具有概率分布的互联银行系统的贷款方案

为了计算方程式（30），我们引入了所谓的谷歌矩阵，例如参见[19，第2章]。我们假设，如果c+=1，则我们的网络由银行组成，而不仅仅是负债。如果c+=0，则不单独拥有负债，且至少与c相关+∈ (0, 1). 当然，与网络中的其他银行没有联系的银行不会被排名，因为他们的订单故障不会影响系统。另一方面，即使c的条件+∈ {0，1}不是必需的，它们保证了下一定义4.0.1中定义的矩阵所有元素的有界性。我们强调，为了避免上述限制，可以修改通过等式（28）分配到边的值，例如，如下所示：对于c+=1和对于每个i~ j、 定义γ+（i，j）=Li，j/（Nj）- 最小值（N）+1）+ 作为指定给边的修改值。定义4.0.1（谷歌矩阵）。设J是一个n×n矩阵，其条目均为1。AGoogle矩阵是由gd给出的n×n矩阵：=1- dnJ+d-→T，（31），其中d∈ 可以选择（0，1）来保证Gd的不可约性，而J是n×n矩阵，其所有条目均为1.4.2具体案例研究13银行（i）1 2 3 4Xi5.2 6 13 3Pj~iLji15 4 15 RI0.3516 0.1342 0.9177 0.1275表1：银行排名比较。由于方程（31）中定义的矩阵为正，我们可以应用Perron–Frobenius特征值，它确保存在Gd的最大实特征值λ>0，实际上λ是所谓的显性Perron–Frobenius特征值。此外，还存在一个关联的特征向量，用RDS表示，通常称为Perron-Frobenius主导向量，它是严格正的和归一化的，其分量代表每家银行的评级。

让我们回顾一下，d通常被选择为大约等于0.85，参见，例如，【19】。因此，建议的排名程序包括计算以下序列rd=d∞Xk=0（1- d） k（Gd）k1，其中我们用1表示一个n维向量，其条目都等于1。4.2具体案例研究在下文中，我们考虑一个旨在计算排名的银行系统。首先，我们正在考虑一个LOLR，该LOLR愿意拯救那些破产将导致无力偿还债务的银行，即c+=0，意味着c-= 1、根据我们在前面章节中所看到的内容，另请参见【19】，我们假设d=0.85，我们考虑的银行体系负债矩阵和现金向量如下，相关图表见图2：L=0 0 10 05 0 5 50 0 0 010 4 0 0, X个=5.2.让我们注意到，可以通过【12】中提出的方法，从外汇市场结算生成的合成数据开始，对L和X的代理进行评估。然而，本文的目的是关注LOLR策略，该策略应具有有关金融市场的完整信息，因此，我们不讨论估算程序的技术细节。如定义4.0.1所述，相关的谷歌矩阵可计算如下GD=0.0375 0.8344 0.0375 2.30420.0375 0.0375 0.0375 0.94422.9352 0.8344 0.0375 0.03750.0375 0.8344 0.0375 0.0375,其中矩阵的特征值Gdareλ=1.2892，λ=-0.8449, λ= -0.1472+0.3982i，λ=λ。对应于最高特征值isR=v的特征向量的绝对值=0.3516 0.1342 0.9177 0.1275第三家银行是排名最高的银行。事实上，很容易注意到，其违约将导致第一家银行违约，然后导致破产级联。这是因为第三家银行在系统上比其他银行更重要。

请注意，到期金额是系统安全需要考虑的最重要方面。我们在表1中报告了进一步的考虑。4.3 PageRank方法下的LOLR策略14图2：表示银行系统的图：节点报告每家银行的现金价值，而定向边表示从一家银行向另一家银行贷款的金额。备注4.1。查看图2和表1，我们可以看到，尽管第一家和第三家银行拥有与其他银行相同的金额，但它们的排名却存在显著差异。这是因为银行3拥有银行1，其破产可能会导致银行1违约。在本例中，由于系统规模较小，银行3违约造成的级联效应将随着两家银行违约而停止，而相反，这种效应在大型网络中会加剧。4.3 PageRank方法下的LOLR策略在下文中，我们将描述如何适应第3节中所述的LOLR问题，以确保对网络健康更重要的银行更灵活。此类策略通常被称为系统重要性驱动（SID）策略，详情请参见附录B。我们记得，LOLR的目的是通过（9）约束的方程式（8）最大限度地减少银行救助的支出，即保证银行i不会违约的概率。让我们定义一个相同的概率约束q∈ [0，1）对于所有银行，因此采用了类似于[7]中引入的最大流动性（ML）策略的平等政策，参见附录B。

我们注意到，ML战略不保证任何银行享有任何特权，这将导致LOLR向系统重要性银行提供与那些失败不会造成连锁影响的银行相同的金额。后续分析的主要思想在于将概率约束定义为分配给每个银行的排名的递增函数。也就是说，我们有qi=f（Ri），对于f:R+→ [0，1）递增函数，如第4.1节所示，Ri是银行i的排名。

请注意，要求f=0 theOLR将再次限制为ML策略。在[7]中，我们已经表明，选择f作为递增函数，可以为具有核心-外围结构的网络的健康状况提供更方便的场景，而通常情况下，银行网络具有密集的内聚核心，外围连接较少。回到第4.2小节中已经定义的网络类型，见图2，我们假设LOLR分配以下概率约束Qi=0.9+0.05·{Ri>0.5}+0.04·{Ri>0.75}；（32）我们对网络进行单周期模拟，见图2，取t=0和t=1。为了简单起见，我们假设所有负债在时间T到期，并且它们在时间上呈指数增长，固定增长率r=0.08，即L（T）=L er T，对于T∈ [0, 1] .4.3 PageRank方法下的LOLR策略15图3：100个模拟银行1的进化（顶部面板），100个模拟银行3的进化，无LOLR干预（中间面板），100个模拟银行3的进化，有LOLR干预（底部面板）。结论16此外，我们假设现金向量的动态演化遵循几何布朗运动演化，即：dXt=Xt（0.2 dt+0.1 dWt），dXt=Xt（0.15 dt+0.25 dWt），dXt=Xt（0.3 dt+0.2 dWt），dXt=Xt（0.05 dt+0.4 dWt）。然后，根据等式（25），我们得到了银行的对数切换区域yi，i=1，4，如下所示：y=1.622593，y=0，y=2.97332，y=0，q=0.9，q=0.9，q=0.99，q=0.9。回顾他们必须小于对数初始财富Xi（0），以保证概率约束的完整性。因此，如果sincelog（X（0））=1.6487，log（X（0））=1.7918log（X（0））=2.5649，log（X（0））=1.0986，则LOLR必须干预控制组3。

请注意，LOLR不必干预银行2和4，因为它们的贷项多于借项，因此它们不会面临破产，而银行1和3则相反。对于q=0.95，我们将得到havey=1.6589，需要LOLR干预，也需要在银行1中注入资金。图3（顶部面板）显示了银行1和银行3在有无LOLR干预的情况下的100个演变模拟。由于1号银行的生存概率大于q=0.9，因此LOLR不会干预，而实际上其违约概率约为0.062。显然，要求q=0.95意味着LOLR必须干预向银行1贷款。在中间的图3中，有100个与银行3相关的流程模拟；由于q=99%，银行3的违约概率为0.388，LOLR将在其现金储备中注入资本。在最优资本注入后，银行3面临违约事件的概率为0.01，参见下图3，以了解在LOLR将要干预的情况下，银行3的100个模拟的表示。让我们强调一下，我们分析的简单案例研究是为了提供尽可能清晰的示例，尽管如此，因为我们得出的所有分析结果都是封闭形式，一般复杂网络也可以在理论上进行处理。显然，随着图形连接等级的增加，我们在计算感兴趣的数量时有了指数级的增长。5结论在目前的工作中，我们推导出了一个封闭形式的解决方案，用于在银行破产的特定终端概率约束下对银行间贷款进行最优控制。

所得结果可应用于互连银行系统，提供网络解决方案。我们还展示了一种简单而直接的方法来推导所研究网络中任何节点的相对重要性。我们想强调的是，这样一个排名值对于确定可接受的失败概率至关重要，它修改了金融监管机构的最终最优策略，旨在控制系统，防止全球危机成为普遍性的失败。本文给出的结果是更广泛研究计划的第一步。特别是，在未来的工作中，我们将考虑检查时间的顺序，每个检查时间的特点是监理人可能会考虑不同的约束条件。在这种情况下，可通过反向归纳法获得解决方案，参见【8，22】，应用于此处导出的结果。此外，作为进一步的发展，我们将考虑一个框架，在该框架中，故障可能会在时间上连续发生，因此在终端故障之前的任何时候都会施加严格的限制。参考文献17参考文献[1]Bielecki、Tomasz R.和Marek Rutkowski。“信用风险：建模、估价和对冲”，《斯普林格科学与商业媒体》，2013年。【2】Black、Fischer和John C.Cox。“公司证券估价：债券契约条款的一些影响。”《金融杂志》31.2（1976）：351-367。[3] Bokanowski、Olivier、Athena Picarelli和Hasnaa Zidani。“通过可达性方法的状态约束随机最优控制问题”，《暹罗控制与优化杂志》54.5（2016）：2568-2593。[4]Bouchard，Bruno，Romuald Elie和Nizar Touzi。“具有受控损失的随机目标问题。”《暹罗控制与优化杂志》48.5（2009）：3123-3150。[5] Bouchard、Bruno、Romuald Elie和Cyril Imbert。

“随机目标约束下的最优控制”，《暹罗控制与优化杂志》48.5（2010）：3501-3531。[6]Bouchard、Bruno和Ngoc Minh Dang。“损失约束下定价和部分套期保值的广义随机目标问题在最优账面清算中的应用。”《金融与随机》17.1（2013）：31-72。[7] 卡波尼、阿戈斯蒂诺和彭楚珍。“金融网络中的系统性风险缓解”，见SSRN 2293426（2013）。[8]Cordoni、Francesco和Luca Di Persio。“具有多个随机终端时间的随机控制问题的最大原理。”arXiv预印本arXiv:1801.07216（2018）。[9] 科多尼、弗朗西斯科和卢卡·迪佩西奥。“交易对手风险和抵押下采用延迟生成器方法定价的BSDE”，《2016年国际随机分析杂志》（2016）。[10]Cordoni、Francesco和Luca Di Persio。“动态随机边界条件下网络的高斯估计。”有限维分析，量子概率和相关主题20.01（2017）：1750001。[11] 科多尼、弗朗西斯科和卢卡·迪佩西奥。“具有动态时滞边界条件的网络上的随机反应扩散方程”，《数学分析与应用杂志》451.1（2017）：583-603。[12]Docherty，P.，Wang，G.“使用合成数据评估RTG对澳大利亚支付系统中系统风险的影响”，《金融杂志》Stab.6（2），103-117（2010）。[13]Eisenberg，Larry和Thomas H.Noe。“金融系统中的系统性风险”，《管理科学》47.2（2001）：236-249。[14]Grüne、Lars和Athena Picarelli。“Zubov的状态约束控制差异方法。”非线性微分方程和应用NoDEA 22.6（2015）：17651799。[15] 兰多，D。。“关于考克斯过程和信用风险证券”，《衍生品研究评论》2（2）：99-120（1998）。[16]亚历山大·利普顿。

“现代货币回路理论、互联银行网络的稳定性和单个银行的资产负债表优化”，《国际理论和应用金融杂志》19.06（2016）：1650034。[17]默顿，罗伯特C.《连续时间模型中的最优消费和投资组合规则》《经济理论杂志》第3期，373-413页（1971年）。[18] 默顿，Robert C.“关于公司债务定价：利率的风险结构”，《金融杂志》29.2（1974）：449-470。金融网络系统风险的一般框架18【19】Mugnolo，D.“网络演化方程的半群方法”，Springer（2014）。【20】Ozgoren，M.K.，R.W.Longman和C.A.Cooper。“随机最优控制理论中的概率不等式约束”，《数学分析与应用杂志》66.1（1978）：237-259。[21]Page，S.Brin，R.Motwani和T.Winograd。“PageRank引文排名：将订单引入网络。”技术报告。斯坦福信息实验室（1999年）。【22】Pham，Huyên.《逐步扩大过滤和应用于多重违约风险管理下的随机控制》，《随机过程》，应用120（2010），第91795-1820号。【23】Rogers，Leonard CG和Luitgard AM Veraart.《银行间网络中的故障和救援》《管理科学》59.4（2013）：882-898。【24】Soner、H.Mete和Nizar Touzi。“随机目标问题和几何流的动态规划”，《欧洲数学学会杂志》4.3（2002）: 201-236.金融网络系统性风险的一般框架请首先介绍正确处理我们感兴趣的一般金融情景所需的数学符号。特别是，我们考虑一个由n组成的图G确定的有限连通金融网络∈ N顶点v，vn，对应于n个银行，和m∈ N边e。

，E假设在区间[0，1]上归一化，这表示n个银行之间的相互作用。在下文中，我们将使用希腊字母α、β、γ=1，mto表示边，而i，j，k=1，n、 将表示顶点。我们参考【10、11、19】，了解更多详细信息，该图的结构基于关联矩阵Φ：=Φ+- Φ-, 式中，SUM为预期组件，Φ=（φi，α）n×m，以及传入关联矩阵Φ+=φ+i，αn×m，出射关联矩阵Φ-=φ-i、 αn×m，其中φ+i，α=（1 vi=eα（0），否则为0，φ-i、 α=（1 vi=eα（1），否则为0。特别地，我们将说边eα与顶点viif |φi，α|=1相关联，因此Γ（vi）={α∈ {1，…，m}：|φi，α|=1}，表示顶点vi的关联边集。我们还引入了邻接矩阵xi=（i，j）n×n，定义为i：=i++i-, 我在哪里+=ι+i，jn×n，分别为。我-=ι-i、 jn×n是邻接矩阵，分别为。传出邻接矩阵，定义为ι+i，j=（1存在α=1，…，m：vj=eα（1），vi=eα（0），否则为0，ι-i、 j=（1存在α=1，…，m:vj=eα（0），vi=eα（1）。否则为0。请注意，由于I+=（I-)T、 然后我们得到，I在主对角线上是对称的，有空条目。与卡波尼等人的论文相比【7】19B与卡波尼等人的论文相比【7】如上所述，财务设置主要由【13】借用，作为贷款系统的制定，并从【7】借用，用于与外部监管机构的最优控制问题，以确保系统的整体健全性。本节将与[7]进行比较。