具有概率分布的互联银行系统的贷款方案

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英文标题：
《A lending scheme for a system of interconnected banks with probabilistic
  constraints of failure》
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作者：
Francesco Cordoni, Luca Di Persio and Luca Prezioso
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
  We derive a closed form solution for an optimal control problem related to an interbank lending schemes subject to terminal probability constraints on the failure of banks which are interconnected through a financial network. The derived solution applies to a real banks network by obtaining a general solution when the aforementioned probability constraints are assumed for all the banks. We also present a direct method to compute the systemic relevance parameter for each bank within the network.
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中文摘要：
我们推导了一个最优控制问题的闭式解，该问题涉及一个银行间贷款方案，该方案受通过金融网络互连的银行破产的终端概率约束。当上述概率约束假设适用于所有银行时，通过获得一般解，导出的解适用于实际银行网络。我们还提出了一种直接计算网络中每个银行的系统相关性参数的方法。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> A_lending_scheme_for_a_system_of_interconnected_banks_with_probabilistic_constra.pdf (807.59 KB)

2022-6-14 07:22:51 上传

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关键词：概率分布 Quantitative Mathematical Applications Constraints

维罗纳大学计算机科学系Grazie Strada le Grazie，15 Verona，37134 Italy电子邮件：francescogiuseppe。cordoni@univr.itUniversity维罗纳计算机科学系，维罗纳15号，邮编37134。电子邮件：luca。dipersio@univr.itUniversity特伦托数学系，14 Trento，38123 Italy电子邮件：luca。prezioso@unitn.itAbstractWe推导与银行间贷款计划相关的最优控制问题的封闭式解决方案，该方案受通过金融网络互连的银行破产的终端概率约束。当上述概率约束假设适用于所有银行时，通过获得一般解，导出的解适用于实际银行网络。我们还提出了一种直接计算网络中每个银行的系统相关性参数的方法。1引言2007-2008年全球金融危机导致了金融领域最相关的变化之一。从这一突破性事件开始，金融分析师、银行从业者、应用数学家和经济学家被迫重新思考他们用来工作的模型。特别是，有必要停止依赖一系列与真实市场、新的全球金融变化情景及其功能变化相去甚远的假设。

如此大的危机及其后果迫使投资者和金融机构都意识到，几乎每一个金融数量都面临着具体的失败风险。例如，标准的Black和Scholes（BS）模型，其对系数的限制一直是确定过多替代和有效方法的若干研究的重点，参见，例如，[17]，已显示出明显的局限性。特别是在BS模型中，我们的框架基于几何布朗运动。然而，我们工作的一个主要重点将是任何金融实体必须面对的违约概率。我们强调，这种信贷风险分析已经引起了理论金融界越来越多的兴趣，推动了数学上严格的模型的发展，该模型同时考虑了风险敞口因素和相关违约事件。按照上述思路，开发了两种主要方法：完全意外失效方法，也称为基于强度的简化模型，参见，例如，【1，第8章】，以及触发失效方法，也称为结构模型，参见，例如，【1，第1.4节】。从数学上讲，第一种方法将默认时间定义为某个随机过程的第一跳时间，因此，对于建模交易者可用信息流的概率参考过滤来说，默认事件是完全无法访问的。在外部指定了违约的条件概率后，处理这种不可接近性问题的非典型方法是基于过滤放大，参见，例如，一般设置2【1、15、23】。第二种方法假设，一旦金融实体的价值达到内生较低阈值，就会触发违约事件。

因此，该方法的主要问题之一是金融实体价值及其资本结构的演化建模。因此，与前面提到的方法不同，默认时间会导致相对于参考过滤的可预测停止时间。让我们回顾一下，结构违约风险模型已在文献中得到广泛研究，例如，参见[1、2、18、19]。接下来，我们将注意力集中在后一种方法上，同时考虑到相互关联的金融实体网络，如银行或一般经济代理，它们愿意相互提供资金。我们假设银行的破产事件发生在其资本达到较低的门槛时，其价值与整个系统的特征有关。作为主要参考设置，我们参考了[13]中介绍的设置，然后在[7、16、23]中进行了推广。特别是，在【7】之后，我们考虑设立一名金融监管机构，通常被称为最后贷款人（LOLR），旨在通过向接近违约的代理人放贷来保证金融网络的健康。同时，LOLR还试图最小化givencost函数。我们的结果还允许计算高度复杂网络的最优控制，如实际银行网络。我们的解决方案的主要创新之处在于，除了考虑以最小化给定成本函数为目标的借贷人外，我们还假设银行在特定的终端时间必须满足固定概率约束。从财务角度来看，这种约束意味着LOLR最优策略必须满足以下假设：每家银行都有破产概率。如[18]所述，我们假设一家银行只有在固定的终止时间才会破产，即如果在终止时间，其财富低于给定的阈值，那么它就会破产。

这使我们能够推导出与随机目标问题相关的利用技术的最优策略。我们记得，这一方向的第一个结果是在[24]中推导出来的，其中提供了一个特殊的动态规划原则。后来，有几篇论文通过考虑不同的约束方案，从固定时间的期望约束到几乎确定的约束，对这些结果进行了推广，如[3、4、5、6、14]。在文献[20]中，在类似的设置下得出了最优解，但没有使用随机目标问题方法。由于上述文件中经常缺少具体解决方案的示例，因此在本工作结束时，我们将考虑一个示例。特别是，我们将我们的结果与[7]中得到的结果进行了比较，出于稳定性的考虑，我们将自己限制为一小部分相互连接的银行，而更大的网络更容易竞争。此外，由于模型构建强烈基于网络的数学理论，我们将利用其特点，推导出一种页面排名方法，首次在[21]中介绍，该方法将用于确定网络中任何银行的相对重要性。

然后，我们利用这个数量来决定每个银行的失败概率，要求重要银行有更大的非失败概率，因此采用了“太大而不能失败”的范式。目前的工作安排如下：在第2节中，我们介绍了主要背景，给出了数学和财务定义；在第三节中，我们介绍了具有概率约束的最优控制问题，并给出了其解；在第4节中，我们介绍了网络中银行相对重要性的Pagerankmethod，并将导出的结果应用于一个玩具示例。2一般设置继【13、23】中提出的金融网络设置之后，请参见附录A了解更多详细信息，我们考虑由n个节点组成的网络，每个节点代表不同的金融代理，我们用Xi（t）表示时间t时ITH代理的资产价值∈ [0，T]，为T<∞ a执行的正终端时间。每个节点可能对与其直接连接的其他节点负有名义责任。在这种情况下，我们用Li，j（t）表示银行i欠银行j，attime t的款项∈ [0，T]。然后，我们引入时间相关负债矩阵L（t）=（Li，j（t））n×n，一般设置3定义为（Li，j（t）ι+i，j6=0，否则为0，（1）其中，如附录A所示，如果i和j连接，则ι+i，jis等于1，否则为零。特别是，方程式（1）明确指出，任何两个没有边缘连接的银行之间都不存在任何现金流。在任何时候t∈ [0，T]，ITH代理行也可能有外部现金流Fi（T）≥ 我们将通过ui（t）表示在时间t支付的款项∈ [0，T]由ithbank提供，而“ui（T）=Pnj=1Li，j（T）是节点i对所有其他节点的总名义义务。因此，如果“ui（t）=ui（t），则我已清偿其所有负债。

我们还引入了相对负债矩阵∏（t）=（πi，j（t））定义为（Li，j（t）’ui（t）’ui（t）>0，否则为0。让我们注意到，矩阵∏（t）是行随机的，即Pnj=1πi，j（t）=1，因此πi，j（t）表示节点i在时间t欠节点j的总债务的比例。类似地，我们可以将节点i的现金流入定义为外部现金流入Fi（t）加上节点i在时间t收到的其他节点的总付款，isPnj=1πTi，j（t）uj（t），其中，我们将相对负债矩阵及其元素的转置表示为∏T=（πTi，j（T））。因此，我们得到了时间t的ithnode的值∈ [0，T]由'Vi（T）=nXj=1πTi，j（T）uj（T）+Fi（T）给出- ？ui（t）。（2） 现在，让我们引入清算向量的概念，将其作为金融系统中每家银行支付款项的具体说明，参见，例如，【13，定义1】，【23，定义2.6】。在下文中，如果没有其他规定，我们将对向量inRn使用标准的逐点排序，即对每个x，y∈ Rnit容纳x≤ y如果且仅限于xi≤ yi，对于任何i=1，n、 定义2.0.1。在上述财务设置中，另请参见附录A，清算向量A向量u*（t）∈ [0，\'u（t）]满足o有限责任：u*i（t）≤nXj=1πTi，j（t）u*j（t）+Fi（t），i=1，n；o绝对优先权：即要么全额支付债务，要么向债权人支付节点的所有价值，即*i（t）=（\'ui（t），如果\'ui（t）≤Pnj=1πTi，j（t）u*j（t）+Fi（t）Pnj=1πTi，j（t）u*j（t）+Fi（t），否则。在定义2.0.1的意义上，清除向量的存在性和唯一性在【13，23】中进行了处理。特别是，在【13】中，显示了u*（t） 是一个清除向量，当且仅当ifu*（t） =(R)ui（t）∧nXj=1πTi，j（t）u*j（t）+Fi（t）.

（3） 方程（3）可解释如下：术语“ui（t）”具体如下：- 节点在时间t欠其他节点∈ [0，T]，而第二项Pnj=1（πi，j（t））Tu*j（t）+Fi（t）表示节点i在时间t的现金流入∈ [0，T]。因此，清除向量具有概率约束4的随机最优控制表示每个节点在时间t的支付：每个节点支付的是它所欠的和它所欠的之间的最小值。结合方程式（2）和（3），我们认为，如果银行i无法履行其所有义务，则银行i违约，因此银行价值等于VI（t）=nXj=1πTi，j（t）(R)uj（t）+Fi（t）- ？ui（t）+, （4） 其中（f（x））+表示函数f的正部分，因此如果'Vi（t）≤ 0，则默认情况下银行为iis，我们将其值设置为Vi（t）=0。为了简化符号，让我们定义矩阵L=Li，jn×n：=L- diag（u（t）），其中diag（u（t））表示向量为u（t）的n×n对角矩阵：=（u（t），un（t））为对角线。矩阵L具有条目Li、j（t）和对角线-Pnj=1Li，j（t），表示银行i在时间t欠其他节点的总付款，在主对角线上。在【16】之后，我们假设银行之间的负债将按照以下等式发展：当固定正增长率u>0时，ddtli，j（t）=uijLi，j（t），（5）。我们强调，将L推广为几何布朗运动，可以推广目前的设置。在这种情况下，终端约束变得过于仓促。然而，通过计算终端约束的条件期望，可以恢复类似于本文中使用的设置的结果。我们将在未来的工作中讨论这个主题。同样，我们假设银行i在任何时候t，投资外部资产Xi（t）的现金流入和现金流出之间的差异，其动态由dxi（t）=Xi（t）给出uidt+σidWi（t）, i=1。

n此外，见【16】，我们引入了连续（确定性）默认边界，如下所示xi（t）≤ vi（t），P a.s.，带vi（t）：=（Ri？ui（t）-Pnj=1πTi，j（t）(R)uj（t）t<t，\'ui（t）-Pnj=1πTi，j（t）(R)uj（t）t=t，（6），其中Ri∈ （0，1），i=1，n、 是代表banki回收率的合适常数。3具有概率约束的随机最优控制下面，我们介绍了问题的数学表达式，将其表示为具有终端概率约束的最优控制问题。此外，我们还提供了分析解决方案，使我们能够计算最优控制。接下来，我们考虑一个完整的过滤概率空间Ohm, F、 （Ft）t≥0，P满足通常的假设，即右连续性和P–null集的饱和。接下来的结果将在第4节中应用，以分析一些金融网络的tou模型。正如Capponiet等人[7]的论文中所述，我们考虑一个名为“最后贷款人”（LOLR）的财务主管，该主管连接到属于财务网络的任何节点。LOLR的目的是从默认情况下保存网络，并且假定它具有有关网络状态的完整信息。特别是，在任何时候，LOLR可以向银行贷款i，i=1，n、 因此，银行i的受控演化满足dxiα（t）=uiXiα（t）+αi（t）dt+σiXiα（t）dWi（t），（7）3.1简化为随机目标问题5，即αi（t）LOLR在时间t向银行i提供的贷款∈ [0，T]这样α∈ A、 其中是逐步可测量过程α的集合∈ L（[0，T]），P- a、 s。尤其是，α（t）-向量分量表示LOLR借给每家银行的金额。为了推导出一个封闭形式的解，我们将考虑最初由Merton在[18]中提出的设置。因此，我们假设违约只能在某个固定时间ti，i=1。

，l，l<∞, 因此，只允许考虑在终端时间定义的约束。这可以避免在每次t时引入强键∈ [0，T]。让我们注意到，通过单独考虑两个固定时间【ti，ti+1】之间的任何控制问题，考虑允许银行在某些离散时间t<t<····<tM=t发生故障，可以获得类似的结果。这允许通过将一系列无序的最优控制问题粘合在一起，然后利用沿后续部分呈现的结果来获得全局控制解决方案。然而，得到的胶合溶液不是最佳溶液。事实上，在推导任何时间t的最优解时，还必须考虑系统未来可能的演化。在未来的研究中，我们将利用此处提供的结果研究后一种情况，进而通过反向归纳推导出全局最优解，如【8，22】所述。假设LOLR旨在最小化借出资源，则意味着他试图最小化函数j（α）=EnXi=1ZTαi（s）ds. （8） 此外，LOLR最小化了概率约束tp上的方程（8）Xi（T）≥ 六（T）≥ qi，i=1，n，（9）对于合适的常数qi∈ （0，1），i=1，n、 为了便于记法，在下面的内容中，我们将删除索引i。因此，对于代理i，我们将解决一般控制问题，然后将此结果应用于系统中的所有银行。因此，让我们根据XI（t）来考虑银行的价值随时间的变化=uiXi（t）+αi（t）dt+σiXi（t）dWi（t），Xi（0）=Xi，i=1，n，（10）和相应的默认值vi：=终端时间的vi（T）。此外，在下面的内容中，我们将假设外部主管选择的控制α最小化以下标准j（t，α）=EnXi=1ZTtαi（s）ds英尺, （11） s.t.PXi（T）≥ vi |英尺≥ qi，i=1。n