布朗桥的折扣最优停止及其应用

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英文标题：
《Discounted optimal stopping of a Brownian bridge, with application to
  American options under pinning》
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作者：
Bernardo D\'Auria and Eduardo Garc\\\'ia-Portugu\\\'es and Abel Guada
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  Mathematically, the execution of an American-style financial derivative is commonly reduced to solving an optimal stopping problem. Breaking the general assumption that the knowledge of the holder is restricted to the price history of the underlying asset, we allow for the disclosure of future information about the terminal price of the asset by modeling it as a Brownian bridge. This model may be used under special market conditions, in particular we focus on what in the literature is known as the \"pinning effect\", that is, when the price of the asset approaches the strike price of a highly-traded option close to its expiration date. Our main mathematical contribution is in characterizing the solution to the optimal stopping problem when the gain function includes the discount factor. We show how to numerically compute the solution and we analyze the effect of the volatility estimation on the strategy by computing the confidence curves around the optimal stopping boundary. Finally, we compare our method with the optimal exercise time based on a geometric Brownian motion by using real data exhibiting pinning.
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中文摘要：
从数学上讲，美式金融衍生品的执行通常被简化为解决最优停止问题。打破了持有人的知识仅限于标的资产的价格历史的一般假设，我们允许通过将资产的最终价格建模为布朗桥来披露有关资产的未来信息。该模型可在特殊的市场条件下使用，特别是我们关注文献中所称的“钉扎效应”，即当资产价格接近高度交易期权的执行价格时，接近其到期日。我们的主要数学贡献在于，当增益函数包含折扣因子时，描述最优停止问题的解。我们展示了如何数值计算解，并通过计算最优停止边界附近的置信曲线来分析波动率估计对策略的影响。最后，我们使用显示钉扎的真实数据，将我们的方法与基于几何布朗运动的最佳运动时间进行了比较。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Discounted_optimal_stopping_of_a_Brownian_bridge,_with_application_to_American_o.pdf (932.83 KB)

2022-6-14 09:15:24 上传

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关键词：Mathematical Contribution Applications Quantitative Application

布朗桥的贴现最优止损，应用于伯纳德·德奥里亚（Bernardo D\'Auria1,2）、爱德华多·加西亚·葡萄牙（Eduardo García-Portugué1,2）和阿贝尔·瓜达（Abel Guada1,3）的美式期权。从数学上讲，美式金融衍生品的执行通常被简化为解决最优止损问题。打破了持有人的知识仅限于基础资产的价格历史的一般假设，我们允许通过将资产的最终价格建模为布朗桥来披露有关资产的未来信息。该模型可在特殊的市场条件下使用，特别是我们关注文献中所称的“钉扎效应”，即当资产价格接近高度交易的期权的执行价格接近到期日时。我们的主要数学贡献在于描述当收益函数包含贴现因子时，最优停止问题的解。我们展示了如何数值计算该解，并通过计算最优停止边界周围的密度曲线来分析波动率估计对策略的影响。最后，通过使用显示钉扎的真实数据，我们将我们的方法与基于几何布朗运动的最佳运动时间进行了比较。关键词：美式期权；布朗桥；自由边界问题；最优停车；股票钉住1简介美国期权是一种特殊类型的普通期权，可以被视为最基本的金融衍生品之一。通过允许在发债日之前的任何时候行权，他们为自己的估值增加了一个新的维度，摆脱了综合套期保值和无障碍定价框架。

美式期权的估价方法可以追溯到McKean（1965），他建议将该问题转化为自由边界问题。然而，即使是萨缪尔森（1965）首次提出的最简单的情况，即标的股票由几何布朗运动建模，也需要将近40年的时间来完成其解的完整而严格的推导。这一点在Peskir（2005b）中给出，其中最终证明了自由边界方程表征了最佳停止边界。Myneni（1992）对这一主题进行了很好的历史考察。关于美式期权估价的文献相当多，有许多人试图扩展可以模拟标的股票动态的随机过程的类别。然而，有时这是以降低结果的完整性为代价实现的。例如，Detemple和Tian（2002）处理了更一般的扩散过程，并证明了最优策略满足自由边界方程，但它留下了解决方案唯一性的证明。最近的工作Zhao和Wong（2012）通过用Maclaurin级数表示，为一类相当普遍的扩散过程提供了最佳停止边界的封闭表达式。然而，正如Detemple和Tian（2002）所述，它需要对漂移项的导数进行有界性假设，排除了Gaussianbridges类。这类过程最近引起了人们对模型情况的关注，在这种情况下，有关基础资产动态的一些未来知识将披露给交易代理，请参见西班牙马德里卡洛斯三世大学统计系。UC3M桑坦德大数据研究所，卡洛斯二世一世马德里大学（西班牙）。通讯作者。电子邮件：aguada@est-经济。uc3m。锿。e、 g.、Pikovsky和Karatzas（1996），Amendinger等人。

（2003），比亚基尼和伊克森达尔（2005），德奥里亚和萨尔梅隆（2020）。然而，这些结果主要集中于量化披露信息的价值，而不涉及其对持有期权执行策略的影响。在期权定价领域，Shepp（1969）首次对布朗桥进行了分析，利用时间变换将问题转化为更容易处理的布朗运动。后来，这项工作在最优出售债券问题上的适用性在Boyce（1970）中得到了强调。随后，在Ekstr"om和Wanntorp（2009）中，作者在Shepp（1969）中提出了这个问题，将其重新定义为自由边界问题的更广泛背景，并将其解扩展到更广泛的增益函数类。特别是在Ekstr"om和Wanntorp（2009）中，布朗桥过程被视为特殊市场条件下金融应用的可能模型，如所谓的“钉扎效应”。钉住效应是指某一特定股票的价格在接近到期日时接近高交易期权的罢工价格的情况。Krishnan和Nelken（2001）报告了钉扎效应的证据，作者利用桥过程通过调整几何布朗运动来模拟钉扎。在Avellaneda和Lipkin（2003）中，作者假设钉扎行为主要由多头期权头寸的delta对冲驱动，并将随机微分方程作为股票价格的模型，其漂移将价格拉向执行价格的附近。后来，Avellaneda et al.（2012）的结果增加了支持该模型的真实数据证据。在Ni等人（2005年）中，同样的假设得到了验证，并报告了钉扎现象的一整套证据。

Avellanda和Lipkin（2003）的模型在Jeannin et al.（2008）中进行了推广，增加了一个减少执行价格附近波动性的差异项。基于这些发现，我们在本文中研究了在存在股票钉扎的情况下执行美式认沽期权的最佳策略。与Ekstr"om和Wanntorp（2009）类似，我们通过布朗桥对基础股票进行建模。不同的是，我们在增益函数中加入了一个折扣因子，使问题更加现实。这个加法使得相关的最优停止问题更具挑战性，因为它涉及一个时间上非齐次的非永久期权。我们本着Peskir（2005b）和De Angelis and Milazzo（2019）的精神，通过将最优停止边界描述为Volterra积分方程在某些正则条件下的唯一解，来解决相应的最优停止问题。除了帮助解决这个原始问题外，我们还探讨了它在实际情况中的适用性。所研究的模型可能过于简单，无法应用于实际数据，但它允许计算精确解，并轻松量化其参数知识的不确定性。因此，我们描述了一种算法，用于数值计算最优策略，并在通过最大似然估计股票波动率时，提供最优停止边界附近的置信曲线。这种推断方法可能与只能访问离散数据的投资者相关。此外，我们在一个真实的数据集上测试了我们的结果，该数据集由苹果和IBMequities的金融期权组成。与基于几何布朗运动的模型相比，我们的模型具有竞争力，并且根据我们工作的动机，当股票价格表现出钉扎在行权行为时，可以获得最佳性能。

最后，由于我们的数学模型是基于固定在走向行为上的特定假设而建立的，因此我们简要地展示了如果放松这一假设，至少从定性的角度来看，我们应该预期会产生什么影响，以及为什么更完整的分析需要更复杂的工具。最后，我们提到了使用类似模型的相关工作。在F"ollmer（1972）中，作者解决了具有正态分布终点的布朗桥的非折扣问题。最近，Ekstr"om和Vaicenavicius（2020）解决了方差小值的相同问题，当钉扎点遵循具有有限第一时刻的一般分布时，找到了值函数的边界。Baurdoux等人（2015）分析了双重停车问题，其目的是最大化两次停车之间的平均差异。最近发表的论文De Angelis和Milazzo（2019）利用布朗桥指数对股票价格进行建模，解决了非贴现问题。Glover（2020）提出了一种具有未知钉扎随机分布和贝叶斯方法的布朗桥。Ekstr"om和Wanntorp（2009）中的分析结果在D\'Auria和Ferriero（2020）中进行了扩展，通过研究共享相同最佳停车边界的一类高斯桥。Leung et al.（2018）在增益函数的正则性假设下，解决了aBrownian桥和存在随机钉扎点的贴现问题，该假设允许应用标准It^os公式（在我们的设置中不适用）。论文的其余部分结构如下。在第2节中，我们介绍了模型以及符号和定义。第3节提供了获得自由边界方程所需的理论结果。

第4节讨论了计算最优停止边界和量化与股票波动率估计相关的不确定性的问题。第5节通过使用显示不同程度钉扎的真实数据，将我们的方法与基于几何布朗运动的最佳运动时间进行比较。第6节评论了在走向假设下钉扎的放松，最后，第7节给出了一些结论。支持第3节所需的证据和技术引理分别归入附录A和B。关于第4.2节问题设置中所述方法和模拟的实施和再现性，可在线获取补充材料（见第7节）。接下来，我们将介绍金融资产的模型，并确定最佳停止问题，其解决方案构成基于该资产行使美式看跌期权的最佳策略。我们假设金融期权的执行价格S>0，到期日T>0。为了模拟钉扎效应，我们对基础资产的动力学使用布朗桥过程。事实上，这一过程可能被视为一个布朗运动，条件是终止于已知的终值，在我们的例子中，该终值固定在执行价格S上（关于该假设的放松，请参见第6节）。也就是说，通过调用X[t，t]=（Xt+s，0≤ s≤ T- t） 到资产价格流程，0≤ t<t，我们假设它满足SDE：Xt=x，dXt+s=s- Xt+sT- t型- sds+σdWs，（1）带0≤ s≤ T- 或者，它具有显式表达式xT+s=xT- t型- sT公司- t+SsT- t+σrT- t型- sT公司- tWs，（2）再次使用0≤ s≤ T- 其中，在两个方程中，（Ws，0≤ s≤ T- t） 表示标准布朗运动。

为了强调该过程几乎肯定满足关系Xt=x，我们将使用符号Pt、x和Et、xto表示相应的概率和平均运算符。用G（x）=（S）表示-x） +看跌期权的增益函数和λ≥ 0贴现率，我们最终可以将行使美式期权的最佳预期回报写为最优停止问题（OSP）V（t，x）=sup0≤τ≤ T-tEt，xhe-λτG（Xt+τ）i.（3）函数V称为值函数，且上述最高值在X[t，t]的所有停止时间τ上，相对于其自然过滤（Fs）Ts=0。在温和的条件下，即V是下半连续的，G是上半连续的（Seeeskir和Shiryaev（2006，推论2.9）），可以保证达到（3）中的上确界。最佳停车时间（OST），τ*（t，x）定义为达到最大值（3）的最小停止时间，并可表征为闭合集D的命中时间，称为停止集。由于V和G上的这些条件在我们的设置中得到满足（见Peskir和Shiryaev（2006年，备注2.10）），我们可以写出τ*（t，x）：=inf{0≤ s≤ T- t:Xt+s∈ D | Xt=x}，（4）其中D定义为asD：={（t，x）∈ [0，T]×R:V（T，x）=G（x）}。（5） 然后，我们将连续集C定义为集D的补充，并表示为Cits边界。（4）中定义的OST可以解释为美式期权的最佳行使策略，它允许在简化的格式V（t，x）=Et，xhe中重写价值函数V-λτ*（t，x）GXt+τ*（t，x）i、 （6）为了解决（3）中给出的OSP，我们遵循众所周知的方法，将其重新表述为自由边界问题，对于未知量V和C、 后者通常被称为最优停车边界（OSB）。

我们的OSP是一个涉及时间非均匀过程的有限时域问题，其相关自由边界问题为tV+LXV=λV在C上，（7a）V>G在C上，（7b）V=G在D上，（7c）xV=xG开启C、 （7d）其中Lx是布朗桥X[0，T]的最小生成元。给出一个适当的光滑函数f:[0，T]×R→ R、 运算符LXto的应用程序返回函数（LXf）（t，x）=S- xT公司- t型xf（t，x）+σxf（t，x）。（8） 方程式（7a）、（7b）和（7c）很容易来自于D、C和τ的定义*（t，x）（见下面的命题2），而（7d），通常被称为平滑fit条件，取决于OSB对基础过程的表现。OSB的规律性是发现和描述问题解决方案本身的一个重要因素，因此，我们将在后面的章节中对其进行详细研究。Peskir和Shiryaev（2006）对利用自由边界法的最优停车理论进行了深入调查。3布朗桥美式看跌期权的最优行使我们在本节中给出了主要结果，包括问题（3）的解。特别是，我们通过证明OSB可以写在函数b（t）中来解决（7）中定义的自由边界问题，即C={（t，b（t））：t∈ [0，T]}，并且该函数可以计算为Volterra积分方程的解。从应用的角度来看，函数b确定了要遵循的最佳策略，以最大限度地提高美式看跌期权的执行收益。当基础金融资产的价格在时间t交叉时，最好在第一次行使期权∈ [0，T]b级（T）。定理1。

（4）中的最佳停止时间可以写成τ（t，x）=inf{s∈ [0，T- t] ：Xt+s≤ b（t+s）}，x∈ R、 0个≤ t型≤ T、 其中，函数b被定义为积分方程b（T）=S的唯一解，在S下方边界变化的连续函数类中-ZTtKσ，λ（t，b（t），u，b（u））du。（9） 此外，（6）中的值函数V可以表示为V（t，x）=ZTtKσ，λ（t，x，u，b（u））du。（10） （9）和（10）中的核Kσ，λ定义为asKσ，λ（t，x，u，x）：=e-λ（u-t） 1+λ（t- u） T型- 嗯（S）- u（t，x，u））Φ（zσ（t，x，u，x））+νσ（t，u）φ（zσ（t，x，u，x））i，（11）其中Φ和φ分别是标准正态随机变量的分布和密度函数，u（t，x，u）=xT- 美国犹他州- t+Su- tT- t、 （12）νσ（t，u）=σr（u- t） （t- u） T型- t、 （13）和zσ（t，x，u，x）=（x- u（t，x，u））/νσ（t，u）。定理的证明利用了我们在以下命题中陈述的一些重要部分结果。所有的证明都推迟到附录A。下一个结果揭示了集合D和C的形状，表明它们的公共边界可以通过满足某些正则性条件的函数b来表示。在这篇文章中，我们将重点放在容易证明价值函数超过或等于即时回报的区域，从而分别揭示了C和D的子集。这些区域来自以下事实：G在S上方为零，下方为正，过程路径随x减小（对于固定实现），V相对于x、t和λ不增加。提案1。存在一个非递减右连续函数b：[0，T]→ R使得b（t）<S表示所有t∈ [0，T），b（T）=S，D={（T，x）∈ [0，T]×R:x≤ b（t）}。下一个命题分析了值函数的正则性，并证明了光滑条件成立。