单调均值-方差投资组合配置的半鞅理论

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英文标题：
《Semimartingale theory of monotone mean--variance portfolio allocation》
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作者：
Ale\\v{s} \\v{C}ern\\\'y
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We study dynamic optimal portfolio allocation for monotone mean--variance preferences in a general semimartingale model. Armed with new results in this area we revisit the work of Cui, Li, Wang and Zhu (2012, MAFI) and fully characterize the circumstances under which one can set aside a non-negative cash flow while simultaneously improving the mean--variance efficiency of the left-over wealth. The paper analyzes, for the first time, the monotone hull of the Sharpe ratio and highlights its relevance to the problem at hand.
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中文摘要：
研究了一般半鞅模型中单调均值-方差偏好下的动态最优投资组合分配问题。借助这一领域的新成果，我们重新回顾了崔、李、王和朱（2012，MAFI）的工作，并充分描述了在何种情况下可以留出非负现金流，同时提高剩余财富的均值-方差效率。本文首次分析了夏普比的单调壳，并强调了它与当前问题的相关性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Semimartingale_theory_of_monotone_mean--variance_portfolio_allocation.pdf (185.4 KB)

2022-6-14 07:41:02 上传

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关键词：投资组合 Quantitative Mathematical Optimization SIMULTANEOUS

LondonAbstract大学城市CERN YCass商学院单调变量-方差投资组合分配的半鞅理论。研究了一般半鞅模型中单调均值-方差偏好下的动态最优投资组合分配问题。借助这一领域的新成果，我们重新回顾了UI等人（2012）的工作，并充分描述了在何种情况下可以设定非负现金流，同时提高财富收益的均值-方差效率。本文首次分析了夏普比率的单调外壳，并强调了其与当前问题的相关性。1、简介在Cui et al.（2012）最近的一项研究中，研究了一种有趣的情况，即通过留出非负现金流而不降低剩余财富分配的夏普比率，可以提高动态均值-方差有效投资组合的绩效。注意到均值-方差（MV）偏好不具有时间一致性，Cui等人（2012）提出了一个称为时间一致性的新概念，该概念允许人们判断是否可以提取“自由现金流”（FCF），而不影响均值-方差投资组合分配的效率。他们的分析主要是在离散时间内进行的，其收益率是独立的平方可积价格过程，但作者还注意到，在连续时间对数正态分布模型中，FCFSextraction是不可能的。在随后的研究中，B–auerle和Grether（2015）指出，在任何（适合定义的）完整市场中都不可能提取FCFS。Trybu la和Zawisza（2019年）在特定（不完整）差异背景下得出了相同的结论。在本文中，我们沿着更经典的路线探讨同一主题，以深化数学和概念上的预测分析。

首先，我们考虑了一个价格过程上只有弱σ–局部平方可积条件的一般半鞅模型。其次，我们注意到，通过研究一个更简单的时间一致性预期效用最大化，可以充分理解MV偏好的FCF提取，这表明FCF的存在与MV偏好的时间不一致性之间的任何联系都是偶然的。首先，我们的策略是将FCF的存在与具有单调均值-方差偏好（MMV）的投资组合最大化联系起来。在第二步中，我们利用了MMV偏好与截断二次效用之间的联系，其个体Ingredientswave出现在Cern'y（2003）、Ben Tal和Teboulle（2007）、Filipovi'c和Kupper（2007）、Maccheroni et al.（2009）和Cern'y et al.（2012）的工作中。我们提供了一种新颖而系统的方法来处理这一关系，这是一个独立的问题。作为副产品，我们将Macheroni等人（2009）的单调均值-方差最优投资组合分析推广到半鞅交易。在上面概述的一般半鞅设置中，我们证明了在保持MV效率的同时提取FCFS是可能的，当且仅当一个人可以提取FCFS和严格的2010数学科目分类。一次：05C38、15A15；次要：05A15、15A18。关键词和短语。单调均值-方差；单调夏普比；自由现金流。我要感谢法比奥·麦克切罗尼和萨拉·比亚吉尼进行了许多有益的讨论。我还感谢两位匿名裁判的评论。2 ALEˇSˇCERNˇYimprove MV效率（定理5.4）。我们的工作明确地用夏普比（SR）的单调壳刻画了MVe效率增益的上限。在命题4.1中，在适当的集合上，单音SR与ˋCern'y（2003）的经套利调整的Sharperatio一致。2.

数学设置2.1。单调均值-方差偏好。固定时间范围T>0。我们将在经过过滤的概率空间中工作(Ohm, （Ft）t∈[0，T]，P）带Ftrival。我们为Lp编写Lp(Ohm, FT，P）带P∈ [0, ∞] Lp+表示Lp中的非负随机变量集。所有的概率陈述都是“P——几乎可以肯定”。让U：R→ R是归一化二次效用u（x）=x- x/2。确定预期效用函数F:L→ [-∞, ∞) byF（X）=E[U（X）]。观察F是L上的一个真函数和凹函数。凹函数F的有效域以标准方式定义为dom F={X∈ L | f（X）>-∞}.特别是，我们得到了dom F=L。接下来，用Fm和fmv分别表示F的单调壳和现金不变壳，cf.Filipovi\'c和Kupper（2007年，第4节），Fm（X）=supY∈L+F（X- Y），（2.1）FMV（X）=supc∈R{F（X- c） +c}。（2.2）省略了下一个引理的简单证明。引理2.1。函数Fm，FMVare凹面和L上的真值Fm=L+- L+，dom FMV=L。此外，在其有效域fm和FMVobey上，恒等式fm（X）=e[X∧ 1] - E[（X∧ 1） ]/2，（2.3）FMV（X）=E[X]- Var（X）/2。（2.4）最后，用FMMV表示均值-方差偏好的单调外壳，FMMV（X）=supY∈L+FMV（X- Y）。（2.5）观察到，FMMV精确地限制了Lis，即Macheroni等人（2009）的单调均值-方差偏好。在我们的设置中，单调化的有效域自然是更大的，dom FMMV=dom Fm=L+- L+。半鞅单调均值-方差投资组合理论32.2。价格过程和可接受的策略。我们假设有d∈ N风险资产和价值为1的无风险债券。有关下一个假设的更多详细信息，请参见Biagini和ˇCern'y（2011年，第2.4节）。假设2.2。

风险资产的价格由Rd值σ–局部平方可积半鞅S建模。回想一下Cern'yand Kallsen（2007，定义2.3）对S的绝对连续符号σ–鞅测度的定义。表示此类有符号测度Ms和仅包含绝对连续（对应等价）概率测度（对应Me）的子集合的总和。最后，对于l∈ {s，a，e}定义={Q∈ Ml | dQ/dP∈ 五十} 。定义2.3。我们说θ∈ L（S，P）是一种温和的策略，写θ∈ T，ifsupt∈[0，T]|θ·St |∈ 五十、 我们说θ∈ L（S，P）是一个可接受的策略-对于偏好F，写入θ∈ A，ifθ·S是每个Q的Q-鞅∈ Ms；-对于首选项Fm，写入θ∈ Am，ifθ·S是Q–每个Q的超级鞅∈ 妈妈。在这种情况下，我们指出，博奥尔和格雷瑟（2015）提出的可采性概念并不令人满意，因为它不排除加倍策略，因此也不排除套利、不连续的时间模型。特别是，在他们的背景下，布莱克-斯科尔斯模型不是无套利的，参见哈里森和克雷普斯（1979年，第6节）。我们将在以下无套利假设下工作，另请参见ˇCern'y和Kallsen（2007，假设2.1）。假设2.4。Meis不为空。定理2.5。假设2.2和2.4。对于每x∈ R one然后hasu（x）=supθ∈TF（x+θ·ST）=最大值∈AF（x+θ·ST）=-(1 - x） minQ公司∈MsE公司dQdP, （2.6）um（x）=supθ∈TFm（x+θ·ST）=最大值∈AmFm（x+θ·ST）=-(1 - x）+minQ公司∈MaE公司dQdP.证据第一句话出自71cern\'y和Kallsen（2007，引理2.4）。

第二个陈述来自定理2.1和命题3.5和5.3 inBiagini andˇCern'y（2020），专门针对L^U~ l具有实用功能X 7→ x个∧ 1.- （十）∧ 1)/2.虽然定义2.3比Biagini和ˋCern'y（2020，定义5.1）中对tame策略的定义要窄一些，但在Lremains中密度相同的分离度量集，即Ma，并且在Diagini和ˋCern'y（2020）中的所有论点都得到了验证。另见BiaginiandˇCern'y（2011年，提案6.4）。3、单调均值-方差的新特征更倾向于定义凹形“现金指标函数”C:L→ [-∞, ∞),C（X）=X=c，c时为c∈ R-∞ 否则4 ALEˇSˇCERNˇYLet D：L→ [-∞, ∞) 表示正锥体L+，D（X）的凹面指示器功能=X为0∈ L+；-∞ 否则设f，g是L上的两个凹真函数。Rockafellar（1970）定义了f和g（f）的上卷积 g） （Z）=sup{f（X）+g（Y）| X+Y=Z}。可以很容易地验证（2.1）表示Fm=F D和（2.2）表示FMV=F C、 关键的数学观察结果是，上卷积是一种交换和结合运算，因此，在没有额外影响的情况下，我们可以得到F D----→ Fm公司y Cy CFMV公司 D----→ FMMV。（3.1）让我们总结一下交换图（3.1）中的经验教训。（1） F是U（x）=x的预期二次效用- x/2；（2） fm是预期的截断二次效用，见（2.3），其中um（x）=x∧ 1.-（十）∧ 1)=1 - （（x）- 1) ∧ 0); （3.2）（3）FMVis均值-方差偏好，见（2.4）；（4） 单调均值-方差偏好的经典计算方法是从图（3.1）的左上角开始，然后逆时针移动：向下和向右。得出的公式FMMV=FMV D对应于方程式（2.5）。

相反，如果从图（3.1）的左上角顺时针走，即先向右再向下，则会得到一个看似不同但等效的表达式FMMV=Fm C、 显式地，这个新公式的读数为sfmmv（X）=supc∈R{E[Um（X- c） ]+c}，X∈ L+- L+。（3.3）让我们首先讨论公式（3.3）的经济意义。它表明，单调均值-方差偏好的最大化本质上就是时间一致性预期效用的最大化，在开始时，一个人预先承诺正确的c水平。这个水平由公式（5.6）给出，因此它总是非负的，并且可以从c=0的相同预期效用最大化中获得。与c=0相比，非负c具有增加投资者本地风险厌恶的效果。现有文献主要通过公式（2.5）或其变分对应物（均限于L，见Maccheroni et al.，2009，方程2.3–2.4）来描述单调均值-方差偏好FMMV | L（X）=infnE[ZX]+Var（Z）/2 | Z∈ L+，E[Z]=1o。Ben Tal和Teboulle（2007，命题2.1和定理4.2）在另一条线索中注意到了变分偏好和预期效用的现金不变外壳之间的一致性，在他们的工作中，这被称为优化确定性等价物。ˇCern'y等人（2012，定理7）使用此链接证明公式（3.3）仅限于L∞.用超卷积证明（2.5）和（3.3）之间的等价性似乎是新的。更直接的是，文献中提出的备选方案提供了研究更广泛领域L.半鞅单调均值-方差投资组合理论的额外优势54。

Sharpe-ratioLet的单调壳SR:L→ [-∞, ∞] 是mapSR（X）=E[X]/pVar（X）表示X∈ L-∞ 否则，按照约定1/0=∞, -1/0 = -∞, 0/0=0。接下来，定义SRm：L+- L+→ (-∞, ∞] 作为SR的单调外壳，isSRm=supY∈L+SR（X- Y）。第4.1条。假设X∈ L+- L+是这样的X-6=0和极限→∞E[X∧ K]∈ (0, ∞]. （4.1）然后是SUPα≥0Fm（αX）有一个唯一的优化器^α>0，作为e[X1^αX]的唯一解≤1] =αE[XαX≤1]. （4.2）此外，SRm（X）=SR（（αX）∧ 1） =SR（X∧ ^α-1） =最大值>0SR（X∧ K） 。（4.3）证明。定义f:R+→ R、 f（α）=Fm（αX）。在我们对X（2.3）的可积性假设下，控制收敛yieldf′（α）=E[X1αX≤1] - E[αXαX≤1] ，f′，+（α）=-E[XαX<1]，f′\'-(α) = -E[XαX≤1].导数f′在R+上严格递减，f′>0接近于零，f′<0接近于零。当f′在（0，∞) 它有一个唯一的根f′（^α）=0，根据标准参数，这个根是R+上f的全局最大值，这证明了（4.2）。在最佳情况下，值函数readssupα≥0Fm（αX）=Fm（αX）=F（αX）∧ 1). （4.4）现在，由于假设（4.1），我们得到Srm（X）=supY∈L+SR（X- Y）≥ SUP公司∈RSR（X∧ K） >0。（4.5）接下来，通过直接计算E【Z】≥ 通过Jensen不等式，对于E[Z]<0，可以得到任意Z∈ Lmaxα≥0F（αZ）=1- （1+（SR（Z））∨ 0))-1=g（SR（Z）∨ 0). （4.6）观察g:z 7→ 1.- （1+z）-1在R+上严格递增，具有连续严格递增的反函数g-1: [0, 1) → R+g-1（y）=q（1- y）-1.- 1.（4.7）因此，如果E[Z]，则（4.6）的左侧唯一标识SR（Z）≥ 0.6 ALEˇSˇCERNˇ将该观察结果应用于（4.5）以获得SRM（X）=supY∈L+g-1.最大α≥0F（α（X- Y））= g级-1.supα≥0supY∈L+F（α（X- Y））= g级-1.supα≥0supY∈L+F（αX- Y）= g级-1.最大α≥0Fm（αX）, （4.8）其中最后一个等式来自（2.1）和（4.4）。

观察（4.2）暗示[（αX）∧ 1] =Eh（（αX）∧ 1） i，依次给出SF（（αX）∧ 1） =g（SR（（αX））∧ 1)).这（4.4）和（4.8）证明了（4.3）中的第一个等式。第二个等式来自夏普比率的同质性，最后一个等式来自不等式（4.5）。备注4.2。恒等式（4.3）表明，对于L中具有正均值和非零下跌的投资机会，单调夏普比SRmis等于ˋCern'y（2003）的“套利调整夏普比”。我们还注意到，Cochrane和Sa'a-Requejo（2000）的好交易定价方法中的夏普比界实际上是单调夏普比SRm的上界。5、最优MMV投资和自由现金流通过^θx从理论2.5中说明最优策略∈ A和^θxm∈ 分别为Am。利用关系式（3.1），我们现在研究单调均值-方差参考summv（0）=supθ的最优投资组合分配∈TFMMV（θ·ST）。注意，根据假设2.4和定理2.5，一个有0≤ u（0）≤ um（0）<。定理5.1。在假设2.2和2.4下，一个hasuMMV（0）=maxθ∈AmFMMV（θ·ST）=(1 - 2um（0））-1.- 1./2，（5.1）（5.1）中的最优单调均值-方差交易策略等于^θMMV=（1- 2um（0））-1^θm.（5.2）证明。根据（3.1）和定理2.5，我们得到Ummv（0）=supcm∈Rsupθ∈AmE[Um（θ·ST- 厘米）+厘米]=超级厘米∈朗姆酒(-cm）+cm。（5.3）由于Umand的自相似性和Amwe的圆锥特性，正如在ˇCern\'y等人（2012）中一样，^θxm=（1- x） +^θm，（5.4）um（x）=1/2+（（1- x） +）（um（0）- 1/2），（5.5），其中（5.5）之后将（5.4）替换为（2.3）。现在将（5.5）替换为（5.3），并在CMS上进行优化，以获得^cm=（1- 2um（0））-1.- 1（5.6）和（5.1）。公式（5.2）现在遵循（5.4），x=-^cm。半鞅单调均值-方差投资组合理论7备注5.2。

利用（3.2）中截断二次效用的显式公式，对cmin（5.3）readsE[（θ·ST- ^cm- 1)-] = 1、同时，（2.5）表示^θMMV=arg maxθ∈AmFMV（（θ·ST）∧ （1+^cm））。这为单周期模型的最优策略提供了另一种特征，该特征先前在Macheroni et al.（2009，定理4.1）中获得。根据定理5.1的证明和标准MV首选项，可以得到u（0）和uMV（0）之间的类似链接，uMV（0）=supθ∈TFMV（θ·ST）=(1 - 2u（0））-1.- 1./2.（5.7）定义5.3。我们说，如果有一个温和的策略，就可以获得自由现金流∈ T和非负随机变量Z∈ L当P（Z>0）>0 suc h thatFMV（θ·ST）时- Z）≥ uMV（0）。我们现在可以制定免费现金流可用性的主要结果。为此，调用函数g-1英寸（4.7）。定理5.4。根据假设2.2和2.4，以下陈述成立。（1） 通过温和的零成本策略可达到的最高夏普比率任意接近且不超过P2umv（0）。通过策略^θ，supθ，在A类中可以达到该夏普比率，但不会超过该比率∈TSR（θ·ST）=最大值∈ASR（θ·ST）=g-1.最大θ∈AF（θ·ST）= SR（ST）。（5.8）（2）提取非负现金流后，通过温和的零成本策略可达到的最高夏普比率任意接近且不超过P2ummV（0）。通过策略m，sup，在AMB类中可以达到但不能超过此速度∈TSRm（θ·ST）=最大值∈AmSRm（θ·ST）=g-1.最大θ∈AmFm（θ·ST）= SRm（^θm·ST）。（5.9）（3）如果第（2）项中的最大单调夏普比um>0，则满足度（m·ST）=SR（（m·ST）∧ 1).相应的自由终端现金流等于（1-^θm·ST）+。（4） 定义uMV（0）≤ uMMV（0）。