单调均值-方差投资组合配置的半鞅理论

以下是等效的：（a）uMV（0）=uMMV（0）；（b） u（0）=um（0）；（c） ^θ·ST≤ 1.（d） 方差最优σ–鞅测度没有符号。（5） 如果有θ∈ Amand 0 6=Y∈ L+使SR（θ·ST- Y）=SR（ST），然后Srm（ST）>SR（ST）。证据由于Jensen的不平等，人们可以放弃平均财富为负的策略。零平均财富策略的风险很小，因此我们仅详细说明存在正（可能是有限）平均值策略的情况，并将注意力限制在未进一步提及的情况下。8 ALEˇSˇCERN'Y（1–2）利用X=θ·ST的恒等式（4.6）和（4.8）。观察到T、A和Amarecones因此乘以α>0将这些集合映射到自身。这将得到（5.8）和（5.9）。在（5.9）中，应用（5.1）获得SRm（^θm·ST）=g-1（um（0））=p2uMMV（0）。继续（5.8）中的类似步骤，以获得SR（^θ·ST）=p2uMV（0）。（3） 条件um>0不包括情况E【θm·ST】≤ 因此，我们可以将（4.3）应用于x=θm·ST。Am的锥性质，θm的最优性，以及（4.3）中^α屈服^α=1的唯一性，声明如下。（4） 恒等式（5.1）和（5.7）表示（a）和（b）之间的等效性。由于包含MA M和方差最优测度的唯一性，Theorem2.5中的对偶意味着u（0）=um（0），当且仅当（2.6）中的对偶优化器，即方差最优测度，在Ma中。这证明了（b）和（d）之间的等价性。（c）和（d）之间的等效性来自于方程式（3.16）和ˇCern'y和Kallsen（2007）中的命题3.13。（5） 假设u（0）=um（0），通过矛盾进行论证。因为SR（ST）≥ 0 we obtainE[θ·ST]∈ (0, ∞]. 现在（4.3），X=’θ·林分假设产生^α>0，使得srm（X）=SR（X- Y）=SR（^α（X- Y））=SR（（αX）∧ 1） =克-1（Fm（αX））。从这里和（5.9）我们得出结论：m=α\'∈ arg maxθ∈AmFm（θ·ST）的性质yp（^m·ST>1）>0。

（5.10）由于u（0）=um（0），F和Fm的双重优化器必须与第（4）项中的参数一致。现在，Fenchel不等式意味着，m·ST=STon事件（ST<1），（5.11）另见定理4.10（a）（iii）inBiagini andˇCern'y（2011）。值函数的相等性也按第（4）项进行了简化≤ 1、该（5.10）和（5.11）yield0 6=^θm·ST-^θ·ST∈ L+。（5.12）用Q表示假设2.4中的等效度量。定义中的可接受性2.3要求Q【ST】=0≥ EQ[μm·ST]与Q~ P与（5.12）中的不等式相矛盾。前面的定理表明，只有当不能从均值-方差有效投资组合中提取自由现金流时，才能在市场Amif中提取自由现金流（FCFS）∈ A、 这一点在之前并不完全明显，因为第一个AMI是一个整体的严格超集，而第二个原则上，在一个FCFS提取后可能会变得非常有效的系统中，可能会有中等效率的分配。Cui等人（2012年，第4节）和Trybu la和Zawisza（2019年）观察到，特定的差异模型不允许自由现金流。下一个推论确定了FCFS不可用的两种非常普遍的情况，参见B¨auerle和Grether（2015，定理3.3）。推论5.5。假设2.2和2.4。如果MSI是独生子女或如果价格过程是连续的，那么提取非零自由现金流必然会导致所有剩余财富分配的最大利差较低。证据在这两种假设下，方差最优测度都在Me中；在第一种情况下，它遵循假设，在第二种情况下，它是inDelbaen和Schachermayer（1996）定理1.3的结果。因此，根据定理5.4第（4）项uMV（0）=uMMV（0）和第（5）项，任何FCFS提取必须导致严格更低的最大夏普比。半鞅单调均值-方差投资组合理论9Referencesbauerle，N。

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