Black-Scholes-Merton理论的一个新的基于中值的公式

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《A new median-based formula for the Black-Scholes-Merton Theory》
---
作者：
Takuya Okabe and Jin Yoshimura
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  The Black-Scholes-Merton (BSM) theory for price variation has been well established in mathematical financial engineering. However, it has been recognized that long-term outcomes in practice may divert from the Black-Scholes formula, which is the expected value of the stochastic process of price changes. While the expected value is expected for the long-run average of infinite realizations of the same stochastic process, it may give an erroneous picture of nearly every realization when the probability distribution is skewed, as is the case for prices. Here we propose a new formula of the BSM theory, which is based on the median of the stochastic process. This formula makes a more realistic prediction for the long-term outcomes than the current Black-Scholes formula.
---
中文摘要：
布莱克-斯科尔斯-默顿（Black-Scholes-Merton，BSM）价格变动理论在数学金融工程中已得到很好的应用。然而，人们已经认识到，实践中的长期结果可能会偏离Black-Scholes公式，该公式是价格变化随机过程的预期值。虽然预期值是针对同一随机过程的无限实现的长期平均值，但当概率分布发生偏差时，它可能会给出几乎所有实现的错误图片，如价格情况。本文提出了一个新的基于随机过程中值的BSM理论公式。该公式比当前的Black-Scholes公式对长期结果做出了更现实的预测。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> A_new_median-based_formula_for_the_Black-Scholes-Merton_Theory.pdf (174.8 KB)

2022-6-14 10:27:32 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：SCHOLES Merton choles Holes Black

Black-Scholes-Merton理论的一个新的基于中值的公式Takuya Okabe*和Jin Yoshimura+§*静冈大学综合科学与技术研究生院，日本滨松市柔冈3-5-1，邮编432-8561，+静冈大学科学与技术研究生院和数学系统工程系，日本滨松432-8561，锡拉丘兹纽约州立大学环境科学与林业学院环境与森林生物学系，美国纽约州13210号，千叶大学海洋生物系统研究中心，千叶县卡莫加瓦内丘拉，千叶县299-5502，日本Black-Scholes-Merton（BSM）价格变化理论已在数学金融工程中建立。然而，人们已经认识到，实践中的长期结果可能会偏离Black-Scholes公式，该公式是价格变化随机过程的预期值。虽然预期值是同一随机过程有限变现的长期平均值，但当概率分布出现偏差时，它可能会给出几乎所有变现的错误图片，就像价格的情况一样。本文提出了一个新的基于随机过程中值的BSM理论公式。该公式比当前的Black-Scholes公式对长期结果做出了更现实的预测。股票市场-随机游走-几何布朗运动-计量能力-乘法增长布莱克-斯科尔斯-默顿（BSM）理论被认为是金融市场价格的标准模型[1,2]。Black-Scholes（BS）公式给出了欧洲看涨期权的价格，即在未来一天购买股票的权利。

该公式是在BSM理论的假设下推导出来的，例如，恒定的无风险利率、具有恒定漂移和波动性的几何布朗运动、无股息、无套利机会、无佣金和交易成本以及无价格市场[3]。虽然BSM理论已经取得了普遍的成功并被广泛接受，但在过去几十年中，BS公式的一些缺点，包括长期预测，已经变得很明显。虽然大多数这些短处可能源于BSM理论的假设，但在这里，我们接受它们是有效的，因为它们与我们提出的观点几乎没有关系。相反，我们怀疑概率论中的基本概念“期望值”的实用性。由于期望值对异常值的强烈依赖性，期望值可能偏离分布的中间值，异常值的概率非常大，概率非常小。在生物学中，例如在随机环境中的人口增长方面，人们普遍认为，使用期望值可能会对几乎所有人口造成完全错误的印象[4]。与算术平均值（期望值）不同，增长率的计量平均值（几何平均值）提供了令人满意的人口增长情况【5、6、7、8】。例如，动物的风险sp阅读策略已经从几何平均值的角度得到了理解[7，9]。因此，我们利用BSM理论中的分布中介，为当前的BS公式提供了一个更好的替代方案。假设种群规模统计时间t以乘法方式变化，即St+1=ltSt，其中速率lt根据概率分布而变化【4，5，10】。如果不同时间的比率彼此独立，则由T=utlS给出的STI期望值，（1）其中ul=E【l】是lt的平均值（期望值）。

如果平均值大于单位（ul>1），则可以预期，随着t的增长，该值将增大。然而，这种预期几乎肯定会被颠覆。例如，当ltcomprisestwo可能性l=0.5和l=1.7以相同的概率出现时，我们得到ul=1.1，因此预期大小增长为asE[S]=1.1S=13781S。然而，事实上，最终大小超过原始值的可能性非常小（概率>S）=0.092）。因此，与预期相反，运算大小几乎肯定会消失 0). 这种悖论是由高于和低于平均值（期望值）的概率分布的偏斜或不对称引起的。高于平均值的累积概率明显小于低于平均值的累积概率（Prob[St>E[S]）=0.022和Prob[St<E[S]]=0.978）。该问题的概率分布是对数正态分布，取决于ulog l=E[log（l）]，它是lt几何平均值的对数。因此，几何平均值M=Eulog l（St=MtS）比算术平均值ul（St=utlS）提供了更令人满意的解决方案[4，11]。在上述示例中，ulog l=-0.08126 < 0. 因此，最典型的行为是指数衰减 0.92秒。在此，我们强调几何平均增长因子M是概率d分布的中位数，即M satifiesprob[St>M]=Prob[St<M]。同样的评论也适用于对数正态分布模拟的股票价格。在BSM模型中，市场由风险资产（股票S）和无风险资产（债券B）组成。前者服从随机微分方程dst=uStdt+σStdWt，（2），其中dw是一个随机变量。后者随B=1[3]的变化而变化。

由于Bt贴现的股票价格St的对数服从正态分布，因此终端股票价格St服从对数正态分布fST（x），平均对数St+（r- σ/2）τ和方差στ，其中τ=T- t是成熟的时间。对于执行价格K，欧洲看涨期权价格的BS公式为isCBS（St，K，T）=e-rτZ∞K（ST- K） fST（x）dx（3）=StΦ（d）- e-rτKΦ（d），（4），其中d=对数（St/K）+r+στ/2/ (σ√τ） 和d=d-σ√τ和Φ（y）=√2πRy-∞e-tdt是正常的累积分布函数。而不是预期值CBSinEq。（3） ，我们建议使用中值（图1）C（St，K，T）=Stexpσ√τΦ-1.1.-Φ（d）-στ-Ke公司-rτ，（5）式中Φ-1（x）是Φ（y）的反函数。两个公式CBS和C在最短项中给出了相同的结果，即在τ=0时CBS=C。然而，他们做出了截然不同的长期预测（图2A）。随着时间τ的增加，CBS持续增加至股价St，与K无关[1，2]。C的情况并非如此，它甚至不是单调函数。相应地，C的最依赖性被大幅修改（图2B）。这种差异是因为概率高于对数正态分布的平均值，以指数形式下降为Φ(-σ√τ/2），而对数正态分布的中值与τ无关。在概率论中，当概率分布有很大的偏差或包含一些极端的异常值时，期望值（均值、平均值）与最典型的结果不同。这里的中位数比平均值更接近这些典型结果。因此，当存在异常值或较大偏差时，如2007-2008年的次贷危机，替代中值公式可以更好地估计看涨期权。

最近，股票价格的对数正态分布受到质疑，股票价格的概率分布是根据过去的记录估计的，例如，使用引导模型来代替[3]。我们应该注意到，对数正态分布的假设可以替换为这样一个实际分布，以获得更好的结果，从而避免上述统计变量的问题。0.0 0.5 1.0 1.5 2.0ST0.20.40.60.81.0fSTC（Black-Scholes）C（中值）KFig。1.中位数C和平均CBS（Black-Scholes）。价格的概率分布。两个阴影区域具有相同的面积。St=1.5，σ=1，τ=1，r=0，K=0.2。C（K=0.2）CBS（K=0.2）C（K=0.7）CBS（K=0.7）0 1 2 3 4 5στ0.51.01.52.0CC（τ=0.2）CBS（τ=0.2）C（τ=2）CBS（τ=2）0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0St0.51.01.52.0CST-KFig。中位数C和平均CBS（Black-Scholes）。根据σ绘制K=0.2和0.7时的A（顶部）C和cbs√τ（St=1.5，r=0）。将τ=0.2和τ=2的B（底部）C和cbs与St（r=0.2，K=1和σ=1）绘制。BS公式CBS给出了标准之间的凹曲线- K、 1。Black F，Scholes M（1973）《期权定价与公司负债》。《政治经济杂志》81:637-654.2。Merton RC（1973）理性期权定价理论。钟J、 电子商务。成年男子Sci。4: 1413. 赫尔JC（2017）《期权、期货和其他衍生品》，第10版。皮尔逊。4、Lewontin RC，Cohen D（1969），《随机变化环境中的人口增长》，美国国家科学院学报62:1056-1060.5。Yoshimura J，Clark CW（1991）《随机环境中的个体适应进化生态学》5:173-192.6。Yoshimura J，Clark CW（1993）《随机环境中的适应》。《生物数学》第98卷，Yoshimura J编，Clark CW（Springer Verlag），第193.7页。Jansen VAA，Yoshimura J。

（1998）人口可以在仅由汇组成的环境中生存。《美国国家科学院院刊》95:3696-3698.8。Yoshimura J，Tanaka Y，Togashi T，Iwata S，Tainaka K.（2009）环境不确定性下几何平均数与概率优化的数学等价性。生态建模220:2611-2617.9。Yasui Y，Yoshimura J。(2018). 针对雄性导致的生殖失败的赌注对冲可能解释了雌性鸟类中普遍存在的绿帽子。理论生物学杂志437:214-221.10。Yoshimura J，Ito H，Miller III DG，Tainaka K.（2013）不确定环境中的动态决策I.动态实用性原则。动物行为学杂志31:101105.11。Kelly Jr，J.L.（1956）信息率的新解释。贝尔系统。《技术杂志》35:917-926。构思并实施该研究。TO和JY写了手稿。作者声明没有相互竞争的财务利益。