鞅最优运输对偶

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英文标题：
《Martingale optimal transport duality》
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作者：
Patrick Cheridito, Matti Kiiski, David J. Pr\\\"omel and H. Mete Soner
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最新提交年份：
2020
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英文摘要：
  We obtain a dual representation of the Kantorovich functional defined for functions on the Skorokhod space using quotient sets. Our representation takes the form of a Choquet capacity generated by martingale measures satisfying additional constraints to ensure compatibility with the quotient sets. These sets contain stochastic integrals defined pathwise and two such definitions starting with simple integrands are given. Another important ingredient of our analysis is a regularized version of Jakubowski\'s $S$-topology on the Skorokhod space.
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中文摘要：
我们利用商集得到了Skorokhod空间上定义的Kantorovich泛函的对偶表示。我们的表示形式是由满足额外约束的鞅度量生成的Choquet容量，以确保与商集的兼容性。这些集合包含按路径定义的随机积分，并给出了以简单被积函数开始的两个此类定义。我们分析的另一个重要组成部分是Skorokhod空间上Jakubowski的$s$-拓扑的正则化版本。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Functional Analysis        功能分析
分类描述：Banach spaces, function spaces, real functions, integral transforms, theory of distributions, measure theory
Banach空间，函数空间，实函数，积分变换，分布理论，测度理论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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PDF下载：
--> Martingale_optimal_transport_duality.pdf (334.8 KB)

2022-6-14 10:33:53 上传

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关键词：Mathematical Presentation Quantitative distribution Presentatio

鞅最优运输对偶*Patrick Cheridito+Matti Kiiski+David J.Pr¨omelH.Mete Soner§Abstracts我们使用商集获得了Skorokhod空间中定义的Kantorovich函数的对偶表示。我们的表示采用鞅测度生成的aChoquet容量的形式，满足额外的约束，以确保与商集的兼容性。这些集合包含路径定义的随机积分，并给出了从简单被积函数开始的两个此类定义。我们分析的另一个重要组成部分是Skorokhod空间上Jakubowski\'sS-topology的正则化版本。关键词：凸对偶、Skorokhod空间、Jakubowski的s-拓扑、无模型金融数学主题分类：60B05、60G44、91B24、91G201简介Kantorovich对偶[42、43]是经典最优运输理论中的重要工具[3、13、57]。抽象地，它提供了局部凸Riesz空间X上定义的凸下半连续泛函Φ的对偶表示，即局部凸格序拓扑向量空间。在Kantorovich设置中，X是定义在拓扑空间上的一组实值函数Ohm. 典型的例子是所有有界连续函数Cb的集合(Ohm) 或所有有界Borel可测函数集Bb(Ohm) 使用SUPREUM标准。对于凸锥I给出的商集，我们考虑Φ（ξ；I）：=inf{c给出的扩展实值泛函∈ R:c+l ≥ ξ对于某些l ∈ 一} ，ξ∈ 十、 Φ有几个直接性质。例如，它直接从Φ是单调和凸的定义出发。

而且，很明显，对于任何常数c，都有*该研究部分得到了瑞士国家基金会拨款SNF 200020-172815的支持。+瑞士苏黎世ETH数学系英国牛津大学数学研究所§美国普林斯顿大学运营研究与金融工程系Φ（c；I）≤ c和Φ（λξ；I）=每个λ的λΦ（ξ；I）≥ 此外，如果可以确定Φ是下半连续且适当的（即，不等于完整性且不等于负完整性），则可以应用芬切尔-莫罗定理【60，定理2.4.14】来获得表示Φ（ξ；i）=σΦ（ξ）：=supД∈Φφ(ξ), ξ ∈ 十、 （1.1）其中Φ是拓扑对偶X的凸集*X givenby的Φ = Φ（0；I）：={Д∈ 十、*: φ(ξ) ≤ Φ（ξ；I）表示所有ξ∈ 十} 。该公式类似于[13]中给出的公式。除了许多其他应用之外，它还为风险管理提供了一个自然的框架[51，52]。最近，它还被用来减少定价问题中的模型依赖性[8，33]。在这些应用程序中，Φ是超级复制函数，I是对冲集。本文的主要目标是在以下情况下建立双重代表（1.1）Ohm 是Korokhod空间的一个合适子集，同时也考虑了运输轨迹。在经典的最优运输中Ohm = Rd×Rd和商集IoT是通过RdbyIot上的两个给定概率度量u，ν定义的：=f⊕ h:f，h∈ Cb（Rd）和u（f）=ν（h）=0,式中，u（f）=Rf du，ν（h）=Rh dν和（f⊕ h） （x，y）：=f（x）+h（y）。设Φotbe X=Cb上对应的凸泛函(Ohm) 具有最高范数。然后，指出Φotis真值和Lipschitz连续。此外Φot=φ ∈ Cb公司(Ohm)*: φ ≥ 0和Д（f⊕ h） =u（f）+ν（h），对于所有f，h∈ Cb（Rd）.因此，任何∈ Φotis非阴性，边缘为u和ν。

因此，ν是紧密的，因此氡概率测量值为Ohm.或者，可以使用Cb上的β-拓扑推断对偶元素的可数可加性(Ohm) 在下文附录B中回顾。如果拓扑打开Ohm 是完全正则Hausdor ff（T），则是Cb的拓扑对偶(Ohm) β拓扑等于有限总变差的所有有符号Radon测度集，不需要紧度参数。另一方面，必须证明Φ相对于该拓扑的连续性。我们在研究中使用了这一观察结果，它考虑了更复杂拓扑空间上的问题Ohm.Kellerer[45]利用Choquet的容量定理[20]表明，如果在商集的定义中使用了可测函数，则可测（和Suslin）函数的最优传输对偶也成立。类似地，对于鞅或约束最优运输，需要扩大集合I，以实现具有相同次梯度集的更一般函数的对偶性[9，29]。或者，我们可以固定商集I，并通过扩展子梯度集获得对偶性，正如在[29]中所做的那样。我们在这里不追求这种方法。本文研究了子集上的广义鞅最优运输问题Ohm 所有Rd+-值的c\'adl\'ag函数的Korokhod空间D（[0，T]；Rd+），即函数ω：[0，T]7→右起连续且左限有限的Rd+。我们假设Ohm 是关于Jakubowski的s-拓扑[39，40]的D（[0，T]；Rd+）的封闭子集，并赋予s的正则化版本。我们的主要目标是通过适当扩展商集，证明具有相同Choquetcapacity（由可数加法（鞅）度量定义）的对偶性，对于X的不同选择。鞅最优运输在[8]的离散时间模型和[33]的连续时间模型中首次引入。

从那时起，人们对其进行了广泛的调查。初始对偶结果[25，26，27，38]是用实分析技术证明的，并且仅适用于一致连续函数。或者，[4、5、6、18、19]使用功能分析工具。特别是，[18]提供了一般表示结果。[19] 证明了σ-紧集的离散时间对偶和[4，5，6]Ohm. 我们的方法类似于[6]，但没有σ-紧性的假设。相反，我们使用了雅库博夫斯基（Jakubowski）[39]引入的S拓扑，它通过上交有效地刻画了紧集。这个特征化允许我们在定理6.4中构造一个递增的紧集序列Knsuch，Φ(Ohm\\Kn）减至零。这一本地化结果对我们的方法至关重要。在类似的背景下，Jakubowski的s-拓扑首次用于[34、35、36]，以证明鞅最优运输的几个重要性质。他们的设置与[33]有关，与我们的不同。在鞅最优运输中，商集I包含“随机积分”。由于没有先验给定的概率结构，积分的定义必须是路径的，这是问题的一个微妙方面。从简单的被积函数开始，我们首先使用Vovk【58，59】提出的理论，然后是【49】提出的理论，并在【7】中使用该理论来证明对偶性。这种构造为上半连续函数提供了对偶性。然后，我们通过采用第2.3小节中定义的Fatou闭包进一步扩大商集I，并通过使用Choquet的CapacabilityTheorem证明可测函数的对偶性，如前面的[4、5、6、9]所述。这些结果如定理3.1所述。

第8节提供了一些示例，说明扩大被积函数集的必要性。对偶性与资产定价基本定理（FTAP）之间也有着深刻的联系，FTAP为对偶测度集不为空提供了等价条件。在经典概率设置中，[37]证明了它适用于Black-Scholes模型，[21]适用于离散时间，[22，23]完全通用。稳健离散时间模型在[1]和后来的[15、16、17]中进行了研究。[10，14]另一方面，研究没有或有很多静态选项的概率模型。作为主要对偶结果定理3.1的直接结果，我们还获得了一般鲁棒FTAP，推论9.7。本文的组织结构如下。在第2节中提供了必要的结构和定义之后，我们在第3节中陈述了主要结果。第4节证明了对偶元素的重要性质，第5节给出了一些近似结果。第6节Cb上的Φ分析(Ohm). 第7节给出了主要结果定理3.1的证明。第8节构造了几个示例。第9节讨论了无模型融资的应用。附录中给出了本文使用的拓扑结构和概率测度为鞅测度的充分条件。2组upLetOhm 是所有c\'adl\'ag函数ω：[0，T]的Skorokhod空间D（[0，T]；Rd+）的非空子集→ 相对于Jakubowski的s-拓扑是闭合的Rd+[39，40]。我们表示S的相对拓扑Ohm 同样由S和，类似于[46]，赋予Ohm 使用最粗糙的拓扑*使所有S-连续函数ξ：Ohm → R连续。更多详细信息*附录A中给出，其中显示(Ohm, S*) 是一个完全正态Hausdorff空间（T），且上的每个Borel概率测度(Ohm, S*) 自动进行aRadon测量。

此外，我们从[39，46]中知道，对于所有s<t和每个i=1，d、 Rtsωi（u）d u相对于S和kωk是连续的∞:= sup0≤t型≤T |ω（T）|是S-下半连续的，其中|·|表示T在Rd上的欧氏范数∈ [0，T]，我们用Xt（ω）=ω（T）表示Ohm 设FX=（Ft）t∈[0，T]是X的自然过滤，由FXt=σ（Xs:s）给出≤ t） 。通过F=（Ft），我们得出由Ft=FXt+=Ts>tFXs、t<t和Ft=FXt给出的右侧连续过滤。对于过滤F，定义了适应和可预测的过程以及停止时间。特别是对于Rd+的任何开放子集A，命中时间τA（ω）=inf{t≥0:Xt（ω）∈ A} 是一个停止时间；有关这些事实，请参见例如[24，50]。此外，来自【39，46】的论证表明，FT=FXTis等于(Ohm, S*).2.1 Riesz spacesLet B(Ohm) 是所有Borel可测函数ξ的集合：Ohm → [-∞, ∞] 和Bb(Ohm) B中的子tof有界函数(Ohm). 对于p∈ [1, ∞), 我们定义了(Ohm) := {ξ ∈ B类(Ohm) : ω 7→ ξ（ω）/（1+kωkp∞) 有界}，andB(Ohm) := {ξ ∈ Bb型(Ohm) : 对于所有ε>0，{ω∈ Ohm : |ξ（ω）|>ε}相对紧凑}。由Ub提供(Ohm) 和以上(Ohm) 我们在Bb中表示所有上半连续函数的集合(Ohm) 和BP(Ohm), 分别地C类(Ohm) 上所有实值连续函数的集合Ohm. Cb公司(Ohm) andCp(Ohm) 定义类似于Ub(Ohm) 和以上(Ohm). 此外，我们需要setCq，p(Ohm) :=ξ ∈ C类(Ohm) : ξ+∈ Cq公司(Ohm), ξ-∈ Cp公司(Ohm),式中ξ+=最大值（ξ，0）和ξ-= 最大值(-ξ, 0).按M(Ohm) 我们表示上有界全变差的所有有符号Radon测度集Ohm 和P(Ohm)  M级(Ohm) 概率测度的子集。对于Q∈ P(Ohm) 和ξ∈ B类(Ohm),我们定义了期望公式[ξ]∈ [-∞, ∞] 通过公式[ξ]：=公式[ξ+]-公式[ξ-] 遵守公约∞ - ∞ = -∞. 对于p≥ 1，Lp(Ohm, Q） 是所有函数ξ的集合∈ B类(Ohm) 满足eq[|ξ| p]<∞.Cb上的β-拓扑(Ohm) 由半范数k生成。

ηk∞, η ∈ B类+(Ohm), 其中，我们使用上标+表示非负元素的子集。关于β拓扑的更多详细信息见附录B。自(Ohm, S*) 是一个完全正规的hausdorff空间，也是完全正则的，因此Cb的对偶(Ohm) 用β-拓扑学(Ohm); 参见例如[41，54]。2.2持续假设We fix通用常数1≤ p<q。我们所有的定义和结果都依赖于它们，但我们在符号中没有显示这种依赖性。定义2.1。对于凸锥G B类(Ohm), 我们用Q（G）表示所有概率测度Q的（可能为空）集∈ P(Ohm) 使得等式[γ]≤ 所有γ为0∈ 而正则映射X是（F，Q）-鞅，即对于每t∈ [0，T]，Xt∈ L(Ohm, Q） andEQ[Y·（Xt- XT）]=0表示所有Ft可测量Y∈ Bb型(Ohm)d、 本文采用以下假设。虽然所有的结果都假设了这一点，但我们并不总是明确地陈述这一假设。假设2.2。G Cq，p(Ohm) 是一个凸锥，存在cq∈ R+和ξq∈ G如此| XT | q≤ cq+ξq。然后，对于每个q∈ Q（G），等式[| XT | Q]≤ cq+EQ[ξq]≤ cq。我们将此与Doob\'smartingale不等式相结合，得出C*q： =supQ∈Q（G）EQ[Xq*] < ∞, 其中X*:= 支持∈[0，T]| Xt |。（2.1）特别是，等式[Y·（Xt- XT）]=0表示所有Q∈ Q（G），每t∈ [0，T]和任何可测量的FTY∈ Bq公司-1(Ohm)d、 如果，对于给定u∈ P（Rd+），G包含所有函数G（ω（T））-u（g）带g∈ Cb（Rd+），然后是任何元素Q∈ Q（G）在最终时间T具有边缘u。因此，上述结构包括给定边缘体的经典示例。对于这个例子，著名的Strassen结果[55]为Q（G）非空提供了必要和充分的条件；另请参见下面的推论9.7。2.3积分和商集简单被积函数H由一系列对（τn，hn）n组成∈确保τ≤ τ≤ τ≤ ···是F停止时间，每个hn∈ Bq公司-1(Ohm)dis Fτn-可测量。

我们假设对于每个ω∈ Ohm 有一个指数n（ω），使得τn（ω）≥ T相应的积分直接定义为（H·X）t（ω）：=∞Xn=0hn（ω）·（Xτn+1∧t（ω）- Xτn∧t（ω）），（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.对于某些λ，一个简单的被积函数H称为可容许的∈ B+q(Ohm)（H·X）τm∧t（ω）≥ -λ（ω）表示所有（t，ω，m）∈ [0，T]×Ohm ×N.hs表示所有可容许简单被积函数的集合。可容许被积函数是简单被积函数H的集合：=（Hk）k∈N hs满意（Hk·X）t≥ -∧，每t∈ [0，T]，k∈N、 对于一些∧∈ B+q(Ohm). H表示所有可容许被积函数的集合。对应的积分由（H·X）t（ω）：=lim infk沿路径定义→∞（Hk·X）t（ω）表示所有（t，ω）∈ [0，T]×Ohm.我们使用以下商集：Is（G）：={γ+（H·X）T：γ∈ G、 H类∈ Hs}，I（0）：={（H·X）T:H∈ H} ，I（G）：={γ+（H·X）T：γ∈ G、 H类∈ H} 。此外，letbI（G） B类(Ohm) 是I（G）的Fatou闭包，即包含I（G）的扩展实值Borel可测函数的最小集合，其性质为每个序列{ln} n个∈N满足一致下界的bI（G）ln≥ -λ表示某些λ∈ B+q，lim infnln∈bI（G）。在金融应用的背景下，类似的积分在[58]中首次构造，后来在[7、49、59]中使用。最近对其性质进行了研究【48】。很明显，即（G） I（G）bI（G）和I（0）都是凸锥。3主要结果见表3.1。在假设2.2下，对于所有ξ，Φ（ξ；I（G））=σQ（G）（ξ）∈ 向上(Ohm) 和（3.1）Φ（ξ；bI（G））=σQ（G）（ξ）（对于所有ξ）∈ 英国石油公司(Ohm), （3.2）式中σQ（G）（·）：=supQ∈Q（G）EQ[·]是Q（G）的支持函数。第7节给出了证明。如果Q（G）为空，按照惯例σQ（G）等同于负整数，在这种情况下，上述等式的两边都等于负整数；见推论5.3。

第8节的反例表明，通常Is（G）可以小于I（G），而（3.2）通常不适用于I（G）。Q（G）召回X的4个性质*在（2.1）中。如果Q（G）为空，则此部分的所有结果都可以忽略不计。对于ξ∈ B类(Ohm),我们定义了每个常数c≥ 0，ξc（ω）：=（c∧ ξ(ω)) ∨ (-c） ，ω∈ Ohm. （4.1）引理4.1。limc公司→∞σQ（G）（ξc）=所有ξ的σQ（G）（ξ）∈ 英国石油公司(Ohm).证据修复Q∈ Q（G）和ξ∈ 英国石油公司(Ohm). 存在一个常数c>0，因此|ξ（ω）|≤cXp*（ω） 每当|ξ（ω）|≥ c、 使用（2.1），我们估计c≥ c、 公式[|ξ- ξc |]≤ 公式[|ξ|{|ξ|≥c} ]≤ cEQ[经验值*{Xp*≥c/c}]≤ cEQ【Xq】*{Xp*≥c/c}（c/c）q/p-1.≤cq/pc*qcq/p-因此，通过次可加性，σQ（G）（ξ）- σQ（G）（ξc）≤ σQ（G）（|ξ-ξc |）≤ supQ公司∈Q（G）式[|ξ- ξc |]≤cq/pc*qcq/p-引理4.2。每小时∈ H、 t型∈ [0，T]和Q∈ Q（G），EQ[（H·X）t]≤ 0.因此，等式[l] ≤ 0表示每l ∈ I（G）和Q∈ Q（G）。证据修复Q∈ Q（G）和H=（τn，hn）n∈N∈ Hs。对于m≥ 1套lmt：=（H·X）τm∧t=m-1Xn=0hn·（Xτn+1∧t型- Xτn∧t） ，t∈ [0，T]。自定义起，每个hn∈ Bq公司-1(Ohm)dand X是（F，Q）-鞅，我们有等式[lmt]=0。根据H的可容许性，存在λ∈ B+q(Ohm) 因此lmt公司≥ -λ对于每个m和t∈ [0，T]。因此，根据Fatou引理和（2.1），等式[（H·X）t]≤ lim信息→∞均衡器[lmt]=0表示所有t∈ [0，T]。设H=（Hk）k∈N∈ H、 然后，通过定义每个香港∈ hs并根据上述结果q（香港·X）t≤ 同样，根据可采性，存在∧∈ B+q(Ohm) 使（Hk·X）t≥ -每k∧≥ 1，t∈ [0，T]。用Fatou引理，对于t∈ [0，T]，EQ[（H·X）T]=EQhlim infk→∞（Hk·X）ti≤ lim信息→∞均衡器（香港·X）t≤ 最终声明直接来自定义。引理4.3。对于每个l ∈bI（G）和Q∈ Q（G），等式[l] ≤ 因此，σQ（G）（ξ）≤ Φ（ξ；bI（G））≤ Φ（ξ；I（G））表示所有ξ∈ B类(Ohm). （4.2）证明。设置K（G）：=ξ ∈ B类(Ohm) : σQ（G）（ξ）≤ 0. 引理4.2，I（G） K（G）。