具有概率分布的互联银行系统的贷款方案

（PC）3.1随机目标问题的简化在本节中，我们将正式介绍与等式（8）中定义的控制问题相关的Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程，受等式（9）给出的约束，从而将相关的最优控制问题简化为随机目标问题。我们强调，在下面的内容中，由于最优控制问题的结构，我们将重点关注单代理i。特别是，为了避免重标记，如果没有另外说明，我们将表示为shortX：=Xi。利用等式（11）给出的值函数形式，并将等式（PC）中的终端概率重写为期望值，即PX（T）≥ v英尺= E[X（T）≥五]英尺,然后我们有下面的引理3.1。对于具有终端概率约束的随机最优控制问题，当且仅当存在一个自适应子鞅（P（s））s时，终端概率约束成立∈[t，t]这样P（t）=q，P（t）≤[X（T）≥v] 。3.1随机目标问题的简化6证明。让我们首先证明(<=): 因为P（s）是次鞅，所以我们有[X（T）≥五]≥ E【P（T）| Ft】≥ P（t）=q。证明逆向含义(=>), 让我们首先表示Q：=E[Xs（T）≥五],P（s）：=E[Xs（T）≥五]Fs公司- （q）- q） ，其中xs表示初始时间为s的解决方案∈ [t，t]，那么P是一个适应鞅，下面的声明如下。我们注意到，当概率约束有效时，次鞅P由P（s）=E给出[X（T）≥五]Fs公司,因此，P实际上是一个自适应鞅，我们得到了新的状态变量P（s）=q+ZTtαP（s）dW（s），（12），其中αP，取R中的值，是一个新的控制，它先验地不能假设有界，是从鞅表示定理推导出来的。备注3.2。

由于P代表满足终端约束所需的概率，我们可以在方程式（12）中定义P。asP（s）=q+ZTtP（s）（1- P（s））αP（s）dW（s），因此P位于[0，1]。在明确推导我们感兴趣并遵循[4，5，24]的HJB方程之前，让我们通过引入setD={（t，x，q）进一步简化我们的设置∈ [0，T]×Rn×[0，1]：[Xi（T）≥六]- Pi（T）≥ 0 P a.s.}，考虑到新的状态变量P，参见方程（12），通过【24】中证明的几何动态规划原理，我们可以定义值函数v（t，x，q）=infEt“nXi=1ZTtαi（s）ds#s.t.[Xi（t）≥六]- Pi（T）≥ 每年0美元。,（13） 其中Etis是条件期望w.r.t。过滤Ft。由于V在q中不递减，我们有V（t，x，0）≤ V（t，x，q）≤ V（t，x，1），q∈ （0，1），因此V（t，x，0）对应于无约束问题，其值函数由V（t，x，0）=0给出。关于上界，我们设置V（t，x，1）=∞, 我们将valuefunction扩展到[0，1]之外，分别设置V（t，x，q）=0。V（t，x，q）=∞, 对于q<0，分别。对于q>1。然后，让我们介绍必须由无约束最优控制hx（x，α，p，Qx）=（ux+α）·p+σxQx+kαk（14）满足的哈密顿量，其中我们在上面表示了短ux：=（ux，…，unxn），σx=diag（（σx），（σnxn）），3.2一个有效的控制案例7表示n×n对角矩阵。直觉上，我们期望，当终端约束满足时，可以求解经典关联的HJB方程，其哈密顿量在方程（14）中给出，从而得出最优控制与无约束情况一致。

请注意，当前问题的最佳解决方案是α=0。对于约束情形，考虑到新的鞅过程P，我们必须考虑耦合dxi（s）=uiXi（s）+αi（s）ds+σiXi（s）dWi（s），dPi（s）=αiP（s）dWi（s），这样我们就可以定义约束哈密顿灰（X，P）（X，α，P，Qx，αP，Qxq，Qq）==（uX+α）P+σxQ+kαk+σxqqαP+αPQq，（15）当约束具有约束力时，它应该扮演相关问题的哈密顿量的角色。因此，与最优控制关联的HJB如下所示- 电视- infα∈AinfαP∈RH（X，P）（X，α，十五、，xV，αP，xqV，qV）=0，（16），其中，在上面和下面，为了便于记法，我们避免显式写出V（t，x，q）的依赖性。如上所述，αp应该是无界的，这意味着相关的哈密顿量可能是有限的。自以下情况起，保持sh（X，P）（X，α，P，Qx，αP，Qxq，Qq）≥ HX（x，α，p，Qx），为了计算H（x，p）w.r.t.αp的最小值，我们可以利用αp=-σxqxqq，当插入方程式（15）时，给出H（X，P）infαP的以下最小值∈RH（X，P）=H（X，α，P，Qx，Qxq，Qq）==（ux+α）p+σxQx+kαk-2Qqσxqxqq>0，（ux+α）p+σxQx+kαkQq=0，-∞ 否则（17） 因此，等式（13）中引入的关联值函数可解出以下方程- 电视- infα∈A'H（x，α，十五、，十五、，xqV，qV）=0，（18）根据终端条件v（T，x，q）=（0 x≥ v∞ 否则，其中哈密顿量H定义如等式（17）所示。3.2有效控制案例为了获得HJB方程（17）的闭合形式解，我们将进一步假设容许控制的形式为αi（t）=ψi（t）Xi（t），（19）3.2固定常数ψi的有效控制案例8∈ [0, Ψ], Ψ ∈ R+∪{∞}.

从金融角度来看，这意味着LOLR可以决定银行资产累积的利率，允许银行拥有更高的利率以降低失败的概率。在下面的内容中，我们导出了LOLR必须给每个银行的最优利率ψ的显式解，以保证其最终生存概率。策略如下：给定最优控制问题的结构，我们可以分别分析每个节点i，其中我们将值函数的形式设定为V（t，x，q）=Pni=1Vi（t，xi，qi），其中每个Vi被视为关于元素i的最优问题的值函数。因此，对于每个参与者i，我们通过函数γi（t，x，q）的等高线计算上述问题的解，首先确定值函数Vi的域边界，然后明确计算域内部的等高线。我们强调，在接下来的计算中，对任何银行i都是独立进行的，但为了简洁起见，我们将省略指数i。首先注意，给定初始数据和所需生存概率q，它认为P（X（T）≥ v（T））≥ 则最优控制由ψ给出≡ 0，然后是值函数v（t，x，q）≡ 因此，我们计算了三个不同的域，以闭合形式获得了两条分割这些域的切换曲线。第一个区域Γ是约束不具有约束力的区域，这意味着最优控制由ψ给出≡ 0、从财务上讲，只要银行的价值在区域Γ内，银行就满足了生存概率方面的LOLR要求，这意味着它不需要进一步的帮助来增加其流动性。回想一下，银行的价值越高，银行就越安全。第二个区域的特征是条件Γψ。

在该区域，最优控制超过了LOLR愿意给予的最大速率ψ，这意味着终端约束不满足，值函数V发散。最后一个域由Γ表示，由一个绑定终端约束表示，这里的最优控制ψ∈ （0，ψ）必须明确计算。类似地，我们将用γ表示。γψ，分别为Γ和Γ之间的开关区。在Γ和Γψ之间。关于Γ，让我们定义节点i的最高可达概率asWH（t，x）：=sup{q:V（t，x，q）<∞} = supψ∈[0，ψ]PXt，x；ψ（T）≥ v（T）,式中，Xt，x；ψ（T）表示时间T的值，初始基准（T，x）和控制ψ∈ [0, Ψ].因此，当考虑最大容许控制ψ<∞, 通过It^o公式和Feynman–Kac定理，我们得到WH（t，x）解抛物型偏微分方程（WH（t，x）（t，x）=[[v（t），∞)]（x） ，则，-tWH（t，x）=xWH（t，x）（u+ψ）x+σxxWH（t，x），其解可以显式计算为：Wh（t，x）=P对数Xt，x；ψ（T）≥ 对数v（T）== PW（T- t）≥σ对数V（T）x-u + Ψ -σ（T- t）==1.- Erf公司对数V（T）x-u + Ψ -σ（T- t） p2σ（t- t）==(1 - Erf（d（u，ψ，σ，T- t） ），（20）带d（u，ψ，σ，t- t） ：=对数V（t）x-u + Ψ -σ（T- t） p2σ（t- t） ，3.2有效控制案例9和Erf表示错误函数。对于WH（t，x）=q∈ （0，1），我们有（1- Erf（d（u，ψ，σ，T- t） ）=(R)q，通过求解ψ，我们得到了隐式形式的边界区域ψ=γψ（t，x；(R)q）=σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t、 （21）ρ：=√2 Erf-1(1 - 2'q）。因此，对于所需的成功概率q，控制问题在Γψ=（（t，x）中不可行：σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t> ψ）因此，对于γψ（t，x；(R)q）左侧内的起始数据（t，x），见等式（21），无法满足终端约束，见图1。

如果ψ=∞, 也就是说，LOLR愿意给出一个可容许的有限回报率，任何一点都是可控的，因此我们总是可以找到一个可容许的控制，从而达到终端概率约束。关于Γ，计算我们得到的无作用区域w（t，x）=PXt，x；ψ（T）≥ v（T）==(1 - Erf（d（u，ψ，σ，T- t） ，然后假设W（t，x）=q∈ （0，1），我们有（1- Erf（d（u，ψ，σ，T- t） ）=’q，通过求解ψ，我们得到了边界区域0=γ（t，x；’q）=σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t、 （22）式中ρ：=√2 Erf-1(1 - 如前所述，我们只剩下以下无作用区Γ=（（t，x）：σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t<0），因此，给定一个起始值（t，x）∈ Γ，满足终端约束，最优回报由零控制ψ给出≡ 最后，作用区域Γ是由Γ和Γψ分隔的区域，即Γ=（（t，x）：0）<σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t<ψ）。因此，为（t，x）∈ Γ，控制器必须找到最优控制，以便最终概率约束保持不变。通过计算具有固定常数控制的可达集，即w？ψ（t，x）=PXt，x；ψ（T）≥ v（T）= Eh[[v（T），∞)]Xt，x；ψ（T）i、 3.2有效控制案例10图1：最优控制问题不同领域的表示。如上所述，我们得到w？ψ（t，x）=P对数Xt，x；ψ（T）≥ 对数v（T）=1.- Erf公司d（u，(R)ψ，σ，T- t型,（23）这意味着？ψ=γ？ψ（t，x；？q）=σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t。

（24）到目前为止，我们所获得的结果必须如下所示：如果自治进程Xt，x；0（T）已经满足终端概率约束，那么解决无终端约束的控制问题是最优的，在当前情况下，其解由零控制给出。因此，对于固定q∈ （0，1），如果（t，x）∈ Γ，最优控制ψ由γψ（t，x；q）给出=σ- u+logv（T）xT- t型-σρ√T- t=ψ，（25）上述区域的表示见图1。此外，沿曲线w′ψ（t，x），最终成功概率保持不变，因此最优控制由常数控制′ψ给出。作为沿W？ψ（t，x）的节点i常数的最优控制，然后利用方程（13），上述控制问题的值函数如下t、 xi，W′ψi（t，xi）= （|i）（xi）e（2（ui+|i）+（σi））（t-T）- 12（ui+？ψi）+（σi）！，（26）因此我们有以下内容。定理3.3。最优控制问题（11）的值函数由v（t，x，W？ψ（t，x））=nXi=1Vi（t，xi，W？ψi（t，xi）），（27）给出，其中（i）if（t，xi）∈ 伊兰和齐∈ （0，1）使得γ′ψi（t，xi，q）=ψi，然后在等式（26）中给出V（t，xi，W′ψi（t，xi））。（ii）如果（t，xi）∈ 伊兰和齐∈ （0，1），则它保持Vi（t，xi，qi）=0。然后，如上式（27）所述，V定义了Γ上HJB式（18）的经典解∩ Γ.此外，方程（19）中给出了一类非线性控制中的最优控制，其中ψ如方程（24）中所示，应用于金融银行网络11Proof。最优控制问题的结构表明，每个节点的贡献可以单独处理，因此值函数的形式为（27），其中每个维康被视为节点i的最优控制的值函数。

如上所述，对于easeof表示法，我们将省略索引i。固定节点i，可以很容易地显示（t，x）∈ 我们有V（t，x，q）=0。Let（t，x）∈ 因此，沿着W？ψ（t，x），存活的最终概率是固定的，因此显式计算表明，方程（26）中定义的V解出了HJB方程（18）。观察mapq 7→ V（t，x，q）是非递减的，加上W？ψ（t，x）>Wψ（t，x），对于？ψ>ψ，我们得到了Vt、 x，Wψ（t，x）= -∞, ψ<ψ，因为等式（13）中的终端约束不满足。类似地，如果ψ>ψ，则W？ψ（t，x）<Wψ（t，x）。因此，与之前一样，V w.r.t.第三个变量q的非递减性质意味着Vt、 x，Wψ（t，x）> 五、t、 x，W′ψ（t，x）,方程（25）隐式给出的控制|ψ达到最小值。关于值函数正则性，请注意，它是区域Γ和Γ中的经典解。为了证明它是一个全局经典解，我们需要证明它在γ上是正则的。设'x切换曲线γ上的值，即对于固定（t，q），我们得到γ（t，'x，q）=0；那么自ψ起→ 0作为x→ \'\'x-我们有那个边缘→\'\'x-xV=0=极限→\'\'x+xV和LIMX→\'\'x-xV=0=极限→\'\'x+xV，因此值函数在Γ上是可微分的∪ Γ.4金融银行网络的应用在本节中，我们使用先前获得的结果来研究以银行互联网络为特征的真实应用程序。特别是，我们将展示之前计算的最优解如何修改此类网络的演化。

我们强调，为了可读性，我们将把结果应用于小型网络，即使由于最优解是以封闭形式计算的，我们的结果可以很容易地扩展到任意大系统。4.1 Pagerank在介绍该模型之前，让我们介绍一种明确的方法来解决网络中单个节点的相对重要性。特别是，这样的方法将用于系统地确定每个节点的生存概率。让我们注意到，在前面的章节中，我们已经说明了一个最优控制问题，然后在假设可接受的故障概率QI是一个内生选择的固定参数的情况下，通过推导其解来解决该问题。在接下来的内容中，我们提出了一个通用的、自动的标准来推断系统中每个节点的全局重要性。下一步计算利用已经使用的网络分析结果，例如，设置谷歌研究引擎的功能逻辑，参见，例如，[21]。根据第2节中介绍的网络公式，并使用[21]中得出的结果，我们展示了如何对网络中任何银行的相对重要性进行评分，计算其所谓的页面排名，从而选择最佳生存概率q。根据第2节中描述的框架，另见附录A，让我们考虑一个由相互关联的n个银行和相关的标准银行枚举组成的系统。也就是说，我们考虑了组集和顶点集V之间通常的一对一对应关系：={V，V，…，vn}，称为节点，而I：={1，2，…，n}是相关的索引集。

此外，考虑LOLR策略，其中对于每个vi∈ V默认概率约束参数qi取决于与ithbank相关的预定秩ria，即4.1 PageRank 12，表示其在网络中的系统重要性。在下文中，我们将考虑第2节中定义的图表。尤其是每个节点∈ V对应一个组，而边连接节点（vi，vj）∈ V×V，我们将下列量γ+（i，j）=c+Li，j+c联系起来-Lj，iNj- 最小值（N）+1，γ-（i，j）=c+Lj，i+c-Li，jNi- 最小值（N）+1，（28），其中，lettingL+j=Xi~jLij，L-j=Xi~jLji，（29）i~ j<==> vi，vjare connected，如果j银行将在实际时间偿还其债务，我们将其定义为Njas银行持有的资金净额，即Nj：=Xj+L+j- L-j、 此外，c+和c-是否选择了两个非负常数来表示到期债务的重要性，分别是。欠下的信贷。为了简单起见，由于c+和c-是指权重参数，我们设置c++c-= 注意γ+（i，i）=γ-（i，i）=0和γ-（i，j）=γ+（j，i），对于所有i，j∈ 一、 让我们分别介绍outdegree deg+γ的概念。indegree度-γ、 对于任何顶点vi∈ V，名称deg+γ（vi）=Xj∈Iγ+（I，j），度-γ（vi）=Xj∈Iγ-（i，j），并归一化（28）中定义的与图中任何边对（i，j）相关的数量-→τ（i，j）=γ+（i，j）deg+γ（vj），←-τ（i，j）=γ-（i，j）度-γ（vj）对应于i银行和j银行之间负债的线性组合比率，以及j银行的资产价值。此外，我们定义了矩阵-→T作为矩阵，其中心为-→τ（i，j），对于i，j∈ 一、 数量-→τ（i，j）是分配给每个定向边的权重。因此，与任何节点/组Vi相关的评级值由以下递归公式ID=dXj给出~我-→τ（i，j）Rjd，（30），其中d∈ （0，1）是要选择的参数，通常d=0.85，参见，例如，【19】。