习惯形成下的最优进入与消费

支付信息成本后，初始财富足够大，因此任何0≤ t型≤ T，其中m（T）由m（T）=ZTtexp定义Zst（δ（v）- α（v））dvds，0≤ t型≤ T、 （2.8）我们注意到，（2.8）中的m（T）表示单位生活水平T的生活消费成本，因为内部控制问题在且仅当^X时是可解的*t型≥ m（t）Zt，0≤ t型≤ T，见LemmaB。1、函数bv可以用后面（3.7）给出的显式形式求解。过程v（t，ut；x- （2.7）中定义的函数是过程bv（t，x）的斯内尔包络- κt，z，ut）。因此，可以将（2.7）中的函数V写成V（t，η；x- κt，z）=esssupτ≥tEhbV（τ，x- κτ，z，uτ）ut=ηi。连续区域被解释为完整信息观测的连续，以更新输入值，用C={（t，η）表示∈ [0，T）×R:eV（T，η；x- κt，z）>bV（t，x- κt，z，η）}，自由边界为C={（t，η）∈ [0，T）×R:eV（T，η；x- κt，z）=bV（t，x- κt，z，η）}。让我们表示ev（t，η；x- κt，z）byeV（t，η）在没有混淆的情况下简称。通过一些启发式参数，我们可以写出终端条件为ev（T，η）=0，η的HJB变分不等式∈ R、 bymin（eV（t，η）-bV（t，x- κt，z，η），-eV（t，η）t型- LeV（t，η））=0，（2.9），其中LeV（t，η）=-λ(η - u)电动汽车η（t，η）+σu电动汽车η（t，η）。为了简化以下章节中的符号，weshall将（2.9）改写为（F（t，η，eV，电动汽车t，电动汽车η,电动汽车η） =0，on[0，T）×R，v（T，η）=0，对于η∈ R、 （2.10）使用运算符F（t，η，v，vt，vη，vη）：=minnv-bV公司，-vt型-Lvo。备注2.2。零件-电动汽车t型- LeV=0 in（2.9）是一个线性抛物线，不依赖于内部控制（π，c）。

比较第五部分-（2.9）中的bV取决于最优控制（π，c），因为bV是内部控制问题的值函数，前提是输入^Xt=x- κt，Zt=zand^ut=ut=η。下一个定理是本文的主要结果，其证明在第4节给出。定理2.1。（2.7）中定义的eV（t，η）是变量不等式（2.9）的唯一有界连续粘度解。此外，复合问题（2.7）的最佳进入时间由Ftadapted Stop timeτ给出*:= T∧ infnt公司≥ 0:eV（t，ut；x- κt，z）=bV（t，x- κt，z，ut）o.（2.11）我们还有过程v（t，ut；x- κt，z）是关于0的完全信息过滤的鞅≤ t型≤ τ*.3、部分观测下的内部效用最大化我们首先解决股票价格部分观测下的内部随机控制问题。3.1. Kalman Bucy过滤的最佳消耗。在一段固定时间内0≤ k≤ T，习惯形成下的动态内部随机控制问题定义为bv（k，x，z，η；θ）：=su p（π，c）∈Ak（x）EZTk（cs- Zs）PPDFSk公司= sup（π，c）∈Ak（x）EZTk（cs- Zs）PPD^Xk=x，Zk=z，^uk=η；^∑（k）=θ,（3.1）其中Ak（x）表示从时间k开始的容许控制空间。这里，由于条件方差∑（t）是时间的确定函数，我们将θ设置为参数，而不是状态变量。利用最优性原理和It^o公式，我们可以启发式地得到HJB方程asVt-α（t）zVz- λ(η - u）Vη+∑（t）+σSσuρ2σSVηη+最大值（π，c）∈A.-cVx+cδ（t）Vz+（c- z） 聚丙烯+ 最大值（π，c）∈A.πηVx+σSπVxx+Vxη∑（t）+σSσuρπ= 0，k≤ t型≤ T、 （3.2）终端条件V（T，x，z，η）=0.3.2。解耦解和主要结果。

如果V（t，x，z，η）足够光滑，则一阶条件给出π*（t，x，z，η）=-ηVx-∑（t）+σSσuρVxησSVxx，c*（t，x，z，η）=z+Vx公司- δ（t）Vzp-1、由于幂效用的齐次性，我们推测值函数的形式为v（t，x，z，η）=[（x-m（t，η）z）]ppN1-p（t，η），对于一些待确定的函数m（t，η）和N（t，η）。它还允许需要N（T，η）=0的终端条件。特别是，我们发现m（t，η）：=m（t）的简单表达式满足方程（2.8）。代换后，HJB方程简化为N（t，η）asNt+pη2（1）的线性抛物偏微分方程- p） σSN（t，η）+∑（t）+σSσuρ2σSNη+1+δ（t）m（t）聚丙烯-1+-λ(η - u) +η∑（t）+σSσuρp（1- p） σSNη（t，η）=0，其中N（t，η）=0。我们可以通过n（t，η）=ZTt显式地进一步求解线性偏微分方程1+δ（s）m（s）聚丙烯-1expA（t，s）η+B（t，s）η+C（t，s）ds，（3.3）表示k≤ t型≤ s≤ TA（t，s）、B（t，s）和C（t，s）满足以下常微分方程：At（t，s）+p2（1- p） σS+2“-λ+p（^∑（t）+σSσuρ）σS（1- p） #A（t，s）+2（^∑（t）+σsσuρ）σSA（t，s）=0，（3.4）Bt（t，s）+”-λ+p（^∑（t）+σSσuρ）σS（1- p） #B（t，s）+2λ′uA（t，s）+2（^∑（t）+σsσuρ）σSA（t，s）B（t，s）=0，（3.5）Ct（t，s）+λ′uB（t，s）+∑（t）+σSσuρ2σSB（t，s）+2A（t，s）= 0，（3.6），终端条件A（s，s）=B（s，s）=C（s，s）=0。附录A中报告了ODE（3.4）、（3.5）、（3.6）的显式解∈ [k，T]，我们可以通过Dt：{（x′，z′）来确定对（x，z）的有效域∈ (0, +∞) × [0, +∞); x′≥ m（t）z′}，其中k≤ t型≤ THJB方程（3.2）在[k，T]×Dt×R thatV（T，x，z，η）=hZTt上有一个经典解1+δ（s）m（s）聚丙烯-1expA（t，s）η+B（t，s）η+C（t，s）dsi1-p×[（x-m（t）z）]pp.（3.7）备注3.1。V（t，x，z，η）的有效域要求对最优财富过程^x有一些约束*tand习惯形成过程Z*tsuch that^X*t型≥ m（t）Z*t对于t∈ [k，T]。

特别是，我们必须实施最初的财富习惯预算约束≥ m（k）zk在初始时间k。定理3.1。[验证定理]如果初始预算约束^Xk≥ m（k）zk在时间k时，HJB方程的唯一解（3.7）等于（3.1）中定义的值函数，即V（k，x，z，η）=bV（k，x，z，η）。此外，最优投资策略π*tand最优消费政策c*皮重由π在反馈表中给出*t=π*（t，^X*t、 Z*t、 ^ut）和c*t=c*（t，^X*t、 Z*t、 ut），k≤ t型≤ T函数π*（t，x，z，η）：[k，t]×Dt×R→ R由π给出*（t，x，z，η）=η(1 - p） σS+∑（t）+σSσuρσSNη（t，η）N（t，η）（十）- m（t）z），（3.8）和函数c*（t，x，z，η）：[k，t]×Dt×R→ R+由C给出*（t，x，z，η）=z+（x-m（t）z）1+δ（t）m（t）1.-pN（t，η）。（3.9）最优财富过程^X*t、 k级≤ t型≤ T、 由^X给出*t=（x- m（k）z）N（t，ut）N（k，η）expZtk（μu）2（1- p） σSdu+Ztk^uu（1- p） σSd^Wu+ m（t）Z*t、 （3.10）4。外部最优停车问题4.1。随机Perron方法。接下来我们研究外部最优进入问题。回想一下，^Xτ=X- κτ，Zτ=zand∑（τ）=0均取为参数。我们的目标是解决一个最优停止问题，其中u是唯一的底层状态过程。备注4.1。回想一下，内部值函数bv的形式如（3.7）所示。此外，根据备注A.1，函数A（t，s）≤ 0和B（t，s）≤ 0英寸（3.7），因为p<0。

也就是说，如果我们将bv（τ，^uτ）作为输入^uτ的函数，则它在^uτ中不是全局凸的或凹的∈ R因为函数expA（t，s）η+B（t，s）η+C（t，s）在变量η中不是全局凸或凹∈ R、 这取决于A（t，s）和B（t，s）的值。因此，（2.7）中的复合值函数v（t，η）在η中不是全局凸或凹的∈ R、 这实际上取决于所有模型参数。本文选择应用随机Perron方法来验证复合问题的值函数是某些变分不等式的唯一粘性解。我们首先介绍了随机半解集V+和V-并证明v-≤电动汽车≤ v+，其中v-和v+在（4.2）和（4.3）中定义。利用随机Perron方法，我们可以证明v+是一个有界的上半连续（u.s.c.）粘性亚解，v-是有界的下半连续（l.s.c.）粘度上解。最后，我们证明了比较原理，即如果我们有任何有界andu。s、 c.粘度亚解u和有界，以及（2.10）的l.s.c.粘度上解v，我们必须有以下定理u≤ v、 因此v+≤ v-, 从而得出预期的结论-=eV=v+，值函数是唯一的粘度解。接下来，我们将介绍随机半解的定义，其主要来源于[4]。定义4.1。用V+表示的PDE（2.10）的随机超解集是函数V:[0，T]×R的集合-→ 具有以下性质的R：（i）v是u.s.c.，有界于[0，T]×R和v（T，η）≥bV（t，x- k t，z，η）表示任何（t，η）∈ [0，T]×R.（ii）各（T，η）∈ [0，T]×R和任何停止时间T≤ τ∈ T，我们有v（τ，uτ）≥ E[v（τ，uτ）| Fτ]，P-a.s.，对于任何τ∈ T和τ≥ τ.

也就是说，沿SDE（2.2）解的函数v在完全信息过滤（Ft）t下是可分解的∈τ和T之间的[0，T]。定义4.2。P DE（2.10）的随机子解集，用V表示-, 是函数SV的集合：[0，T]×R-→ 具有以下性质的R：（i）v是l.s.c.，有界于[0，T]×R和v（T，η）≤ 0表示任何η∈ R、 （ii）对于每个（t，η）∈ [0，T]×R和任何停止时间T≤ τ∈ T，我们有v（τ，uτ）≤ E[v（τ∧ζ, uτ∧ζ） | Fτ]，P-a.s.，对于任何τ∈ T和τ≥ τ. 也就是说，沿（2.2）的解的函数v在完全信息过滤（Ft）t下是可分割的∈[0，T]介于τ和ζ之间，其中ζ：=inf{T∈ [τ，T]：v（T，uT；x- κt，z）≥bV（t，x- κt，z，ut）}。（4.1）备注4.2。我们注意到，最优停止问题的随机超解和随机子解的定义是不对称的，这与[4]中的类似定义一致。产生这些差异的主要原因是（4.1）中斯内尔包络过程的自然超鞅性质及其在初始时间和第一次击中时间ζ之间的鞅性质。也就是说，我们自然需要v（t，η）≥bV（t，x-κt，z，η）表示所有（t，η）∈ [0，T]×R包括随机超解定义4.1第（i）项中的终止时间T，但我们只需要v（T，η）≤bV（T，x- k t，z，η）=0在定义4.2第（i）项中随机子解的终点时间t。这些比较结果以及上鞅和下鞅的性质将对建立期望的三明治结果起重要作用-≤电动汽车≤ 引理4.4中的v+。引理4.1。bV（t，x- κt，z，η；0）有界且连续（t，η）∈ [0，T]×R.证明。对于固定的x和z，很明显bv（t，x-κt，z，η）in（3.7）是连续的，bv（t，x-κt，z，η）≤所以我们只需要证明bv是下界的。

根据附录A，我们知道A（u）≤ 0，B（u）≤ 0和C（u）≤ K代表一些K≥ 0，因为p<0。因此，我们获得A（u）η+B（u）η+C（u）≤ K对于某些K>0，它遵循bv（t，x- κt，z，η）的下界为常数（t，η）∈ 【0，T】×R，p＜0。因为看到0是微不足道的∈ 五、-和0∈ V+，我们得到以下结果。引理4.2。V+和V-是非空的。定义4.3。我们定义了-:= su pp公司∈五、-p、 （4.2）v+：=infq∈V+q.（4.3）类似于引理2.2。在[2]中，下一个结果成立。引理4.3。我们有v-∈ 五、-和v+∈ V+。我们有了第一个重要的三明治结果。引理4.4。我们有v-≤电动汽车≤ v+。证据对于每个v∈ V+，让我们考虑τ=t≥ 定义4.1中的0。对于任意τ≥ t、 我们有v（t，η）≥E【v（τ，uτ）| Ft】≥ E[bV（τ，x- κτ，z，uτ）| Ft]，这得益于定义4.1中的超马丁格尔性质。因此v（t，η）≥ esssupt公司≤τE[bV（τ，x- κτ，z，uτ）| Ft]。这意味着v（t，η）≥从eV（t，η）和henceeV的定义来看，eV（t，η）≤ v+根据（4.3）中的定义。另一方面∈ 五、-, 取τ=t≥ 0在定义4.2中，我们有v（t，η）≤ E[v（τ∧ ζ, uτ∧ζ） | Ft]对于任何τ≥ t由于定义4.2中的子可锻属性。特别是，利用ζ的定义，我们进一步得到了v（t，η）≤ E[v（τ∧ ζ, uτ∧ζ） |英尺]≤ E[bV（τ∧ ζ、 x个- f（τ∧ ζ） ，z，uτ∧ζ） |英尺]≤ esssupτ≥tE[bV（τ，x-κτ，z，uτ）| Ft]=eV（t，η）。接下来就是EV≥ v-因为（4.2）。综上所述，我们有他们的IneQuality v-≤电动汽车≤ v+。定理4.1。v-在定义4.3中，是（F（t，η，v，vt，vη，vηη）的有界l.s.c.粘度超解≥ 0，on[0，T）×R，v（T，η）≥ 0，对于任何η∈ R、 （4.4）和定义4.3中的v+是（F（t，η，v，vt，vη，vηη）的有界u.s.c.粘度子解≤ 0，on[0，T）×R，v（T，η）≤ 0，对于任何η∈ R、 （4.5）证明。我们遵循并修改了[2，4]中的一些参数，以适应我们的设置。（i） v~+的子溶液性质。

首先，（4.3）和引理4.3中的定义意味着v+是有界的和上半连续的。假设v+不是粘度子解，则存在一些内点（\'t，\'η）∈ （0，T）×R和一个C1,2-测试函数И：[0，T]×R→ R使v+- ^1达到严格的局部最大值，该值等于零，且F（\'t，\'η，v，v\'t，v\'η，v\'η）>0。由此得出（v+（\'t，\'η）-bV（(R)t，x- f（\'t），z，\'η）>0，-φt（\'t，\'η）- LИ（(R)t，(R)η）>0。存在一个足够小的球B（\'t，\'η，ε(-φt型- LИ>0 onB（\'t，\'η，ε），Д>v+on B（\'t，\'η，ε）\\（\'t，\'η）。此外，asД（\'t，\'η）=v+（\'t，\'η）>bV（\'t，x- f（'t），z，'η），Д是连续的，bv是连续的，我们可以得出，对于一些足够小的ε，我们有- ε ≥bV onB（\'t，\'η，ε）。因为v+- ν是上半连续的，且B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）是紧的，因此存在δ>0，从而-δ ≥ v+onB（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）。如果我们选择0<ξ<δ∧ε、 函数Дξ=Д- ξ满足以下条件：-φξt型- LИξ>0 on B（\'t，\'η，ε），Дξ>v+on B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε），Дξ≥bV onB（\'t，\'η，ε），和Дξ（\'t，\'η）=v+（\'t，\'η）- ξ.让我们用vξ定义一个辅助函数：=（v+∧ ДξonB（\'t，\'η，ε），v+外部B（\'t，\'η，ε）。很容易检查vξ是上半连续的，并且vξ（\'t，\'η）=Дξ（\'t，\'η）<v+（\'t，\'η）。我们认为vξ满足终端条件。为此，我们选取一些ε>0满足T>T+ε，并回顾v+满足终端条件。然后我们继续证明vξ∈ V+获得一个矛盾。让我们计算（t，η）并回忆一下（（us）t≤s≤T、 （Ws，Bs）T≤s≤TOhm , F、 P，（Fs）t≤s≤T）∈ χ、 其中χ是所有弱解的非空集。我们需要证明过程（vξ（s，us））t≤s≤这是一个超级马丁加里昂(Ohm, P） 关于（Fs）t≤s≤T

我们首先假设（v+（s，us））t≤s≤这是正确的连续路径。在这种情况下，vξ是区域[t，t]×R\\B（\'t，\'η，ε）的局部上鞅，因为它等于右连续上鞅（v+（s，us））t≤s≤T、 作为过程（vξ（s，us））T≤s≤是区域B中两个局部上鞅（\'t，\'η，ε）之间的最小值，它是一个局部上鞅。当两个区域【t，t】×R\\B（\'t，\'η，ε）和B（\'t，\'η，ε）在开放区域上重叠时，（vξ（s，us））t≤s≤这实际上是一个超级角色。如果过程（v+（s，us））t≤s≤它不是右连续的，我们可以考虑它的右连续极限，将其转换为上面讨论的特例。特别是对于给定的有理数r和固定的0≤ t型≤ r≤ s≤ T和η∈ R、 它仍然显示过程（Yu）t≤u≤T： =（vξ（u，uu））T≤u≤t在r和s之间是一个上鞅，它等价于表示Yr≥ E【Ys | Fr】。让我们表示Gu：=v+（u，uu），r≤ u≤ s，并在时间s后冻结过程G，即Gu：=v+（s，us），s≤ u≤ TAs（Gu）r≤u≤t可能不是右连续的，根据[19]中的命题1.3.14，我们可以考虑其右连续修改为g+u（ω）：=limu′→u、 u′>u，u′∈QGu′（ω），r≤ u≤ T、 注意，G+是关于F的右连续上鞅，满足通常条件。由于v+是上半连续的，并且在s之后过程保持不变，我们得出结论，Gr≥G+r，Gs=G+s。

回想一下，v+<Д- δ在开放区域B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε），如果我们在该区域内取适当的限制并使用连续函数φ，则有g+u<φξ（u，uu），if（u，uu）∈ B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）。因此，如果我们考虑过程+u：=（G+u，（u，uu）6∈B（\'t，\'η，ε），G+u∧ Дξ（u，uu），（u，uu）∈ B（\'t，\'η，ε），我们还有Yr≥ Y+r，Ys=Y+s。因为G+有正确的连续路径，我们可以得出结论，Y是这样的超鞅≥ Y+r≥ E[Y+s | Fr]=E[Y | Fr]。（ii）v+的终端条件。对于某些η∈ R、 我们假设v+（T，η）>0，并将显示矛盾。当bv是continuouson R时，我们可以选择ε>0，使得0≤ v+（T，η）- ε和η- η| ≤ ε. 关于紧集（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩ （[0，T]×R），v+以v+的定义为界+∈ V+。此外，由于v+在这个紧集上是上半连续的，我们可以发现δ>0足够小，使得v+（T，η）+ε4δ≥ ε+sup（t，η）∈（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩（[0，T]×R）v+（T，η）。（4.6）接下来，对于k>0，我们定义函数Дδ，ε，k（t，η）：=v+（t，η）+η- η|δ+k（T- t） 。对于k largeenough，我们推导出-Дδ，ε，kt- LИδ，ε，k>0 onB（T，η，ε）。此外，我们得到了（4.6）Дδ，ε，k的以下结果≥ ε+v+on（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩ （[0，T]×R）和Дδ，ε，k（T，η）≥ v+（T，η）≥ |η为0+ε-η| ≤ ε.现在，我们可以找到ξ<ε，并定义如下函数，vδ，ε，k，ξ：=（v+∧ （Дδ，ε，k- ξ） onB（T，η，ε），v+外部B（T，η，ε）。通过遵循（i）中的类似论点，可以得到vδ，ε，k，ξ∈ V+，但Vδ，ε，k，ξ（T，η）=V+（T，η）-ξ、 这导致了矛盾。（三）v的超溶液性质-.我们只提供一个证明的草图，因为它本质上类似于步骤（i）。S向上推v-不是粘度超解，则存在一些内点（\'t，\'η）∈ （0，T）×R和一个C1,2-测试函数ψ：[0，T]×R→ R使v-- ψ达到严格的局部最小值，该值等于零。