印度股市的程式化事实

帕累托定律是一种特殊的幂律，也称为分布幂律，其中Y是包含随机变量的概率。例如，P（S>x）=kxζ是一个帕累托定律。指数ζ与表示法律的单位无关。图8：尾部指数图。研究了随机变量的分布，并与指数分布进行了比较。分布的尾部是分布的一部分，其中| X |倾向于∞. 尾巴的厚度就是尾巴指数。分布可分为重尾分布或轻尾分布。重尾分布有一条不受指数尾约束的尾，而轻尾分布有一条低于指数尾的尾。在这里，我们只看尾部，而不看尾部开始之前的分布部分。在确定尾部指数时，选择尾部开始的分布点也很重要。考虑任何分布P（X），其累积分布函数F（X）=1F（X）由P r（X>X）=F（X）定义，因此对于某些ξ0，F（X）=X-1ξL（x），其中L（x）是大x的一些慢变函数。尾指数的尾分布P（x）是通过定义ξ得到的。使用小山。adapt（）函数在R的extrement fit包中，计算tailindex。图9显示了所有50种股票的价值。值得注意的是，回报率确实有很重的尾部，指数介于2到5之间。图9：收益率尾部指数。6条条件性重尾我们关注的最终风格化事实是条件性重尾。即使校正了波动率聚类的回报率（例如通过GARCH型模型），剩余时间序列仍然显示出严重的尾部。

然而，与无条件收益分配相比，尾部更不明显。如第4.2节所示，金融时间序列中存在波动性聚类。这可能导致第5节中观察到的回流分布出现严重的尾部。避免重尾的一种方法是将波动过程本身建模为一个时间序列，以捕获波动的聚类行为。这通常通过ARCH和GARCH模型实现。统计分析中的一般时间序列模型为：Xt=ut+t、 （3）这里，u是序列的条件平均值，即ut=E[Xt | Xt-1，Xt-2、···]和这是一个干扰术语。在传统的时间序列分析中，扰动项通常被假定为白噪声新息，条件平均值表示为过去观测值的函数：Xt=α+αXt-1+···+αpXt-p+t、 （4）其中这是一项白噪声创新。在这些假设下，XT的条件平均值是非常数且与时间相关的，但条件方差是一个固定量，等于边际方差。换句话说，在平均值中有一些短期记忆，但在方差中没有。我们正在寻求一种允许非恒定条件方差的增强公式。一种可能性是分解干扰项t=σtWt，其中σ是条件标准差，wt是白噪声创新。如果假设σ是先前实例的函数，我们得到的过程在方差中也具有短期记忆，因此可以用于波动率建模。因为σ是一个（有条件的）标准差，所以需要确保前面实例的函数是非负的。用线性组合实现这一点很麻烦，因为系数限制总是很棘手。相反，使用非线性方差函数模型更受欢迎。

其中一个模型是ARCH（自回归条件异方差）模型。A系列据说遵循一阶自回归条件异方差过程，简称ARCH（1），如果t=σtwt，σt=β+βt型-1.（5）这里是一个白噪声创新过程，平均值为零，单位方差。这两个参数是模型系数。ARCH模型有一些缺点。该模型假设正股票和负股票对波动性的影响相同。在实践中，众所周知，资产价格对正面和负面冲击的反应不同。在β应在（0，1）中的意义上是受限的/√3） 最后的第四刻。Thusa建议对标准ARCH模型进行大量扩展，参见Engle et al.（2012）的综述。对于GARCH（p，q）模型（广义自回归条件异方差），方差由σt=β+β给出t型-1+···+βqt型-q+γσt-1+···+γpσt-p（6）参数需要以下约束。对于阳性，weneedβ>0；β、 ···，βq-1.≥ 0; βq＞0；γ、 ···，γp-1.≥ 0; γp>0，为了达到稳定，我们需要β+····+βq+γ+····+γp<1。尾部指数为GARCH拟合残差。尾部仍然很重，GARCH拟合似乎对估计的尾部指数没有影响。这如图10所示。图10：GARCH固定收益的尾部指数。7结论研究了印度股市大量股票的程式化事实。在对有关程式化事实的文献进行简要调查后，对数据进行了描述。然后，使用R中提供的基本功能和工具箱分析事实。

根据所做的观察，得出并陈述了某些推论。在公认的程式化事实中，在印度市场发现的是聚合高斯性、波动性聚类、指数在0.2到0.4之间的绝对收益自相关幂律衰减、指数在2到5之间的重尾。特别是，这不包括具有有限方差和正态分布的稳定曲线。然而，很难确定尾部的精度。印度数据与发达市场列出的StylezedFacts数据存在一些显著偏差。我们发现了三个方面的差异：杠杆、自相关和不对称。此外，在大多数情况下，尾部指数不会因GARCH拟合而减少。下面分别讨论这些差异的意义。从发达市场的情况来看，中国的盈亏不对称发生了逆转。对于印度市场来说，回报的分布是正偏斜的。大多数股票的上涨幅度大于下跌幅度。Karpio等人（2007年）在欧洲新兴市场也观察到了同样的现象。这对投资者来说是有利的，因为等待特定数量的收益的时间比等待相同数量的损失的时间要短。大多数股票的杠杆效应是反向的，即收益率和波动率是正相关的。Black（1976）首先讨论了杠杆效应，他观察到，当价格下跌时，股票的波动性往往会增加。负杠杆的经验证据已被广泛记录，例如，见Bouchaud et al.（2001）。非对称GARCH模型旨在捕捉负杠杆和反馈效应。在印度市场，我们看到了积极的杠杆作用。因此，需要新的解释和新的模型。由于杠杆效应和损益对称性都有许多共同特征，Ahlgren等人。

（2007）试图将它们联系在一起。50只股票中有22只股票的回报率表现出显著的自相关。回报点与市场效率的自相关性。需要按照Poterba和Summers（1988）的思路进行更详细的研究。有必要找出自相关的原因和方向。例如，大量的噪音交易和短期投资者可能导致均值回归。对于投资者来说，收益自相关比随机游走要好，因为过去的收益对未来的收益具有预测能力，可以被捕获并用于投资决策。该分析可用于决定在印度数据的预测模型中测试什么。利用杠杆、不对称和自相关可以设计出几种不同于其他市场的新投资技术。参考文献【1】Ahlgren，P.T.H.、Jensen，M.H.、Simonsen，I.、Donangelo，R.andSneppen，K.（2007），“挫折驱动的股票市场动力学：杠杆效应和不对称”，《物理学A：统计力学及其应用》383（1），1–4。[2] Black，F.（1976），“股价波动变化研究”，《美国统计协会会刊》，商业和经济统计第177节。[3] Bouchaud，J.-P.、Matacz，A.和Potters，M.（2001），“金融市场中的杠杆效应：滞后波动模型”，物理评论信函87（22），228701。[4] Cont，R.（2001），“资产回报的经验性质：程式化事实和统计问题”，定量金融学1223–236。[5] Cristelli，M.（2014），《偏度和峭度综合动力学之间的普遍关系》，《金融市场的复杂性》，Springer，第141-150页。[6] Engle，R.F.、Focardi，S.M.和Fabozzi，F.J.（2012），“应用金融计量经济学中的Arch/garch模型”，金融模型百科全书。[7] Huang，W.和Zhang，Y。

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