程在（独立）指数范围内的红色（低于0美元）占用时间分布的解析表达式。这一结果改进了现有文献中只知道拉普拉斯变换的情况。由于占用时间与许多其他量之间的密切联系，我们提供了我们的结果的一些应用，包括未来水位下降、反向占用时间、指数延迟的巴黎破产和最后一次运行最大时间。通过对我们的结果进一步的拉普拉斯反演，我们得到了折射布朗运动风险过程和折射Cram{e}r-Lundberg指数索赔风险模型在有限时间范围内的占用时间分布。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> On_occupation_times_in_the_red_of_Lévy_risk_models.pdf (283.2 KB)

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关键词：Levy 风险模型 Applications distribution Differential

关于L'EVY风险模型的红色占领时间，David LANDRIAULT、BIN LI和MOHAMED AMINE Lkabosabstract。在本文中，我们得到了光谱负Lévy风险过程和折射光谱负Lévy风险过程在（独立）指数范围内的红色（低于0级）占用时间分布的解析表达式。这一结果改进了现有文献中只知道拉普拉斯变换的情况。由于占用时间与许多其他量之间的密切联系，我们提供了我们的结果的一些应用，包括未来水位下降、反向占用时间、指数延迟的巴黎单位时间以及最后一次最大运行时间。通过对我们的结果进行进一步的Laplaceinversion，我们得到了折射布朗运动风险过程和折射Cramér-Lundbergrisk指数索赔模型在一个时间段内的占用时间分布。引言占领时间衡量随机过程在某个区域停留的时间。它是应用概率领域的一个长期研究课题，在许多领域都有广泛的应用。在金融方面，在标的资产的各种动力学下研究了与占用时间相关的金融衍生品（例如，Cai等人[8]，Cai和Kou[9]以及Linetsky[30]）。在精算数学中，职业时间自然可以用来衡量保险组合固有的风险。在对保险人偿付能力风险的评估中，保险人盈余过程的占用时间在给定的阈值水平（通常被选择为“象征性的”0级）以下尤其重要（例如，Landriault等人【23】和Guérin and Renaud【14】）。

考虑到这一应用，我们在时间间隔（0，t）asext=Zt内以红色定义风险流程x的占用时间(-∞,0）（Xs）ds，其中（x）=1，x∈ A、 0，否则。其即时对应物OX∞定义为OX∞=R∞(-∞,0）（Xs）ds。文献中关于职业时间的研究结果很多。对于标准布朗运动，OXtappeared的分布在莱维著名的弧正弦律中。Akahori[1]和Takács[36]将该公式推广为带漂移的布朗运动。对于具有一些特殊跳跃分布的经典复合泊松过程，DosReis[11]得到了OX的矩母函数∞使用鞅方法。张和武[37]进一步解决了OX的拉普拉斯变换∞通过考虑受独立布朗运动扰动的复合泊松过程。日期：2019年7月24日。关键词和短语。占用时间、累积巴黎破产、莱维保险风险过程、规模函数。谱负Lévy过程是一种广泛使用的更一般的风险模型，它包括布朗运动（带漂移）和复合泊松过程（带扩散）作为特殊情况。在此框架下，Landriault等人[22]首先推导出X的拉普拉斯变换∞在过程的尺度函数方面。Loeffen等人[33]通过描述τ+b，OXτ+b其中τ+b=inf{t>0：Xt>b}。Li和Palmowski【27】通过研究加权占用时间，考虑了进一步的扩展。此外，Gérin和Renaud【13】以及Li等人【29】也分析了涉及占用时间的潜在措施。诚然，解决OXt的分布是最理想的，即占用时间达到有限的时间范围，但这是一个极具挑战性的问题。

据我们所知，OXthas分布只存在于两种类型的过程中：Akahori[1]提出的带漂移的布朗运动和Guérin和Renaud[14]提出的带指数跳跃的复合泊松运动。本文的主要理论结果是，对于谱负Lévy风险过程和折射谱负Lévy风险过程，我们得到了OXeλ分布的解析表达式，其中eλ表示速率λ>0的独立指数时间范围。请注意，Kyprianou和Loeffen[20]引入了折射光谱负Lévy风险过程。这类过程在许多保险应用程序中都很重要。这包括阈值策略下的股息支付（例如，Hernández Hernández[15]和Czarna等人[10]）和具有国家相关费用结构的可变年金（例如，Bernard等人[5]）。在Kyprianou等人【21】、Renaud【34】以及Li和Zhou【28】中可以找到折射光谱负Lévy过程的占据时间结果。注意，在这些论文中，目的是确定一些职业时间的拉普拉斯变换，而在本文中，我们通过求解分布部分地推广了他们的结果。本文的主要贡献总结如下。首先，由于OXeλ的Laplacetransform，即Ehe-文献中已知qOXeλi（见下面的引理1），可以通过双拉普拉斯变换反演（关于q和λ）数值获得OXtvia的分布。然而，众所周知，数值拉普拉斯反演方法可以解决各种稳定性问题，这可能会导致显著的计算误差。通过导出OXeλ分布的一般表达式，我们显式地反转了一个拉普拉斯变换，除了节省了一轮（数值）拉普拉斯反演之外，还为问题提供了进一步的结构。

其次，由于占用时间与许多其他量密切相关，我们在第2.3节中提供了我们的结果的一些应用，包括未来水位下降、反向占用时间、指数延迟的巴黎破产以及最后一次运行最大时间。第三，除了前面提到的带漂移的布朗运动和带指数跳跃的复合泊松运动外，我们还得到了第3节中另外两个模型的OXTF分布：折射布朗运动风险过程和折射Cramér-Lundberg指数索赔风险模型。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们首先介绍了关于光谱负Lévy过程和尺度函数的必要背景材料。然后我们导出了本文的主要结果，并考虑了一些相关的应用。我们通过提供一些Levy风险过程的示例来结束本节。在第3节中，我们将我们的研究平行扩展到折射光谱负Lévy过程。2、光谱负Lévy过程的占用时间2.1。预备工作。首先，我们提供了关于谱负Lévy过程的必要背景材料。Levy保险风险过程X是一个具有平稳和独立增量且无正跳的过程。为了避免琐事，我们排除了X具有单调路径的情况。由于Lévy过程X没有正跳跃，因此其Laplacetransform存在：对于所有λ，t≥ 0，EheλXti=etψ（λ），其中ψ（λ）=γλ+σλ+Z∞e-λz- 1+λz1（0,1）（z）π（dz），对于γ∈ R和σ≥ 0，其中∏是（0，∞) 称为x的Lévy度量∞(1 ∧ z） ∏（dz）<∞.自始至终，我们将使用标准的马尔可夫表示法：从X=X开始的X定律用px表示，相应的期望值用Ex表示。

当x=0时，我们写P和E。我们回顾了标准首次通过停车时间的定义：对于b∈ R、 τ-b=在f{t>0:Xt<b}中，τ+b=在f{t>0:Xt>b}中，使用约定inf = ∞.现在，我们首先给出了X.F的标度函数wqa和Zqof的定义，回想一下，存在一个函数Φ：[0，∞) → [0, ∞) 定义为Φq=su p{λ≥ 0 |ψ（λ）=q}（ψ的右逆），使得ψ（Φq）=q，q≥ 当E[X]>0时，我们有limq→0qΦq=ψ′（0+）=E[X]。（1） 现在，对于q≥ 0时，过程X的q标度函数定义为[0，∞) 带Laplace transformZ∞e-λyWq（y）dy=ψq（λ），对于λ>Φq，（2），其中ψq（λ）=ψ（λ）- q、 此函数对于x是唯一的、正的且严格递增的≥ 0且对于q进一步连续≥ 我们通过设置Wq（x）=0（x<0），将wqt扩展到整个实数线。当q=0时，我们写W=ww。已知wqa的初始值为wq（0+）=（当X有界变化时为1/c；，当X有无界变化时为0，其中c：=γ+Rz∏（dz）>0是X的漂移。我们还通过Zq（X，θ）=eθX定义了另一个尺度函数Zq（X，θ）1.- ψq（θ）Zxe-θyWq（y）dy, x个≥ 0，（3）和Zq（x，θ）=eθxf或x<0。对于θ=0，Zq（x，0）=Zq（x）=1+qZxWq（y）dy，x∈ R、 （4）对于θ≥ Φq，使用（2），尺度函数Zq（x，θ）可以重写为Zq（x，θ）=ψq（θ）Z∞e-θyWq（x+y）dy，x≥ 0。（5）我们回顾了Loeffen等人引入的X的延迟q标度函数【32】定义为∧（q）（X，r）=Z∞Wq（x+z）zrP（Xr∈ dz），（6），当q=0时，我们写∧=∧（0）。注意，我们可以显示∧（q）（0，r）=eqr。（7） 我们还用∧（q）′（x，r）表示∧（q）对x的偏导数=∧（q）x（x，r）=Z∞W′q（x+z）zrP（Xr∈ dz），对于x≤ 0，我们还有∧′（x，r）=∧（q）′（x，r）- qZr∧（q）′（x，s）ds- qWq（x）。（8） 此外，我们还回顾了【33】中所述的与标度函数相关的下列恒等式：forp，q，x≥ 0，（s- p） ZxWp（x- y） Ws（y）dy=Ws（x）- Wp（x）。

（9） 最后，我们回顾了Kendall的身份，该身份提供了特定水平的首次向上交叉分布（见[6，推论VII.3]）：在（0，∞) × (0, ∞), 我们有Rp（τ+z∈ dr）dz=zP（Xr∈ dz）d r.（10）我们请读者参考[19]，了解有关光谱负Lévy过程和函数恒等式的更多详细信息。例如，【18】和【35】中可以找到更多与标度函数相关的示例和数值计算。2.2. 主要结果。2.2.1. 占用时间分布。本小节给出了谱负Lévy过程X的占用时间OXeλ密度的主要结果，其中，通过本文，eλ表示速率λ>0的指数随机变量，与过程X无关。我们首先给出了OXeλ的拉普拉斯变换的以下引理。注意，这一结果在文献中基本上是已知的（人们可以将表达式-qOXeλ；Xeλ∈ dyi（关于y），参见，例如，盖林和雷诺的推论1[14]），但为她提供了另一种更短的证明。引理1。对于λ，q>0和x∈ R、 Exhe公司-qOXeλi=λ（Φq+λ- Φλ）（λ+q）ΦλZλ（x，Φλ+q）-qZλ（x）q+λ+1。（11） 证明。利用盖林和雷诺[14]中的命题3.4，可以推断出-qOXeλi=PxOXeλ<等式= Px（κq>eλ）=1- Exhe公司-λκqi，其中，κqis是巴黎废墟的时间，其附带延迟定义为κq=inft>0:t- gt>egtq, （12） 其中gt=sup{0≤ s≤ t： Xs型≥ 0}，EGTQ是一个指数分布的随机变量，速率q>0（与X无关）。κqc的拉普拉斯变换可以从Bardoux等人【3】（另见Albrecher等人【2】）中提取出来，由exhe给出-λκqi=qZλ（x）q+λ- λΦq+λ- Φλ（λ+q）ΦλZλ（x，Φλ+q）。因此，Exhe-qOXeλi=1- Exhe公司-λκqi=λΦq+λ-Φλ（λ+q）ΦλZλ（x，Φλ+q）-qZλ（x）q+λ+1。以下主要定理给出了OXeλ的密度，它是使用拉普拉斯反演技术从（11）中推导出来的。定理2。

对于λ>0，x∈ R和y≥ 0，像素OXeλ∈ dy公司=1.-Zλ（x）-λΦλWλ（x）δ（dy）+λe-λyB（λ）（x，y）- λZyB（λ）（x，s）dsdy+λe-λyZλ（x）-λΦλWλ（x）dy，（13），其中b（λ）（x，s）=∧（λ）′（x，s）Φλ- ∧（λ）（x，s），δ（·）是0时的狄拉克质量。特别是，当x=0时，方程式（13）减少了顶部OXeλ∈ dy公司=λΦλWλ（0）δ（dy）+e-λy∧′（0，y）dy. （14） 证明。给定thatPxOXeλ=0= 二甲苯τ-> eλ= 1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x），如果x<0，则为0，我们首先重写（11）asExhe-qOXeλi=1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qΦλ+q- ΦλΦλZλ（x，Φλ+q）+λλ+qZλ（x）-λΦλWλ（x）。通过简单的操作，上述表达式也可以重写为XHE-qOXeλi=1- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qΦλ+qZλ（x，Φλ+q）- qWλ（x）Φλ-Zλ（x，Φλ+q）+Zλ（x）-λΦλWλ（x）= 1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qZλ（x）-λΦλWλ（x）+λ1.-λλ+qΦλ+qZλ（x，Φλ+q）- qWλ（x）qΦλ-Zλ（x，Φλ+q）q. （15） 使用以下标识符Zλ（x，Φλ+q）q=Z∞e-qy公司e-λy∧（λ）（x，y）dy，（16）和Φλ+qZλ（x，Φλ+q）- qWλ（x）q=Z∞e-qy公司e-λy∧（λ）′（x，y）dy，（17）可以用Kendall的恒等式（10）和Tonelli的定理来证明，从而得出-qOXeλi=1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）+λλ+qZλ（x）-λΦλWλ（x）+λ1.-λλ+qZ∞e-qyne公司-λyB（λ）（x，y）体。因此，通过拉普拉斯反演，我们得到pxOXeλ∈ dy公司=1.- Zλ（x）+λΦλWλ（x）δ（dy）+λe-λyZλ（x）-λΦλWλ（x）dy+λe-λyB（λ）（x，y）- λZyB（λ）（x，s）dsdy.当x=0时，方程式（13）减为方程式（14）。证据到此为止。注意Px的表达式OXeλ∈ dy公司in（13）仅依赖于标度函数Wλ（x）和定律P（Xr∈ dz）。因此，只要Wλ（x）和P（Xr），就可以得到氧密度λ的闭合表达式∈ dz）是明确的。在第2.4节中，我们将提供一些底层流程X的示例，以便这两个量是明确的。备注3。

为了更好地理解公式（13），我们可以将其改写为asPxOXeλ∈ dy公司= 二甲苯τ-> eλδ（dy）+PxOXeλ∈ dy，τ-< eλ,其中pxτ-> eλ= 1.-Zλ（x）-λΦλWλ（x）,andPxOXeλ∈ dy，τ-< eλ= λe-λyZλ（x）-λΦλWλ（x）dy+λe-λyB（λ）（x，y）- λZyB（λ）（x，s）dsdy.备注4。定理（2）中的时间范围可以很容易地扩展为次幂分布（也称为广义Erlang分布）。在弱收敛条件下，连续非负分布类中的次指数分布类是稠密的；例如，见Botta和Harris【7】。设▄enbe由▄en=e+e+····+en给出的次指数分布时间范围，其中e，e，使其相互独立并呈指数分布，具有不同的平均值1/λ，1/λ，分别为1/λn。因为p（~en）给出了▄enis的密度∈ dt）=nXk=1ankλke-λktdt，其中λk>0且ank=nQj=1，j6=kλjλj-λkwithPnk=1ank=1，则pxOXen∈ dy公司=Z∞nXk=1ankλke-λktPxOXt公司∈ dy公司dt=nXk=1ankZ∞λke-λktPxOXt公司∈ dy公司dt=nXk=1ankPxOXeλk∈ dy公司.例如，通过设置λk=n（n+1）2kE[~en]，~enbecame2n（2n+1）3n（n+1）k（E[~en]）的方差，当n→ ∞. 因此，可以使用Erlangization方法来近似固定时间范围的情况（seeKlugman等人【17】）。出租λ→ 0在（13）中，我们获得了以下OX分布表达式∞, 占用时间X保持在0级以下，直至完整。推论5。对于x∈ R、 y型≥ 0和E[X]>0，Px公牛∞∈ dy公司= E[X]W（x）δ（dy）+∧′（x，y）dy. （18） 同样，我们可以重写（18）asPx公牛∞∈ dy公司= 二甲苯τ-= ∞δ（dy）+Px公牛∞∈ dy，τ-< ∞,其中pxτ-= ∞= E[X]W（X）和px公牛∞∈ dy，τ-< ∞= E[X]∧′（X，y）dy.2.3。应用。本节专门介绍定理2.2.3.1的一些应用。未来提款。提取被用作动态风险度量，以衡量保险盈余从其最大值下降的幅度。

感兴趣的读者请参阅Zhang【16】，了解更多保险和金融领域提取的理论结果和应用。最近，Baurdoux等人【4】引入了未来极端水位下降，定义为“Ds，t=sup0≤u≤信孚≤w≤t+s（Xw- Xu），其中s，t>0。最终水平版本用“Ds=limt”表示→∞\'Ds，t=sup0≤u≤sinfw公司≥u（Xw- 徐）。根据Baurdoux等人[4]的推论5.2（ii），我们得出-\'Deq<x= E[X]ΦqqZ（X，Φq）=Exhe-qOX公司∞i、 （19）其中最后一个等式是由Landriault等人【22】的推论1得出的。到（18），我们得出结论-(R)Ds<x= 二甲苯公牛∞< s= E[X]W（x）+Zs∧′（x，y）dy.2.3.2. 反向占用时间。占用时间OXT当然包括一些关于盈余过程在时间t之前可能在红色区域停留多长时间的信息。但它未能提供一种偿付能力预警机制（以停止时间或其他形式），供保险人在财务困境期间采取行动。这促使我们考虑相反的职业时间，即所有财务困境期间（风险过程低于偿付能力阈值水平的期间）的累计持续时间首次超过确定性容忍水平。具体而言，参数r>0的反向占用时间定义为σr=in ft>0：OXt>r.停止时间σris被视为在过程X第一次累积低于0级超过r时发生。在此，参数r可以表示保险人对盈余过程累积低于阈值0的容忍水平。请注意，在精算破产术语中，反向占用时间也称为累积巴黎破产时间（见盖林和雷诺[14]）。反向占用时间的有限时间概率由px（σr）给出≤ t） =像素OXt>r, （20） 而在有限时间范围内，情况px（σr<∞) = 二甲苯公牛∞> r.