CEV随机环境中的Black-Scholes

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英文标题：
《Black-Scholes in a CEV random environment》
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作者：
Antoine Jacquier and Patrick Roome
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Classical (It\\^o diffusions) stochastic volatility models are not able to capture the steepness of small-maturity implied volatility smiles. Jumps, in particular exponential L\\\'evy and affine models, which exhibit small-maturity exploding smiles, have historically been proposed to remedy this (see \\cite{Tank} for an overview), and more recently rough volatility models \\cite{AlosLeon, Fukasawa}. We suggest here a different route, randomising the Black-Scholes variance by a CEV-generated distribution, which allows us to modulate the rate of explosion (through the CEV exponent) of the implied volatility for small maturities. The range of rates includes behaviours similar to exponential L\\\'evy models and fractional stochastic volatility models.
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中文摘要：
经典（It）随机波动率模型无法捕捉到小到期隐含波动率的陡度。跳跃，尤其是指数Lāevy和仿射模型，它们表现出小的成熟度爆炸式微笑，历史上曾被提出来纠正这一点（参见{Tank}的概述），最近的粗糙波动率模型{AlosLeon，Fukasawa}。我们在这里提出了一种不同的方法，通过CEV生成的分布将Black-Scholes方差随机化，这使我们能够调节小到期日隐含波动率的爆炸率（通过CEV指数）。利率的范围包括类似于指数列维模型和分数随机波动率模型的行为。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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PDF下载：
--> Black-Scholes_in_a_CEV_random_environment.pdf (451.57 KB)

2022-5-7 23:52:02 上传

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关键词：SCHOLES choles Holes Black lack

CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES Antoine JACQUIER和PATRICK ROOMEAbstract。经典（It^o diffusions）随机波动率模型无法捕捉小到期隐含波动率的陡峭程度。跳跃，尤其是指数L’evy和Affine模型，表现出小成熟度爆炸式的微笑，历史上曾被提出来弥补这一点（见[65]的概述），以及最近的粗糙波动率模型[2,33]。我们在这里提出了一种不同的方法，通过CEV生成的分布将Black-Scholes方差随机化，这使我们能够调节小到期日隐含波动率的爆炸率（通过CEV指数）。利率范围包括类似于指数L’evy模型和分数随机波动率模型的行为。1.引言我们提出了一个简单的股票价格连续路径模型，该模型允许隐含波动率的小型到期爆炸。股票市场上确实存在一个有据可查的事实（例如，见[34，第5章]），即具有连续路径的标准（It^o）随机模型无法捕捉到成熟度变小时微笑左翼的陡度。为了纠正这一点，几位作者建议增加跳跃，要么以独立的列维过程的形式，要么在一个更一般的框架内进行。跳跃（股价动态）意味着小成熟度微笑的爆炸性行为，并且能够更好地捕捉到观察到的小成熟度隐含波动率的陡度。特别是，Tankov[65]表明，对于指数L’evy模型，在整个实线上支持L’e vy度量，平方隐含波动率微笑爆发为στ（k）~ -k/（2τlogτ），因为到期日τ趋于零，其中k代表对数货币性。

微笑的这种小成熟度行为不仅被基于跳跃的模型所接受，而且也被粗糙波动（非马尔可夫）模型所接受，其中随机波动成分由分数布朗运动驱动，事实上也能够反映数据的这种性质。在一系列论文中，几位作者[2,7,31,33,37,39,47]确实证明了，当分数布朗运动的赫斯特指数在（0,1/2）范围内时，隐含波动率以τH的速率爆炸-1/2成熟度τ趋于零。在本文中，我们提出了另一个框架：我们假设股票价格遵循标准的BlackScholes模型；然而，瞬时方差不是常数，而是从连续分布中取样。我们首先从财务建模的角度得出一些有趣的一般性质，并特别关注其中的一个特定情况，其中方差是由独立的CEV动力学产生的。假设利率和股息为零，让S表示从atS=1开始的股票价格过程，即Sτ=Sτ的随机微分方程的解√VdWτ，对于τ≥ 0，其中W是标准布朗运动。在这里，V是一个随机变量，我们认为它和V一样分布~ Yt，对于部分t>0，日期：2018年11月11日。2010年数学科目分类。60F10，91G99，41A60。关键词和短语。波动性渐近性，随机环境，远期smil e，大偏差。AJ感谢EPSRC Firs t Grant EP/M008436/1.2 ANTOINE JACQUIER和PATRICK RoomeY提供的财务支持，其中Y是CEV dynamics dYu=ξYpudBu的唯一强解决方案，Y>0，其中p∈ R、 ξ>0和b是一个独立的布朗运动（有关精确的陈述，请参见第2.1节）。

本文的主要结果（定理2.3）是，当饱和度τ趋于零时，该模型产生的隐含波动率表现出以下行为：στ（k）~2(1 - p） 三,- 2pkξ（1）-p） t2τ1/(3-2p），如果p<1，kξtτ（对数τ），如果p=1，k2（2p-1） τ| logτ|，如果p>1，（1.1）对于所有k6=0。在时间t处使用CEV过程的初始方差会导致小成熟点微笑的不同期限结构，从而提供与陡峭小成熟度微笑相匹配的灵活性。当p>1时，爆炸率与指数L’evy模型相同，情况为p≤ 1/2模拟了分数随机波动率模型的爆炸率。因此，CEV指数p允许用户调节微笑的短暂成熟度。我们并不是说这个模型应该取代分数随机波动模型或指数L’evy模型，主要是因为它的动态结构乍一看太简单了。然而，我们相信它可以作为更复杂模型的有效构建块，特别是对于瞬时方差具有初始随机分布的随机波动模式ls。当我们将这些扩展留给未来的研究时，我们将强调我们的模型在随机波动率模型中为远期起始点定价时是如何自然发挥作用的。在[50]中，作者证明了在赫斯顿模型中，当剩余的到期日（在远期开始日期之后）变小时，小的到期日远期隐含的可用性微笑爆发。这个爆炸率正好对应于p=1/2 in（1.1）的情况。

这尤其表明，决定爆炸率的关键量是前开始日期的（右尾）方差分布（此处对应于t）。本文的结构如下：在第2.1节和第2.2节中，我们介绍了我们的模型，并将其与其他现有方法联系起来。在第2.3节中，我们使用矩母函数推导了极端打击渐近（对于某些特殊情况），并说明了为什么这种方法不容易适用于小型和大型成熟渐近。第2.4节和第2.5节详细介绍了主要结果，即期权价格的小型和大型到期渐近以及相应的隐含波动率。第2.6节提供了数值示例，第2.7节描述了我们的模型与随机波动模型中远期启动期权定价之间的关系。最后，主要结果的证明汇总在第3节。注释：在整篇论文中~ 符号意味着渐近等价，即左手边和右手边的比率趋于一。2.模型和主要结果2。1.型号说明。我们考虑一个过滤概率空间(Ohm, F、 （Fs）s≥0，P）支持标准布朗运动，设（Zs）s≥0表示以下s-tochastic微分方程的解：（2.1）dZs=-Vds+√VdWs，Z=0，其中V是一些随机变量，独立于布朗运动W，尤其是时间零点的布朗过滤（有关详细信息，请参见[51，备注S2.2和2.3]）。过程（Zs）s≥0，在金融领域，CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES 3校正了基础股价的对数，以及系数-1/2确保（电动汽车的可集成属性）能够≥0是真正的（Fs）s≥0-鞅。

在V为离散随机变量的情况下，该模型简化为Brigo和Mercurio[14,15]在高斯情况下分析的混合分布。在随机波动率模型中，瞬时方差过程（Vt）t≥0与资产定价过程不相关，Romano和Touzi[63]的混合结果表明，到期日为τ的欧洲期权的价格与SDE（2.1）评估的价格相同，V=τ-1RτVSD。当τ趋于零时，V的分布接近一个以初始方差V为中心的狄拉克三角洲。隐含波动性的渐近性是众所周知的，经典随机波动率模型的弱点也是有据可查的[34]。尽管这些模型符合（2.1）的框架，但我们在本文中将不再进一步考虑它们。通过Ms确定流程：-s+ws，让（Ts）s≥0由Ts:=sV给出。那么T是一个独立增加的时间变化过程，Z=MTin分布。通过这种方式，我们的模型可以被认为是一种时间变化。现在让N成为一个L’evy过程，这样（eNs）s≥0是a（Fs）s≥0-适应鞅；定义：=τ-1RτVsds，其中V是一个正的独立过程，然后（eNTs）s≥0是一个经典的时变dexponential L\'evy过程，而pr选项是s标准[20，第15.5节]。然而，随着成熟度τ趋于零，V在分布上收敛为Dirac Delta，在这种情况下，渐近性是众所周知的[65]。该模型（2.1）还与Avellanda和Par'as[3]的不确定性波动率模型相关（另见[23，45，56]），其中Black-Scholes波动率允许在两个界限内随机演变。

在这个框架中，次级和次级套期保值策略（对应于最佳和最坏情况）通常是通过Black-Scholes-Barenblatt方程推导出来的，Fouque和Ren[32]最近提供了当两个边界相互失去时的近似结果。人们还可以至少正式地从分数随机波动率模型的角度来看待（2.1），该模型最初由孔德等人在[18]中提出，后来在[6,19,8,5,9,27,41,33,35,37,42,46,58]中发展和复兴。在这些模型中，通过用分形布朗运动代替驱动瞬时波动的布朗运动，对标准的s-tochastic波动模型进行了推广。这保留了股票价格过程的鞅性质，并允许在短期记忆（赫斯特参数H介于0和1/2之间）的情况下，对于短期到期，隐含波动率微笑的陡峭倾斜。然而，分数布朗运动的Mandelbrot-van-Ness表示[57]readsWHt:=ZtdWs（t- s） γ+Z-∞（t）- s） γ-(-s） γdWs，尽管如此≥ 0，其中γ：=1/2-H.这种表示尤其表明，在时间零点，由分数布朗运动驱动的瞬时变化（通过二次积分）包含一些随机性。最后，我们同意，乍一看，将方差随机化可能听起来很不传统。正如导言中所述，我们将该模型视为mor-e相关模型的一个组成部分，特别是具有随机初始方差的短期波动率，对其进行全面研究是正在进行的研究的目的。毕竟，市场数据只为我们提供了股票价格的初始值，而初始的波动水平是未知的，通常作为一个参数进行校准。从这个意义上说，将后者置于随机状态是相当自然的。2.1.1. 矩母函数。

在[28,29,44]中，作者使用了大偏差理论，特别是G¨artner-Ellis定理，证明了赫斯顿模型中隐含波动性的小成熟度和大成熟度行为，以及更普遍的（在[44]中）有效随机波动性模型。这种方法完全依赖于对基础股票价格的累积量生成函数及其重标度限制4 ANTOINE JACQUIER和PATRICK ROOMEbehaviour的了解。对于任何τ≥ 0，设∧Z（u，τ）：=log E（euZτ）表示Zτ的累积量生成函数，定义在有效域DZτ上：={u∈ R:|∧Z（u，τ）|<∞}; 类似地表示∧V（u）≡ 日志E（euV），只要定义明确。塔的性质在期望值（2.2）∧Z（u，τ）=V中的直接应用u（u）- 1)τ, 为了所有的你∈ DZτ。遗憾的是，V的累积量母函数一般不可用封闭形式。在下面的第2.3节中，我们将看到一些例子，其中有这样一个封闭形式的解决方案，并且可以进行直接计算。我们顺便注意到，这种简单的表示至少在原则上允许使用Roger Lee’sMoment公式[53]对隐含波动率翼的斜率进行向前（数值）计算（另见第2.3.2节）。后者确实是由∧V的有效域的边界（在R中）直接给出的。进一步注意，模型（2.1）可以被视为一个时变布朗运动（带漂移）；表示法（2.2）明确规定了Z是简单指数L’evy过程的情况（在这种情况下∧Z（u，τ）在τ中是线性的）。根据Roger Lee的公式，这也意味着，与Levy的情况相反，在我们的模型中，隐含波动率翼的斜率并不随时间变化。2.2. CEV随机化。

如上所述，本文是将“随机环境”引入期权定价领域的第一步，我们相信，通过一个具体的例子，看到它“在发挥作用”，yetnon-Triple将证明它的潜在威力。从现在起，我们假设V对应于在某个时间t，通过解CEV随机微分方程dYu=ξYpudBu，Y=Y>0生成的随机变量的分布，其中p∈ R、 ξ>0，B是标准布朗运动，与W无关。CEV过程[13,52]是这个随机微分方程的唯一强解，直到停止时间τY:=infu>0{Yu=0}。τYdepe之后的过程行为取决于p的值，下面将讨论d。我们让Γ（n；x）：=Γ（n）-1Rxtn-1e-tdt表示归一化的下不完全伽马函数，mt:=P（Yt=0）=P（V=0）表示原点的质量。确定常数（2.3）η：=2（p- 1） ，u：=log（y）-ξt.d计算表明，当原点为绝对边界时，密度ζp（y）≡P（Yt）∈ dy）/dy为范数递减，且（2.4）mt=1- Γ-η;y2（1）-p） 2ξ（1）- p） t！>0;否则mt=0，密度ζpis范数保持不变。当p∈ [1/2,1），来源是自然吸收≥ 1，过程Y永远不会达到零P-几乎可以肯定。最后，当p<1/2时，原点是可达到的边界，可以选择吸收或反射。如果要求Y是鞅[43，第三章，引理3.6]，则吸收是强制性的。这里只使用瞬时方差的构建块，因此不需要这样的要求，这样就可以处理这两种情况（吸收和反射）。

介绍函数η：（0，∞) → (0, ∞) 除以η（y）：=y1/2y1/2-2p | 1- p |ξtexp-y2（1）-p） +y2（1）-p） 2ξt（1）- p） !！Iη（yy）1-p（1）- p） ξt,CEV随机环境中的BLACK-SCHOLES 5，其中Iη是第一类阶η的修正贝塞尔函数[1，第9.6节]。碳当量密度ζp（y）：=p（Yt∈ dy）/dy，然后读取ζp（y）=φ-η（y），如果p∈ [1/2,1）或p<吸收，η（y），如果p>1或p<反射，yξ√2πtexp-（对数（y）- u）2ξt, 如果p=1，（2.5）对y有效∈ (0, ∞). 当p≥ 1，密度ζp在原点周围趋近于零，这意味着路径正被推离原点。另一方面，当p<1/2时，ζp在原点向同一方向移动，因此路径倾向于靠近原点。从上面所有的量可以清楚地看出，精确的视界t本身并不是基本的，因为它只出现在乘法常数因子ξ中。通过布朗运动的标度，t可以被视为等于单位，因此在这里是相当不相关的；然而，我们将在符号中保持其明确性，因为在第2.7.2.3节中，将此框架应用于远期启动衍生工具时，它将变得非常有用。矩母函数法。在关于隐含波动率渐近性的文献中，股票价格的矩母函数已被证明是获得精确估计的非常有用的工具。这显然是第2.1.1节中提到的Roger Lee公式中的“微笑之翼”（s trikes）和“s trikes之翼”（s trikes）的情况，但也描述了为ins tancein[44]或[48]开发的短成熟度和大成熟度渐近，通过使用（定义的）G–artner-Ellis定理。在[51]中，作者利用这一特性研究了赫斯顿模型的一个推广版本，其中瞬时波动率的起始值是根据某种分布随机化的。