鞅最优输运和弱最优输运的稳定性

对于allx∈ 十： C（X，p）≤ K1+dX（x，x）r+RdY（y，y）rp（dy）.然后是P∈ ∧（u，ν）是（WOT’）的最佳值，P是C-单调的。同样，如果p 7→ C（x，p）是凸的，然后是π∈ π（u，ν）是（WOT）的最佳值，π是C-单调的。备注2.3。注意，在定理2.2的假设下，π的C-单调性∈π（u，ν）产生J（π）的C-单调性∈ ∧（u，ν），因此，J（π）对于（WOT’）是最优的，尤其是π对于（WOT）是最优的。我们将在备注2.4中完成此讨论。同时，我们在第5节示例5.1中看到，p 7的凸性→ C（x，p）对于最优耦合是C单调的是必要的。示例5.2表明，为了使Cmonotonic成为一个有效的最优性标准，需要成本C的额外正则性（下半连续性和有界性）。证据设P是集中在C-单调集Γ上的C-单调。修复P∈ Λ(u, ν). Weargue如【10】中所述，用于经典（线性）最优运输。取任意iid序列（Xn）n∈NofX值随机变量和任何iid序列（Yn）n∈N、 （Zn）N∈概率空间上的Nof P（Y）值随机变量(Ohm, P） ，带（Xn，Yn）~ P、 （Xn，Zn）~ P、 特别是根据大数定律，我们发现P-几乎可以肯定zx×Pr（Y）C（x，P）P（dx，dp）-ZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）=limN→∞NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）。（2.2）注意，对于任何函数g∈ C（Y），以Y 7为主→ 1+dY（y，y）r，我们有e[Yn（g）]=ν（g），其中p（g）表示p∈ P（Y）表示积分g（Y）P（dy）。那么，大数定律几乎肯定是有限的→∞NNXn=1Yn（g）=ν（g）=limN→∞NNXn=1Zn（g）。通过标准的可分性参数，我们发现P-几乎确定limn→∞NNXn=1Yn=ν=limN→∞NNXn=1ZnP-a.s.（2.3），其中在Wr中保持收敛。Letω∈ Ohm 处于P-全套s.t.limN→∞Wr公司NNXn=1Yn（ω），NNXn=1Zn（ω）= 0，鞅最优输运和弱最优输运的稳定性7and（Xn，Yn）（ω）∈ Γ对于所有n∈ N、 从现在起，我们省略ω参数。

对于每个N∈ N、 我们用χN表示∏（NPNn=1Zn，NPNn=1Yn）中的Wr最佳耦合，即WrNNXn=1Zn，NNXn=1Ynr=ZY×YdY（z，y）rχN（dz，dy）。我们用{χNz}z表示∈aχNgiven在第一个坐标（边缘）的投影的规则分解。定义χNZn（dy）：=Rz∈YZn（dz）χNz（dy），我们发现NNXN=1Wr（Zn，χNZn）r≤NNXn=1ZYdY（z，y）rχNz（dy）Zn（dz）=WrNNXn=1Zn，NNXn=1Ynr、 （2.4）此外，PNn=1χNZn=PNn=1Yn，因此通过C-单调性nnxn=1C（Xn，χNZn）- C（Xn，Yn）≥ 0。（2.5）在（a）的情况下，我们应用引理6.2，得到|θ：R+→ R+，它是连续的，凹的，在0处消失，为了简单起见，我们将其重命名为θ。因此，根据Jensen不等式，NNXn=1θWr（Zn，χNZn）r≤ θNNXn=1Wr（Zn，χNZn）r≤ θWr公司NNXn=1Zn，NNXn=1Ynr,以N的形式消失→ +∞. 利用P的C-单调性和一致连续性，我们得到了P几乎可以确定的nxn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）=NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，χNZn）+NNXn=1C（Xn，χNZn）- C（Xn，Yn）≥ -NNXn=1θ（Wr（Zn，χNZn））≥ -θWrNNXn=1Yn（ω），NNXn=1Zn（ω）！→ 0。（2.6）在（b）的情况下，我们通过pn定义随机变量pn取X×P（Y）的值：=NNXn=1δXn，χNZn。通过（2.4），我们发现P-几乎可以肯定的WR（PN，P）r≤NNXn=1Wr（Zn，χNZn）≤ Wr公司NNXi=1Zn，NNXn=1Ynr、 如（2.3）所示，其右侧的a.s.收敛为零。然后，C yieldsZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）的连续性和生长-ZX×Pr（Y）C（x，p）PN（dx，d p）→ 0。（2.7）这里，方程左侧的瓦瑟斯坦距离是在空间X×Pr（Y）w.r.t上取的。度量d（（X，p），（X，p））r=dX（X，X）r+Wr（p，p）r.8 J。BACKHOFF-VERAGUAS和G.Pammer因此，在这两种情况下，我们都有p-几乎确定的zx×Pr（Y）C（X，p）p（dX，p）-ZX×Pr（Y）C（x，p）p（dx，dp）≥ lim信息→∞NNXn=1C（Xn，Zn）- C（Xn，Yn）≥ 0，我们使用了（2.2）、（2.5）、（2.6）和（2.7）。2.1. C-单调性的稳定性。

回忆（1.2）J:P（X×Y）的嵌入→ P（X×P（Y）），π7→ projX（π）（dx）Δπx（dp）。某些测度Q的强度I（Q）∈ P（P（Y））唯一定义为概率测度I（Q）∈ P（Y）with i（Q）（f）=ZP（Y）ZYf（Y）P（dy）Q（dp） f∈ Cb（Y），即I（Q）（dy）=Rp∈P（Y）P（dy）Q（dp）。备注2.4。鉴于这种嵌入，在增强空间X×P（Y）上考虑C-单调性似乎是很自然的。（a） π∈ π（u，ν）是C-单调的，而π（π）是C-单调的：一方面，如果π是Cmonotone，则有可能找到一个可测集Γ X使得u（Γ）=1，其中通过Γ=n（X，p）定义∈Γ×P（Y）：P=πxo，一个C-单调集。因此，等价于定义2.1，我们可以要求存在一个C-单调集Γ X×P（Y）使得（X，πX）∈ Γ对于u-AlmosteryX∈ 十、 另一方面，如果J（π）是C-montone，则存在一个C-montone集，其中1=J（π）（Γ）=u（{X∈ X：（X，πX）∈ Γ}).考虑u-全解析可测集{x∈ X：（X，πX）∈ Γ}. 由于分析可测集是普遍可测的，它允许一个Borel可测子集|Γ，u（|Γ）=1。因此，π在定义1.4的意义上是C-单调的（onΓ）。（b） 如果Γ X×P（Y）是C-单调的，C:X×P（Y）→ R在第二个参数中是凸的，即对于所有x∈ 十、 （p，q）∈ P（Y）和α∈ [0，1]C（x，αp+（1- α） q）≤ αC（x，p）+（1- α） C（x，q），然后放大集Γ：=x、 kkXi=1pi！：x个∈ 十、 （X，pi）∈ Γ，i=1，k∈ N也是C-单调的。

同样，如果C（x，·）对于所有x都是连续的∈ 十、 那么^Γ：=n（X，p）∈ X×P（Y）：X∈ 十、 p∈ co（Γx）o是C-单调的，其中co表示闭凸包，而Γx表示Γ的x-fibre，即{p∈ P（Y）：（x，P）∈ Γ}.（c） 我们观察到，集合∧（u，ν）（见（2.1））可以用一系列连续函数F来表征 C（X×Pr（Y））：P∈ ∧（u，ν）当且仅当ifZX×P（Y）f（x）P（dx，dp）=ZXf（x）u（dx） f∈ Cb（X），ZX×P（Y）ZYg（Y）P（dy）P（dx，dp）=ZYg（Y）ν（dy）g级∈ Cb（Y）。鞅最优输运和弱最优输运的稳定性9作为进一步观察，我们在定义2.1中具有C单调性的等价性，并且在线性约束FF=nf下具有C有限最优性∈ Cb（X×P（Y））：g级∈ Cb（X），h∈ Cb（Y）s.t.f（x，p）≡ g（x）或f（x，p）=RYh（y）p（dy）o，这是在[12，定义1.2]中引入的。定理2.5。设C:X×Pr（Y）→ [0, ∞] 可测量且P*∈ Pr（X×Pr（Y））（WOT’）的最佳值，具有有限值。然后是P*是C-单调的。特别是，如果allx满足C要求∈ X和Q∈ P（P（Y））C（x，I（Q））≤ZP（Y）C（x，p）Q（dp），（2.8）然后是任何优化器π*具有有限值的of（WOT）是C-单调的。证据第一个断言是备注2.4的结果。（c） 和【12，定理1.4】。Toshow the second assertion，let P∈ Λ(u, ν). 然后I（Px）u（dx）∈ π（u，ν）和by（2.8）ZX×P（Y）C（x，P）P（dx，dp）≥ZXC（x，I（Px））u（dx）。因此，J（π*) 是（WOT）的最佳选择。我们从证明的第一部分结合备注2.4（a）推导出π的C-单调性。在经典的最优弱传输环境中，C是下界的假设实际上没有必要推导C的单调性，参见【9，定理5.2】。注意，当C（x，·）是下半连续且凸的时，（2.8）成立。