鞅最优运输对偶

考虑序列{ξn}n∈N K（G）满足一致下界ξn≥ -λ表示某些λ∈ B+q(Ohm).然后，通过Fatou引理和一致界（2.1），EQhlim infn→∞ξni≤ lim信息→∞公式[ξn]≤ 0表示所有Q∈ Q（G）。因此，lim infnξn∈ K（G）。由于bi（G）的定义是具有该性质的最小可测函数集，包含I（G），我们得出结论bi（G） K（G）。固定ξ∈ B类(Ohm). 假设ξ≤ c+l 对于一些c∈ R和l ∈bI（G）。SincebI（G） K（G），式[ξ]≤ 等式[c+l] ≤ 每Q为c∈ Q（G）。因此，σQ（G）（ξ）≤ c、 由于Φ（ξ；bI（G））在所有此类常数的限值内，σQ（G）（ξ）≤ Φ（ξ；bI（G））。事实I（G）bI（G）表示Φ（ξ；bI（G））≤ Φ（ξ；I（G））。5近似结果引理5.1。^c*q： =Φ（Xq*; I（G））<∞.证据对于N∈ N、 {yk}Nk=0 R+和n≤ N、 让y*n： =最大值0≤k≤纽约市。第1步。[2，命题2.1]表明（y*N） q+dqyq≤N-1Xn=0h（y*n） （yn+1- yn）+（dqyN）q，其中dq：=q/（q- 1） h（y）：=-qdqyq-1对于y∈ R+。第2步。设置τ：=0，对于每个ω∈ Ohm 和n∈ N递归定义τN（ω）：=inft>τn-1（ω）：| Xt（ω）| q>| Xτn-1（ω）| q+1∧ T、 然后，τn是停止时间。对于ω∈ Ohm, i=1，d、 n=0，1，2，赛斯*,in（ω）：=h最大值0≤k≤nXiτk（ω）, h类*n（ω）：=h类*,1n（ω），h类*,dn（ω）.很明显，h*n∈ Bq公司-1(Ohm)D因此H*:= （τn，h*n） n个∈Nis是一个简单的被积函数。第3步。我们声称H*是可以接受的。实际上，fix t∈ [0，T]，ω∈ Ohm, i=1，d、 andset yn：=Xiτn∧t（ω）。对于k∈ N、 集合▄N=▄N（ω，t，k）：=sup{m：τm（ω）≤ t}∧ （k）- 1).然后，对于n≤ ~n，yn=Xiτnand，因此，h*,in（ω）=h（y*n） 。对于▄n<n<k，Xiτn+1∧t=Xiτn∧t=xit和yn+1=Xiτk∧t、 步骤1，k-1Xn=0h*,in（Xiτn+1∧t型- Xiτn∧t） =▄nXn=0h（y*n） （yn+1- yn）≥ （y）*n+1）q- （dqyn+1）q=supn≤kXiτn∧t型q- （dqXiτk∧t） q.因此，对于每个t∈ [0，T]和整数k，（H*· 十） τk∧t型≥xi≤dsupn≤kXiτn∧t型q-xi≤d（dqXiτk∧t） q≥xi≤dsupn≤kXiτn∧t型q- c*|Xτk∧t | q≥ -c*Xq公司*, （5.1）对于某些常数c*仅取决于d和q。因此，H*是可以接受的。第4步。

我们将t=t输入（5.1），并将k发送到单位以获得xi≤dsupnXiτn∧Tq≤ （H）*· 十） T+c*|XT | q.选择常数^c*所以对于所有y=（y，…，yd）∈ Rd+，| y | q≤ ^c*圆周率≤d | yi | q.让cq，ξqbea在假设2.2中。然后，0≤ supn | Xτn∧T | q≤ ^c*xi≤dsupnXiτn∧Tq≤ ^c*[（H*· 十） T+c*|XT | q]≤ （^c*H*· 十） T+^c*c*（cq+ξq）=：l*+ ^c*c*cq。自从H*∈ Hs，ξq∈ G是一个圆锥体，l*:= （^c*H*· 十） T+^c*c*ξq∈ I（G）。第5步。通过定义τn，Xq*≤ supn | Xτn∧T | q+1≤ l*+ ^c*c*cq+1，从中可以得到Φ（Xq*; I（G））≤ ^c*c*cq+1<∞.推论5.2。对于任何凸锥I I（G）和ξ∈ 英国石油公司(Ohm), 一个有limc→∞Φ（ξc；I）=Φ（ξ；I）。证据固定ξ∈ 英国石油公司(Ohm). 存在c>0，因此|ξ|≤ cXp*每当|ξ|≥ c、 第1步。对于c≥ c、 （|ξ|- c） {|ξ|≥c}≤ cXp*{Xp*≥c/c}≤cXq公司*（c/c）q/p-1{Xp*≥c/c}≤cq/pcq/p-1Xq*.由于I包括I（G），Φ（（|ξ|- c） {|ξ|≥c} ；（一）≤ cq/pc1-q/pΦ（Xq*; I（G）），根据表5.1，给出lim supc→∞Φ((|ξ| - c） {|ξ|≥c} ；（一）≤ 0、步骤2。自|ξ起- ξc|≤ (|ξ| - c） {|ξ|≥c} ，一个从次可加性Φ（ξc；I）得出≤ Φ（ξc- ξ; 一） +Φ（ξ；I）≤ Φ((|ξ|- c） {|ξ|≥c} ；一） +Φ（ξ；I），通过上一步，得出lim supc→∞Φ（ξc；I）≤ Φ（ξ；I）。第3步。同样，Φ（ξ；I）≤ Φ(ξ - ξc；一） +Φ（ξc；I）≤ Φ((|ξ| - c） {|ξ|≥c} ；一） +Φ（ξc；I），因此Φ（ξ；I）≤ lim infc→∞Φ（ξc；I）。定义的直接结果是Φ（ξ；I（G））≤ kξk∞对于任何ξ∈ Bb型(Ohm).尤其是Φ（0；I（G））≤ 0。推论5.3。我们有以下备选方案：（i）如果Φ（0；i（G））=0，那么|Φ（ξ；i（G））|≤ kξk∞对于所有ξ∈ Bb型(Ohm).（ii）如果Φ（0；I（G））<0，则Q（G）为空，且Φ（·；I（G））≡ Φ（·；bI（G））≡ -∞ 在Bp上(Ohm).尤其是，（3.1）和（3.2）的内容微不足道。证据首先，假设Φ（0；I（G））=0，让ξ∈ Bb型(Ohm). 自ξ+kξk∞≥ 0，一个有Φ（ξ；I（G））=-kξk∞+ Φ（ξ+kξk∞; I（G））≥ -kξk∞+ Φ（0；I（G））=-kξk∞.现在假设Φ（0；I（G））<0。然后，存在c<0，l ∈ I（G）使得c+l ≥ 同样，对于任何常数λ>0，λ（c+l) ≥ 0

因为I（G）是一个圆锥体，λl ∈ I（G）和Φ（0；I（G））≤ cλ。由于上述λ>0是任意的，我们得到Φ（0；I（G））=-∞ 和Φ（ξ；I（G））≤ kξk∞+ Φ(ξ - kξk∞; I（G））≤ kξk∞+ Φ（0；I（G））=-∞.这表明-∞ ≤ σQ（G）（·）≤ Φ（·；bI（G））≤ Φ（·；I（G））≡ -∞ 在Bb上(Ohm), 根据推论5.2，也在Bp上(Ohm).此外，（4.2）意味着如果Q（G）非空，Φ（0；bI（G））=0。因此，如果Φ（0；bI（G））<0，则Q（G）必须为空。对于Rd值的c\'adl\'ag进程Y，setlY（ω）：=ZTYu（ω）·（Xu（ω）- XT（ω））du。引理5.4。设Y是一个Rd值、adap-ted、c\'adl\'ag过程。假设存在λ∈ Bq公司-1(Ohm) 满意|于|≤ λ每u∈ [0，T]。然后lY∈ I（0），对于任何包含I（0）的商集I，Φ(lY（一）≤ 0证明。对于k∈ N和N=0，k集τkn：=nT/k，Ykn：=Yτkn，Xkn：=Xτkn，hk：=-（电汇）Yand hkn：=hkn-1.- （电汇）YKNN≥ 1、自λ起∈ Bq公司-1(Ohm), 简单被积函数Hk：=（τkn，hkn）kn=0是允许的。此外，（Hk·X）T=k-1Xn=0hkn·（Xkn+1- Xkn）=Tkk-1Xn=0Ykn·（Xkn- XT）。设H：=（Hk）k∈N、 由于Y和X都是c\'adl\'ag，（H·X）T=limk→∞（Hk·X）T=lY、 可以直接验证H∈ H、 因此，lY∈ I（0）。6 Cb上的连续性(Ohm)我们使用紧凑符号Φ（·）=Φ（·；I（G））。引理6.1。lim supc→∞Φ（{X*>c} （）≤ 0.证明。修复c>0，i∈ {1，…，d}和集合Xi*:= 支持∈[0，T]Xit。自退出以来≥ 0，c{Xi*>c} （ω）≤ XiT（ω）+（c- XiT（ω））{Xi*>c} （ω）对于所有ω∈ Ohm.设置hi=-1，对于j 6=i，τ（ω）：=inf{t，hj=0≥ 0：Xit∈ （c），∞)} ∧ T，τ：=T，设H为相应的被积函数。然后，（H·X）T=（Xiτ）- XiT）。根据右连续性，我们有xiτ≥ 集合{Xi上的c*> c} 其补码上的τ=T。因此，（H·X）T≥（c）-XiT）{Xi*>c} 和Φ（c）- XiT）{Xi*>c}≤ 因此，Φ（{Xi*>c} （）≤ Φ（XiT）/c，根据引理5.1，当c趋于完整时，其收敛于零。自{X*>√dc} ∪i{Xi*> c} ，引理的主张来自Φ的次可加性。定义6.2。

对于ω∈ D（[0，T]；R+，T∈ [0，T]，且a<b，上交叉数up to T，Ua，bt（ω），是可以找到0的最大整数n≤ t<···<t2n≤ 因此ω（t2k- 1） <a和ω（t2k）>b，对于k=1，n、 对于ω∈ D（[0，T]；Rd+），我们设置Ua，b，it（ω）：=Ua，bt（ωi）。引理6.3。对于0<a<b且i=1，d、 存在Ha、b、i∈ hsha，b，i·X）t（ω）≥ -a+（b- a） Ua、b、it（ω）f或所有（t、ω）∈ [0，T]×Ohm.证据对于k≥ 1，如果k是奇数整数且Ik：=（b，∞ ) 如果k是偶数，且τ：=0。通过τk（ω）：=inf递归定义随机时间序列t型≥ τk-1（ω）：Xit（ω）∈ Ik∧ T、 其中空集的最小值是完整的。由于X是c\'adl\'ag且Ikis打开，τk是f停止时间。定义hk=（hk，…，hdk）如下：当k为奇数时，hik=1，对于keven，hik=0，对于j 6=i，hjk=0。设Ha，b，ibe为相应的简单被积函数。很明显，对于每一个t∈ [0，T]，ω∈ Ohm, （Ha，b，i·X）t（ω）≥ -a+（b- a） Ua，b，it（ω）。因此，Ha，b，i∈ Hs。6.1局部化定理6.4。比较子集{Kn}n存在一个递增序列∈Nof公司Ohm 令人满意，limn→∞Φ(Ohm\\千牛）≤ 0.证明。我们分几个步骤完成证明。第1步。设D是（0，∞) 和{（aj，bj）：j∈ N} 可数集{（a，b）的一个枚举∈ D×D:0<a<b}。适用于所有n∈ N、 defineki，jn：=Nω∈ Ohm : Uaj，bj，iT（ω）≤ cjno，bKn：=d\\i=1\\j∈NKi，jn，Kn：=Bn∩bKn，其中cnj：=2j+n（aj∨ 1） /（北京- aj）和Bn：={ω∈ Ohm : 十、*(ω) ≤ n} 。自从Ohm 是S-闭的，从[39，推论2.10]中可以得出Kijnand bn是D（[0，T]；Rd+）的S-闭子集。因此，所有Knare S-紧，因此也*-的紧子集Ohm; 见附录Aor【46，推论5.11】。此外(Ohm \\ 千牛） 在…上∪ (Ohm \\ Bn），其中On：=[i，j(Ohm \\ Ki，jn）。第2步。设Ha，b，ibe如引理6.3所示，设Hi，jn：=（cnj（bj- aj））-1哈吉，北京，i。

然后，forevery t∈ [0，T]，（Hi，jn·X）T≥ -ajcnj（北京- aj）+Uaj、bj、itcnj≥ -2.-（日本+日本）+阿联酋、北京、itcnj。因此，嗨，jn∈ hs和（Hi，jn·X）T≥ -2.-（j+n）+Ohm\\Ki，jn。对于k≥ 1，设置Hkn：=Pdi=1Pkj=1Hi，jn。然后，每k≥ 1和t∈ [0，T]，（Hkn·X）T≥-d 2-n、 因此，对于每个n，Hn：=（Hkn）k∈N∈ H和（Hn·X）T=直线信息→∞（Hkn·X）吨≥dXi=1∞Xj=1Ohm\\Ki，jn- 2.-（j+n）≥在…上- d 2-n、 因此，Φ（On）≤ d 2-n、 第3步。根据前面的步骤和引理6.1，lim supn→∞Φ(Ohm\\千牛）≤ lim支持→∞Φ(Ohm\\Bn）+Φ（On）≤ 最后，由于对于每对（i，j），集合Ki，jn在n中增加，我们得出结论，Knis也在n.6.2β-连续性位置6.5中增加。假设Φ（0）=0。那么Φ是实值且β-连续的onCb(Ohm).证据根据推论5.3，Φ是实数，定理6.4中构造的紧集满足Φ(Ohm\\千牛）↓ 0，因为n趋于完整。让Kbe为空集，通过重新标记，我们可以假设Φ(Ohm\\Kk）≤ 2.-2k，每k≥ 0、定义η*:=∞Xk=1-kKk\\Kk-1、从Kk的补码开始-1, |η*| ≤ 2.-k、 η*∈ B类(Ohm). 固定整数n和ξ∈ Cb公司(Ohm).自Kk起\\Kk-1, η*= 2.-k、 在Kk上\\Kk-1, (η*)-1=2k，所以，在Kn=∪nk=1（Kk\\Kk-1） ，|ξ| Kn=|ξ|η*(η*)-1Kn≤ kξη*k∞(η*)-1Kn=kξη*k∞nXk=1kKk\\Kk-1、假设Φ（0）=0，|Φ（ξKn）|≤ Φ（|ξ| Kn），因此，|Φ（ξKn）|≤ kξη*k∞nXk=1kΦKk\\Kk-1.≤ kξη*k∞nXk=1kΦOhm\\Kk公司-1.≤ kξη*k∞nXk=1k-2（k-1)≤ 4kξη*k∞= 4kξkη*.因此，根据定理6.4，|Φ（ξ）|≤ lim支持→∞|Φ（ξKn）|+kξk∞Φ(Ohm\\千牛）≤ 4kξη*k∞.对于ξ，ζ∈ Cb公司(Ohm), 按次加性，Φ（ξ）=Φ（（ξ- ζ) + ζ) ≤ Φ(ξ - ζ) + Φ(ζ). 因此，Φ（ξ）- Φ(ζ) ≤ Φ(ξ - ζ) ≤ 4k（ξ- ζ) η*k∞. 切换ξ和ζ的角色，我们得出|Φ（ξ）- Φ(ζ)| ≤ 4k（ξ-ζ) η*k∞. 因为β拓扑是由半范数生成的。ηk∞对于任意η∈ B类+(Ohm) 和η*∈ B类+(Ohm), 上述不等式得出Φ在Cb上是β-连续的(Ohm) （见下文附录B）。6.3子差异比例6.6。Q（G）=Φ := {φ ∈ M级(Ohm) : φ(ξ) ≤ Φ（ξ；I（G）），ξ∈ Cb公司(Ohm)}.证据

下限（4.2）表示Q（G） Φ. 为了证明相反的包含，fixq∈ Φ  M级(Ohm). Φ的单调性意味着Q≥ 0、自Φ（c）≤ 对于每个常数c，我们得出结论Q∈ P(Ohm).第1步。Letξ∈ C类+(Ohm), 和定义ξc或c≥ 0，如（4.1）所示。然后，ξc≤ ξ和Q的by-thefining性质，EQ[ξc]≤ Φ（ξc）≤ Φ(ξ). 因此，通过单调收敛，等式[ξ]=极限→∞公式[ξc]≤ Φ(ξ).第2步。对于ε>0，setXεt（ω）：=εZt+εtXu∧Tdu，t∈ [0，T]。由于映射Xt和时间积分是S-连续的[39]，Xε是S*-不断的因此，forevery t∈ [0，T]，| XεT |∈ C类(Ohm) 和| Xεt |≤ 十、*, 其中X*如（2.1）所示。此外，limε→0Xεt（ω）=Xt（ω），对于每个ω∈ Ohm. 修复t∈ [0，T]并选择ξ=| XεT | qin步骤1以获得等式[| XεT | q]≤Φ（| Xεt | q）≤ Φ（Xq*). 通过Fatou引理，EQ[| Xt | q]≤ lim infε→0EQ[| Xεt | q]≤ Φ（Xq*) = ^c*q<∞,其中^c*引理5.1中的qis。因此，Xt∈ Lq公司(Ohm, Q） 每t∈ [0，T]。第3步。修复t∈ [0，T）和Ft可测量Y∈ Cb公司(Ohm)d、 对于ε∈ （0，T- t] ，设置lY、 ε：=εZt+εtY | Xu |+1·（Xu- XT）du，和lY： =Y | Xt |+1·（Xt- XT）。请注意lY、 ε∈ C类(Ohm), limε→0lY、 ε（ω）=lY（ω），对于所有ω∈ Ohm 根据推论5.4，Φ(lY、 ε）≤ 0.此外，lY、 ε≥ -kY k公司∞[1+| XT |]=> lcY，ε≥ -kY k公司∞[1+| XT |]∈ Lq公司(Ohm, Q） 。然后，通过Fatou引理，EQ[lY]≤ lim infε→0EQ[lY、 ε]。现在我们再次使用法图引理、次微分不等式和推论5.2来获得等式[lY、 ε]≤ lim infc→∞均衡器[lcY，ε]≤limc公司→∞Φ(lcY，ε）=Φ(lY、 ε）≤ 0。因为此参数也适用于-Y，我们得出结论，eq[lY] =0。第4步。让Y与上一步一样。对于c>0，设置Yc：=Y[（| Xt |+1）∧ c] 。自XT起，XT∈ Lq公司(Ohm, Q） ，由支配收敛，等式[Y·（Xt- XT）]=limc→∞均衡器Yc | Xt |+1·（Xt- XT）= 上述等式、步骤2中证明的可积性和引理C.1意味着X是（F，Q）-鞅。如（2.1）所示，这也意味着*] < ∞.第5步。Letξ∈ Cp公司(Ohm).

那么，|ξ|≤ cξ（1+Xq*) 对于某些常数cξ和每一个大于0的常数，ξc≤ cξXq*. 自X起*∈ Lq公司(Ohm, Q） ，支配收敛产生等式[ξ]=极限→∞公式[ξc]。同样，根据推论5.2，limc→∞Φ（ξc）=Φ（ξ）和ξc处的次微分不等式∈ Cb公司(Ohm) 意味着等式[ξc]≤ Φ（ξc）。因此，等式[ξ]=limc→∞公式[ξc]≤limc公司→∞Φ（ξc）=每ξΦ（ξ）∈ Cp公司(Ohm).第6步。固定γ∈ G、 然后，根据假设2.2，γ∈ Cq，p(Ohm) 因此，γ-∈ Cp公司(Ohm). 如果a>0，则设置γa：=γ∧ a、 自γa起≤ γ、 Φ（γa）≤ Φ(γ) ≤ 0.同样，γa∈ Cp公司(Ohm) 通过上一步，等式[γa]≤ Φ（γa）≤ 此外，|γa |≤ |γ| ≤ cγ（1+Xq*) 对于某些cγ>0。自X起*∈ Lq公司(Ohm, Q） ，支配收敛产生等式[γ]=利马→∞等式[γa]≤ 因此，等式[γ]≤ 每γ0∈ G、 这和步骤4意味着Φ  Q（G）。上述结果也证明了集Q（G）的紧性。推论6.7。Q（G）是凸的，对于配对hCb诱导的拓扑，Q（G）既是紧的，也是序列y紧的(Ohm), M级(Ohm)i、 证明。很明显，Q（G）是凸的。设Knbe为定理6.4的证明。然后，通过（4.2），σQ（G）(Ohm\\千牛）≤ Φ(Ohm\\Kn）=：αn。根据定理6.4，α等于零。因此，Q（Kn）≥ 1.- Q上的α非对称∈ Q（G）。由于αnConvergence为零，Q（G）是统一的。根据命题6.6，Q（G）=Tξ∈Cb公司(Ohm){Q∈ P(Ohm) : 公式[ξ]≤ Φ(ξ)}. 因此，Q（G）很弱*关闭然后，根据Prokhorov关于完全正则Hausdorff空间的定理[12，定理8.6.7]，Q（G）是弱的*契约根据[12，定理8.6.7]的第二个断言，由于紧集Knabove是可度量的[46，命题5.7]，Q（G）也是顺序弱的*契约7定理3.17.1 Cb对偶性的证明(Ohm)提案7.1。Φ（ξ；I（G））=所有ξ的σQ（G）（ξ）∈ Cb公司(Ohm).证据根据推论5.3，我们可以假设Φ（0；I（G））=0。然后，根据第6节的结果，Φ是凸的、有限值的和β-连续的。

所以，拓扑空间Cb上的芬奇-莫罗定理的假设(Ohm) 满足局部凸β-拓扑[60，定理2.3.3]。由于Φ是正同质的，Φ（ξ；I（G））=σΦ（ξ）预测ξ∈ Cb公司(Ohm). 然后，我们在Cb上完成了对偶性的证明(Ohm) 根据命题6.6.7.2上的对偶性(Ohm)我们首先扩展了Cb的对偶性(Ohm) 至Ub(Ohm) 通过极大极小参数。引理7.2。对偶Φ（ξ；I（G））=σQ（G）（ξ）适用于所有ξ∈ Cb公司(Ohm) 当且仅当itholds for allξ∈ 乌兰巴托(Ohm).证据假设二元性在Cb上成立(Ohm) 让η∈ 乌兰巴托(Ohm). 鉴于（4.2），我们需要证明σQ（G）（η）≥ Φ（η；I（G））。自S起*对于每一个Q∈ P(Ohm), 公式[η]=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)公式[ξ]。显然，{ξ∈ Cb公司(Ohm) : η ≤ ξ} 是Cb的对流子集(Ohm) 取（ξ，Q）到等式[ξ]的映射是连续的双线性onCb(Ohm) ×Q（G）。此外，根据推论6.7，Q（G）是凸的，弱的*p的紧子集(Ohm). 因此，满足了标准极大极小参数的假设，参见示例【60，定理2.10.2】。由于Φ是单调的，σQ（G）（η）=supQ∈Q（G）infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)公式[ξ]=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)supQ公司∈Q（G）EQ[ξ]=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)σΦ（ξ）=infη≤ξ∈Cb公司(Ohm)Φ（ξ；I（G））≥ Φ（η；I（G））。因此，二元性在Ub上成立(Ohm).提案7.3。Φ（ξ；I（G））=所有ξ的σQ（G）（ξ）∈ 向上(Ohm).证据固定ξ∈ 向上(Ohm) 和ξcbe，如（4.1）所示。然后，ξc∈ 乌兰巴托(Ohm) 对偶性在ξc处成立。Wenow将其与引理4.1和推论5.2结合，得出σQ（G）（ξ）=limc→∞σQ（G）（ξc）=limc→∞Φ（ξc；I（G））=Φ（ξ；I（G））。7.3 Bp的对偶性(Ohm)在本节中，我们遵循[45]的方法，并通过Choquet电容性定理将对偶性扩展到可测函数[20]。提案7.4。Φ（ξ；bI（G））=σQ（G）（ξ），对于所有ξ∈ 英国石油公司(Ohm).证据如前所述，我们将Φ（·；bI（G））写成BΦ（·），将Φ（·；I（G））写成Φ（·）。第1步。SincebI（G） I（G），bΦ≤ Φ. 根据命题7.3和（4.2），对于每个η∈ 乌兰巴托(Ohm),σQ（G）（η）≤bΦ（η）≤ Φ（η）=σQ（G）（η）。

因此，Ub上的Φ=bΦ(Ohm).第2步。考虑序列{Qn}n∈尼姆(Ohm) 收敛到Q*在弱者中*拓扑结构。然后，EQn[ξ]收敛到EQ*[ξ] 对于每ξ∈ Cb公司(Ohm). 固定η∈ 乌兰巴托(Ohm). 自S起*在下面的引理A.6中，有一个递减序列{ξk}k∈N Cb公司(Ohm) 收敛到η和EQ*[ξk]收敛到EQ*[η]. 我们用这个和弱者*Qnto-arriveatlim-supn的收敛性→∞方程式[η]≤ infklimn公司→∞方程n[ξk]=infkEQ*[ξk]=等式*[η].因为根据推论6.7，Q（G）是弱的*紧凑，上述性质意味着对于每个η∈ 乌兰巴托(Ohm) 有Qη∈ Q（G）满足，公式η[η]=σQ（G）（η）。第3步。假设序列{ηn}n∈N 乌兰巴托(Ohm) 单调递减为函数η*∈ 乌兰巴托(Ohm). 然后，Qn：=Qηnsatis fies EQn[ηn]=σQ（G）（ηn）。由于Q（G）对于σ（M，Cb）是顺序紧的，因此有一个子序列（没有失去一般性，由Qn指出）和Q*∈ Q（G）使得qn收敛到Q*在弱者中*拓扑结构。然后，通过上一步，lim supn→∞方程n[ηn]≤ infklim支持→∞方程n[ηk]≤ infkEQ公司*[ηk]=等式*[η*],我们在最终等式中使用了单调收敛。第一步，Ub上的Φ=bΦ(Ohm). 然后，根据命题7.3和（4.2），lim supn→∞bΦ（ηn）=lim supn→∞σQ（G）（ηn）=lim supn→∞方程n[ηn]≤ 均衡器*[η*] ≤ σQ（G）（η）*) ≤bΦ（η*).因为ηn正在减小到η*, 相反的不平等是直接的。因此，limn→∞bΦ（ηn）=bΦ（η*) 无论何时Ub(Ohm)  ηn↓ η*∈ 乌兰巴托(Ohm) 作为n→ ∞ . （7.1）步骤4。考虑{ζn}n∈N Bb型(Ohm) 单调递增至ζ*∈ Bb型(Ohm). 选择{ln} n个∈NbI（G）使bΦ（ζn）+n+ln（ω）≥ ζn（ω），对于每个ω∈ Ohm. 很明显，BΦ（ζ）≤bΦ（ζn）≤bΦ（ζ*). 自ζn起≥ ζ, ln≥ (ζ-bΦ（ζ*) - 1) ∧ 0 =: -λ. 然后，通过定义BI（G），l*:= lim信息ln∈bI（G）。因此，ζ*（ω） =limn→∞ζn（ω）≤ lim信息→∞bΦ（ζn）+n+ln（ω）= 画→∞bΦ（ζn）+l*（ω） ，对于每个ω∈ Ohm. 因此，limn→∞bΦ（ζn）≥bΦ（ζ*). 同样，相反的不平等是直接的。我们已经证明了Limn→∞bΦ（ζn）=bΦ（ζ*) 无论何时Bb(Ohm)  ζn↑ ζ*∈ Bb型(Ohm) 作为n→ ∞ . （7.2）步骤5。

（7.1）和（7.2）意味着我们可以将Choquet电容性定理（见[45，命题2.11]或[4，命题2.1]）应用于functionalbΦ。让我们(Ohm) 表示Ub生成的所有Suslin函数的族(Ohm) i、 e.supφ表的功能∈NNinfk公司≥1ξφ| k，其中φ| k表示φ的限制∈ NNto{1，…，k}和每个ξφ| kis是Ub的一个元素(Ohm);详情请参阅【32，第42节】。自S*-拓扑打开Ohm 完全正常，见下面的Emma A.6(Ohm) 包含Bb(Ohm). 此外，bΦ=Ub上的Φ(Ohm). 因此，bΦ（ζ）=sup{Φ（η）：η∈ 乌兰巴托(Ohm), η ≤ ζ} 对于每个ζ∈ Bb型(Ohm). 这个近似与引理7.2中证明的对偶性结合在一起，屈服，bΦ（ζ）=sup{η≤ζ, η∈乌兰巴托(Ohm)}supQ公司∈Q（G）EQ[η]=supQ∈Q（G）sup{η≤ζ, η∈乌兰巴托(Ohm)}等式[η]=supQ∈所有ζ的Q（G）EQ[ζ]∈ Bb型(Ohm).因此，二元性在Bb上成立(Ohm).第5步。现在，我们按照命题7.3的证明进行必要的修改，以将结果扩展到Bp(Ohm).8本节中的计数器示例，d=1、T=1、p=1和q=2。对于给定u∈ P（R+），setGu：={g（X（ω））：g∈ C2,1（R+），u（g）=0}。示例8.1。假设在[1，3]中支持u，并让Ohm = D（[0，1]；[1，3]）。然后，存在一个可数集a Ohm 使得0=σQ（Gu）（A）=Φ（A；I（Gu）），Φ（A；Is（Gu））=1。具体而言，Is（Gu）6=I（Gu）。证据对于ω∈ Ohm, 设v（ω）：=supπPnk=1 |ω（τk）- ω（τk-1） 式中，π在所有单元中的范围为0=τ<τ<····<τn=0，1中的1。设置t=1和k≥ 1，tk：=1/k，sk：=（tk+1+tk）/2，ck：=2f（sk）/（tk- tk+1），带f（x）：=x为x1/3≥ 0和bω（t）：=∞Xk=1ck（t- tk+1）（tk+1，sk）（t）+[f（sk）- ck（t- sk）]（sk，tk]（t），t∈ [0, 1].很明显，bω∈ A. Ohm bω（tn）=0，bω（sn）=f（sn）。集合bωn（t）：=bω（t∧ tn）对于t∈ [0, 1].那么，对于t，bωn（t）=0∈ [tn，1]andv（bωn）≥∞Xk=n（f（sk）- f（tk））=∞Xk=nsk=∞.设Q为[1，2]中的有理数集。设置Aq：={q+bωn:n∈ N} 和A：=∪q∈QAq。然后，A {ω ∈ Ohm : v（ω）=∞}.