习惯形成下的最优进入与消费

AsF（\'t，\'η，v，v\'t，v\'η，v\'η）<0，有两种不同的情况需要检查。案例（一）五-（\'t，\'η）-bV（(R)t，x- f（\'t），z，\'η）<0。这已经导致了与v的矛盾-（\'t，\'η）≥bV（(R)t，x- f（\'t），z，\'η）的定义-.案例（二）-ψt（\'t，\'η）-Lψ（\'t，\'η）<0。我们可以找到一个足够小的球B（\'t，\'η，ε），以便-ψt型-Lψ<0onB（\'t，\'η，ε）。此外，作为v-- ψ是下半连续的，B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）是紧的，存在一个δ>0使得ψ+δ≤ v-onB（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）。然后我们可以选择ξ∈ （0，δ）ψξ=ψ+ξ满足三个性质的小值：（i）-ψξt型- Lψξ<0 onB（\'t，\'η，ε）；（ii）我们有v-≥ ψ+δ>ψ+ξ=ψξonB（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）；（iii）ψξ（\'t，\'η）=ψ（\'t，\'η）+ξ=v-（\'t，\'η）+ξ>v-（\'t，\'η）。因此，我们可以通过vξ：=（v-∨ ψξonB（\'t，\'η，ε），v-外部B（\'t，\'η，ε）。通过重复步骤（i）中的类似论证，我们得到vξ∈ 五、-通过显示（vξ（s，us））t≤s≤这是asubmartingale。如果v-有正确的连续路径，证明很简单。一般来说，根据[19]中的命题1.3.14，我们可以考虑右连续子鞅G+u（ω）：=limu′→u、 u′>u，u′∈QGu′（ω），ω∈ Ohm*, r≤u≤ T，其中Gu：=v-（u，uu），r≤ u≤ 与步骤（i）类似，我们注意到G+是右连续子鞅，因此G≤ G+r，Gs=G+s。G+u>ψξ（u，uu），if（u，uu）∈B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε），我们可以定义过程+u：=（G+u，（u，uu）6∈B（\'t，\'η，ε），G+u∨ ψξ（u，uu），（u，uu）∈B（\'t，\'η，ε）。我们可以得出结论，Yr≤ Y+r，Ys=Y+sand Y是Y的一个子鞅≤ Y+r≤ E[Y+s | Fr]=E[Ys | Fr]，完成证明。（iv）v的终端条件-.对于某些η∈ R、 假设v-（T，η）<0，我们将显示一个矛盾。当bv是连续的，我们可以选择ε>0，使得0≥ v-（T，η）+ε和|η- η| ≤ ε.

与步骤（ii）类似，我们可以发现δ>0足够小，以至于v-（T，η）-ε4δ≤ inf（t，η）∈（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩（[0，T]×R）v-（t，η）- ε.（4.7）然后，对于k>0，我们考虑ψδ，ε，k（t，η）：=v-（T，η）-|η- η|δ- k（T- t） 。对于足够大的k，我们有-ψδ，ε，kt- Lψδ，ε，k<0 onB（T，η，ε）。此外，根据（4.7），我们有ψδ，ε，k≤ v-- εon（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩ （[0，T]×R）和ψδ，ε，k（T，η）≤ v-（T，η）≤ -ε表示|η-η| ≤ ε.接下来，我们可以找到ξ<ε，并通过vδ，ε，k，ξ来定义函数：=（v-∨ （ψδ，ε，k+ξ）onB（T，η，ε），v-外侧B（T，η，ε）。与步骤（iii）类似，我们得到vδ，ε，k，ξ∈ 五、-, 但vδ，ε，k，ξ（T，η）=v-（T，η）+ξ，这给出了一个矛盾。然后让我们反转时间，考虑s：=T- t、 然而，为了表示的简单性，如果没有混淆的话，让我们继续使用t代替s。变分不等式可用min（eV（t，η；x）表示- f（T- t） ，z）-bV（t，x- f（T-t） ，z，η），eV（t，η）t型- LeV（t，η））=0，（4.8），其中LeV（t，η）=-λ(η - u)电动汽车η（t，η）+σu电动汽车η（t，η），条件ev（0，η）=0。让我们将其等效表示为（F（t，η，v，vt，vη，vη）=0，on（0，t）×R，v（0，η）=bV（0，x- f（0），z，η），对于任何η∈ R、 （4.9）式中，F（t，η，v，vt，vη，vη）：=minnv-bV公司，vt型- Lvo。我们还有连续区域C={（t，η）∈ （0，T）×R:eV（T，η；x- f（T- t） ，z）>bV（t，x-f（T- t） ，z，η）}。提案4.1。[比较原理]设u，v分别为（4.9）的u.s.c粘度下解和l.s.c粘度上解。如果u（0，η）≤ v（0，η）在R上，那么我们有u≤ v on（0，T）×R.Proof。我们将遵循并修改[5，28]中的一些参数，以适应我们的设置。假设u（0，η）≤v（0，η）在R上，我们将证明u≤ v在[0，T]×R上。我们首先构造系统（4.9）的严格上解，并适当地扰动v。让我们回顾一下≤ 0，B≤ 0和C在备注A.1中以某个常数为界。

此外，我们知道bv（t，x- κt，z，η）≤ 0.让我们将一个常数固定到一个足够小的值，使λ>Cσu，并设置ψ（t，η）=Cet+eCη，其中一些C>1。我们有ψt型- Lψ=Cet+Ch2（λ- Cσu）η-2λuη -σuieCη≥Cet+C-2(λ -Cσu）σu- λu2(λ - Cσu）>C+C-2(λ -Cσu）σu- λu2(λ - Cσu）。然后我们可以选择C>1足够大，以便C+C-2(λ-Cσu）σu-λu2(λ-Cσu）>1，这保证了ψt型- Lψ>1。（4.10）让我们定义v∧：=（1- ∧）v+∧ψ在[0，T]×R上，对于任何∧∈ (0, 1). 它跟在V∧后面-bV=（1- ∧）v+∧ψ-bV=（1- ∧）v+∧（Cet+eCη）-bV公司≥ (1 - ∧v+∧（Cet+eCη）+∧bV-bV>（1- ∧）（v）-bV）+∧C>∧，（4.11），其中我们使用v-bV公司≥ 最后一个不等式为0。从（4.10）和（4.11），我们可以推导出∧的∈ （0，1），v∧是一个上解v∧-bV公司，v∧t型- Lv∧≥ Λ.（4.12）为了证明比较原则，有必要证明sup（u- v∧）≤ 0表示所有∧∈ （0，1），因为通过将∧设为0获得所需结果。为此，我们将通过显示一个矛盾并假设存在一些∧来证明这一主张∈ （0，1）使得M：=sup（u- v∧）>0。很明显，u、v和BV具有相同的生长条件：鉴于A、B、C和BV的显式形式，可以得出如下结论：对于某些K<0的情况，BV在t中有生长条件，对于某些K<0的情况，BV在ηaseKη中有生长条件；另一方面，ψ在t中有生长条件，在η中有生长条件，在eCη中有生长条件。因此，我们有u（t，η）-v∧（t，η）=（u-(1-∧）v-∧ψ）（t，η）至-∞ 作为t→ T、 η→ ∞.因此，u.s.c.功能（u- v∧）达到其最大值M。让我们考虑u.s.c.函数Φε（t，t′，η，η′）=u（t，η）-v∧（t′，η′）-φε（t，t′，η，η′），其中φε（t，t′，η，η′）=2ε（（t-t′）+（η-η′），ε>0，且（tε，t′ε，ηε，η′ε）达到Φε的最大值。

我们有mε=maxΦε=Φε（tε，t′ε，ηε，η′ε）→ M和φε（tε，t′ε，ηε，η′ε）→ ε时为0→ 0.（4.13）让我们回顾一下粘度溶液在超级喷射和主题方面的等效定义。特别是，我们将“P2，+u（\'t，\'η）”定义为元素集（\'q，\'k，\'M）∈ R×R×R满足u（t，η）≤ u（\'t，\'η）+q（t-\'t）+\'k（η）-η）+M（η-η）+o（（t-\'t）+（η-η)). 我们定义了“P2，-v∧（\'t，\'η）类似。感谢Crandall-Ishii\'slema，我们可以找到Aε，Bε∈ R使得（tε- t′εε，ηε- η′ε，Aε）∈\'P2，+u（tε，ηε），（tε- t′εε，ηε-η′ε，Bε）∈(R)P2，-v∧（t′ε，η′ε），σ（ηε）Aε- σ（η′ε）Bε≤ε(σ(ηε) -σ(η′ε)).通过结合u的粘性亚溶解性质（4.5）和v∧的粘性严格上解性质（4.12），我们得到了Minnu（tε，ηε）-bV（tε，x- f（tε），z，ηε），tε-t′ε-ηε- η′εb（tε，ηε）-σ（ηε）Aεo≤ 0，（4.14）minnv∧（t′ε，η′ε）-bV（t′ε，x-f（t′ε），z，η′ε），tε- t′ε-ηε- η′εb（t′ε，η′ε）-σ（η′ε）Bεo≥ ∧，（4.15），其中b（tε，ηε）=-λ(ηε- u），σ（ηε）=σu，b（t′ε，η′ε）=-λ(η′ε- u）和σ（η′ε）=σu。如果u-bV公司≤ 0英寸（4.14），则因为v∧-bV公司≥ ∧在（4.15）中，我们得到u- v∧≤ -∧<0，与sup（u）矛盾-v∧）=M>0。另一方面，如果u-bV>0 in（4.14），那么我们有（tε-t′ε-ηε-η′εb（tε，ηε）-σ（ηε）Aε≤ 0，tε-t′ε-ηε-η′εb（t′ε，η′ε）-σ（η′ε）Bε≥ Λ.此外，结合上述两个不等式，我们得出ηε- η′ε（b（tε，ηε）-b（t′ε，η′ε））+2ε（σ（ηε）-σ(η′ε))≥ηε- η′ε（b（tε，ηε）-b（t′ε，η′ε））+（σ（ηε）Aε- σ（η′ε）Bε）≥ Λ.第一个不等式由Crandall Ishii引理得出。此外，通过让ε→ 0，我们得到ηε-η′ε（b（tε，ηε）-b（t′ε，η′ε））+2ε（σ（ηε）- 由于（4.13），σ（η′ε））=0。因此，我们有0≥ ∧>0，这导致了冲突，因此我们的索赔成立。引理4.5。对于所有（t，η）∈ C在延拓区域，eV在（2.7）中具有H¨older连续导数。证据该证明紧随【16】第6.3节的论点。

首先，让我们回顾一下（4.16）电动汽车t（t，η）+λ（η- u)电动汽车η（t，η）-σu电动汽车η（t，η）=0，在C上。粘度溶液eV到（4.8）的定义给出eV是（4.16）的上解。另一方面，对于任何（\'t，\'η）∈ C、 设ν为Ctest函数，使得（\'t，\'η）为v的最大值-有ev（\'t，\'η）=~n（\'t，\'η）。根据C的定义，我们有EV（\'t，\'η）>bV（\'t，x- f（\'t），z，\'η），因此φt（\'t，\'η）+λ（η- u)φη（\'t，\'η）-σuφη（\'t，\'η）≤ 0，这是由于EV至（4.8）的粘度子溶液特性。因此，EV是一个粘度亚溶液，因此粘度溶液为（4.16）。让我们考虑一个初始边值问题：-wt（t，η）- λ(η - u)wη（t，η）+σuwη（t，η）=Q上的0∪ BT，w（0，η）=B上的0，w（t，η）=bV（t，x- 这里，Q是C中任意有界的开放区域，Q位于条带0<t<t中。B=(R)Q∩ {t=0}，~BT=(R)Q∩ {t=t}，BT表示▄BT的内部，B表示▄B的内部，sde注意到Q的边界位于条带0中≤ t型≤ [16]中的定理3.6给出了Q上解w的存在性和唯一性∪ BTto（4.17），溶液w具有H¨older连续导数wt，wη和wηη。因为溶液w是粘度为Q上（4.16）的溶液∪ BT，根据粘度解的标准唯一性结果，我们知道在Q上ev=w∪ BT.作为Q C是任意的，因此eV在连续区域C中具有相同的性质。因此，eV具有H¨older连续导数evt、eVη和eVη。最后，我们可以证明定理2.1。证据我们已经展示了不等式v-= 支持∈五、-p≤电动汽车≤ v+=infq∈引理4.4中的V+q。利用命题4.1中的比较结果，我们还得到了v+≤ v-. 把所有的部分放在一起，我们得出结论：v+=eV（t，η）=v-因此，值函数ev（t，η）是HJBVI（2.9）的唯一粘度解。

通过遵循[13]中定理1的类似论点，确定Ft适应的停止时间τ*定义的In（2.11），It^o-Tanaka公式（见定理IV.1.5，【32】的推论IV.1.6）可以应用于V（t，ut）的H¨older连续导数v（t，η），我们得到bv（τ*∧ τn，x- κτ*∧ τn，z，uτ*∧τn）=eV（t，ut）+hbV（τ*∧ τn，x- κτ*∧ τn，z，uτ*∧τn）-eV（τ*∧ τn，uτ*∧τn）i+Zτ*∧τntσu电动汽车η（s，us）dBs+Zτ*∧τnt“eV（s，us）t+LeV（s，us）#ds，其中τn↑ T为定位序列。通过采用条件期望和τ的定义，seV（t，η）满足HJBVI（2.9）*在（2.11）中，我们得到ethbv（τ*∧ τn，x- κτ*∧ τn，z，uτ*∧τn）1{τ*≤τn}i+EtheV（τn，uτn）1{τ*>τn}i=eV（t，ut）通过取τ与支配收敛定理的极限，我们可以验证ethbv（τ*, x个- κτ*, z、 uτ*)i=eV（t，ut），因此τ*是最佳进入时间。最后，讨论了t=0和τ之间的鞅性质*遵循随机次解和随机上解的定义。此外，我们还可以很容易地验证复合值函数的以下灵敏度结果。引理4.6。我们对值函数v（t，η）具有以下敏感性：（i）假设α>和δ>0都是定义习惯形成过程的常数，例如δ>α。我们得到ev（t，η；α，δ）在δ中减少，在α中增加。（ii）如果初始习惯Zin增加，则值函数V（t，η）减少。（iii）如果信息成本率κ增加，则任何t<t的值函数v（t，η）减少。证据通过定义V（t，η）和V（t，x）的显式形式- κt，z，η）in（3.7）和m（t）in（2.8），对于给定的δ>α，很明显bv（t，x-κt，z，η）在δ中减少，在α中增加，这意味着ev（t，η）具有相同的灵敏度特性。同样，很明显bv（t，x- κt，z，η）减小，而锌增加，henceeV（t，η）在z减小。

最后，bV（t，x- k t，z，η）如果x- κt减少，很容易得出ev（t，η）在κ中减少的结论。附录A.辅助常微分方程的显式解决方案我们的常微分方程问题（3.4）、（3.5）、（3.6）与[8]中的终端财富优化问题的常微分方程类似，其中有一些深刻的观察结果表明，我们可以通过用常数系数解出以下五个辅助常微分方程来解决这些具有时间依赖性效率的常微分方程，详细讨论见[8]第4节。引理A.1。对于k≤ t型≤ s≤ T，让我们考虑a（T，s）、b（T，s）、l（T，s）、w（T，s）和g（T，s）的以下辅助常微分方程：at=-2(1 - p+pρ）1-pσua+2λ -2pρσu（1- p） σS一-p2（1- p） σS，（A.1）bt=-2(1 - p+pρ）1-pσuab- 2λ′ua+λ -pρσu（1- p） σSb、 （A.2）lt=- σua-(1 - p+pρ）σu2（1- p） b类- λ′ub，（A.3）重量=- 2(1 - ρ） σuw+2λσS+ρσuσSw+2σS，（A.4）gt=σu（1- ρ） （w）- a） 。（A.5）终端条件A（s，s）=b（s，s）=l（s，s）=w（s，s）=g（s，s）=0。直接替换和计算表明，常微分方程（3.4）、（3.5）、（3.6）的解分别由a（t，s）：=a（t，s）（1）给出- p）1.- 2a（t，s）^∑（t）, B（t，s）：=B（t，s）（1- p）1.-2a（t，s）^∑（t）,C（t，s）：=1-phl（t，s）+∑（t）1.-2a（t，s）^∑（t）b（t，s）-1.-图片博客（photo blog）1.- 2a（t，s）^∑（t）-图片博客（photo blog）1.-2w（t，s）^∑（t）- pg（t，s）i.（A.6）按照【21】中的相同参数，我们实际上可以明确地求解辅助常微分方程（A.1）、（A.2）、（A.3）、（A.4）和（A.5），顺序是首先求解简单常微分方程（A.1）和（A.4）得到A（t，s）和w（t，s），然后通过求解常微分方程（A.2）和（A.5）得到b（t，s）和g（t，s）。最后，我们通过求解ODE（A.3）得出l（t，s）。

因此我们可以得到a（t，s）=p（1-e2ξ（t-s） ）2（1）- p） σSh2ξ-(ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s） i，b（t，s）=pλ′u（1- eξ（t-s） ）（1- p） σSξh2ξ-(ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s） ）i，l（t，s）=p2（1- p） σSλ′uξ-σuγγ- ξ!（s）-t） +pλ′uh（ξ+2γ）e2ξ（t-s）- 4γeξ（t-s） +2γ- ξi2（1- p） σSξ2ξ - (ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s） （）+pσu2（1- p） σS（ξ-γ） 日志2ξ -(ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s） ）2ξeξ（t-s）,w（t，s）=-2σS1-e2ξ（t-s） （σsξ+λσs+ρσu）+（σsξ- λσS- ρσu）e2ξ（t-s） ，g（t，s）=对数（σsξ+λσs+ρσu）+（σsξ- λσS- ρσu）e2ξ（t-s） 2σsξeξ（t-s） 哦！-(1 - p） （1）-ρ)2(1 - p+pρ）log（σSξ+λσS-ρσup1-p） +（σSξ-λσS+ρσup1-p） e2ξ（t-s） 2σsξeξ（t-s） 哦！-ρλ（s-t） 2（1- p+pρ）-ρσu（s- t） 2（1- p+pρ）σS，其中 := λ-2λpρσu（1- p） σS-pσu（1- p） σS>0，（A.7）和ξ：=√ =qγ- γγ，ξ：=q（1- ρ） σu+（λσS+ρσu）σS，γ：=（1）- p+pρ）1- pσu，γ：=-λ+pρσu（1- p） σS，γ：=p（1- p） σS。此外，如果γ>0，或γ>0，或γ<0，则很容易看出a、b、l、w和g是全局有界的。备注A.1。假设p<0，（A.7）显然成立，我们得到γ<0。我们可以看到a（t，s）≤ 0和b（t，s）≤ 0有界，1有界-2a（t，s）^∑（t）>1和1-w（t，s）^∑（t）>1。通过（A.6）中的表达式，我们可以得出A（t，s），B（t，s）和C（t，s）都在k上有界的结论≤ t型≤ s≤ T以及asA（T，s）=a（T，s）（1-p） （1）-2a（t，s）^∑（t））≤ 0和B（t，s）=B（t，s）（1-p） （1）-2a（t，s）^∑（t））≤ 0，代表k≤ t型≤ s≤ T附录B.验证理论证明我们首先表明，消费约束≥ zt在下一个引理中暗示了对受控财富过程的约束。引理B.1。当且仅当初始预算约束x≥ m（k）z已满。此外，对于每对（π，c）∈ A、 受控财富过程^Xπ，ct满足约束^Xπ，ct≥ m（t）Zt，k≤ t型≤ T、 （B.1）其中确定性函数m（T）在（2.8）中定义，并指在T证明时每单位生活水平的生活消费成本。

首先假设x≥ m（k）z，我们总是可以取πt≡ 0，且ct=zeRtk（δ（v）-α（v））dvfort∈ [k，T]。很容易验证^Xπ，ct≥ 0和ct≡ Ztso使（π，c）∈ A、 因此A不是空的。另一方面，从t=k开始，财富x和生活水平z，上瘾习惯约束ct≥ Zt，k≤ t型≤ T意味着消耗量必须始终超过满足ct=（δ（T））的生存消耗量ct=Z（T；\'ct）- α（t））(R)ctdt，(R)ck=z，k≤ t型≤ T、 （B.2）事实上，由于ztsaties dZt=（δtct- αtZt）dt，Zk=z≥ 0，约束ct≥ ZT意味着DZT≥ （δtZt- αtZt）dt，Zk=z.（B.3）通过（B.2）和（B.3），可以得到d（Zt- \'\'ct）≥ （δt- αt）（Zt- (R)ct）dt和Zk- \'ck=0，从中我们可以得到eRtk（δs-αs）ds（Zt- \'\'ct）≥ 0，k≤ t型≤ T接下来是ct≥ \'ct，相当于toct≥ zeRtk（δ（v）-α（v））dv，k≤ t型≤ T、 （B.4）定义指数局部鞅eht=exp-Rtk^uvσSd^Wv-Rtk^uvσSdv, k≤ t型≤ T由于^ut遵循动力学（2.4），我们得出^ut=e-tλη+(R)u（1- e-tλ）+Ztkeλ（u-t）∑（u）+σSσuρσSd^Wu。类似于[19]中推论3.5.14和推论3.5.16的证明，Beneˇs条件暗示Eh是关于(Ohm, FS，P）。现在，定义概率度量值asdePdP=eHT，Girsanov定理指出FWT：=^Wt+Rtk^uvσSdv，k≤ t型≤ T是（eP，（FSt）k下的布朗运动≤t型≤T） 。我们可以将财富过程改写为^XT+RTkcvdv=x+RTkπvσSdfWv。正如我们所看到的≥ 0，很容易看出rtkπvσSdfWvis是一个超级大分子良态(Ohm, FS、eP）。通过在EP下取期望值，我们得到x≥eEhRTkcvdvi。由于不等式（B.4），我们进一步得到了x≥ zeEhRTkexpRvk（δ（u）- α（u））dudvi。由于δ（t）和α（t）是确定性函数，我们得到x≥ m（k）z。

一般来说t型∈ [k，T]，按照相同的程序，我们可以在过滤FSt下取条件期望，并得到下一步≥ ZteE公司RTtexpRvt（δ（u）- α（u））dudvFSt公司.同样，由于δ（t），α（t）是确定性的，我们得到^Xt≥ m（t）Zt，k≤ t型≤ T我们最终可以证明内部控制问题的定理3.1。证据对于任意一对容许控制（πt，ct）∈ A、 It^o引理给出sdhv（t，Xt，Zt，ut）i=hGπt，ctV（t，Xt，Zt，ut）idt+VxσSπt+Vη∑（t）+σSσuρσSd^Wt，（B.5）其中，我们通过Gπt，ctV（t，^Xt，Zt，^ut）定义过程Gπt，ctV（t，^Xt，Zt，^ut）=Vt- α（t）ZtVt- λ（ut）- u）Vη+∑（t）+σSσuρ2σSVη- ctVx+ctδ（t）Vz+（ct- Zt）pp+πt^utVx+σSπtVxx+Vxη∑（t）+σSσuρπt.对于任何局部化序列τn，通过在[k，τn]上积分（B.5）∧ T]取期望值，我们有v（k，x，z，η）≥ EZτn∧Tk（cs- Zs）PPD+ 超高压（τn∧ T、 ^Xτn∧T、 Zτn∧T、 ^uτn∧T） i.（B.6）类似于[17]中的论点，让我们考虑一对固定的控制（πT，ct）∈ A=Ax，其中wedenote Ax是初始赋能x的容许空间。对于>0，很明显Ax Ax+和（πt，ct）∈ Ax+。此外，很容易看出^Xx+t=^Xxt+=^Xt+，k≤ t型≤ T由于过程Ztisde使用该消耗政策ct定义，在概率测度Px，z，η下，我们可以得到v（k，x+，z，η）≥ EZτn∧Tk（cs- Zs）PPD+ 超高压（τn∧ T、 ^Xτn∧T+，Zτn∧T、 ^uτn∧T） i.（B.7）单调收敛定理首先导致→+∞EZτn∧Tk（cs- Zs）PPD= EZTk（cs- Zs）PPD.为了简单起见，让我们表示Yt=^Xt- m（t）Zt. 定义（3.7）意味着：V（τn∧ T、 ^Xτn∧T+，Zτn∧T、 ^uτn∧T） =p（Yτn∧T+）pN1-pτn∧T、 LemmaB。1给出^Xt≥ m（t）ZT代表k≤ t型≤ 在任何容许控制下（πT，ct），我们得到Yτn∧T+≥  > 0, k≤ t型≤ T当p<0时，则为SUPN（Yτn∧T+p<p<+∞.（B.8）RemarkA。1给出A（t，s）≤ 0、B（t，s）和C（t，s）都在k上有界≤ t型≤ s≤ Tk≤ t型≤ s≤T