布朗桥的折扣最优停止及其应用

它使用It^o公式的扩展版本（参见引理2）来改进单调性，该单调性利用了命题1中证明的函数b的正则性。之后，我们在命题3中使用这些结果来显示b的连续性。第（i）部分来自抛物偏微分方程的标准参数，以及布朗桥的马尔可夫性质。该命题的其余部分采用了不同的方法，但它们都依赖于一对（t，x）的OST在不同条件下是次优的这一事实。提案2。（3）中定义的值函数V满足以下条件：（i）V在C和D上为C1,2，且C.（ii）x 7上的tV+LXV=λV→ V（t，x）是凸的，并且对于所有t都是严格递减的∈ [0，T]。此外xV（t，x）=-Ee-λτ*（t，x）t- t型- τ*（t，x）t- t型. （14） （iii）平滑条件成立，即：。，xV（t，b（t））=-所有t均为1∈ [0，T]。（iv）t 7→ V（t，x）对于所有x都不增加∈ R、 （v）v是连续的。从前面的结果中，我们能够得到关于b正则性的一个更强的结果，该正则性用于将b描述为Volterra方程的唯一解。我们通过假设OSBallows不连续的第一种类型和达到一个矛盾来证明这一点。然后，由于b是非递增有限的，它也不允许第二种类型的不连续，并且必须是连续的。提案3。问题（3）的最优停止边界b是连续的。最后，下一个命题表明OSB满足Volterra积分方程（9），并且它是满足某些正则性条件的唯一解。该证明遵循基于概率参数的著名程序（见Peskir（2005b）），而不是依赖积分方程的理论，后者通常使用收缩映射原理的一些变化。提案4。

问题（3）的最优停止边界b可以描述为二型非线性Volterra积分方程（9）在有界变分c的连续函数类中的唯一解：[0，T]→ R使得所有t的c（t）<S∈ （0，T）。备注1。本节中的所有结果在最佳行使美国看涨期权时都有自己的模拟，即当（3）中的增益函数被G（x）=（x）替代时- S） +。实际上，利用布朗桥和增益函数的对称性，很容易检查关系bc（t）=2S- bp（t）保持不变，其中bc和bps分别代表调用和输出选项的OSB。备注2。设置λ=0，我们可以恢复最大化布朗桥平均值的OSB，并使用Shepp（1969）、Ekstr"om和Wanntorp（2009）以及Ernst和Shepp（2016）中的结果，我们得到了OSB的显式表达式，即b（t）=S- σB√T- t、 带B≈ 0.8399.4边界计算和推论4.1求解自由边界方程缺少（9）的显式解需要数值方法来计算OSB。对于某些N，设（ti）Ni=0为区间[0，T]内的网格∈ N、 我们考虑的方法基于Pedersen和Peskir（2002）的一项提案。他们建议用一个右黎曼和来近似（9）中的积分，从而能够计算b（ti）的值，当i=0，N- 1，仅使用值b（tj），j=i+1，N

因此，通过知道最后一个点（b（tN）=b（T）=S处的边界值，可以获得其在第二个最后一个点b（tN）处的值-1） 递归构造（ti）Ni=0时计算的整个OSB。在我们的设置下，右黎曼和不再是有效的选项，因为我们从（11）中知道，根据到期日附近边界b的形状，K（ti，b（ti），u，b（u））可以表示为u→ 所以我们不能在最后一个子区间（tN）的正确点计算核K-1，T]。为了解决这个问题，除了最后一个，我们沿所有子区间使用右黎曼和近似，最终得到Volterra积分方程（9）的以下离散版本：b（ti）≈ S-N-1Xj=i+1（tj- tj）Kσ，λ（ti，b（ti），tj，b（tj））- I（ti，tN-1） ，（15）对于i=0，1，N- 1，其中I（ti，tN-1） ：=RTtN-1Kσ（ti，b（ti），u，b（u））du。可以显示0≤ I（ti，tN-1) ≤ H（ti，tN-1） ，其中h（ti，tN-1） ：=e-λ（tN-1.-ti）ZTtN-1（1+λ（T- u） ）S- b（ti）T- ti+σs2π（T- u） 哦！du=e-λ（tN-1.-ti）（S）- b（ti））T- 田纳西州-1吨- ti公司1+λ（T- 田纳西州-1)+σr2（T- 田纳西州-1)π1+λ（T- 田纳西州-1)!,通过使用（12）和（13），核（11）的形式，以及Φ（x）≤ 1和φ（x）≤ (2π)-1/2对于所有x∈ R、 因此，I（ti，tN-1) ≈ H（ti，tN-1） /2可被视为合理的近似值，允许误差ε（ti，tN）的上限-1） ：=| H（ti，tN-1)/2 - I（ti，tN-1） |，即ε（ti，tN-1) ≤ H（ti，tN-1)/2. 此外，H（ti，tN-1） =O（pT- 田纳西州-1） 作为tN-1.→ T替换I（ti，tN）后-1） 对于H（ti，tN-1） /2英寸（15），我们得到B（tN-1) ≈-λ（T- 田纳西州-1)-1×S1.-λ（T- 田纳西州-1)- σrT- 田纳西州-12π1+λ（T- 田纳西州-1)!, （16） b（ti）≈1.-e-λ（tN-1.-ti）1+λ（T- 田纳西州-1)T- 田纳西州-1吨- ti公司-1×S-N-1Xj=i+1（tj- tj）Kσ，λ（ti，b（ti），tj，b（tj））-e-λ（tN-1.-（ti）装货单- 田纳西州-1吨- ti公司1+λ（T- 田纳西州-1)+ σr2（T- 田纳西州-1)π1+λ（T- 田纳西州-1)!!.

（17） 根据先前近似值计算估计边界的步骤在算法1中有所减少。从现在起，我们将使用▄b表示三次样条插值曲线，该曲线通过算法1在点（ti）Ni=0处通过边界的数值近似。算法1：最佳停止边界计算输入：S，λ，（ti）Ni=0，δ输出：（￠b（ti））Ni=0代码：￠b（T）← SUpdate▄b（tN-1） 根据（16），对于i=N- 2至0 dob（ti）←b（ti+1）ε← 1当ε>δdo？bold（ti）时←根据（17）ε更新← |粗体（ti）-b（ti）|/| bold（ti）| EndEnd从备注2中调用，λ=0的OSB采用形式b（t）=S- Bσ√T- t、 有了明确的气球形式，我们就可以验证算法1的准确性并调整其参数。我们根据经验确定δ=10-3在准确性和计算时间之间进行了良好的权衡。每次使用算法1时都会考虑该值。我们决定使用对数间隔网格，即ti=log（1+iN（eT- 1） ），i=0，N、 当N=200时，在系统地观察到均匀分区在爆炸日期T附近往往会出现异常行为之后。此外，分区最好以平滑的方式变得更薄，接近T。图1通过比较S=10、T=1、λ=0和σ=1的计算边界bversusits显式形式，显示了算法1的精度。4.2估计波动性。接下来，我们假设基础过程的波动性未知，因为它可能发生在实际情况中。众所周知，在模型（1）下，如果连续观察价格动态，可以准确计算波动率。

然而，现实生活中的投资者必须处理离散时间观测，因此他们必须估计σ才能获得OSB。我们首先假设我们已经记录了t=0<t<···<tN时的价格值-1<tN=T，对于N∈ N、 因此，在tn处，N∈ {0，1，…，N}，我们从布朗桥的历史路径（Xt）Tt=0和Xt=S中收集了一个样本（Xti）ni=0。从（2）中，我们得到了Xti | Xti-1.~ Nu（ti-1，Xti-1，ti），νσ（ti-1，ti）, i=1，n、 波动率的对数似然函数的形式为`（σ|（ti，Xti）ni=0）=C- n对数（σ）-2σnXi=1Xti公司- u（ti-1，Xti-1，ti）ν（ti-1，ti）,其中C是一个独立于σ的常数。σ的最大似然估计量由bσn=VuTunnxi=1给出Xti公司- u（ti-1，Xti-1，ti）ν（ti-1，ti）.0 0. 519 9.5 10bb~（a）N=200 0。519 9.5 10（b）N=500 0。519 9.5 10（c）N=1000 0。519 9.5 10（d）N=200图1：通过算法1对不同分区大小和参数S=10、T=1、λ=0和σ=1进行边界估计。随着分区变薄，估计变得更加准确。在等间距分区（ti=iTN，i=0，1，…，N）下，关于最大似然的标准结果（见Dachuna Castelle和Florens Zmirou（1986））给出√n（bσn- σ） N个0,σ,当n→ ∞ （因此N→ ∞) 和T→ ∞ 使ti- ti公司-1=T/N保持不变，I=1，N、 4.3边界的置信区间我们给出如下由σ估计传播到theOSB计算的不确定性。为了做到这一点，我们假设OSB相对于σ是可微的，因此我们可以在之前的渐近条件下应用delta方法。这意味着√n（bbσn（t）- bσ（t））N0，bσσ（σ，t）σ!, （18） 其中，bσ表示（9）中定义的与波动率σ相关的OSB。

插入估计值bσninto（18）得到以下渐近值100（1- α） bσ的%（逐点）置信曲线：c1，bσn（t），c2，bσn（t）:=bbσn（t）±zα/2bσnpn/2bσσ（t）σ=bσn!, （19） 其中zα/2表示标准正态分布的α/2上分位数。算法1可用于计算该项的近似值bσσ（·）表示为（bbσn+ε（·）-bbσn（·））/ε对于一些小ε>0。我们表示为§c1，bσn（t），§c2，bσn（t）该方法得出的置信区间（19）的近似值为t∈ [0，T]。通过本文，我们使用ε=10-2，如经验检查所提供的，以及δ=10-3对于算法1，在计算置信度曲线的准确性、稳定性和计算速度之间达成了良好的折衷。图2说明了对于布朗桥的一条路径，边界估计及其置信曲线是如何工作的。图3从经验上验证了置信度曲线的近似值，方法是对M=1000中的每一项试验进行边际计算，其中真实边界不属于置信度曲线界定的区间。0 0.2 0.4 0.6 0.8 18.5 9 9.5 10 10.5bσb ~σnc~1，σnc~2，σn图2：对于T=1，S=10，X=10，λ=0，σ=1，使用布朗桥路径的三分之一（n=66，n=200）推断边界。实心曲线表示真实边界bσ（红色曲线）、估计边界▄bbσn（蓝色曲线）、上置信曲线▄c1、bσn（橙色曲线）和下置信曲线▄c2、bσn（绿色曲线）。0 0.5 10 0.05 0.1不包含的比例（a）三分之一的路径（n=66）。0 0.5 10 0.05 0.1（b）三分之二的路径（n=133）。图3：M=1000中的逐点试验比例，其中真实边界不属于置信曲线界定的区间。我们使用S=10、X=10、T=1、λ=0、σ=1和asigni ficance levelα=0.05，以及M=1000个样本路径。

对于每条路径，三分之一（a）或三分之二（b）的观测值用于计算σ，然后通过（19）估计置信曲线。连续线表示非夹杂物的比例，虚线表示α，点线位于值α±z0.025qα（1-α） M.T=1时的峰值是由于▄bbσn（T）的零方差造成的数值伪影。图3中最后一点tN=T=1附近可见的尖峰表明，真实边界很少位于这些点的置信曲线内。之所以会出现这种情况，是因为在到期日T时，置信曲线的方差为零（实际上为c1，bσn（T）=c2，bσn（T）=S），以及b（tN）的数值近似值-1） 第（16）条给出的结果略有偏差。这会经常将真实边界留在接近到期的置信曲线之外，从而影响估计边界的准确性。这一缺点在实践中可以忽略不计，因为估计的边界和置信曲线在绝对距离方面与真实边界非常接近。4.4模拟对真实OSB进行推理的能力提出了一些自然的问题：与bσ相比，~bbσn失去了多少优化？与曲线ci，bσn，i=1，2相关的停止策略与曲线bbσn的停止策略相比如何？例如，风险规避（或风险偏好）策略应考虑将上（下）置信曲线c1、bσn（~c2、bσn）作为停止规则，这是在估计bσ的不确定性范围内最保守（自由）的选择。平衡策略应考虑估计的边界bbσn。在下面，我们研究这些停止策略的行为，假设σ=1、T=1、S=10、X=10和λ=0。我们首先估计与每一项相关的支付，然后将这些支付与通过明确考虑真实边界而产生的支付进行比较（见备注2）。

σ=1的选择没有限制性，因为它足以将时间重缩放1/σ，将空间（即价格值）重缩放1/√σ.为了进行比较，我们定义了[0，T]×R的子集，其中计算了支付。我们沿着两条线进行了比较ti，X（q）ti, 对于i=1，N，N=200，q=0.2，0.4，0.6，0.8，其中ti=It和X（q）Tir表示时间tit为N时过程边缘分布的q-分位数0，ti（T-ti）T（见图4）。●●000086420 0.2 0.4 0.6 0.8 19.25 10 10.75图4:X（q）t对于q=0.2，0.4，0.6，0.8，其中X（q）是N（0，t（1）的q分位数- t） ，单位波动率为X=X=10的布朗桥在时间t的边缘分布。绿色和橙色线分别指（Xt | X0.2=X（0.2）0.2）t=0和（Xt | X0.8=X（0.8）0.8）t=0的路径，其中X0.20.2≈ 9.6649和X0.80.8≈ 10.3382.对于每个i和q，我们生成了布朗桥的M=1000条不同路径（sj，Xsj）rNj=0，波动率σ=1从（0，0）到（1，0）。在时间sj=jTrn，对于j=0，1，…，对每条路径进行采样，rN，对于r=1和r=25。这一设置背后的想法是解决低频情况（即投资者可以访问每日价格或频率较低的数据）和高频情况（即记录交易日价格时的高信息量）。我们强迫每条路通过ti，X（q）ti（见图4），并使用每条轨迹的过去（sj，Xsj）rij=0来估计边界和置信曲线。

未来（sj，Xsj）rNj=Ri用于收集与每个停止规则相关的支付的M个观察值，其均值和方差分别如下图5和6所示。0 0.5 10 0.25 0.5q=0.2bσb ~σnc ~ 1，σnc ~ 2，σn0.5 10 0.25 0.5q=0.20 0.5 10 0.25 0.5q=0.40 0.5 10 0.25 0.5q=0.40 0.5 10 0.25 0.5q=0.60 0.5 10 0.25 0.5q=0.60 0.5 10 0.25 0.5q=0.80 0.5 10 0.25 0.5q=0.8图5：与：真实边界bσ（红色曲线）、估计边界bbσn（蓝色曲线）、上置信度曲线c1、bσn（橙色曲线），以及较低的置信度曲线c2，bσn（绿色曲线）。左栏显示低频场景（r=1），右栏表示高频场景（r=25）。我们使用σ=1、T=1、S=10、X=10和λ=0。图5显示了与每个停止规则关联的值函数，红色曲线是与OSB关联的曲线。图5揭示的一个重要事实是，在低频和高频情况下，仅经过几次初步观察，就平均支付效应而言，估计值bbσnbe几乎与bσ没有明显区别。尽管方差支付不是（3）中的优化标准，但值得了解三种不同的停止策略的表现，因为它代表了将每一种领先规则作为练习策略的相关风险。

正如所料，对于任何一对（t，x），较高的停止边界意味着较小的支付方差。0 0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.2bσb ~σnc ~ 1，σnc ~ 2，σn0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.20 0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.40 0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.40 0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.60 0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.60 0.5 10 0.05 0.1 0.15q=0.80 0.5 10 0.0 05 0.1 0.15q=0.8图6：与以下相关的支付方差：真实边界bσ（红色曲线），估计边界bbσn（蓝色曲线），上置信度曲线c1，bσn（橙色曲线），下置信度曲线c2，bσn（绿色曲线）。左栏显示低频场景（r=1），右栏表示高频场景（r=25）。我们使用σ=1、T=1、S=10、X=10和λ=0。图6不仅通过建议将置信度上限曲线作为最佳停止策略来反映这一行为，而且还揭示了在低频情况下，方差确实表现出相当大的停止规则差异。当时间接近初始点t=0时，以及分位数水平q减小时，这些差异增大。